数学-【衡水真题密卷】2026年高三学科素养月度测评（四）

2025一2026学年度学科素养月度测评 光题 高三数学（四） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知等差数列{am}满足a3十a4=4,a7十a8=8,则a15十a16= () A.14 B.16 C.18 D.20 2.若“sin0=-2是“an9=1”的充分条件，则0为 2 () A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角 3.已知cos(a+g)=- 2 ,cos(a-B)=3 tan atan B= 1 A.-5 B.一5 1 C.6 D.5 4.已知5“=2,526=3，则 ( ) A.a<b且a<2b B.a>b且a>2b C.26<a<b D.6<a<26 1 5.已知数列{a.}满足a1=a,a+1=2a,十2(n∈N),若{a,)是单调递增数列，则a的取 值范围是 () A.（-∞，4) B.(-∞，3) C.（-∞，2) D.(-∞，1) 6.将曲线y=n立绕原点逆时针旋转角a后第一次与y轴相切，则tana一 () B C.-2e D.-e 7.在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2rad/s的角速度按 逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1rad/s的角 速度按逆时针方向做匀速圆周运动.A,B分别以A。(0,1),B。(2,0)为起点同时开始运 动，经过ts后，动点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1十x2的最小值为 () 3 A.-3 B.-2 C.-2 D.-1 高三数学试题（四）第1页（共4页） 真题密卷·学手 8.某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列A={a1,a2,a3,…}重新编 班级 料，菌鲜新序列为A一侣：2…它的第攻为者序列A)”的所有政都 an 是3，且a2=1,a5=27,则a1= ( ) 姓名 A吉 1 B.9 C.3 D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 得分 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数fx)=2sin(ar十p)(w>0)的部分图象如图所示，将fx)的图象向右平移写 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则 ( y 5π 6 A-）=-2 Bgx)的图象的对称中心为（后+2张x,0),∈7 C.g(）-0 D8)的单稠递增区间为(-晋+2，+2k小，k∈Z 10.已知数列a,}的前n项和为Sa,sim+）十a1=,则下列式子的值可以确定 的是 () A.S102 B.S100 C.a1十a104 D.a2十a10o 11.设直线y=t与函数f(x)=x(x一3)2的图象有三个交点，其坐标分别为A(a,t), B(b,t),C(c,t),且a<b<c,则 () A.f(x)的图象的对称中心为(2,2) B.a2+b2+c2=20 C.0<abc<4 D.3<c-a≤23 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知扇形的半径为1，圆心角为a,若cosa=2,则该扇形的面积为 13.已知函数f(x)=(x-a1n工+的图象关于直线x=2对称，则a十b= 14.约瑟夫环问题的描述为：N个人围成一圈，从第1人开始报数，每数到M的人出局，下一 位起从1开始新一轮报数，直到最后一人幸存.例如：当N=5,M=2时，最后的幸存者的 初始编号是3.类以地，当V=19,M=2时，最后的幸存者的初始编号是 斗素养月度测评 高三数学试题（四）第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC的角平分线交BC 于点D,AD=6十c bc (1)求∠BAC的值； (2)若a=1,求AD长度的最大值. 16.15分)已知数列{a,}的首项为1，前n项和为S.,且S+1-(m十1)S.=nn,+1). 2 1少证明：数列是等差数列. 《2)若6。三)，求数列b,)的前n项和R 17.(15分)已知函数f(x)=kx-ln(x+1). (1)求f(x)的单调区间. 2)设数列a,的前n项和为S,且a.一nW十a∈N,证明：S。>n华 (n∈N*). 高三数学试题（四）第3页（共4页） 真题密卷 18.(17分)已知数列{an}满足am+2=6am+1-9am(n∈N*),且a1=3,a2=l8. (1)证明：数列{am+1一3am}是等比数列. (2)求{an}的通项公式， (3)若数列 2am+3m+1） anan+l 的前n项和为Sc.=a十1D(兮-S.)a∈N),证明：数列 {cn}中任意不同的三项都不能构成等差数列. 19.(17分)利用多波束测深可以进行海洋测绘.如图为探测船沿着固定测线利用探测器进 行单测线测绘的示意图.其中海底坡面α可视为与海底平面β成01(0°<01<90°)角的 光滑平面，探测器可探测平面Y与测线垂直.探测船在海平面内沿着与海底坡面平行 的测线行驶，且探测过程中以竖直线为角平分线向下探测形成开角02(0°<02<180)， 可探测海底坡面内线段长为L.已知探测船到海底坡面的竖直距离为h,假设海底坡面 足够长，且L始终存在. 探测船风 测线 B (1)当01=30°，02=60°，h=100m时，求L的长度. (2)求L关于h,01与02的表达式 (3)保持h不变，证明：当01不变时，L随02的增大而增大；当02不变时，L随01的增 大而增大 学科素养月度测评 高三数学试题（四）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度学科素养月度测评1 高三数学（四） 命题要素细目表 关键能力：I.逻辑思维能力Ⅱ.运算求解能力Ⅲ.空间想象能力V,数学建模能力V.创新能力 核心素养：①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 关键能力 核心素养 预估难度 题号 题型 分值 考查内容 IⅡⅢWV①②③④⑤⑥ 等级系数 1 单选题 5 等差数列的性质 0.85 单选题 三角函数的符号，同角三角函数 5 关系 易 0.80 单选题 5 两角和与差的余弦公式 0.70 4 单选题 5 指数函数的单调性，对数运算 0.65 单选题 5 数列的递推关系，数列的单调性 0.60 6 单选题 5 曲线的旋转，导数的几何意义 中 0.55 7 单选题 5 三角函数定义，三角函数的最值 中 0.50 8 单选题 5 数列新定义，等比数列的性质 难 0.35 三角函数的图象与性质，图象的平 9 多选题 6 易 0.80 移变换 二 10 多选题 6 数列的递推关系，周期性 中 0.50 11 多选题 6 函数的图象与性质，三次方程的根 难 0.45 12 填空题 扇形的面积公式，同角三角函数 5 关系 易 0.80 三 13 填空题 5 函数的对称性，导数的应用 0.50 14 填空题 5 约瑟夫环问题（递推） 难 0.30 15 解答题 三角形的角平分线，余弦定理，基本 13 0.75 不等式 16 解答题 15 等差数列的证明，数列的前n项和 0.65 四 17 函数的单调性，数列的求和与不等 解答题 15 式证明 0.60 解答题 17 等比数列的证明，数列的通项公式， 0.50 数列的性质 19 解答题 17 解三角形的实际应用 0.35 高三数学答案（四）第1页（共7页） 真题密卷 学科素养月度测评 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★将曲线y=ln二绕原点逆时针旋转角a后第一次与y轴相切，则tana= B-号 C.-2e D.-e 【试题解读】 本题需要学生熟练掌握曲线的旋转、导数的几何意义、切线方程以及三角函数的相关知识，综合性较 强，对学生的知识综合运用能力和逻辑推理能力有较高要求. ★某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列A={a1,a2,a3,…}重新编辑，编辑新序 列为A= ,2…,它的第n项为2若序列4)”的所有项都是3，且a4=1,a,=27,则a1 a2aga4,…J an () 1 B.9 C.3 D.9 【试题解读】 本题通过新定义数列，将数列的递推关系与等比数列的性质相结合，很好地考查了考生对数列知识的 综合运用能力，需要考生具备对新定义数列的理解能力、逻辑推理能力和运算求解能力. ★约瑟夫环问题的描述为：N个人围成一圈，从第1人开始报数，每数到M的人出局，下一位起从1开 始新一轮报数，直到最后一人幸存.例如：当N=5,M=2时，最后的幸存者的初始编号是3.类似地，当N= 19,M=2时，最后的幸存者的初始编号是 【试题解读】 本题通过这样逐步模拟的过程，考生需要仔细跟踪每一轮的人员变化、报数起点和淘汰对象，考验学 生的耐心和逻辑条理性.这类问题也可以通过找规律或者数学公式来解决，但对于N=19这样相对较小 的数，模拟法更直观，能让学生更好地理解约瑟夫环的淘汰机制.是一个经典的数学逻辑问题，主要考查学 生的逻辑推理能力和对循环报数、淘汰机制的理解与模拟能力， 高三数学答案（四）第2页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 一、选择题 7.C【解析】由三角函数的定义可知，y1= 1.B【解析】设等差数列{am}的公差为d,由a3十 a4=4,a7+ag=8,可得8d=(a7+ag)-(a3+ sim2z+）=c0s2z,x:=2c0s,则1十x: a,)=4,解得d=日：tas十a=a,十a十16d 0 2+20020 2、3 3、 =8+16×2=16. ,其中-1<c0s<1,当且仅当cosi 2.B【解析】由sin0=一2<0，可知0是第三象 =一2时等号成立，故十的最小值为- 21 限角或第四象限角，又tan0=1>0,故0是第三 8.C【解析】因为A·=a:,3,4… ,…,设bn= lal a2 a3 象限角， 3.A【解析】由题可得cos acos B一sin asin B= 因=会会会因为ay an 1 2 cos acos B-十sin asinB=3,两式相加，得 的所有项都是3，所以 +1=3,设b1=m,则 2 cosacos月=-1 G,则c0 s acos B=一12；两式相 {bn}是以m为首项，3为公比的等比数列，所以 5 b,=m·3-.由22=m,a2=1,得ma1=1;由 减，得2 sin asin9三5，则sin asin月22故 a2 =3m,a2=1,得a=3m;由24=32·m,得a4= a3 tan atan B= sin asin B 12 cos acos B 1 =-5. 9m·3m=27m2;由a5=3·m,得a,=27m· 12 27m2=36·m3.又a5=27,所以36·m3=27,解 4.D【解析】由题意得，a=log2,2b=log3,可得 b-2g3=1og5,又5<2<3，所以1og5 得m=日所以a1=8, 二、选择题 <logs2<log3,b<a<2b. 9.AD【解析】由图可知f(x)的周期为2π，所以ω 1 5.A【解析】因为am+1=2a,十2，所以am+1一4= 1,由五点法可知一后十9=0，解得9=，所以 2a,一4).若a=4,则a,=4,不符合题意.若a fx)=2ne+g）故ga)=2n(e-+若） 1 ≠4，则{am一4)是以a-4为首项，2为公比的等 2sin(e-）,则g(-)=-2,g(餐）=1，故A正 1)-1 比数列，此时an=(a一42】 十4，当a>4 确，C错误；令工一晋-xk∈Z,得x=百十m,k∈ 时，{an}为单调递减数列，不符合题意；当a<4 时，{an}为单调递增数列，符合题意.综上，a∈ Z,所以g)的图象的对称中心为（否十kx,0,∈ (-∞，4). 6.D【解析】设旋转前切点坐标为(xo,一lnxo), Z故B错张：◆-百∈（受+2+2小， 又y=一】，即切点处切线的斜率飞 k∈Z解得x∈（百+20x,+2k∈Z所以 0-(-lnxo）__1 ,解得x0=e,故k=一 1 0一x0 g6x)的单调道增区间为（智+2，+2， ∈Z,故D正确. 1 故tana= l0.BCD【解析】由题意得，a cos nπ十am+1=n, 即am+1+(-1)"an=n,n∈N*,所以a2m-a2m-i 高三数学答案（四）第3页（共7页） 真题密卷 学科素养月度测评 =2n-1,a2m+1十a2m=2n,a2m+2-a2m+1=2n十 12,由图可知，1<b<3,则9<(c-a)2≤12，所以 1,n∈N*,可得a2m+1十a2m-1=1,a2m+2十a2m= 3<c-a≤2√3，故D正确. 4n十1，由此可得{am}中相邻两奇数项的和可以 三、填空题 确定，相邻两偶数项的和可以确定，其中a?一a1 =1,a2十a1的值不确定.对于A,S12=a1十a2 12.石或【解折】周为coe=了e∈0,2，所 +(a3+a5)+(a,+ag)+…+(a9十a1o1)十 (a4十a6)+(ag十a1o)+…+(a1o0十a1o2),其中 以a=晋或a受所以该痛形的西叔S=ar a2十a1的值不确定，故A错误；对于B,S1= 1 3 a1+a2+…+a1o=(a1+a3)+(as十a7)十… 5π +(a7十ag)+(a2十a4)+(a6十ag)+…十 = 6 (a9g十a1o0),每一组的值都可以确定，故B正 确；对于D,a2十a1=(a2十a4)十(a6十ag)十 13.-2【解析】函教fx)=-an乙+b的定义 …+(agg十a1oo)-[(a4十a6)+(a8十a1o)+… 城满足+b0,即x红十6)>0，由题知f)的定 十(ag6十a98)],每一组的值都可以确定，故D正 确；对于C,因为a2m+1十a2m=2n,所以 义域关于x=2对称，故b=一4，且f(4一x) (a2十a3)+(a4十a5)+…十(a1o2十a1o3)可以 f唧-yn--eh 4-x-4 x 确定，又S1o4=(a1十a3)十(a5十a,)十…十 (a1o1+a1o3)+(a2+a4)+(a6+ag)+…+ 整理得(z-a)n二4=(z十a4n二4，则 x (a1o2十a1o4),每一组的值都可以确定，则a1十 x-a=x+a-4,解得a=2,故a十b=-2. a1o4=S1o4-[(a2十a3)+(a4+a5)+…+(a1o2 14.7【解析】如图，19个人按1到19的编号顺时 十a1o3)]为定值，故C正确. 针依次围成一圈， 11.ACD【解析】因为f(x十2)-2=(x+2)· (x一1)2-2=x3-3x为奇函数，其图象关于原 g23 18 点对称，所以∫(x)的图象关于点(2,2)对称，故 17, 4 A正确；因为f(a)=f(b)=f(c)=t,则a,b,c 16时 5 为f(x)-t的3个零点，所以(x-a)(x-b)(x 5 6 -c)=x(x-3)2-t=x3-6.x2+9x-t,比较等 14 "> 13 式两边各项的系数，得a十b十c=6,ab十bc十ca =9,abc=t,所以a2+b2+c2=(a+b+c)2 2开市与 从1号开始顺时针依次按1,2,1,2，…报数，第 2(ab+bc十ca)=36-18=18,故B错误；因为 一轮报到18号，所有偶数号的人都报2，故所有 f'(x)=(x-3)2+2x(x-3)=3(x-3)(x- 偶数号的人都出局；第二轮19号报1,1号报2， 1),则当1<x<3时，f'(x)<0,f(x)单调递 顺时针报数下去，5号、9号、13号、17号都报2 减；当x<1或x>3时，'(x)>0,f(x)单调 出局；第三轮19号报1,3号、11号、19号都报2 递增，所以f(x)的极大值为f(1)=4,极小值 出局；第四轮7号报1,15号报2出局，所以最后 为f(3)=0,作出f(x)的大致图象如图所示： 的幸存者的初始编号是7 VA 四、解答题 15.解：(1)设∠BAC=20, Oa 1 b 由Sae=5am十Sam,得号cs如29-c· 由图可知0<t<4,则abc=t∈(0,4)，故C正确； ADsinADsin0, 因为ac=9-ab-bc=9-b(a十c)=9 所以2 bc cos0=(c十b)·AD, (3分) b(6-b)=(b-3)2,则(c-a)2=c2+a2-2ac= 因为AD=6十c bc 18-b2-2(b-3)2=-362+12b=-3(b-2)2+ 高三数学答案（四）第4页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 所以cos0= (c+b)·AD1 2bc 2, 2m-1)=m, 又0<0<2，所以0=3， 当n=1时，a1=1符合上式， (8分) 所以∠BAC=20=3· 2π 所以a,=,所以.= 2m-1, (6分) 12,22,32 b2+c2-a2 则R.2T2227+ 2-①， (2)由余弦定理知cosA= 2bc 豆R,一2++罗+… 12,22,32, 62+c2-11 2②， 2bc 2 所以b2十c2=1-bc, (7分) 2-1 62+c2≥26c,所以bc≤1，当且仅当b 2③， (10分) 3时，等号成立. 则R-++++2 227④， 所以AD2= bc (bc)2 6+c 1+6c' (9分) 17 n22n-1,n2 令t=bc∈(0,3，则f)=AD2 t+1-t+1 2n 2+2 ++12 (10分) 1- =1+ n22n-1,n2 2” 2n 十2+ 令m=1+1(1, ,则f(m)=m+ 一2， m 1n22n-1,n2 (11分) =32一2-2十2 因为fm)在， 上单调递增，所以AD2= 2n+3n2 =3- (14分) 2n 2n+, f(m)≤3 1 (12分) 所以R,=1设- (15分) 所以AD长度的最大值为 4 17.(1)解：由题意得，x∈(-1，+∞)， 6,此时m=3 (2分) 1 5 fc)-6-a, t=3b=c=3 (13分) 当k≤0时，f'(x)<0恒成立，f(x)在(-1， 16.(1)证明：因为n51-(m+1DS。=+1,所 +∞)上单调递减； (4分) 2 以SS=1 当>0时，令f'(x)>0,解得x>友-1 n+1n2’ (2分) S 令∫a)<0,解得-1K<名-1， 又a1=1,所以数列 是以1为首项，2为公 n 差的等差数列. (4分) 所以f)在(1，石-1上单调递减，在 Sn 1 (2)解：由(1)可得 2+2 (居-1，十心）)上单调道增， 所以S。= 1 综上，当k≤0时，∫(x)的单调递减区间 22+2, (5分) 为(-1，+∞)； 当m≥2时，s.4-号a-10+a-. 当k>0时，∫(x)的单调递减区间为 (-1,名-)，单调遍增区间为层-1，十) 所以a=SS1三2n2十之n-2(n一1)2 (7分) 高三数学答案（四） 第5页（共7页） 真题密卷 学科素养月度测评 (2)证明：由(1)得，当k=1时，f(x)=x-ln(x 假设数列{cn}中存在不同的三项cp,cg,c,(p< +1)≥f(0)=0, (9分) q<r,p,q,r∈N)构成等差数列， 即x-ln(x+1)≥0在(-1，+∞)上恒成立，且 211 当x=0时，等号成立， 则2c,=c,十c,即39=3+3+ 所以当n∈N*时，ln(n+l)<n, (11分) 两边同时乘以3+1，得2×3-g=3-p十1. 即a>1 111 (13分) (15分) nn+D-a+1' 因为p<q<r,p,q,r∈N*,所以r-q≥1，r 1 所以Sm=a1十a2十ag+…十a-1十am>1- p≥2， 2 则2×3-9是3的倍数，3力+1除以3余1，等 1 n-1 nnn+l 式不成立. =1- 1_n 所以假设不成立，即数列{cn}中任意不同的三 n+1n+1’ 项都不能构成等差数列. (17分) 即s>na∈N 19.(1)解：绘制截面图如图所示： (15分) l8.(1)证明：已知am+2=6am+1-9an(n∈N*), 则am+2-3am+1=3am+1-9am=3(am+1-3an). (2分) B 又a1=3,a2=18,所以a2-3a1=18-3×3=9 A所 D ≠0， 所以数列{am+1一3an}是以9为首项，3为公比 其中平面AD为过海底坡面且平行于海底平面 的等比数列. (4分) 的假想平面，直线AD为该假想平面的所截 (2)解：由(1)知am+1一3am=9X3m-1=3+1,等 直线 延长直线PB与AD交于点D,易知PB⊥AD 式两边同时除以3，得--1。.《6分) 且∠APB=∠BPC=30°， 设6-则6-多-号1，且61-6=1. 又01=30°，∠PAD=60°，则∠PAB=∠APB =30°，则AB=h=100m. (2分) 所以数列{bm}是以1为首项，1为公差的等差 又∠PBC-180°-∠PBA=60°，故∠PCB= 数列， (7分) 902,则BC=2h=50m, 1 所以bm=1+(n-1)×1=n, 所以am=n·3. (9分) 故L=AB+BC=150m. (4分) (3)证明：由(2)得，am=n·3”, (2)解：在△PAB与△PBC中，由正弦定理分别 则2，+3+1 2n·30十3n+1 n·3m·(n+1)·3+7 有AB h.BC anan+1 02sin∠PAB O2sin∠PCB1 2n+3 3(n+1)-n sin 2 sin 2 n(n十1)·3m+7n(n+1)·3m+7 1 1 n·3(n十1)·3m+灯， 1 人1 故s,=(2X3)+(2以3） 1 放∠nBC=∠PAB+--8, 1 1 1 则☑n-x号（经-o-受a.a分 n+1)·3)=3m+1)·3* 所以L=AB十BC 所以c.=+1D(-s.) 2 hsin 2 6% hsin 2 1 1 =(n+1)· (n十1)·3+3+ (13分) 高三数学答案（四） 第6页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 1 1+cos02·cos201 =hsin 2 c0s\2 -01 (9分) =2h·cos01·(cos0,+cos201)2 令L'(02)≥0，由于0°<01<90°，所以cos01> (3)证明：由(2)可得 0,故等价于1十cos02·cos201≥0， 1 由于cos201∈(-1,1)，故1+cos02·cos201 L=hsin 02 2 ≥0恒成立， 即L'(02)≥0恒成立，即L随02的增大而 cos侵-a,j+cos2+a,】 增大. (15分) 02 hsin 2 又L=2h· sin02·cos01 cos 02 +cos 201 sin02·cos01 =2h· 0202 cos02+2cos201-1 2sin2cos2 ·cos01 sin 02 =h·1 =2h· (cos0,+cos201) cos 02-1 cos 01 +2cos01 =2h.sin0,·cos0, 当0°<01<90°时，cos01∈(0,1)且单调递减，即 cos 02 +cos 20' (12分) 2cos01随01的增大而减小. 设L(02)=2h.sin0,·cos0, 又cos0,-1<0,放os8a: 在02不变时随01 cos 02+cos 201' cos 01 的增大而减小， 则L'02)=2h·cos0· cos 02 (cos 02+cos 201)+sin02 (0s02十c0s291)2 由此可得L随0的增大而增大 (17分) 高三数学答案（四）第7页（共7页）