精品解析：江苏省常州高级中学2025-2026学年高二上学期12月阶段检测数学试题

江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高二12月阶段检测 数 学 试 卷 命题人：杨元韡 审卷人：杨丽蕾 2025.12 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷上. 2.本卷总分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，点在直线上，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 2. 经过与的交点且垂直于的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 54 B. 90 C. 84 D. 100 4. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 6. 已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（ ） A. 149 B. 153 C. 155 D. 157 8. 过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知圆与直线：交于，则（ ） A. 恒过点 B. 当时， C. 当最大时， D. 的最小值为 10. 设等差数列的前n项和为，公差为d，已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. d可以取负整数 D. 对任意，有 11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长度记为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆与圆（）外切，则______. 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，动点P满足，动点Q满足则的最大值为______. 14. 若等边三角形的边在轴的非负半轴上，与坐标原点重合，点的横坐标大于点的横坐标，位于第一象限的点在抛物线上，则的面积为______.（用与表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）设求数列的前n项和. 16. 记数列的前项和为，已知. （1）设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的方程； （2）设过点F且斜率为k的直线与双曲线右支交于P，Q两点，线段的垂直平分线与x轴交于点B，求的值. 18. 已知椭圆的离心率为，左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点（O为坐标原点），△ABC的面积为 （1）求椭圆的方程； （2）设过点C的动直线与椭圆交于P，Q两点，若轴上存在点T（0,t）且使恒成立，求实数t的取值范围. 19. 设为正整数，若两个项数都不小于的数列满足：存在正数L，当且时，都有则称数列是“接近的”已知无穷等比数列满足无穷数列的前项和为，，且 （1）求数列的通项公式； （2）求证：对任意正整数，数列是“接近的”； （3）已知基本事实：对给定正整数，数列是“接近的”，求的最小值及此时的的值（均用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高二12月阶段检测 数 学 试 卷 命题人：杨元韡 审卷人：杨丽蕾 2025.12 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷上. 2.本卷总分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，点在直线上，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知数列是以为首项，为公差的等差数列，由等差数列的性质可求出. 【详解】因为点在直线上， 所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：C. 2. 经过与的交点且垂直于的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立两直线的方程，解得交点坐标，根据两直线垂直可得所求直线斜率，利用点斜式方程，可得答案. 【详解】由题意联立方程，解得，则直线与的交点为， 由可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为， 所以过直线与的交点且垂直于的直线方程为，化简可得. 故选：B. 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 54 B. 90 C. 84 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】设出公差后借助等差数列前项和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，解得， 则. 故选：D. 4. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由焦点坐标写出抛物线方程，再求出坐标，进而得直线方程. 【详解】由题设，得，则，故抛物线， 将代入，得，得，∴ ∴, 所以直线的方程为，即. 故选：B. 5. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 6. 已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 7. 已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（ ） A. 149 B. 153 C. 155 D. 157 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解，从而可得的通项公式，根据分组求和可得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，可得，所以， 则， 所以. 故选：B. 8. 过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，连接，根据给定条件，结合双曲线定义及余弦定理求解作答. 【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，连接，    因为切圆于点，则， 有，即， 因为，所以，则， 在中，由余弦定理得， 整理得，即， 则，即，则， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知圆与直线：交于，则（ ） A. 恒过点 B. 当时， C. 当最大时， D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】化简直线为，即可判断A；根据圆的弦长公式判断B；当直线过圆心时最大，即可判断C；当直线与垂直时，的值最小，求之即可判断D. 【详解】由直线：，可得， 则直线恒过点，A正确； 当时，直线为， 又圆心到直线的距离为， 所以，B错误； 当直线过圆心时最大，所以， 得，C错误； 由于，即在圆内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直， 所得弦长最短，因为，圆的半径为, 此时，D正确. 故选：AD 10. 设等差数列的前n项和为，公差为d，已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. d可以取负整数 D. 对任意，有 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【详解】因为， 所以， 即 所以， 由得， 联立可解得 ， 故等差数列是单调递减的，且， 所以对任意，有 综上可知BD正确， 故选：BD 【点睛】关键点点睛：由，解得，是求解本题的关键所在，由此结合条件求出的范围，判断数列的单调性，求出，属于中档题. 11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；⋯；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长度记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的定义，分析可得的表达式，根据其单调性，即可判断A的正误；根据的表达式，代入整理，可判断B的正误；根据对数的运算性质，化简计算，可判断C的正误；计算，化简分析，可得其正负，即可判断D的正误. 【详解】设第n次操作前有条等长的线段，则第次操作前，有条等长的线段， 因为每次操作之后，每段都变为2段， 所以，即为公比为2的等比数列， 又，所以， 设第n次操作每段去掉的区间长度为，则第次操作每段去掉的区间长度为， 因为每次操作去掉的每段区间长度都是前一次操作去掉的每段区间长度的， 所以，即是以为公比的等比数列， 又，所以， 所以， 选项A：因为，且，单调递减， 所以，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C： ， 因为，所以单调递减， 又当时，， 所以，故C错误； 选项D： ， 所以，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆与圆（）外切，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用外切时两圆心距离等于半径之和可解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 解得. 故答案为：4. 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，动点P满足，动点Q满足则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出的轨迹方程，再确定出的轨迹，最后分析的最大值即可. 【详解】由题意得，， 动点满足，且， 又，故的轨迹是以为焦点的椭圆，即， 椭圆的标准方程为， 又动点Q满足，，故的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 即， 的最大值为椭圆上点到圆心的最大距离加圆的半径， 设椭圆上任意一点，则， 点到点的距离平方为， ，故当时，取得最大值为，即， . 故答案为：. 14. 若等边三角形的边在轴的非负半轴上，与坐标原点重合，点的横坐标大于点的横坐标，位于第一象限的点在抛物线上，则的面积为______.（用与表示） 【答案】 【解析】 【分析】设第个等边的边长为，数列的前项和为.用，表示点坐标，根据点抛物线上，列式可得，的关系，进而求数列的通项公式，可得的面积. 【详解】如图：不妨设点均位于轴上方. 设第个等边的边长为，数列的前项和为. 则，，. 因为在抛物线上， 所以①. 当时，因为，，所以； 当时，②. ①②得：. 所以， 因为，所以. 所以数列是以，的等差数列. 所以. 所以的面积为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，是公比大于1的等比数列， （1）求和的通项公式； （2）设求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可； （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，得，故， 又，消去可得，则（舍）或． 则，故． 【小问2详解】 因为，所以， 则. 16. 记数列的前项和为，已知. （1）设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） 因为， 当时，，又，故； 当，时，由，得， 两式相减得，即， 则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得； （2）由（1）可得，再分、两种情况，分别求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则， 当时，则； 当时 ， 综上可得. 17. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的方程； （2）设过点F且斜率为k的直线与双曲线右支交于P，Q两点，线段的垂直平分线与x轴交于点B，求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，且，然后求解即可； （2）设直线的方程为，联立，化简得出，再求出，可得出结果． 【小问1详解】 由题意可得，，则， 又经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 所以，解得， ， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，，设直线的方程为， 联立，得， 所以， 若，，则，， 所以， 所以， 所以的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 整理得，所以， 则，所以． 18. 已知椭圆的离心率为，左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点（O为坐标原点），△ABC的面积为 （1）求椭圆的方程； （2）设过点C的动直线与椭圆交于P，Q两点，若轴上存在点T（0,t）且使恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，，联立直线方程和椭圆方程消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故，且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，的取值范围是. 19. 设为正整数，若两个项数都不小于的数列满足：存在正数L，当且时，都有则称数列是“接近的”已知无穷等比数列满足无穷数列的前项和为，，且 （1）求数列的通项公式； （2）求证：对任意正整数，数列是“接近的”； （3）已知基本事实：对给定正整数，数列是“接近的”，求的最小值及此时的的值（均用表示）. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）设等比数列公比为，由，可求得首项和公比，进而求得通项； （2）只需证明成立，即可得证； （3）由题设可求得，根据定义进而得到对都成立，再构造函数求解即可． 【小问1详解】 设等比数列公比为，由得， 解得，故. 【小问2详解】 对任意正整数，当，且时，有， 则，即成立， 故对任意正整数，数列，是“接近的”. 【小问3详解】 由，得到，且， 从而，于是. 当时，，，解得， 当时，，又， 整理得，所以，因此数列为等差数列. 又因为，，则数列的公差为1，故. 根据条件，对于给定正整数，当且时，都有 成立， 即①对都成立. 考察函数，，令， 则，当时，，所以在上是增函数. 又因为，所以当时，，即， 所以在上是增函数. 注意到，，，， 故当时，的最大值为， 的最小值为. 欲使满足①的实数存在，必有，即， 因此的最小值，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $