数学-【衡水真题密卷】2026年高三学科素养月度测评（三）

2025一2026学年度学科素养月度测评 高三数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合A={xx2-x-2≤0}，B={x|y=lnx},则AUB= () A.(0,2] B.[-1,+∞) C.(0,2) D.[-1,2] 2.函数f(x)=x十lnx一4的零点所在的区间是 ( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.已知24=3,10g25=b,则24-6= ) A.15 B. 3 C D.-2 4.下列函数在区间[1,4幻上单调递增的是 1 A.f(x)=2-x Bfa)-日 C.f(x)=xIn x D.f(x)=x-In x2 5.已知函数fx)=ln十oa为常数)，则 ( ) A.3a∈R,f(x)为偶函数 B.3a∈R,f(x)为奇函数 C.3a∈R,f(x)为既奇又偶函数 D.Ha∈R,f(x)为非奇非偶函数 6已知正实数a,6满足a十6=1，则疗+店+会的放小值为 6 () A.2+22 B.4+22 C.4 D.7 7.一个小孩玩滚珠子的游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线C1,C2形成的空隙（如图 所示)，南线CC,分别可以近似看作两数)。一日yh(}一)的图象，要使网 珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围为 () B.(0,ln2) c6, 高三数学试题（三）第1页（共4页） 真题密卷·学手 8.已知函数g(x)的定义域为R,且满足下列性质： 班级 ①Hm,n∈R,mg(n)-ng(m)=mm(n-m);②Hm,n∈[1,2]，g(mm)≥g(m)g(n),则 姓名 1 A.g(x)在(-1,1)上无最小值 B.g(x)在 0,2 上单调递减 C.g(x)在(-1,1)上有最小值 D.g(x)在0,2 得分 上单调递增 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知实数a,b满足a>b十1，则下列不等关系一定成立的是 () A.2a>26+1 B.a2>46 C.a2>b2+1 D.a2>66+1 10.柯布-道格拉斯生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数 的数学形式为Y=AKL(A>0,K>0,L>0,0<a<1,0<B<1),其中Y是总产出， K是资本存量，L是劳动力，A是技术参数，α，3是资本和劳动的产出弹性.当A不变 时，下列说法正确的是 () A.若K与L均变为原来的m(m>0)倍，且a+3=1,则Y变为原来的m倍 B若K与L均变为原来的mm>1)倍，且9=号，则Y最少可变为原来的m倍 C若K与L均变为原米的mm>0)倍，且。+9-2，则Y最少可变为原米的m倍 D.若a,B,L均不变，则函数Y=AKL的增长速度越来越慢 11.已知函数f(x)的定义域为R,函数H(x)=f(2十3x)一3为奇函数，函数F(x)= f(1十x)-(1+x)为偶函数，则 () A.f(x)的一个对称中心为(2,3) B.f(0)=2 C.f(x)为周期函数，且一个周期为4 D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.卫知命题力：“Vx≥1，x二Q>0”的否定为真命题，则实数a的取值范围 为 13.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(一x)=一f(x),则称f(x)为“局部 奇函数”.已知函数f(x)=e一a在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小 值为 14.若对Hx∈(-1，+∞)，不等式(e*-a)[1n(x+1)-b]≥0恒成立，则a-b的最小值 为 斗素养月度测评 高三数学试题（三）第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知幂函数f(x)=(m2一4m十4)x5-3m在(0，十∞)上单调递增，二次函数 g(x)=ax2+2x+c. (1)求实数m的值； (2)当c=1时，对于Hx∈[1,2]，f(x)的图象恒在g(x)图象的下方，求实数a的取值 范围。 16.(15分)已知函数f(x)=x2-2alnx(a>0). (1)求f(x)的极值点； (2)若f(x)在区间[1，e]上的最小值为0，求a的值. 17.(15分)绿色、环保是新时代健康生活的理念，某一运动场馆计划投放空气净化剂净化 场馆，已知每瓶空气净化剂含量为α，投放后空气净化剂以每小时10%的速度减少，根 据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12 小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂. (1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，请说明理由； 如果不能，最多可净化多长时间（精确到0.1小时）？ (2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为 达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案（每次投放的瓶数为整数，投放用 时忽略不计)？ 参考数据：lg3≈0.477,0.96≈0.53. 高三数学试题（三）第3页（共4页） 真题密卷 18.(17分)已知函数f(x)=ax-ex,g(x)=x2+xlnx. (1)讨论f(x)的单调性. (2)证明：g(x)>一16 (3)若g(x)≥f(x)恒成立，求实数a的取值范围. 19.(17分)已知函数fz)=2(x-)-alnz(a∈R),设fr)的图象在x=1处的切线为 l:y=kx+b. (1)若a=1,证明：当x>0时，f(x)≤kx+b. (2)若f(x)有三个零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),请回答下列问题. (i)求a的取值范围. (i)证明：2(a-1)x1+(a+2)x3>3a. 学科素养月度测评 高三数学试题（三）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度学科素养月度测评1 高三数学（三） 命题要素细目表 关键能力：I.逻辑思维能力Ⅱ.运算求解能力Ⅲ.空间想象能力V,数学建模能力V.创新能力 核心素养：①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 关键能力 核心素养 预估难度 题号 题型 分值 考查内容 IⅡⅢWV①②③④⑤⑥ 等级系数 1 单选题 5 集合并集运算 0.85 单选题 5 零点存在定理的理解与应用 0.85 单选题 5 指对函数的基本运算 易 0.80 4 单选题 5 函数单调性的判断 0.80 单选题 5 函数奇偶性的理解与应用 0.70 6 单选题 5 基本不等式的运算 0.70 7 单选题 5 曲线上某点处切线方程的综合运算 中 0.65 8 单选题 5 函数单调性的综合应用与最值判断 0.45 9 多选题 6 比较指数幂的大小 易 0.80 二 10 多选题 柯布-道格拉斯生产函数的理解与 6 中 0.60 运算 11 多选题 6 抽象函数的综合运算 难 0.40 12 填空题 5 根据命题真假求参数取值范围 易 0.80 三 13 填空题 5 以新定义函数为背景的参数求解 中 0.60 14 填空题 解不等式求参数最值 难 0.35 15 解答题 13 根据函数综合性质求解参数 0.75 16 解答题 15 利用导数研究函数的极值点和最值 0.55 四 17 解答题 15 应用指数函数模型解决实际问题 0.55 18 解答题 17 函数导数的综合应用 0.50 解答题 17 与切线方程、函数零点相关的综合 运算 0.30 高三数学答案（三）第1页（共6页） 真题密卷 学科素养月度测评 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★一个小孩玩滚珠子的游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线C1,C2形成的空隙（如图所示），曲 线C,C分别可以近似看作函数y=e- /1 2y=l(2一x)的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的 取值范围为 () a6) B.(0,ln2) c6 . 【试题解读】 本题以物理游戏为背景，情景新颖，结合了函数图象、几何性质与最优化问题，虽涉及多个知识，点，但 计算量可控，综合考查了学生的数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理能力： ★柯布-道格拉斯生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为 Y=AKL(A>0,K>0,L>0,0<a<1,0<3<1),其中Y是总产出，K是资本存量，L是劳动力，A是技 术参数，α，β是资本和劳动的产出弹性.当A不变时，下列说法正确的是 () A.若K与L均变为原来的m(m>0)倍，且a十B=1,则Y变为原来的m倍 B.若K与L均变为原来的m(m>1)倍，且ag=,则Y最少可变为原来的m倍 C若K与L均变为原来的mom>0)倍，且。+P-号则Y最少可变为原来的m倍 D.若a,B,L均不变，则函数Y=AKL的增长速度越来越慢 【试题解读】 本题以柯布-道格拉斯生产函数为背景，综合考查了函数性质分析与不等式应用，四个选项体现多层 次区分度，促发深度思考，落实了对数学建模、数据分析及逻辑推理素养的考查. ★对于函数∫(x),若在定义域内存在实数x,满足f(一x)=一f(x),则称f(x)为“局部奇函数”. 已知函数f(x)=e2-a在R上为“局部奇函数”，则实数a的最小值为 【试题解读】 本题以函数性质的新定义为背景，体现了数学知识在解决新情境问题中的应用价值.题目难度适中但 具有区分度，综合考查了数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，引导注重概念本质和思维过程. 高三数学答案（三）第2页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由题意得A={x|一1≤x≤2}，B= 平行，且与曲线y=e- 相切的直线的方程为 {xx>0},所以AUB=[-1,+∞) y=-x十m,切点为A(x1y1);设与直线y=一x 2.C【解析】函数f(x)=x+lnx一4的定义域为 (0,十∞)，因为f(x)在(0，十∞)上连续且为增 手行，且与南线y=山（合-）相切的直线方狂为 函数，且f(2)=-2+ln2<0,f(3)=-1+ln3>0, y=一x+n,切点为B(x2y2),因此AB|即为C1, 所以f(2)f(3)<0,由零点存在定理可知f(x)的零 -ex1=-1, 点所在的区间是(2,3). C2之间的最小距离，由 1解得 y1=e 1- 3.C【解析】因为log25=b,所以2=5，又24=3， 2 所以2-会-是 1 -=一1， x1=0, 1 1) 4.C【解标】对于A,f)=2的定义减为 1 可得A(02 2x2 解得 y1=2 (-∞，2)U(2,十∞)，f(x)在[1,2)上单调递 增，在(2,4幻上单调递增，不满足在[1,4幻上单调 1 递增，故A错误；对于B,当x∈[1,4]时， 可得B(小，则AB y2=0, fe)1号≤0，故f)在，灯上单调说减， 故B错误；对于C,当x∈[1,4]时，f′(x)= +-受则园来龙经的泰维范用 lnx十1>0，满足在[1,4幻上单调递增，故C正 确；对于D,f'x)=2,故f)在1,2)上单 为》 8.C【解析】由于函数g(x)的定义域为R,且 调递减，在(2,4)上单调递增，不满足在[1,4幻上 mg(n)-ng(m)=mn(n-m),m=1,n=x, 单调递增，故D错误. 则g(x)-xg(1)=x(x-1),得g(x)=x2+ 5B【解新】条据渴意，f)=1n+,故 [g(1)-1]x,故抛物线的对称轴为x0= 1,+ax>0,即1+ax)1-x)>0,若f(x)存在 _g1）-1,由g(mm）≥g(m)g(n),令m=1, 2 1-x 奇偶性，则定义域对称，必然有1一a=0,即a= n=1,可得g(1)≥g(1),解得0≤g(1)≤1，则 1,我时fe)=则f-a)+f) c0引长ga在0 [0,]上不一定单调递 岸+n号-ln1=0,政了)为寺孩数 增或单调递减，故B,D错误；由于g(x)=x2十 [g(1)一1]x表示开口向上的抛物线，故g(x)在 1,1,b_a+1+b2 x=x0处取得最小值，即g(x)在(-1,1)上有最 6.D【解析】方+ab十a ab 小值，故C正确，A错误. a(a+b)+(a+b)2+b2 2b2+3ab+2a2 二、选择题 ab ab 9.ABD【解析】因为a>|b十1|≥b十1，所以a> 2+)+3≥4,8·日 a b 十3=7，当且仅当 b+1,所以2>2+1，故A正确；因为(b十1)2一4b =(b-1)2≥0，所以(b+1)2≥4，又a>|b+1|≥ 8日脚即a=6=时等号成立，故}++ b+aba 0,所以a2>(b+1)2≥4b,故B正确；若a=2, 的最小值为7. b=-2,满足a>b十1|，但显然a2>b2+1不成 A【解标】画数y=e-言与y=(}一)的 立，故C错误；当b十1≤1，即b≤0时，必有a>0≥ b|b+1|;当b+1>1,即b>0时，则a>b+1> 图象关于直线y=一x对称，设与直线y=一x b>0,必有a>bb十1，故D正确. 高三数学答案（三）第3页（共6页） 真题密卷 学科素养月度测评 10.ABD【解析】由题意可知，Ym=A(mK)(mL) 即ex一a=-(ex-a),可得2a=e+ex≥ =AKLm+P,当a+B=1时，Ym=mY,故A正 2W√ex·ex=2,当且仅当e=ex,即x=0时 喻当明=时，e十e≥2V原=1，所以Y.= 等号成立，所以a≥1，即a的最小值为1. 14.1【解析】由于函数y=e-a,y=ln(x+1)- AKLm+B≥AKLm2w丽=AKLm=mY,当且 b均在（一1，十∞）上单调递增，故均至多有一个 仅当a=合=名时，等号成立，故B正疯：当。十分 零点，而不等式(e-a)[ln(x十l)-b]≥0恒成 立，若a≤0，则ln(x十1)-b≥0恒成立，由于 y=ln(x+1)的值域为R,故ln(x+1)-b≥0 不恒成立；若a>0,则y=e-a,y-ln(x十1) √2(a2+B)=1,所以Ym=AKLm+B≤ 一b有公共零点，设为x0（x0>一1)，则 AKLem+西=AKLm=mY,当且仅当a= e"o-a-0, ln(x。+1)-b=0, 月=2时，等号成立，故C错误；若a,P,L均不变，Y '6=lne+1),故a-b =e*0-In(xo+1)(xo>-1),4 f(x)=e*- 是K的函数，且Y'(K)=ALKa-1,因为0<a< 1,所以Y(K)=ALKa-1是减函数，故D正确。 nx+1Da>-1,则fa)=e-+: 1 11.AD【解析】对于A,由函数H(x)=f(2+3x) 1 f0)=0,由于y=ey=中均在(-1，+∞) -3为奇函数，得f(2十3x)-3=-f(2-3x)十3， 即f(2+3x)+f(2-3x)=6,即f(2+x)+ 上单弱适路，放了)-心-在(-1，十四)止 f(2-x)=6,故函数f(x)的一个对称中心为 单调递增，则当-1<x<0时，f'(x)<0,f(x)单 (2,3),故A正确； 调递减；当x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，故 对于B,由f(2十x)十f(2-x)=6,令x=0,则 f(x)m=f(0)=1,即a一b的最小值为1. f(2)十f(2)=6,即f(2)=3,由函数F(x)= 四、解答题 f(1十x)-(1十x)为偶函数，得f(1十x)一 15.解：(1)由于幂函数f(x)=(m2-4m+4)x5-3m (1+x)=f(1-x)-(1-x),即f(1+x)= 在(0，十∞)上单调递增， f(1-x)十2x,令x=-1,则f(0)=f(2)-2= 则m2-4m+4=1且5-3m>0, (2分) 3-2=1,故B错误； 对于C,由f(x)的一个对称中心为(2,3)，∫(0)= 整理可得(m-1Dm一3)=0且m< 3, 1,得f(4)=5,即f(0)≠f(4),故f(x)不以4为 解得m=1. (4分) 周期，故C错误； (2)由(1)可知f(x)=x2,由题意得g(x)= 对于D,由f(2十x)十f(2-x)=6,令x=1,有 ax2+2x十1(a≠0)， f(3)+f(1)=6,又f(2)=3,f(4)=5,故 由题意可得f(x)<g(x)在[1,2]上恒成立， f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14,故D正确， 即(1-a)x2-2x-1<0在[1,2]上恒成立， 三、填空题 (6分) 12.[-1,十∞)【解析】由题意得7p:“3x≥1， 当a=1时，不等式为-2x-1<0在[1,2]上恒 2-是-a<0为兵命题，所以8≥r-2在区 成立，符合题意； (8分) x 当a≠1时，令h(x)=(1-a)x2-2x-1, 间1，十0)上有解，又函数y=x-2在区间[1， x 当a<1时，可得h)=1-a-2-1<0, 解得 h(2)=4-4a-4-1<0, 十o)上单调递增，所以a≥(x-) =-1,故 1 min Γ4<a<1; (10分) a的取值范围为[-1，+∞). 当a>1时，二次函数h(x)的对称轴为直线x= 13.1【解析】函数f(x)=e2-a的定义域为R,由 题意可知，存在x∈R,使得f(一x)=一f(x), 。<0,故h(x)在1,2上单调递减， 高三数学答案（三）第4页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 可得h(1)=1-a一2-1<0，解得a>一2，此时 na(1-10%)5≥3a, a>1. (12分) na(1-10%)12+(9-n)a(1-10%)≥3a, (10分) 综上，a>-4且a≠0。 (13分) 16.解：(1)由题意，f(x)的定义域为(0，十∞)， 由第一个不等式可得，m>0957, f'(x)=2x 2a_2(x2-a) 由第三个不等式可得，n≤0，g9二0.92≈7.1， 2(x+√a)(x-√a) 所以5.7≤n≤7.1， (2分) 又因为n∈N*,所以n可取6或7.(14分) 所以当0<x<√a时，f'(x)<0,f(x)单调递 所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6 瓶，第二次投放3瓶；或第一次投放7瓶，第二次 减；当x>√a时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 投放2瓶. (15分) (6分) 18.(1)解：由题意得f'(x)=a十ex, (1分) 所以x=√a为f(x)的极小值点，无极大值点. 当a≥0时，f(x)>0,即f(x)在R上单调递增； (7分) (2分) (2)当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在[1，e]上 当a<0时，由f')=0,得x=l(-是） 单调递增， 所以∫(x)m=f(1)=1≠0，不符合题意； 所以当z<n()时，f)>0,f)单调递 (9分) 当1<√a<e,即1<a<e2时，f(x)在 增，当z>n()时，f)<0,fc)单调递减， (1,√a)上单调递减，在（√a,e)上单调递增， (4分) 综上，当a≥0时，f(x)在R上单调递增； 所以f(x)mim=f(a)=a-2aln√a=0,解得 a=e,符合题意； (12分) 当a<0时f(x)在(-o,la(←寻)上单调递 当√a≥e,即a≥e时，f(x)在[1，e]上单调 递减， 增，在(a(-》+上单调递减 (5分) 所以f(x)min=f(e)=e2-2a≤e2-2e2<0,不 (2)证明：函数g(x)=x2十xlnx的定义域为 符合题意， (14分) (0,+o∞)，g'(x)=2x+lnx+1, 综上，a=e. (15分) 令函数h(x)=2x+lnx+1,x>0, 17.解：(1)假设一次性投放该空气净化剂9瓶，可 则)=2+>0. 持续净化x小时， 则9a·(1-10%)r≥3a(x≥0)， 即h(x)在(0，+∞)上单调递增，且(6)=日 即0.9≥3 1 (3分) +0+1- -2n4<0,h()=号+n 不等式两边同时取对数得x·lg0.9≥g3, 1 +1=2-n4>0, 3 (7分) 1g 3 所以x≤1-2Ig3≈10.4， 故存在，∈(（6》，使a)一2，+1n,+ 因为10.4<12，所以不能达到净化目的，最多可 1=0,即lnxo=-2xo-1. 净化10.4小时. (7分) 当0<x<x。时，h(x)<0,即g'(x)<0, (2)设第一次投放n瓶，第二次投放9一n瓶，n g(x)单调递减； ∈N*且n<9, 当x>x0时，h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调 根据题意得 递增。 高三数学答案（三）第5页（共6页） 真题密卷 学科素养月度测评 故g(x)≥g(xo)=x6+xoln xo=-x6-xo alnx,显然有 -(+》+2 (2)1)解：f)-2k》 (10分) f(1)=0,f'(x)= 2x2-ax+2 x2 ,x>0. 因为x,∈(6》放-6g. (11分) ①若a≤4，则f'(x)≥0恒成立，则f(x)在 (3)解：由g(x)≥f(x),可得x2+xlnx≥ax (0,十∞)上单调递增， -e,即a≤x+inx+ (xe) 1 此时f(x)在(0，十∞)上只有一个零点x=1, xe 不符合题意； (6分) (13分) ②若a>4,令f'(x)=0,得2x2-ax十2=0，记 设函数p(x)=xe,x>0,则p'(x)=(x+1)e 其两根分别为p,q(p<q), >0,故(x)在(0，十∞)上单调递增，则p(x) 则p+g=2>2,g=1,所以0<p<1<g, >p(0)=0. (14分) 由f'(x)>0,得0<x<p或x>q;由f'(x)< 再设函数s(e)=nt+, t>0, 0,得p<x<q, 则e}日分， 所以f(x)在(0，p),(g,十∞)上单调递增，在 (p,q)上单调递减， (9分) 所以当0<t<1时，s'(t)<0,s(t)单调递减； 又f(1)=0,所以f(p)>0,f(q)<0, 当t>1时，s'(t)>0,s(t)单调递增， 当x→+∞时，f(x)→+∞， 故s(t)≥s(1)=1,故a≤1， 所以f(x)在(1，十∞)上有唯一零点，为 即实数a的取值范围是(-∞，1]. (17分) x3(xa>1), 1.(1)证明：当a=1时，fx)=2(x-）-lnx, 又f)=2,)-a,=-,品 f(1)=2×(1-1)-ln1=0. aln x)=-f(x)=0,且1∈0,1)， 又ra-21+》- 所以fe)在0,1上只有-个零点=去又 则f(1)=2×(1+1)-1=3, x2=1,符合题意， 所以切线1的方程为y=3x一3，即k=3,b=一3. 综上，a的取值范围是(4，十∞). (12分) (2分) (i)证明：由(1)知x3>1,且f(x3)=2x3 23 令gx)=fx)-(3x-3)=-hx-x- 2 2 -alnx=0,所以alnx=2xrg, 则g')-是-1+是-2 (14分) x2 2 =-(x+2)(x-1) 由(1)知，当x>1时，lnx>3-x- ，所以2x x 所以当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递 2 增；当x∈(1，十∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减. (4分) 整理得(a十2)x3 2a2>3a 所以g(x)mx=g(1)=0,即g(x)=f(x)一 又x1=1,所以2a-1)x1十a+2)xg>3a, (3x-3)≤0，所以当x>0时，f(x)≤kx+b. (5分) 得证 (17分) 高三数学答案（三）第6页（共6页）