浙江省温州市十校联盟2025-2026学年高二下学期6月期末练习数学试题

绝密★使用前 高二数学学科练习 注意事项： 1.本题共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。 4.结束后，只需上交答题卡。 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.己知复数z在复平面内对应的点为(-2,1)，则：=（) A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 2.已知集合A={0,l,2,3},B={xlnx<1,则AnB=() A.中 B.1,2 C.{1,2,3} D.{01,2 3.x+》展开式中的常数项为(） A.1 B.2 C.3 D.4 11 4.在三角形ABC中，M是线段BC上的一个动点，且满足AM=xAB+yAC,求二+ x V 的最小值() A.2 B.4 C.8 D.1 5.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像，则在下列 y 区间内，f(x)一定存在最大值的是() -3-2-1 45 A.(-3,2) B.(-3,4) 第5题图 C.(0,4) D.(-2,5) 6.在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知A= 2 3,a=2V3, △ABC的面积为√3，则b+c=() A.4 B.6 C.2V3 D.4V3 7.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet),他在1829 1,x∈Q 年定义了一个“奇怪的函数”：f(x)= ,其中R为实数集，Q为有理数集。 0,x∈CRQ 高二数学学科第1页（共4页） 则关于函数∫(x)的如下四个命题中，不正确的是() A.x∈R,都有ff(x)=1 B.x∈R,y∈Q,都有f(x+y)=f(x) C.x,yeR,都有f(xy)≥f(x)f(y) D.x,y∈R,都有f(x+y)≤f(x)+fy) (第8题图) 8.一个轴截面为倒立正三角形的圆锥形水杯中，内部装有高度为h的水，现将一个半径为 2的实心铁球放入水杯中，恰好完全浸没，水未溢出（如右上图），则？=() A.100 B.120 C.144 D.216 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题正确的有() A.若a+B=π，则cosa=cosB B.若a+B=元，则sina=cosB C.若tan=2,则3 sin a cosa-sin2=2 D者sima+cosa则sino=2 25 10.某学校数学兴趣小组在“探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况”的数学建模活动中， 将时间x(分钟)与温度y(摄氏度)的关系用模型y=ce9x(其中e为自然对数的底数) 拟合设z=ny,变换后得到一组数据： 2 2.5 3 3.5 4 4.04 4.01 3.98 t 3.91 由上表可得线性回归方程z=-0.06x+4.16,则() A.样本数据x的下四分位数为2.5 B.t=3.96 C.当x=4时，残差为0.01 D.G=e416 11.己知正方体ABCD-AB,C,D棱长为2，E,F分别为边AB,AB,的中点，且存在点 P,满足AP=2AB+4AD,元，μ∈(0，]，则下列选项中正确的是() A.若直线CP∥平面AB,D,点P的轨迹长度为2√2 B若入=A,则直线DP与AC所成箱的取值范用是I? C.若入=24，则平面ABP⊥平面DEF D若元=4，则1DP1+1PF1的最小值为2 高二数学学科第2页（共4页） 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线f(x)=e+x在x=0处的切线方程为 an+l 13.若正项整数数列{an}满足，a= -,an为奇数 2 已知a4=3,则a,的所有可能取值 2an+1,an为偶数 的和为 14.暑假即将来临，某同学制定了一个5天游玩5个不同景点的旅游攻略，他计划每天游玩 一个景点，但第一天不去A景点，第二天不去B景点，最后一天不去C景点，其余两天没 有限制，则不同的游玩日程安排有 种.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 l5.已知向量a=sinx,cos2x),万=2cosx,-3,若函数f(x)=a.b, )求f径)的值： (2)求不等式f(x)≥1的解集 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA=PD, PA⊥PD,PB=V6 (I)求证：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 高二数学学科第3页（共4页） 17.某企业生产的产品有一项质量指标，为评估产品质量，质检部门抽取了100件产品，整 理得到质量指标的频率分布直方图，如下图（组距为10)： 频率 组距 0 0.030 0.015 0.010 5060708090100质量指标值 (1)求图中a的值及平均值x(同一组数据用该组区间的中点值作代表)： (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(山，σ)，其中“近似 为样本平均数x,方差σ2=121利用该正态分布求P(65.5<Z<98.5): (3)现从生产线中取出5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件为次品，需对5 件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止 时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望 参考数据： 若Z~N(4,σ2)，则P(4-σ<Z<4+σ)=0.6827，P(4-2o<Z<4+2o)=0.9545 18.数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，已知2Sn=n(2+an),n∈N' (1)求证：{an)}是等差数列： (2)己知a2=3, (①若bn=(an-1)3,求数列{bn}的前n项和： (四)若在ak和ak1之间插入2”}的前k项(k∈N),得到新数列{cn},且{cn}的前n 项和为T,求T>2026时，n的最小值 19.已知fw)=a+(0-a)lnx+x-2a: (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)=f(x2)=0,且x<x2: (①)求a的取值范围： (四)求证：x1+x2>2a 高二数学学科第4页（共4页） 高二期末数学参考答案 一、单选题 1 2 5 p A B B A D B 二、多选题 9 10 11 BD ABD ACD 三、填空题 12._y=2x+113.24 14.64 15.解：(1)f(x)=2 sin xcosx-√3cos2x sin 2x-v3 cos 2x 后2Sin(2X_亿)…4分 3 (如果化简过程写在第二问，则在第二问中加2分，下面直接求值即给4分) /纹=2snre3 3 (说明：向量的数量积对了给1分，二倍角公式对了给1分；若函数没有化简，直接算出答案给4分) (2)由(1)知2sn(2x-7)≥1 3 sin(2x-T)≥ …8分 3 2 2k52x-52 5π，kez …11分 6 3 6 7 所以kπ+T≤x≤kr+ 12 ,k∈Z 即不等式的解集为[kπ+云，kπ+ ],k∈Z…13分 4 12 16.(1)在四棱锥P-ABCD中， ,PA=PD,PA⊥PD,三角形PAD为等腰直角三角形 取AD中点O,连接0B则OP⊥AD …2分 四边形ABCD为正方形，.0B=√5，OP=1,∴.0B2+OP2=PB2.∴OP⊥0B.…4分 又.OB∩AD=O,且OB,ADC平面ABCD,∴.OP⊥平面ABCD.…6分 1 又，OPC平面PAD,.平面PAD⊥平面ABCD.…7分 (2)法一：（建系）由(1)得，如图，以OA为x轴，垂直AD为y轴，OP为z轴. P(0,0,1),B(1,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0)… …9分 (建系正确，并给出两个点坐标，给2分) ∴DP=(1,0,1),DC=(0,2,0),PB=(1,2,-1D 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z), DP:n=X+2三0令2=L则列=（l00,…12分 DC.n=2y=0 (若法向量错误，有法向量运算列式，给2分) PB.n .cos(PB,n) IPBIIn 13 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为固 …15分 (答案错误，有向量运算公式，给2分) BQ⊥QC 法二：（补型）直三棱柱PAD-QBC,可证 →BO⊥平面PDCO BQ⊥QP ∴.∠BPQ为直线PB与平面PDC所成角的平面角. 在RrAPBO中，sim∠BPO=OB-2-V3 PB 6 3 法三：（等体积由x=am得：吉5xd,=写SeOP,解得：d,=5 ∴sm0=4=2_V3 PB√63 (以上法二、法三不同解法，酌情给分) 17.(1)a0.035;X=76.5… 6分 (a和x各3分) (2)P655<Z<985-09545,06827+0.6827=0.8186…10分 2 3)P(x=2》=2×1-1 5410 321 P(X=3)=3x2×5×2+ 3213 54354310 232 3 P(X=4)=二×2×2×3 543 5 X 2 3 4 1 3 10 10 3-5 …13分 3 37 E(X)=2×,+3× 2+4× …15分 101052 (分布列对直接给3分，分布列错，一个概率对给1分，E(X)错的话，有列式给1分) 18.(1)法-：当n=1时，a,=2 .∵2Sn=n(2+an) ∴.2Sn-1=(n-102+an)(n≥2) 2a,2S,-2S,-1 na,(n-1)an-1+2 .(n-2)an-(n-1)an-1+2=0(n23)..1 an-an-l+」 2 =0.2 n-1n-2(n-1)(n-2) 0n-2an--2=0(n233 n-1n-2 J0,-2 是常数列，设该常数为k,则an=k(n-1)+2,(n≥2)， n-1 42=k+2,42-4=k也符合上式，因此{an}是等差数列。…5分 法二 3 .28 =n(2+a) ∴.2Sm-1=(n-1(2+an）(n≥2) 2a =2S,-2S,-1 nan -(n-1)a-+2 (n-2)an-(n-1)an-1+2=0①1 2Sn-2=(n-2(2+am-2）(n≥3) .(n-3)a1-(n-2)an-2+2=0②..2 ②-① an+0n-2=20m-4 则数列{an}是等差数列… …5分 法三 当n=1时，解得a=2 当n=3时，2S3=3(2+a3)=3(a1+a3) 即2(a1+a2+a3)=3(a+a3) .2☑2=A十43，☑1,42，☑3成等差数列.1 猜想an=a+(n-1)d,d=a2-a ()n=1,2,3时，：a,a2,a成等差数列，猜想显然正确， (i)假设n≤k(k≥3)时猜想正确 ag=a+(k-1)d,Sx=ka+ k(k-Dd 2 2 则当n=k+1时，2S1=(k+1)(a1+ak+1) 2(Sk+ak)=(k+1)a1+(k+1)a1… 3 2ka+k(k-1)d=(k+1)a,+(k-1)a+1 (k-1)ak1=(k-1)a1+k(k-1)d4 k≥3，.k-1≠0 ..ak=a +kd=a +[(k+1)-1ld .n=k+1时，猜想也正确， 综上所述，an=a1+(n-1)d,对n∈N都成立，5 ·.{an}是等差数列 (2)(I)a2-a=3-2=1,an=2+(n-1)×1=n+l,bn=n-31,…7分 (说明：算出☑给1分，算出a,给1分，若第一问没写出来，直接用第一问结论解决第二问，同样可以得 分) 设数列bn}的前n项和为H Hn=1×32+2×3+3×34+…+n:31① 3H,= 1×33+2×3+…+(n-)3*1+n-3*2② ②-① -2Hn=32+33+34+…+3m+1-n.3+2 8 91-3" 2-n-3m*2 1-3 3+2-9 2 -n.3+2 =1-2n)-3*2-9 2 10 Hn=2n-1)3*2+9 …11分 (2)(Ⅱ)插入的k项之和为：2+2+…+2=2+-2； 新数列{Cn为：a1,2,a2,2,22,a3,…a,2,22,…2,ak4… …12分 将此数列分成若干组，a1,2为第一组；42,2,2为第二组；…4,2,2，…，2*为第k组 ak与ak41之间的k项数列的和为： 2×1-2)=21-2 1-2 数列C取到a,后的第k项时：n=k+k+1_kk+3》 2 前k组之和为： Tn=a1+2+a2+2+22+…+4,+2+22+2 =(a+42+…a)+(22+23+24+…2+1-2k) =k2+k+D+40-2)-2k 2 1-2 5 kK2-k-8+22 2 …15分 {亿}显然随k的增大而增大， 当k=8时，n=64+24=4,Z4=1048<2026, 2 2026-1048=978,a44再往后取m项，使m项的和大于978， 即：a,+2+2+…2m=2m1+8>978, ∴.2m+1>970,当m=8时，29=512<970，m=9时，210=1024>970 ∴.44+10=54，∴.n有最小值为54. 17分 19.(①）f6)=X+0-a0x-0-K+1Xx-a0（x>0）-3分 x2 x2 X>0x+1>0 ∴.a≤0时，f(x)>0,f(x)在(0，+∞)上单调递增 a>0时， 当x∈(0，a)时，f(x)<0:当x∈(a,+o)时，f(x)>0 …6分 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增 (2) (I)由(1)得，当a≤0时，f(x)单调，不可能有两个零点. ∴.a>0,此时f(x)mn=f(a)=1+(1-a)ha-a=(1-a)ha+l) .x→0或+0时，f(x)→+0，∴.只需f(a)<0即可 0<0<或a>1 …10分 e (Ⅱ)要证：x+x2>2a,只要证x2>2a-x .显然0<x<a<x2,.2a-x>a 又：f(x)在(a,+o)单调递增，∴只要证f(x2)>f(2a-x) 又：f(x)=f(x2),即证f(x)>f(2a-x) 6 x1∈(0，a .只要证g(x)=f(x)-f(2a-x)>0,对x∈(0，a)恒成立. :g(x)=fx)+f(2a-)=x+1x-@+2a-x+1a-y_2x-ax2-2a-2a x2 (2a-x)2 x2(2a-x)2 ,xe(0,a)时，x2-2ax-2a<0恒成立 ∴.x∈(0，a)时，g(x)<0恒成立，g(x)在(0，a)单调递减 而g(a)=f(a)-f(a)=0,.g(x)>0对x∈(0，a)恒成立 即X1十X2>2☑成立.…15分