九年级数学上学期期末模拟卷·培优卷（华东师大版，举一反三）

九年级数学上学期期末模拟卷·培优卷 【华东师大版】 测试范围：九年级全册 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·黑龙江大庆·三模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 2．（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．2028 B．2022 C． D．2025 3．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）点，，在抛物线上，且，则m的值不可能是（    ） A．5 B． C．3 D． 4．（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，点 B，D都在上，连接，若，则的半径长为(     ) A． B． C．4 D．2 5．（2025·河南·模拟预测）如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则=（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西咸阳·二模）若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的外接圆，，于点，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 9．（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是上的动点，且．若菱形的面积等于24，，记，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C．xy D． 10．（2025·浙江·一模）如图，四边形内接于，，，，若，，，，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，满足，则的值为 ． 12．（25-26九年级上·福建南平·月考）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 13．（2025·全国·模拟预测）在矩形中，边，边，点E在上，且，点F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为 ． 14．（2025·江苏扬州·二模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ．    15．（2025·安徽·模拟预测）如图，在扇形中，，C为中点，过C作交于点D．则阴影部分面积为           16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1) (2) 18．（6分）（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程． (1)当时，求方程的根． (2)若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 19．（8分）（2025·山东青岛·模拟预测）“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 20．（8分）（2025·江西吉安·二模）江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 21．（10分）（2025·安徽·模拟预测）如图，在正方形中，点是边的中点，点是边的中点，与交于点，为的中点． (1)求的度数； (2)证明：． 22．（10分）（2025·宁夏银川·三模）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． (1)求二次函数的关系式及点C的坐标； (2)如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 23．（12分）（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，四边形是的内接四边形，延长至点，连接，使得 作 垂足为点F， ， ． (1)作 交 于点G，求的长． (2)求证：是的切线． (3)①求 的长度． ②设三角形的面积为 ，三角形  的面积为 ，是否存在常数，使 成立?若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 24．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图1，函数的图象与轴交于点A，B与轴交于点，连接，点为线段上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为．直线交的图象于点，连接，； (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于3时，求点的横坐标； (3)定义：将函数的表达式取绝对值，得到一个新函数，称新函数为原函数的绝对函数．例如：函数的绝对函数为， ①直接写出函数（）的绝对函数的解析式（化简到去掉绝对值符号）； ②如图2，是函数当时的图象，交轴于点．连接，点是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的平行线，交函数图象于点．过点作轴的平行线，交函数图象于点，若点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期末模拟卷·培优卷 【华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·黑龙江大庆·三模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件和二次根式的性质即可判断． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B.当时，该选项不成立，不符合题意； C. 当时，该选项不成立，不符合题意； D. 当时，取，此时成立，但在实数范围内无意义，故该选项不成立，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．2028 B．2022 C． D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键． 利用一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， ∴ ． 故选A． 3．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）点，，在抛物线上，且，则m的值不可能是（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的性质，由题意可得抛物线对称轴为，点，到对称轴距离分别为 2、3，再结合可得，从而可得出到对称轴的距离大于，由此逐项判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 点，到对称轴距离分别为 2、3，且， ∴， ∵， ∴到对称轴的距离大于， ， ∵，，，， ∴m的值不可能是， 故选：C． 4．（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，点 B，D都在上，连接，若，则的半径长为(     ) A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，根据直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴的半径长为； 故选C． 5．（2025·河南·模拟预测）如图，平行四边形的对角线、交于点，是的中点，连接交于点，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，根据四边形是平行四边形，可知，，因为点是的中点，可知，根据可知，根据相似三角形对应边成比例可知，根据三角形的面积公式可知． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 6．（2025·陕西咸阳·二模）若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，得故，根据顶点在第四象限，确定b的范围，解答即可． 本题考查了抛物线性质，图象过点，顶点与象限，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 故即， 设， 则， 又 且图象的顶点在第四象限， 故， 若，则故即， 此时，顶点不能落在第四象限，不符合题意，舍去， 故， 故，，， 故， 故， 故， 故选：B． 7．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为G，H，与交于点O，的延长线过点C．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．连接，先根据矩形与折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，最后在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，为的中点，点在边上， ∴，，， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 8．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的外接圆，，于点，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．在优弧上任取一点，连接和，根据圆的内接四边形对角互补，可知，再根据圆周角定理求得，接着利用垂径定理，得到，然后在中利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接和，如图所示： ， ， ， 于点， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是上的动点，且．若菱形的面积等于24，，记，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C．xy D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质，由菱形的性质求出，证明，得，证出，得出；同理可得，从而可证明，得是定值． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的面积为24，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可证， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：B． 10．（2025·浙江·一模）如图，四边形内接于，，，，若，，，，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，延长交于点，根据圆周角，圆心角定理及三角形内角和定理得，，，进而得，则，，继而得四边形的面积，再根据，得和相似，则，再证明和相似得，得，则，然后根据，，，即可得出答案． 【详解】解：连接，交于点，延长交于点，如图所示： ， ， 在中，， ， ， ， 根据圆周角定理得：， 在中，， ， ，， 四边形的面积， ，， ， 在和中， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 得：， ， ，，，， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，理解圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意可得，得出，进而求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 12．（25-26九年级上·福建南平·月考）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 【答案】0或7/7或0 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的性质得到图象开口向下，对称轴为，最大值为9，再分3种情况讨论：①；②；③，利用二次函数的性质求出y取最大值时对应x的值，从而得到关于h的方程，即可求出h的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为9， ①若，当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ②若，当时，y取得最大值9，不符合题意，舍去； ③若，当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ∴综上所述，常数h的值是0或7． 故答案为：0或7． 13．（2025·全国·模拟预测）在矩形中，边，边，点E在上，且，点F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为 ． 【答案】8或18 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理，分两种情况：若，若，解答即可． 【详解】解：在矩形中，， 若时，过点F作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 若时，如图， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴8， ∴， 综上，的长度为8或18． 故答案为：8或18 14．（2025·江苏扬州·二模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ．    【答案】1 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 15．（2025·安徽·模拟预测）如图，在扇形中，，C为中点，过C作交于点D．则阴影部分面积为           【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，不规则图形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，设交于点E，证明是等腰直角三角形，利用锐角三角函数可得，再由阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点E， ∵，C为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分面积 ． 故答案为：． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得出答案．先求得点A、C的坐标，再得到直线过定点，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线相切时的k值，结合图象，即可得出答案． 【详解】解：令，由解得，， 令，则， ∴，， ∵当时，， ∴直线经过定点， 如图， 当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点， 当直线与抛物线相切时， 由得， 由解得，， 当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点， 由图可知，当，直线与图象G有两个交点， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了用因式分解法和配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用因式分解法和配方法求解一元二次方程的方法和步骤． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【详解】（1）解： ，或 解得，，． （2）解： 配方得 ，． 18．（6分）（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程． (1)当时，求方程的根． (2)若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， （1）将代入方程，然后利用因式分解法求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴ 或 ∴解得，； （2）解：∵ 根据题意得， ∴； ∵ 当时，即 ∴，解得，此时方程有解； 当时，即 根据题意得，， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 19．（8分）（2025·山东青岛·模拟预测）“五・一”假期，宇宙公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： (1)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______； (2)若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷1次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与概率公式得到应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较是否相等即可求得答案． 【详解】（1）解：员工小王抽到去地车票的概率为， 故答案为：． （2）解：不公平， 画树状图如下： 由此可知，共有16种等可能结果． 其中小张掷得数字比小李掷得数字大的有6种：，，，，，． 所以小张掷得数字比小李掷得数字大的概率为． 则小张掷得数字不小于小李掷得数字的概率为， ， 不公平． 20．（8分）（2025·江西吉安·二模）江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高度，再加的高度即可求解． 【详解】（1）解：在中， 由题意得， ； 即索道的长约为． （2）解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， 即山顶点到水平地面的距离的长约为． 21．（10分）（2025·安徽·模拟预测）如图，在正方形中，点是边的中点，点是边的中点，与交于点，为的中点． (1)求的度数； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则，，又点是边的中点，点是边的中点，则，证明，所以，然后通过角度和差即可求解； （）作于，则，设，，由勾股定理得，证明，则，所以，，则有，同理，，，，然后代入即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边的中点，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：作于，则， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 22．（10分）（2025·宁夏银川·三模）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． (1)求二次函数的关系式及点C的坐标； (2)如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 【答案】(1)，点C的坐标为 (2)的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的性质，考查了待定系数法求二次函数解析式，考查了二次函数与x轴交点坐标，以及二次函数最值的应用．解题的关键在于熟练运用函数交点、待定系数法及二次函数性质，同时能够灵活应用几何图形中的平行关系，将复杂问题转化为基本的数学模型进行求解． （1）先求出一次函数与x轴、y轴交点A、B的坐标，再将A、B代入二次函数解析式，通过解方程组得到b和c的值；之后令二次函数，解一元二次方程得到与x轴的另一个交点C的坐标； （2）对于的最大值，先设出点P的坐标，根据轴得到E点坐标，进而表示出的长度；再结合，建立与的数量关系，将转化为关于P横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：令，则，解得， 一次函数与x轴交点A的坐标为， 令，则， 一次函数与y轴交点B的坐标为， 二次函数经过两点， ∴将代入得： 解得， 二次函数关系式为， 令，即， 解得， 点坐标为， 点C的坐标为． （2）设点P坐标并表示的长度 设点（）， 轴，E点横坐标与P相同为m， ， ， 轴， ， ， ， ， ,， ， ， ， 当时，的最大值为． 23．（12分）（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，四边形是的内接四边形，延长至点，连接，使得 作 垂足为点F， ， ． (1)作 交 于点G，求的长． (2)求证：是的切线． (3)①求 的长度． ②设三角形的面积为 ，三角形  的面积为 ，是否存在常数，使 成立?若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 (3)①；②常数，使 成立 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的判定、相似三角形的性质和判定、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理和勾股定理即可解题； （2）连接，证明，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可证明； （3）①连接，求出，结合三角函数求解；②直接计算，然后求出和的相似比，进而得到面积比，计算出，即可解题． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴为的中点， ∵是直径， ∴是中点，且， ∴为的中位线， ∴； ∵， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即，， ∵为半径， ∴是的切线； （3）解：①如图，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ， ∴， ∴； ∵， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即存在常数，使成立． 24．（12分）（2025·辽宁抚顺·一模）如图1，函数的图象与轴交于点A，B与轴交于点，连接，点为线段上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为．直线交的图象于点，连接，； (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于3时，求点的横坐标； (3)定义：将函数的表达式取绝对值，得到一个新函数，称新函数为原函数的绝对函数．例如：函数的绝对函数为， ①直接写出函数（）的绝对函数的解析式（化简到去掉绝对值符号）； ②如图2，是函数当时的图象，交轴于点．连接，点是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的平行线，交函数图象于点．过点作轴的平行线，交函数图象于点，若点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，求的值． 【答案】(1) (2)1或2 (3)①；②或或或 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与几何综合的问题，分类讨论是解题的关键． （1）根据函数与坐标轴交点问题，得到点坐标，再根据待定系数法得到方程即可； （2）作垂直于，垂足为，设点，则的坐标为，利用求解即可； （3）①根据函数图象关系写出解析式即可； ②由，则当时，点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，再分，，，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，即， 解得，， ， 当时，即， 设直线的解析式为将点和点代入， 得 解得 的解析式为. （2）如图1，作垂直于，垂足为， 设点，则的坐标为， ， ， ， 或. （3）①由图可知，当或时，， ， 当时，， ， ②∵， 当时，点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形. 如图2，当时， ， 解得或（舍） 如图3当时， ， 解得或（舍） 如图4，当时， ， 解得 如图5，当时， ， 解得或（舍）； 综上， 的值为或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $