专题01 期末复习易错题63个考点（举一反三期末专项训练）九年级数学上学期华东师大版

专题01 期末复习易错题63个考点 【华东师大版】 【考点1 二次根式的定义】 2 【考点2 二次根式有意义的条件】 2 【考点3 二次根式的性质与化简】 3 【考点4 最简二次根式】 3 【考点5 二次根式的运算】 3 【考点6 二次根式的大小比较】 4 【考点7 二次根式的应用】 4 【考点8 一元二次方程的定义】 5 【考点9 一元二次方程的一般形式】 5 【考点10 一元二次方程的解】 6 【考点11 解一元二次方程—配方法】 6 【考点12 根的判别式】 7 【考点13 解一元二次方程—公式法】 8 【考点14 解一元二次方程—因式分解法】 9 【考点15 根与系数的关系】 9 【考点16 由实际问题抽象出一元二次方程】 10 【考点17 一元二次方程的应用】 11 【考点18 比例的性质】 12 【考点19 比例线段】 13 【考点20 黄金分割】 13 【考点21 相似图形】 14 【考点22 平行线分线段成比例】 14 【考点23 相似三角形的判定】 15 【考点24 相似三角形的性质】 16 【考点25 相似三角形的判定与性质】 17 【考点26 相似三角形的应用】 18 【考点27 位似】 20 【考点28 锐角三角函数的定义】 21 【考点29 特殊角的三角函数值】 22 【考点30 解直角三角形】 22 【考点31 解直角三角形的应用】 23 【考点32 随机事件】 25 【考点33 概率】 25 【考点34 用列举法求概率】 26 【考点35 频率与概率】 27 【考点36 二次函数的定义】 28 【考点37 二次函数的图象与性质】 28 【考点38 二次函数】 29 【考点39 二次函数的图象】 30 【考点40 二次函数的图象】 31 【考点41 二次函数的图象】 32 【考点42 二次函数图象与系数的关系】 32 【考点43 二次函数的平移】 33 【考点44 用“一般式”求二次函数解析式】 34 【考点45 用“顶点式”求二次函数解析式】 35 【考点46 用“交点式”求二次函数解析式】 36 【考点47 二次函数与一元二次方程】 37 【考点48 根据实际问题列二次函数关系式】 37 【考点49 二次函数的应用】 38 【考点50 垂径定理】 40 【考点51 圆心角、弧、弦的关系】 41 【考点52 圆周角定理】 42 【考点53 圆内接四边形的性质】 43 【考点54 点和圆的位置关系】 44 【考点55 直线和圆的位置关系】 45 【考点56 三角形的外接圆】 46 【考点57 确定圆的条件】 47 【考点58 切线的性质与判定】 48 【考点59 切线长定理】 49 【考点60 三角形的内切圆】 50 【考点61 正多边形和圆】 51 【考点62 弧长的计算】 53 【考点63 扇形面积的计算】 54 【考点1 二次根式的定义】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值是 ． 3．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【考点2 二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 3．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数满足，求的值是多少？ 【考点3 二次根式的性质与化简】 1．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 3．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为 ． 【考点4 最简二次根式】 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是 ． 【考点5 二次根式的运算】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（　　） A． B． C．2 D．－2 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【考点6 二次根式的大小比较】 1．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 4．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【考点7 二次根式的应用】 1．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 2．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【考点8 一元二次方程的定义】 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围值是 ． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 4．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有 （填序号）． 【考点9 一元二次方程的一般形式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程化成一般形式是 ；一次项系数是 ． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【考点10 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A．3 B． C．9 D． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·月考）关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 ． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【考点11 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）用配方法解方程，方程可变形为，则 ． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【考点12 根的判别式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值： ． 3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（    ） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【考点13 解一元二次方程—公式法】 1．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1） ； （2）方程的解是 ． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为， ，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为 （，） 【考点14 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是 ． 4．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【考点15 根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（25-26九年级上·江西赣州·期中）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为a，b． (1)若方程的两根相等，求k的值； (2)用含k的代数式表示； (3)是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在代数的领域内，存在着一类具有独特性质的方程，它们被称为“单位根方程”．此类方程的特点在于至少具备一个解为．例如：方程有解为，所以为“单位根方程”． (1)下列方程是“单位根方程”的有______；（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且该方程是“单位根方程”，求的值． 【考点16 由实际问题抽象出一元二次方程】 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点17 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 2．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 4．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【考点18 比例的性质】 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）若，且，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）已知 ，则 ＝ ． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知，且，则 ． 【考点19 比例线段】 1．（25-26九年级上·上海·月考）已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么 ． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 4．直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 【考点20 黄金分割】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为 ． 2．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知点P是线段的黄金分割点（），，那么的长是（   ） A． B．3 C． D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，借助正方形习字格书写汉字“数”，将正方形按照黄金分割的比例来分割（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的面积为 ．（结果保留根号） 【考点21 相似图形】 1．（25-26九年级上·广东茂名·期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 3．现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用 张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）．    4．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ． 【考点22 平行线分线段成比例】 1．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为 ． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，，若，，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．如图，在梯形中，，对角线相较于点O，已知的面积为2，的面积为4，那么 ． 4．如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 【考点23 相似三角形的判定】 1．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在和中，，再添加条件 可以使． 3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【考点24 相似三角形的性质】 1．（25-26九年级上·上海·期中）已知与相似，且，如果，，，，那么 ． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 3．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 4．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在中，点是的边上的一点． ①若，则可证： ②若，则可证： ③若，则可证： (1)请判断三个说法中正确的是：______（填序号） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（2）的条件下，，若，求的长 【考点25 相似三角形的判定与性质】 1．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在中，点在边上，点不与点重合，点在边上，且，连接并延长至点，使，连接，求证：． 2．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，，，，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C． D． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，是上一点，且，与的延长线交点．若的面积为1，则的面积是 ． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在 中，，点D在边上，且，连接，点E在线段上，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点26 相似三角形的应用】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）介休公路校园草坪中央矗立着一尊“介子推”雕像．当学习完三角形的相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：求出“介子推”雕像的高度．采用在同一时刻棍影和雕像影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米；第二次测量另一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米，木棍移动距离米． 4．（24-25九年级上·山西运城·期中）研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 【考点27 位似】 1．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 2．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，已知与位似，位似中心位点O，且，的周长为15，则的周长为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 3．如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【考点28 锐角三角函数的定义】 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，=，是重心，连接，则的正切值为 ． 【考点29 特殊角的三角函数值】 1．在中，若，则 ． 2．（24-25九年级上·广西北海·期末） ． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）计算 ． 4．在中，若，则是 ． 【考点30 解直角三角形】 1．如图，在中，，，，则的长为 ． 2．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交的延长线于点，，，则的长为 ． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 【考点31 解直角三角形的应用】 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在学习完利用三角函数测高这一课的内容后，曲老师带领同学们到学校操场进行实践操作，测量国旗旗杆的高度、如图，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，向前行10米，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为．、与旗杆底部在同一直线上，侧倾器高度为米，求旗杆高度．（结果精确到．参考数据：，，） 2．（2024·湖北·一模）学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 ． 3．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为13米，坡度，则大厅两层之间的距离为（   ） A．12 B．10 C．7 D．5 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【考点32 随机事件】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列事件是随机事件的是（   ） A．在标准大气压下，水在时沸腾 B．当湘江水位高于橘子洲亲水平台，江水必然会漫上洲岸 C．在同一平面内任意画一个三角形，它的内角和为 D．使用手机绿色出行小程序，在一次碳积分抽奖中赢得奖励 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）生活中“水涨船高”描述的事件是 ．（填“不可能事件”，“随机事件”或“必然事件”） 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）事件“若a是有理数，则”属于 事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 【考点33 概率】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某饮料厂举办促销活动，在一箱（24瓶）饮料中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，那么他打开下一瓶中奖的概率是 ． 2．（25-26九年级上·广东河源·期中）龙川县历史悠久，是广东最早立县的四个古邑之一，有“千年古县”之称，龙川县有许多旅游景点，如佗城景区，霍山景区，九龙湾景区．周末，小明与小佳两人准备从这个景区随机选一个景区前往游览，他们恰好选择同一景区的概率（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 4．用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【考点34 用列举法求概率】 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D (1)甲停放在C位置的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“食品安全”主题的概率为_______； (2)若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有_______人； (3)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用A、B、C、D表示）． 【考点35 频率与概率】 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在，则估计口袋中蓝球的个数为（   ） A．18个 B．16个 C．6个 D．4个 3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到） 【考点36 二次函数的定义】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的一次项系数是（    ） A． B．4 C． D．1 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（  ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 4．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【考点37 二次函数的图象与性质】 1．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是 ．（请用“”连接排序） 2．（25-26九年级上·新疆·期中）若原点是抛物线的顶点，则抛物线的开口向 ． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·吉林四平·月考）已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． (1)判断的图象的开口方向，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值； (3)连接，求的面积． 【考点38 二次函数】 1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西防城港·期中）二次函数的图象经过、两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 3．（25-26九年级上·天津·月考）对于二次函数，当时，的取值范围是 4．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式； (3)存在两点和，若抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求m的取值范围． 【考点39 二次函数的图象】 1．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 2．（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点C的坐标； (3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值． 【考点40 二次函数的图象】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）当时，二次函数的最大值为8，则 ． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． (1)求该二次函数的表达式． (2)设该二次函数的图象与轴交于点B，C（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)求二次函数与y轴的交点坐标（用含有a的代数式表示）； (2)当时，y的最大值为，请求出a的值； (3)在（2）的条件下，若点，是二次函数图像上的两点，当，时，均满足，请结合函数图像，直接写出t的取值范围． 【考点41 二次函数的图象】 1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）关于二次函数，下列命题错误的是（   ） A．开口向下 B．对称轴为 C．与y轴交点坐标为 D．用配方法得到的解析式为： 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知点，，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知二次函数（为常数），点，是其图象上两点，若，则的取值范围为 ． 4．（25-26九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)当时， ①若，二次函数的最大值记作，最小值记作，求的值； ②若抛物线经过点，，求证：； (2)某同学在尝试代入不同的m值后，提出了一个观点：“不论m取何值，抛物线必过一个定点”．请你判断这个观点是否正确，并说明理由． 【考点42 二次函数图象与系数的关系】 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号是 ． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点； ②； ③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是 （填序号）． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）抛物线经过，两点，其中．下列五个结论： ①； ②； ③若，则抛物线的最低点的纵坐标为； ④若m，n是关于x的方程的两个实数根，则； ⑤若点，在抛物线上，且，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【考点43 二次函数的平移】 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知二次函数的表达式为，将二次函数的图象沿着x轴平移使其经过坐标原点，则二次函数图象向右平移的长度为 ． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得到，交x轴于点；将绕点旋转得到，交x轴于点……如此进行下去，直至得到，若在第22段抛物线上，则 ． 4．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)抛物线若经过点，已知和是抛物线上不同的两点，求证：． 【考点44 用“一般式”求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·安徽六安·期中）根据条件求二次函数的解析式 (1)抛物线过，，三点； (2)抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）（1）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式； （2）已知抛物线（是常数）经过点，且对称轴为直线，求b，c的值． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数经过点与． (1)求，的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． (3)若，求函数值的取值范围． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求的函数表达式． (2)根据图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． (3)当时，求的取值范围． 【考点45 用“顶点式”求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为 ． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求y的取值范围； (3)将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点，求m的值． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知抛物线经过顶点及点 (1)求该抛物线的解析式； (2)当__________时，随的增大而增大；当时，的取值范围是__________． 【考点46 用“交点式”求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 3．抛物线经过点，，且与y轴交于点C．若，则该抛物线解析式为 ． 4．（24-25九年级下·湖南·期末）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图1，若D是x轴下方抛物线上的一个动点（不与点A，C，B重合），过点D作轴于点F，交直线于点E．设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示的长． (3)如图2，若点在抛物线上，则在y轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点47 二次函数与一元二次方程】 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，则 ． 3．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【考点48 根据实际问题列二次函数关系式】 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为 3．某果园有棵枇杷树．每棵平均产量为千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量千克，若设增种棵枇杷树，投产后果园枇杷的总产量为千克，则与之间的函数关系式为 ． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）抛物线与轴的两个交点之间的距离为，则的值是 ． 【考点49 二次函数的应用】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校组织跳长绳体育锻炼．某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综合实践活动． 研究背景  甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分． 建立方法  以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息  摇绳时，甲，乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是，手柄A，B离地面的高度，都是．当绳子上D点与原点O的水平距离是时，其离地面的高度是．学生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子距其头顶至少高． 建立模型  求该抛物线的解析式． 应用模型 （1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为，能否让他参加跳绳活动？请说明理由； （2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是，要求小组相邻成员之间的水平距离不低于，不超过，直接写出同时跳绳人数t的取值范围． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）某数学兴趣小组经过市场调查，发现某款运动服的月销量与售价是一次函数关系，具体信息如下表： 售价（元/件） 200 210 220 230 … 月销量（件） 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件160元，售价为元，月销量为件． (1)求出关于的函数关系式； (2)若销售该运动服的月利润为元，试求出月利润的最大值及此时的售价； (3)由于运动服进价降低了元，商家决定调整售价，回馈顾客；假如现在月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低10元， ①求的值； ②如果商家希望多回馈顾客，同时月利润又为9600元，那么商家调整后的售价应为多少元？ 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，某校运动会上，小丽同学参加九年级女子组实心球比赛，她投掷第次，球的运动路径可看作抛物线的一部分，以边界线上的为原点，分别以水平直线，竖直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图②所示，球从与地面垂直距离为 的处出手，在距离地面垂直高度 ，与出手点水平距离 的处到达最高点，最后在处落到地面． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)小丽第1次投掷的成绩是多少米？ (3)小丽计划在第2次投掷时将成绩提升到 以上，且保持球的最高点位置与第1次相同，请问她需要升高还是降低球的出手点？至少升高（降低）多少米？（不考虑其他因素的影响） 4．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）嘉嘉同学准备一条绳子晾晒衣被，他在两棵与地面垂直的树，之间悬挂一条绳子，绳子下垂近似成抛物线，建立如图1所示的平面直角坐标系．已知树与等高，且，之间的水平距离为6米． (1)树，的高度是________米，抛物线的顶点坐标为________； (2)如图2，为了更好地晾晒衣被，嘉嘉把绳子从点M处用一根木棍撑起，将抛物线分成抛物线和两部分，并使得点M到树的距离为米，使抛物线的最低点距树的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【考点50 垂径定理】 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在中，弦，圆心O到的距离为4，则的半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图1是化学实验中制取蒸馏水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度，最大深度，则圆底烧瓶截面的半径为 ． 4．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，四边形内接于，对角线是的直径，连接，，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【考点51 圆心角、弧、弦的关系】 1．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是 ． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在中，直径垂直于弦，交于点E，连接并延长，交于点M，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 【考点52 圆周角定理】 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弧，弧，弧，弧的度数之比为，弦，交于点．则的度数是(        ) A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，D在弦的延长线上，，的延长线交于点E，若，则的度数为 ． 4．（24-25九年级上·江西宜春·月考）如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 【考点53 圆内接四边形的性质】 1．（25-26九年级上·天津和平·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则 ． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形是的内接四边形，于点，且， (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，，求的长． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图1，三角形内接于，点在上，且，连接，，为延长线上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，当直线与相切时．求证：． 【考点54 点和圆的位置关系】 1．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是，的中点，以点为圆心，3为半径作，则下列判断错误的是（    ） A．点在外 B．点在外 C．点在上 D．点在内 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 3．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ． 【考点55 直线和圆的位置关系】 1．（25-26九年级上·北京·期中）在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是 ． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 【考点56 三角形的外接圆】 1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 3．如图，是的外角的平分线，外接圆的圆心O为的中点，延长交于点F．若，，则的周长为 ． 4．（2025·吉林长春·一模）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作出直线，使，点为格点； (2)在图②中作出以线段为腰的等腰三角形，点为格点，且的面积为8； (3)在图②中作出的外接圆圆心（不要求画）． 【考点57 确定圆的条件】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 2．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 3．如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    4．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点58 切线的性质与判定】 1．如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． (1)求证：为的切线． (2)连接，若，，求的半径． 3．如图，半径为1的与直线l相切于点A，C为上的一点，于点B，则的最大值是 ． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图1，将的顶点放在上，边与相切于点，边与交于点．已知的直径为8． (1)如图1，过点作于点，求的长度； (2)从图1的位置开始，将绕点顺时针旋转，设旋转角为． ①如图2，当经过圆心时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，直接写出点到边的距离的取值范围． 【考点59 切线长定理】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，在四边形中，，分别与扇形相切于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，是的切线，，为切点．若，，则直径的长是 ． 3．一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 4．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【考点60 三角形的内切圆】 1．如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内切圆，切点分别是、、．若，则 °． 3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 【考点61 正多边形和圆】 1．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 4．请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中，已知正七边形，分别画出一个以为边的平行四边形和为边的菱形； (2)在图2中，若正七边形的外接圆为，画出的中点P，过点A作的切线． 【考点62 弧长的计算】 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为 ． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【考点63 扇形面积的计算】 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是 ． 2．（2025·湖南株洲·二模）如图，点、、均在上，直径，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，中，， 分别以三边为直径画半圆， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）是（    ）． A． B． C．24 D．30 4．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是 ．（结果保留） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末复习易错题63个考点 【华东师大版】 【考点1 二次根式的定义】 2 【考点2 二次根式有意义的条件】 4 【考点3 二次根式的性质与化简】 5 【考点4 最简二次根式】 6 【考点5 二次根式的运算】 8 【考点6 二次根式的大小比较】 10 【考点7 二次根式的应用】 11 【考点8 一元二次方程的定义】 14 【考点9 一元二次方程的一般形式】 15 【考点10 一元二次方程的解】 17 【考点11 解一元二次方程—配方法】 19 【考点12 根的判别式】 22 【考点13 解一元二次方程—公式法】 24 【考点14 解一元二次方程—因式分解法】 28 【考点15 根与系数的关系】 30 【考点16 由实际问题抽象出一元二次方程】 33 【考点17 一元二次方程的应用】 35 【考点18 比例的性质】 40 【考点19 比例线段】 41 【考点20 黄金分割】 43 【考点21 相似图形】 45 【考点22 平行线分线段成比例】 47 【考点23 相似三角形的判定】 50 【考点24 相似三角形的性质】 52 【考点25 相似三角形的判定与性质】 55 【考点26 相似三角形的应用】 58 【考点27 位似】 62 【考点28 锐角三角函数的定义】 64 【考点29 特殊角的三角函数值】 67 【考点30 解直角三角形】 69 【考点31 解直角三角形的应用】 73 【考点32 随机事件】 77 【考点33 概率】 78 【考点34 用列举法求概率】 80 【考点35 频率与概率】 84 【考点36 二次函数的定义】 86 【考点37 二次函数的图象与性质】 87 【考点38 二次函数】 90 【考点39 二次函数的图象】 93 【考点40 二次函数的图象】 97 【考点41 二次函数的图象】 100 【考点42 二次函数图象与系数的关系】 104 【考点43 二次函数的平移】 109 【考点44 用“一般式”求二次函数解析式】 113 【考点45 用“顶点式”求二次函数解析式】 117 【考点46 用“交点式”求二次函数解析式】 120 【考点47 二次函数与一元二次方程】 125 【考点48 根据实际问题列二次函数关系式】 127 【考点49 二次函数的应用】 129 【考点50 垂径定理】 135 【考点51 圆心角、弧、弦的关系】 138 【考点52 圆周角定理】 143 【考点53 圆内接四边形的性质】 147 【考点54 点和圆的位置关系】 151 【考点55 直线和圆的位置关系】 156 【考点56 三角形的外接圆】 159 【考点57 确定圆的条件】 163 【考点58 切线的性质与判定】 166 【考点59 切线长定理】 172 【考点60 三角形的内切圆】 177 【考点61 正多边形和圆】 181 【考点62 弧长的计算】 186 【考点63 扇形面积的计算】 189 【考点1 二次根式的定义】 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二次根式，据此依次判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数，不符合题意； 选项B：，无论取何值，，故， 不符合题意； 选项C：，被开方数为（，故），符合题意； 选项D：，被开方数， 不符合题意. 故选：C. 2．当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可. 【详解】将代入二次根式可得： ， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键. 3．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 【考点2 二次根式有意义的条件】 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足， 解得， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）已知、都是实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件列出不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 故选：C． 4．已知实数满足，求的值是多少？ 【答案】2009 【分析】根据二次根式有意义的条件求出a取值范围，再将等式边形即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴a-2009≥0，即a≥2009， ∴2008-a≤-1＜0， ∴a-2008+=a，解得=2008， 等式两边平方，整理得a-20082=2009． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 【考点3 二次根式的性质与化简】 1．（25-26八年级上·全国·期中）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．11 B． C．1或11 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值． 根据二次根式的性质即可得到结果． 【详解】解：， 根据二次根式性质 ， 即或； ， 根据二次根式性质 ； 当时，； 当时，． 的值为1或11，此结果对应选项． 故选：C． 3．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，先根据二次根式的意义确定a的符号，再化简求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ = ． 故选：D． 4．已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 【考点4 最简二次根式】 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、 ，可化简，不是最简二次根式； B、 ，可化简，不是最简二次根式； C、，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式； D、 ，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 2．若最简二次根式和能合并，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴被开方数相同，即， 解得：， 当时，，是最简二次根式，且被开方数与相同，故能合并． 故答案为：2． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 【答案】0或1或3或4或5或7或9 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：∵都是最简二次根式，而，，， ∴均不是最简二次根式， 故答案为：0或1或3或4或5或7或9． 4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【考点5 二次根式的运算】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法、同类二次根式的概念是解题的关键．依次对每个选项依据二次根式的运算规则进行分析判断． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误． 与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项正确． 故选：D． 3．已知，，则（　　） A． B． C．2 D．－2 【答案】B 【分析】根据二次根式的加法、乘法及分式的运算可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的运算，熟练掌握二次根式及分式的运算是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【考点6 二次根式的大小比较】 1．若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 【答案】a＜b＜c 【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式． 2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）比较大小： （请填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 将两数分别平方后，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式比较大小的方法，进行完全平方公式的运用是解决本题的关键． 通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小． 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 4．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解： ， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 【考点7 二次根式的应用】 1．一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：； 故答案为：18． 2．（24-25八年级下·广西钦州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．将代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得：当时，， 即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，且的三边长分别为，，， ，，， ∴的面积为： ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）代入和到，即可求解； （2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为； （2）解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 【考点8 一元二次方程的定义】 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作出判断． 【详解】解：，当时，不是关于x的一元二次方程，故A不符合； 中含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故B不符合； 是关于x的一元二次方程，故C符合； 中分母含有字母，不是关于x的一元二次方程，故D不符合， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值范围值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据二次项的系数不等于解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴则二次项系数， 解得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）若是关于x的一元二次方程，则（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为零，据此即可求解； 【详解】解：由题意得： 且 ； 解 得 ，即 ； 当 时，，二次项系数为零，不符合要求； 当 时，，符合要求； 故选：B 4．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有 （填序号）． 【答案】①⑥ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 【考点9 一元二次方程的一般形式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程化成一般形式是 ；一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般形式． 先将方程右边的括号展开，然后移项使方程右边为0，合并同类项化为一般形式，再根据一般形式识别一次项系数． 【详解】解： ． ， ． 可知一次项系数为． 故答案为：，． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程展开并整理成一般形式 ，通过比较系数确定 和 的值． 【详解】解： 原方程为 ， 化为一般式可得：， 与一般形式 对比， 可得：，， 故选：B． 4．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【详解】解：∵的常数项为0， ∴，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 【考点10 一元二次方程的解】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解；将已知根代入方程，直接求解参数即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 因此，a的值为． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·北京·月考）关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 把代入一元二次方程中，得到关于k的一元二次方程，解此方程即可求得k的值，再根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，二者结合即可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程 的一个根 ∴把代入方程中得：， 即 解得：， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 【考点11 解一元二次方程—配方法】 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）用配方法解方程，方程可变形为，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，配方时，先取一次项系数的一半的平方，即，然后两边同时加上4，得，即，与形式对比，从而确定的值． 【详解】原方程移项得：， 左右两边同时加上4，得， 即， 与形式对比，得， 故答案为9． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．直接开平方法适用于形如 (其中 为常数)的方程，可直接取平方根求解．选项A符合此形式，其他选项需先配方或因式分解，不能直接使用开平方法． 【详解】解：∵直接开平方法要求方程为 的形式，选项A：，符合条件，可直接开平方求解； 选项B：，需配方，且判别式为负，无法直接开平方； 选项C：，需因式分解，非直接开平方形式； 选项D：，需配方成 后才能开平方，非直接可用． ∴ 只有选项A可用直接开平方法求解． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)最大值为59，相应的x的值为 (2)①不能，理由见解析；②当时，矩形面积最大值为 【分析】（1）将代数式化为，即可求解； （2）①证明为等腰直角三角形，则，得，由即可判定；② ，再根据（1）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵是非负数， ∴， ∴， 则代数式的最大值为59，这时相应的x的值为； （2）解：①∵为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当矩形的面积达到时，， 整理得：， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形的面积不能达到． ② ， ∵是非负数， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法确定最值，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，是解题的关键． 【考点12 根的判别式】 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 且 (2)的值为2，方程的另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． (1)由于方程有实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零； (2)将根代入方程可求，再通过因式分解求另一个根． 【详解】（1）解：∵方程为一元二次方程且有实数根， ∴，即， 且判别式， 即， ， ， ， 故且； （2）解：将代入方程得， 即， ， ， 此时方程为，即， 因式分解得， 或， 解得：， ∴另一个根为． 综上所述：的值为2，方程的另一个根为． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴当取3时，方程有两个相等的实数根． 故答案为：3（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（    ） A．此方程有两个相等的实数根 B．此方程有两个不相等的实数根 C．此方程有两个实数根 D．此方程无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式． 通过给定条件代入判别式，化简得，因此方程总有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 代入判别式：， ∴方程总有实数根， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式等知识，根据新运算定义，将方程转化为一元二次方程，利用根的判别式求参数范围即可． 【详解】解：由新运算定义，，得， 故方程化为， 由于该方程有两个实数根， ∴判别式， 解得． 故答案为：． 【考点13 解一元二次方程—公式法】 1．关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ，，，， ，， 整理得， 配方得 ，，，， 移项得 ，，或，， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据解一元二次方程的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵方程 可移项得， ∴ 因式分解得， ∴ 或， ∴ ， ； 甲解法两边除以，漏掉了的情况，原计算错误； 乙解法整理后方程应为，，原计算错误； 丙解法配方应为 即 ，原计算错误； 丁解法正确． 故选D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1） ； （2）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，解一元一次不等式，配方法，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法． （1）通过比较二次函数与常数2的大小关系，利用配方法求得，从而根据定义得出结果； （2）根据与的大小关系分类讨论，分别解方程并验证解的取值范围是否符合条件． 【详解】解：（1）对于 ，需比较与2的大小， 配方法： ， 因此恒有， ∵当 时，， ∴， 故答案为：； （2）方程， 分以下两种情况讨论： ①当，即时，， 则，即， 解得， 其中符合条件，不符合条件，舍去； ②当，即 时，， 则，即， 解得， 其中 符合条件，不符合条件，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为， ，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为 （，） 【答案】 ， 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式． 根据一元二次方程的求根公式，可得，先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积，即可推导、、、之间存在的一种特殊关系． 【详解】解：∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， ， ∴，， 故答案为： ，． 【考点14 解一元二次方程—因式分解法】 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 则或， 所以，； （2）解：， ， ， 则或， 所以，． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项． 【详解】解： 则 ， 解得：， ∴这个三角形的两边的长为7和9， ∴第三边长x的范围为，即； 则该三角形的第三边的长可以为15． 故选D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是 ． 【答案】，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用换元法求解是解题关键．通过设，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用已知条件求出系数关系，进而求解方程． 【详解】解：设，则原方程化为， 由，得， 代入得， 代入方程得， 因，两边除以得， 因式分解得，解得或， 由，得或， 解得：，， 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，因式分解法求一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及一元二次方程的求解． （1）求方程的判别式为，即可求证； （2）由方程可得，解得，，根据有一根为负数可得，求解即可． 【详解】（1）证明：由方程可得，，，， 则判别式， 则无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由方程可得， 解得，， 由有一个根为负数可得，，解得． 【考点15 根与系数的关系】 1．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义． 利用根与系数的关系求出的值，并根据方程解的定义得到的值，然后整体代入求解． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，且， 即． ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期中）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，进而得到，再代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为a，b． (1)若方程的两根相等，求k的值； (2)用含k的代数式表示； (3)是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系； （1）由方程的两根相等，得到，据此求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，最后代入计算即可； （3）由得到，结合（2）中结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知关于x的一元二次方程， a，b为方程的两个实数根， 若方程的两根相等， 则， 即， 整理得， 解得． （2）解：∵a，b为方程的两个实数根 ∴，， ∴ ． （3）解：不存在，理由如下 若成立， 则有， 即， ∴， 整理得， 解得， ∵a，b为方程的两个实数根， ∴， 解得， ∵， 不存在满足条件的常数k，使得成立． 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在代数的领域内，存在着一类具有独特性质的方程，它们被称为“单位根方程”．此类方程的特点在于至少具备一个解为．例如：方程有解为，所以为“单位根方程”． (1)下列方程是“单位根方程”的有______；（填序号） ①；②；③． (2)若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且该方程是“单位根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)24 【分析】本题考查了新定义的理解及解一元二次方程． （1）根据“单位根方程”的定义求解即可； （2）根据已知条件将代入原方程中求得m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系求得与的值，并将所求式子进行化简将与的值代入后即可得到答案． 【详解】（1）解：①，解得或，是“单位根方程”， ②，解得或，不是“单位根方程”， ③，解得或，是“单位根方程”， 故答案为：①③． （2）解：由题意知，是“单位根方程”， ∴两个实数根中必有， ∴当时，，解得， ∴关于x的一元二次方程为， ∴，， ∴． 【考点16 由实际问题抽象出一元二次方程】 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．熟练掌握一元二次方程的应用—增长率问题是解题的关键． 设日平均增长率为，则第二天收入为元，第三天收入为元，三天总收入为元，等于27000元． 【详解】解：∵ 首日收入为8472元，日平均增长率为，   ∴ 第二天收入为元，第三天收入为元， 三天总收入为元．   又∵ 三天共收入27000元，   ∴ 方程为． 故选D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．可借助平移性质得到长为 、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用及根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含的代数式表示出门的高和宽，再利用勾股定理建立方程．设门对角线长为尺，则竿长为尺；由“横之不出四尺”得门宽为尺，由“从之不出二尺”得门高为尺；因门的高、宽与对角线构成直角三角形，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，可列出方程，进而确定对应选项． 【详解】解：设门对角线长为尺，则竿长为尺． 由题意可知，门宽为尺，门高为尺． 因为门的高、宽与对角线构成直角三角形， 根据勾股定理得：， 该方程与选项A一致． 故选：A． 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 【考点17 一元二次方程的应用】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 【答案】（1）①；②的长为 10 米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为 240 平方米，此时的长为 10 米； （2）解：设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 2．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），；（2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个；（3）不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 4．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【考点18 比例的性质】 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，主要利用了等比性质，解题的关键是熟练掌握等比性质． 利用等比的性质：如果，那么，据此解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）若，且，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案． 【详解】解：∵， 设， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）已知 ，则 ＝ ． 【答案】1 【分析】本题考查了比例，根据比例关系设未知数，代入表达式计算. 【详解】解：由 ，设 ， 则 ， ∴， 故答案为：1. 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【考点19 比例线段】 1．（25-26九年级上·上海·月考）已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，掌握线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．根据比例中项的定义，若线段b是线段a、c的比例中项，即．即可求解 【详解】解∶若线段b是线段a、c的比例中项， 即， ． 解得． 故答案为∶． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【答案】C 【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：根据题意，淮北到合肥的实际距离厘米， 厘米米， 淮北到合肥的实际距离是240000米， 故选：C． 4．直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段． 根据得到，，进而得到，根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【考点20 黄金分割】 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点的定义，较长线段与整个线段的比值等于黄金比，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， 即， ∴， 解得， 故答案为：4． 2．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）已知点P是线段的黄金分割点（），，那么的长是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为整条线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段, 则． 故选：A． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵点是靠近点的黄金分割点， ， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，借助正方形习字格书写汉字“数”，将正方形按照黄金分割的比例来分割（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的面积为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．先求出小正方形的边长，再由正方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：点、是线段的两个黄金分割点， ， ∵正方形习字格的边长为， ∴， ∴，即小正方形的边长为， ∴四个黄金分割点组成的小正方形的面积为， 故答案为：． 【考点21 相似图形】 1．（25-26九年级上·广东茂名·期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 3．现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用 张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）．    【答案】12 【分析】根据题意可知两个长方形相似，得到它们对应边的比相等，则至少长和宽各是原来的2倍，计算得到答案． 【详解】∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍， ∴需要正方形的纸片是张， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握对应角相等，对应边的比相等的两个多边形是相似多边形是解题的关键． 4．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ． 【答案】1+ 【分析】根据相似图形的性质先设未知数再解方程即可得到结果. 【详解】解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形． 又∵AB=2，∴AF= AB=EF=2． 设AD=x，则FD=x－2． ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即 解得，（负值舍去）． 经检验是原方程的解． ∴AD. 故答案为 【点睛】此题重点考查学生对相似图形性质的理解，掌握相似图形的性质是解题的关键. 【考点22 平行线分线段成比例】 1．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，D、E、F分别是边、、上的点，，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，，若，，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线分线段成比例，可知，然后结合已知条件，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，在梯形中，，对角线相较于点O，已知的面积为2，的面积为4，那么 ． 【答案】 【分析】根据的面积为2，的面积为4，得出，根据，得出即可． 【详解】解：∵的面积为2，的面积为4， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据同高的两个三角形的面积之比等于两个三角形的底之比求出． 4．如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查构造三角形中位线，利用平行线分线段成比例，导出边之比，过点作的平行线交于点，可推导出边，和之比，然后利用可以求． 【详解】取中点F，连接； ∵，为边上的高； ∴为中点； ∵为中点； ∴，则； ∴； ∴； ∴； ∴； 故答案为：． 【考点23 相似三角形的判定】 1．如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在和中，，再添加条件 可以使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据等式的性质可得出，只需要补充另一对应角相等或对应边的比相等，即可得到． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，则， 添加：，则， 添加：，则， 故答案为：（答案不唯一） 3．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 【考点24 相似三角形的性质】 1．（25-26九年级上·上海·期中）已知与相似，且，如果，，，，那么 ． 【答案】18或24 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据题意分为和进行求解即可． 【详解】解：当时，则， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， 故答案为：18或24． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键． 根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 故选：D． 3．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【答案】A 【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案. 【详解】解：∵AD：DB=2：1 ∴AD：AB=2：3 ∵△ADE∽△ABC, ∴AD：AB=2：3 ∴△ADE与△ABC的相似比为2:3. 故答案为：A. 【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键. 4．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在中，点是的边上的一点． ①若，则可证： ②若，则可证： ③若，则可证： (1)请判断三个说法中正确的是：______（填序号） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（2）的条件下，，若，求的长 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①②正确；③错误； 故答案为：①② （2）证明：选择①：∵，， ∴， 选择②∵，， ∴； （3）解：， ， ， 解得：（负值舍去）． 【考点25 相似三角形的判定与性质】 1．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在中，点在边上，点不与点重合，点在边上，且，连接并延长至点，使，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，可证明，推出，再由内错角相等，两直线平行可证明结论． 【详解】证明：，， ． 又， ． ． ． 2．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，，，，，则的长为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据平行线的性质可得，结合已知证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，是上一点，且，与的延长线交点．若的面积为1，则的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方． 结合平行四边形的性质可证明，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，的面积为1， ∴，， ∴， ∴的面积是． 故答案为：24 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在 中，，点D在边上，且，连接，点E在线段上，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）先证，可得，由，可得结论； （2）由（1），，可得，再由勾股定理可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ． ． ， ． （2）解：由（1）， ， ． ，， ． ． ， ． 【考点26 相似三角形的应用】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，根据，可得出，，由相似三角形的性质可得出，代入可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】4.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（米）， 故答案为：4.5． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）介休公路校园草坪中央矗立着一尊“介子推”雕像．当学习完三角形的相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：求出“介子推”雕像的高度．采用在同一时刻棍影和雕像影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米；第二次测量另一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米，木棍移动距离米． 【答案】“介子推”雕像的高度AB为7米 【分析】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由，易证，，可得，，根据即可求解． 【详解】解：由题意，得， ， ，， ，． 米，米，米， （米）． ，， ， ，即， 米． 答：“介子推”雕像的高度为7米． 4．（24-25九年级上·山西运城·期中）研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 【答案】米 【分析】易证得，于是可得，即，又可证得，于是可得，即，进而可得，解方程即可求得的长，因而可得，据此即可求出的长． 【详解】解：根据题意可得：， 又， ， ， ， ， 根据题意可得：， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， ， 纪念碑的高的长为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，线段的和与差，解分式方程，等式的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点27 位似】 1．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图-位似变换，掌握位似的定义和性质是解题的关键． （1）位似中心为点O，根据位似比，连接，，并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵点A的坐标为， ∴点A的对应点D的坐标是， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，已知与位似，位似中心位点O，且，的周长为15，则的周长为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质可得，，可得到，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵的周长为15， ∴的周长为． 故选：C． 3．如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质及位似，熟练掌握相似三角形的性质及位似是解题的关键． 根据题意知，然后根据它们的面积关系可知相似比为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵的面积等于面积的， ，即， ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故选：D． 【考点28 锐角三角函数的定义】 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 取格点，求出后，在中，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，取格点， 由网格可知，， 在中，． 故选：． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意直角三角形中斜边上画出高，图中会有相等的角，若，则． 利用三角函数的定义结合图形，注意题目中相等的角在不同三角形中三角函数的表示不同． 【详解】解：∵在中，，， ∴， A．，故A选项错误，符合题意； B．因为，所以，故B选项正确，不符合题意； C．，故C选项正确，不符合题意； D．因为，所以，故D选项正确，不符合题意；     故选：A． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，=，是重心，连接，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心以及正切的求法，熟练掌握基本概念是解题关键； 连接并延长与交于点，先利用重心的性质可得，，再通过直角等腰三角形性质可知，进而再通过正切的定义即可求解． 【详解】解：连接并延长与交于点，如图， ∵为重心， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为： ． 【考点29 特殊角的三角函数值】 1．在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·广西北海·期末） ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，根据的正切值为，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）计算 ． 【答案】0 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，需熟记各特殊角的三角函数值，并正确计算绝对值和有理数运算． 【详解】解： ． 故答案为：0． 4．在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 【考点30 解直角三角形】 1．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 2．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交的延长线于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，线段中点的定义，根据三角函数求出，从而由线段中点的定义求出，再由三角函数求出即可，掌握三角函数，线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）由，，得出，再结合勾股定理及即可求解； （2）过点作于点，利用中线得，设，则，利用，列式求解，再求，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 【考点31 解直角三角形的应用】 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）在学习完利用三角函数测高这一课的内容后，曲老师带领同学们到学校操场进行实践操作，测量国旗旗杆的高度、如图，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，向前行10米，在处利用测倾器测得旗杆顶部的仰角为．、与旗杆底部在同一直线上，侧倾器高度为米，求旗杆高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】旗杆高度约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，理解题意，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，延长交于点，四边形，四边形均是矩形，设，在中，，在中，，代入列式求解得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， 根据题意得到，，， ∴， ∴四边形，四边形均是矩形， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中，， 整理得，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∴旗杆高度约为． 2．（2024·湖北·一模）学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为 ． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：点作于点， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴； 在中，米， ∴（米）， （米）， ∴米， ∵， ∴米， 故答案为：米． 3．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为13米，坡度，则大厅两层之间的距离为（   ） A．12 B．10 C．7 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理等知识点．设大厅两层之间的距离为米，根据坡度的概念用表示出扶梯的铅直高度，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设大厅两层之间的距离为米， 扶梯的坡度, 扶梯的水平宽度为米, 由勾股定理得：, 大厅两层之间的距离为5米， 故选：D． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 【考点32 随机事件】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列事件是随机事件的是（   ） A．在标准大气压下，水在时沸腾 B．当湘江水位高于橘子洲亲水平台，江水必然会漫上洲岸 C．在同一平面内任意画一个三角形，它的内角和为 D．使用手机绿色出行小程序，在一次碳积分抽奖中赢得奖励 【答案】D 【分析】本题主要考查事件的分类，掌握随机事件的定义，关键区分事件是否具有确定性． 随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，选项A、B、C描述的事件都是必然发生的，属于必然事件；选项D描述的事件具有不确定性，属于随机事件． 【详解】解：∵ A：在标准大气压下，水在时沸腾是必然事件； B：当水位高于平台时，江水漫上洲岸是必然事件； C：三角形内角和恒为是必然事件； D：抽奖赢得奖励可能发生也可能不发生，是随机事件． 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）生活中“水涨船高”描述的事件是 ．（填“不可能事件”，“随机事件”或“必然事件”） 【答案】必然事件 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生，可能不发生的事件叫做随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解：生活中“水涨船高”描述的事件是必然事件， 故答案为：必然事件． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下面四个事件中，不可能发生的是（   ） A．某运动员跳高的最好成绩是米 B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【分析】本题考查不可能事件的概念，熟练掌握概念是解决问题的关键．根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、运动员跳高成绩可能为米，为可能事件； B、图钉抛掷时钉尖可能着地，为可能事件； C、两条线段可能相交，为可能事件； D、因为袋子中只有白球和红球，没有黄球，所以摸出黄球是不可能事件． 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）事件“若a是有理数，则”属于 事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”） 【答案】不可能 【分析】本题考查了事件的分类，正确掌握必然事件，不可能事件及随机事件的定义是解题的关键．一定发生的事件是必然事件，一定不能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，根据定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：∵a是有理数， ∴当时，；当时，； ∴事件“若a是有理数，则”属于不可能事件． 故答案为：不可能． 【考点33 概率】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某饮料厂举办促销活动，在一箱（24瓶）饮料中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种饮料，但连续打开4瓶均未中奖，那么他打开下一瓶中奖的概率是 ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键；由于前4瓶打开均未中奖，剩余饮料中中奖瓶数仍为4瓶，总剩余瓶数为20瓶，因此下一瓶中奖的概率为剩余中奖瓶数与剩余总瓶数的比值，然后问题可求解． 【详解】解：已打开4瓶均未中奖，则剩余饮料瓶数为瓶，其中中奖瓶数仍为4瓶， 故打开下一瓶中奖的概率为； 故答案为． 2．（25-26九年级上·广东河源·期中）龙川县历史悠久，是广东最早立县的四个古邑之一，有“千年古县”之称，龙川县有许多旅游景点，如佗城景区，霍山景区，九龙湾景区．周末，小明与小佳两人准备从这个景区随机选一个景区前往游览，他们恰好选择同一景区的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查可能事件的概率．通过计算所有可能的选择组合和满足条件的组合数，利用概率公式求解． 【详解】解：∵小明从个景区中随机选择个，有种选择；小佳同样有种选择， ∴总共有种可能的选择组合，   ∵他们选择同一景区的情况有种（都选佗城、都选霍山或都选九龙湾）， ∴概率为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查计算几何概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用符合条件的图形面积总面积来计算概率． 【详解】解：图中四个扇形的面积都相等，其中偶数数字占两个扇形面积， ∴． 故选：D． 4．用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【答案】B 【分析】 由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：A、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，概率和为1，可以成功； B、摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是，概率和为，肯定不能成功； C、摸到黄球、红球、白球的概率是，概率和为1，可以成功； D、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率和为1，可以成功． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题的关键． 【考点34 用列举法求概率】 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 0 4 0 4 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D (1)甲停放在C位置的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】(1) (2)甲、乙两车停放在相邻车位的概率为 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“食品安全”主题的概率为_______； (2)若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有_______人； (3)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用A、B、C、D表示）． 【答案】(1) (2)225 (3) 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的公式计算即可； （2）先求出选择交通安全的概率，再乘以900即可求解； （3）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】（1）解：共有4种等可能结果，甲选择“食品安全”主题的结果只有1种， ∴甲选择“食品安全”主题的概率为； 故答案为：； （2）解：选择交通安全的概率为， （人）， ∴估算出选择交通安全的同学有225人； 故答案为：225； （3）解：列表如下： 由表格可得，共有16种等可能的结果，甲和乙选择不同主题的情况有12种， ∴甲和乙选择不同主题的概率． 【考点35 频率与概率】 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ． 【答案】75 【分析】本题考查了用频率估计概率，几何概率，理解题意是解题的关键．根据题意可知，黑色部分的面积占正方形二维码面积的，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴估计黑色部分的面积约为． 故答案为：75． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在，则估计口袋中蓝球的个数为（   ） A．18个 B．16个 C．6个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式． 根据频率估计概率，摸到蓝球的频率稳定在，即概率为，设蓝球个数为，利用概率公式列方程求解． 【详解】解：设蓝球个数为，则总球数为， ∵摸到蓝球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴蓝球个数为6个． 故选：C． 3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，简单的概率计算等知识点，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算． 利用概率公式逐项进行求概率，然后对比图中概率，即可得出结果． 【详解】解：A. 小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率为，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率为，接近图中概率，该选项符合题意； D. 是绿球的概率为，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期末）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 用频率估计概率的方法计算即可． 【详解】解：由题意得针与直线相交的概率为， 由此估计的近似值为， 故答案为：，． 【考点36 二次函数的定义】 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的一次项系数是（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的相关定义解答即可. 【详解】解：二次函数的一次项系数为. 故选：A 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的一般式，把函数的表达式化简成的形式即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：化成一般式为， ∴二次项系数和一次项系数分别为，， 故选：． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 4．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， 解得或（舍去）， 故选：A． 【考点37 二次函数的图象与性质】 1．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是 ．（请用“”连接排序） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案． 【详解】解：根据图像可知的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口， 则． 根据图像可知的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口， 则． ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·新疆·期中）若原点是抛物线的顶点，则抛物线的开口向 ． 【答案】上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键． 由顶点在原点，得出对称轴为y轴，从而求出a的值，再根据二次项系数的正负判断开口方向． 【详解】解：抛物线方程为 ，其顶点在原点， ， ， 解得：， 代入原方程，得 ， 二次项系数 ， 抛物线开口向上， 故答案为：上． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，先求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的值即可． 【详解】解：∵直线分别交抛物线，于点， ∴的纵坐标均为2， 当时，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， 解得； 故选C． 4．（25-26九年级上·吉林四平·月考）已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． (1)判断的图象的开口方向，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为 (2)点坐标为点坐标为． (3)的面积为3． 【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）把分别代入可求出，可得两点的坐标,再把点坐标代入求解即可； （3）首先得到与y轴交点的坐标为，进而求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）解：把代入得，， ∴； 把代入得， ∴， ∵， ∴， ∴； 把代入，得：， 解得：； （3）解：由（2）得， 当时，， ∴与y轴交点的坐标为， ∴的面积． 【考点38 二次函数】 1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，对称性．抛物线的对称轴是轴，因此点关于轴对称的点也在抛物线上，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线的对称轴是轴， ∵抛物线经过点，且点关于轴对称的点是， ∴必在抛物线上， 故选：D 2．（25-26九年级上·广西防城港·期中）二次函数的图象经过、两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查比较函数值的大小，通过直接代入函数计算，的值，然后比较大小． 【详解】解：将、代入，得： ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·天津·月考）对于二次函数，当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式； (3)存在两点和，若抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）直接根据解析式写出顶点坐标即可； （2）把代入求出即可解题； （3）分为和时，分别画图，根据开口越小，越大解题即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为：； （2）把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）当，若过时，， 解得：， ∵根据开口越小，越大， ∴； 当，若过时，， 解得：， ∵根据开口越小，越大， ∴； 综上所述可得m的取值范围为或． 【考点39 二次函数的图象】 1．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，根据抛物线的性质由得到图像开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线． 【详解】解：二次函数中的，则其图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，二次函数的最大值为0， 故选项A、B、D说法不正确，选项C说法正确． 故选：C． 2．（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点C的坐标； (3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值是，最小值是4 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答； （2）把代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答； （3）先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上， ∴设抛物线的解析式为， 把点、代入中可得：， 解得：舍去或， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）把代入中可得：， ∴， ∴点的坐标为； （3）设的解析式为：， 把点、代入中可得：， 解得：， ∴的解析式为：， ∵点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴， ∴当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 设，， ∴， 当时，的最大值为：， ∴的最大值是，最小值是4． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点40 二次函数的图象】 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴在时，y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴必须在左侧，即， ∴m的取值范围是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京·期中）当时，二次函数的最大值为8，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． (1)求该二次函数的表达式． (2)设该二次函数的图象与轴交于点B，C（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题考查了二次函数的表达式求解以及等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式以及等腰三角形的判定方法． （1）利用二次函数的顶点式求解表达式； （2）求出与x轴交点坐标，再根据线段长度关系判定三角形类型． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为． 又函数图象过点，将代入顶点式可得： 解得： 该二次函数的表达式为； （2）解：（2）令，则 解得， 点的坐标为，点的坐标为， 已知点，根据两点间距离公式可得： ， ， ， 是等腰三角形． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)求二次函数与y轴的交点坐标（用含有a的代数式表示）； (2)当时，y的最大值为，请求出a的值； (3)在（2）的条件下，若点，是二次函数图像上的两点，当，时，均满足，请结合函数图像，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键． （1）由令，则，可求解； （2）分或两种情况讨论，求出y的最大值即可求解； （3）利用函数图像的性质可求解． 【详解】（1）解：令，则， 所以与y轴的交点为； （2）解：抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， 若，则当时，y的最大值为，不符合题意， ∴，抛物线开口向上，当时比离对称轴更远，则当时有最大值， 把代入得：， 解得； （3）解：由（2）得，对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， 函数图像如下： 由图象可知当，时，均满足， ∵， ∴， 解得． 【考点41 二次函数的图象】 1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）关于二次函数，下列命题错误的是（   ） A．开口向下 B．对称轴为 C．与y轴交点坐标为 D．用配方法得到的解析式为： 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴对称轴：，选项B正确； ∵， ∴二次函数图象开口向下，选项A正确； 令，则， ∴与y轴交点坐标为，选项C正确； ∴，选项D错误； 故选：D． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知点，，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键是掌握二次函数图象与性质． 【详解】解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，，且， ∴点到对称轴距离：，点到对称轴距离：，点到对称轴距离：， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点离对称轴的距离最近，点次之，点距离最最远， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知二次函数（为常数），点，是其图象上两点，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，通过作差法，根据，可得，进而求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)当时， ①若，二次函数的最大值记作，最小值记作，求的值； ②若抛物线经过点，，求证：； (2)某同学在尝试代入不同的m值后，提出了一个观点：“不论m取何值，抛物线必过一个定点”．请你判断这个观点是否正确，并说明理由． 【答案】(1)①4；②证明见解析 (2)观点正确，证明见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象特点是解题的关键． （1）把代入求出函数的对称轴，再分析的取值范围运算求解即可； （2）利用式子变形求解即可． 【详解】（1）①解：当时，， 此时抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵在范围内， ∴时，是二次函数最小值，即， ∵当时，随的增大而减小．当时，， ∴当时，， ∵当时，随的增大而增大，时，， ∴当时，，综上所述，， ∴； ②证明：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵， ∴，； （2）解：观点正确： 理由：∵， ∴当时，， ∴不论取何值，抛物线必过一个定点． 【考点42 二次函数图象与系数的关系】 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据对称轴公式得到，图象开口向上，与轴负半轴相交，则、，，顶点在处，函数值最小为，结合一元二次方程两根之和的公式进行逐一判断即可． 【详解】解：①根据图象可得，对称轴在轴右侧， 根据对称轴得，， 二次函数图象开口向上，与轴负半轴相交， 则、，， 因此， 故①错误； ②根据对称轴得，， 即， 故②正确； ③当时，， 代入得，， 故③错误； ④顶点在处，函数值最小为， 则对任意都有， 即， 故④正确； ⑤方程，即， 则两根之和为， 故⑤错误， 综上所述，正确的有②④， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握图像与字母的关系是解题关键． ①根据图像开口朝下，对称轴为直线，抛物线与轴正半轴相交可进行判断． ②根据图像与轴有两个交点，由可进行判断． ③当，有，当，有，由可进行判断． ④对称轴为直线，有，再由可进行判断． 【详解】①抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ，， 抛物线与轴正半轴相交， ， ． 故①正确． ②抛物线与轴有两个交点， ， ， 故②正确． ③当，有， 当，有， ， ， ， 故③不正确． ④对称轴为直线， ， ， ， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点； ②； ③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，，可判断①；再由图象经过点，可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，可判断②；根据题意可得点关于对称轴的对称点为，可判断③；当时，，然后分两种情况：当时，可得；当时，可得，可判断④． 【详解】解：当时，， ∴该函数图象过点，故①正确； ∵二次函数，其图象经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 即点在该函数图象上，则也在该函数图象上，故③正确； ∵， ∴， 当时，， 当时， ∵当时，y只有3个整数值，1，2，3，且图象经过点， ∴， ∴； 当时， ∵当时，y只有3个整数值，3，4，5，且图象经过点， ∴， ∴， 综上所述，当时，y只有3个整数值，则或，故④正确； 故答案为：①③④． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）抛物线经过，两点，其中．下列五个结论： ①； ②； ③若，则抛物线的最低点的纵坐标为； ④若m，n是关于x的方程的两个实数根，则； ⑤若点，在抛物线上，且，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据点A和B的纵坐标均为1，可得m和n是方程的两根，利用根与系数的关系得到，，结合，可判断①和②；由，结合根与系数的关系推导出顶点纵坐标为，可判断③；若m和n是方程的根，利用根与系数的关系得到，可判断④；根据得到，结合可得，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线经过和，且， ∴m和n是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①②正确； ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点纵坐标为， 由，得， 代入得 ，故③正确． ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 将代入， 得， ∴， ∵， ∴，但题目为，矛盾，故④错误； ∵点和在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数的图像与性质和各项系数之间的关系是解题关键． 【考点43 二次函数的平移】 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数图象平移规则：“左加右减”针对x，“上加下减”针对函数值．先向下平移，再向右平移，依次应用规则即可解答． 【详解】解：∵ 原抛物线为 ， 向下平移2个单位：， 再向右平移1个单位：将x替换为， ∴ ． 故所得抛物线为 ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）已知二次函数的表达式为，将二次函数的图象沿着x轴平移使其经过坐标原点，则二次函数图象向右平移的长度为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握平移法则是关键． 设向右平移的长度为 ，根据平移规则，得到平移后的函数表达式，代入原点坐标建立方程，解方程得到两个根，根据平移方向确定符合题意的解． 【详解】解：设二次函数图象向右平移的长度为 ， 则平移后的二次函数表达式为 ． 由于图象经过原点 ， 代入得 ， 即 ， 解得 ，． ∵向右平移， ∴，故． 故答案为 ：3． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得到，交x轴于点；将绕点旋转得到，交x轴于点……如此进行下去，直至得到，若在第22段抛物线上，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出的值． 【详解】解：∵ ∴图象与轴交点坐标为：，， ∴， ∵将绕点旋转得，交轴于点； ∴，同理可得， ， ∴，，，， ∴第段抛物线解析式为， 则当时，，解得：，， ∵第段抛物线可以看作第向右平移个单位， ∴，向右平移个单位可得， ∴，， ∴的值为或． 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)抛物线若经过点，已知和是抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为10 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）把代入抛物线得：，再利用配方法将二次函数解析式写成顶点式，即可得顶点坐标； （2）先根据平移变换得到新的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求最小值和最大值即可； （3）将代入抛物线解析式，求得a，即可得出抛物线解析式，依题意得：，则，它的两个根为，，根据根的定义及根与系数的关系得，，，，再化简求的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵将二次函数向左移动1个单位， ∴，此时对称轴为， 当时，范围在对称轴的右侧，y值随x的增加而增加， ∴当时，； 当时，； （3）证明：将代入抛物线得： ， ∴， 依题意得：， ∴，它的两个根为，， ∴，， ，， ， ∴． 【考点44 用“一般式”求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·安徽六安·期中）根据条件求二次函数的解析式 (1)抛物线过，，三点； (2)抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设一般式，用待定系数法求出解析式； （2）设顶点式，用待定系数法求出解析式； 本题考查求二次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式． 【详解】（1）设出抛物线的解析式为， 将点，代入解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 抛物线与轴交点的纵坐标为， ， 解得． 抛物线的解析式是， 即． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）（1）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式； （2）已知抛物线（是常数）经过点，且对称轴为直线，求b，c的值． 【答案】（1） （2）， 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，把，，三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式； （2）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值． 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为， 把，，代入得， 解得， 则抛物线解析式为； （2）∵抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线经过点， ， ． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数经过点与． (1)求，的值． (2)求该二次函数图象的顶点坐标． (3)若，求函数值的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数关系式，二次函数的顶点式等知识点； 思路：（1）将点的坐标代入关系式得到方程组，求出解即可； （2）利用配方法将解析式转化为顶点式或根据顶点坐标公式计算； （3）根据（1）中解析式确定对称轴，确定开口方向后，根据增减性即能确定范围． 【详解】（1）解：将点与代入得： ， 解得： ， 所以，； （2）由（1）得解析式为：， 方法一：可转化为 所以顶点：； 方法二： 顶点横坐标， 代入求纵坐标， 所以顶点：； （3）已知， 所以二次函数图像开口向下， 顶点是最大值点， 对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，有最大值，， 当时，， 当时，， ∴当时，． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求的函数表达式． (2)根据图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与不等式的关系，熟记性质并利用数形结合的思想求解是解题的关键； （1）把点，的坐标代入一次函数计算即可求出，，再把点、的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象写出一次函数图象在二次函数图象上方部分的的取值范围即可； （3）把二次函数解析式整理成顶点式形式，求出最小值，再计算出两个端点值即可求解． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 、，代入中， ，解得：； ； （2）解：由图可知：时，． （3）解：， 顶点坐标为， 在上最小值为：， 当时，， 当时，， 故当时，求的取值范围为：． 【考点45 用“顶点式”求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数的最值，关键是用待定系数法求出函数解析式． 先用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上， 当时，， ∴该抛物线的顶点坐标是， 设该抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段练习）二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是求出二次函数解析式． 利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据其性质，对称性，增减性进行判断即可． 【详解】解：将二次函数转化为， 又∵二次函数的顶点坐标为， ∴， ∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标是， ∴ ， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是4，故选项B错误； ∵，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 将代入解析式得 ， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8，故选项D正确， 故选D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求y的取值范围； (3)将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)1或5 【分析】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，和图象与坐标轴的交点，据已知条件求出函数的解析式，是解题的关键，函数与图象的结合是重点的常考内容. （1）据二次函数的顶点坐标和过点B的坐标，用待定系数法可求出函数的解析式； （2）求出当时，y取最小值，最小值为，再根据当时，；当时，即可确定结论； （3）根据抛物线向左平移个单位后的解析式为：，把原点坐标代入计算求出结论即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点为， 可设二次函数解析式为， 又图象过点， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：由题意，结合（1），， 当时，y取最小值，最小值为， 又当时，；当时，， 当时，； （3）解：将二次函数的图象向左平移个单位后的解析式为：， 将二次函数的图象向左平移个单位后恰好经过坐标原点， ， 或． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知抛物线经过顶点及点 (1)求该抛物线的解析式； (2)当__________时，随的增大而增大；当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）设顶点式为，然后把已知点的坐标代入求出a即可； （2）先根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：，． 【考点46 用“交点式”求二次函数解析式】 1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数解析式；由于二次函数经过点，，可设函数为，再代入点求出，得到一般式后通过配方化为顶点式． 【详解】∵图像经过，，∴设二次函数为． 代入点得， 解得：． ∴． 配方：． ∴顶点式为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，已知抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； （3）解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 3．抛物线经过点，，且与y轴交于点C．若，则该抛物线解析式为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，设抛物线的解析式为，根据可得抛物线和y轴的交点为或，代入求解即可． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线和y轴的交点为或， 当抛物线和y轴的交点为时， ，解得：， ∴抛物线的解析式为，即； 当抛物线和y轴的交点为时， ，解得：， ∴抛物线的解析式为，即； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是设出合适的解析式形式，本题选用交点式较合适． 4．（24-25九年级下·湖南·期末）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)如图1，若D是x轴下方抛物线上的一个动点（不与点A，C，B重合），过点D作轴于点F，交直线于点E．设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示的长． (3)如图2，若点在抛物线上，则在y轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点Q的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意设抛物线的表达式为，将点代入，求出 ，即可得出答案； （2）先求出直线的表达式为，设，则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）连接，过点作轴于点，于点，连接得到是等腰三角形，则当点与点重合时，，过点作交轴于点，得到是等腰直角三角形，则当点与点重合时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设抛物线的表达式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为． 将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 设，则， 当时， ， 当时， ， 综上所述，； （3）解：当时，，当时，， ∴， 连接，过点作轴于点，于点，连接，则，如图： ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当点与点重合时，，此时， 过点作交轴于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴当点与点重合时，，此时， 综上，点的坐标为或． 【考点47 二次函数与一元二次方程】 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的对称性和抛物线与一元二次方程的关系，也考查了二次函数的性质． 利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得或， 方程的根是， 故选：B. 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．将二次函数图象向下平移5个单位后得到新函数，令解方程可得其与轴的交点横坐标，再算出两点间的距离即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移5个单位，得新函数 ， 令，则， 解得或， 则， 故答案为：1． 3．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根． 【详解】解：∵ 当 时，； 当 时，； ∴ 在  到  之间，函数值由负变正， 故方程 的一个根在 范围内． 故选 ：C． 4．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 【考点48 根据实际问题列二次函数关系式】 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数解析式，正确理解题意得出对应的函数关系式是解题的关键．设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，根据列出w关于x的函数关系式即可． 【详解】解：设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，由题意得； ， 故答案为：． 3．某果园有棵枇杷树．每棵平均产量为千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量千克，若设增种棵枇杷树，投产后果园枇杷的总产量为千克，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】投产后果园枇杷的总产量=每棵树的产量×树的棵树=（40-减少的产量）×（100+增加的棵树），把相关数值代入即可求解． 【详解】∵每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克， ∴每多种x棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25x千克， ∴每棵树的产量为（40-0.25x）千克， ∵原来有100棵树，现在增加了x棵， ∴现在有（100+x）棵， ∴y=（100+x）（40-0.25x）． 【点睛】解决本题的关键是找到所求枇杷的总产量的等量关系，难点是得到增加树木棵树后平均每棵树的产量． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）抛物线与轴的两个交点之间的距离为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的对称性，二次函数图象与轴的交点，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据抛物线的对称性，求出与轴的交点坐标，代入解析式求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 又抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 交点的横坐标分别为：和， 将点代入解析式， 得， 即， 解得，． 故答案为：． 【考点49 二次函数的应用】 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校组织跳长绳体育锻炼．某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综合实践活动． 研究背景  甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分． 建立方法  以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 收集信息  摇绳时，甲，乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是，手柄A，B离地面的高度，都是．当绳子上D点与原点O的水平距离是时，其离地面的高度是．学生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子距其头顶至少高． 建立模型  求该抛物线的解析式． 应用模型 （1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为，能否让他参加跳绳活动？请说明理由； （2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是，要求小组相邻成员之间的水平距离不低于，不超过，直接写出同时跳绳人数t的取值范围． 【答案】建立模型：；应用模型：（1）不能邀请小明参加跳绳活动，理由见解析；（2）（t为整数） 【分析】本题考查待定系数求二次函数解析式，二次函数解决实际问题； 建立模型：设抛物线解析式为，依据题意得，甲摇绳机A坐标，乙摇绳机B坐标，D点坐标，代入点的坐标即可求出解析式； 应用模型：（1）依据题意得，绳子高度>小明头顶高度+，可得，又顶点，最高高度为，故，从而绳子最高处仍低于安全要求高度，进而可以判断得解；（2）依据题意得，绳子高度>，可令，从而求出，，进而有效跳绳水平范围为，总长度为，结合间隔数为，需满足且，最后可以判断得解. 【详解】建立模型 解：设抛物线解析式为，将，，代入得， 解得 ∴y与x的函数解析式是． 应用模型 解：（1）∵， ∴当时，y有最大值2.25． ∵， ∴不能邀请小明参加跳绳活动． （2）令，即 解得，， ∴小组成员两端之间的水平距离为 ∴ ∴（t为整数）． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）某数学兴趣小组经过市场调查，发现某款运动服的月销量与售价是一次函数关系，具体信息如下表： 售价（元/件） 200 210 220 230 … 月销量（件） 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件160元，售价为元，月销量为件． (1)求出关于的函数关系式； (2)若销售该运动服的月利润为元，试求出月利润的最大值及此时的售价； (3)由于运动服进价降低了元，商家决定调整售价，回馈顾客；假如现在月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低10元， ①求的值； ②如果商家希望多回馈顾客，同时月利润又为9600元，那么商家调整后的售价应为多少元？ 【答案】(1) (2)当元时，月最大利润为9800元 (3)①；②商家调整后的售价应为180元 【分析】（1）设关于的函数关系式为，利用待定系数法求解可得销售量关于x的解析式，据此可得答案； （2）根据“销售总利润单件利润销售量”列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）①设调整后的售价为t，则调整后单件利润为元，销量为件，根据“销售总利润单件利润销售量”列出函数解析式求解即可； ②由①可知调整后的月利润，配方成顶点式即可得． 【详解】（1）设关于的函数关系式为， 把，代入得， ， 解得：， 关于的函数关系式为； （2）月利润为 ， 当元时，月最大利润为9800元； （3）①设调整后的售价为元，则调整后单件利润为元，销量为件， 月利润， 当时月利润最大，则， 解得：； ②由①可知调整后的月利润， 由，即 解得：（舍）， 商家调整后的售价应为180元． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，某校运动会上，小丽同学参加九年级女子组实心球比赛，她投掷第次，球的运动路径可看作抛物线的一部分，以边界线上的为原点，分别以水平直线，竖直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图②所示，球从与地面垂直距离为 的处出手，在距离地面垂直高度 ，与出手点水平距离 的处到达最高点，最后在处落到地面． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)小丽第1次投掷的成绩是多少米？ (3)小丽计划在第2次投掷时将成绩提升到 以上，且保持球的最高点位置与第1次相同，请问她需要升高还是降低球的出手点？至少升高（降低）多少米？（不考虑其他因素的影响） 【答案】(1) (2)小丽第1次投掷的成绩是米 (3)她至少需要升高米 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）依题意，抛物线顶点为，点，设抛物线表达式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，解方程，即可求解； （3）依题意，新抛物线解析式为，代入，进而求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，抛物线顶点为，点， 设抛物线表达式为，代入， ∴， 解得：， ∴； （2）解：令，则， 解得：（舍去） 答：小丽第1次投掷的成绩是米 （3）解：设新抛物线解析式为 当抛物线经过时， 解得： ∴ 当时， ， ∴她至少需要升高米 4．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）嘉嘉同学准备一条绳子晾晒衣被，他在两棵与地面垂直的树，之间悬挂一条绳子，绳子下垂近似成抛物线，建立如图1所示的平面直角坐标系．已知树与等高，且，之间的水平距离为6米． (1)树，的高度是________米，抛物线的顶点坐标为________； (2)如图2，为了更好地晾晒衣被，嘉嘉把绳子从点M处用一根木棍撑起，将抛物线分成抛物线和两部分，并使得点M到树的距离为米，使抛物线的最低点距树的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】(1)， (2)点M到地面的距离为米 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数解析式，顶点坐标，函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将代入抛物线解析式，直接求树的高度；② 与等高且米，可得坐标，将代入抛物线求得解析式，再用顶点公式求顶点坐标； （2）根据的顶点坐标设出解析式，代入已知点求参数，代入点的横坐标，计算对应的纵坐标即到地面的距离． 【详解】（1）解：已知抛物线，当时，代入得： ； ∵与等高且米， ∴， 将代入抛物线解析式： ， 化简得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点横坐标为， 代入解析式得顶点纵坐标： ， ∴顶点坐标为． 故答案为：，； （2）解：由题意，点的横坐标为， 抛物线的顶点为， 设的解析式为． ∵过点，代入得： ， 化简得， 解得， ∴的解析式为， 将代入解析式，得： ． 故点到地面的距离为米． 【考点50 垂径定理】 1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在中，弦，圆心O到的距离为4，则的半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵圆心O到的距离为4， ，， ， ，， ． 即的半径为5． 故选：C． 2．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图1是化学实验中制取蒸馏水的装置，图2为圆底烧瓶底部截面，阴影部分为液体部分，若瓶内液面的宽度，最大深度，则圆底烧瓶截面的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用． 由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理计算即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意，， ， 设的半径为，则， ， 在中，， 即， 解得：， 的半径为 故答案为：5． 4．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，四边形内接于，对角线是的直径，连接，，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理等知识点． （1）根据，利用垂径定理可得，再根据“在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等”可得，即证平分； （2）由是的直径可得，根据勾股定理求出的长，在中，，再由即可求解． 【详解】（1）证明：对角线是的直径，， ， ， 平分； （2）是的直径， ， ， 在中，， 由（1）中得， ． 【考点51 圆心角、弧、弦的关系】 1．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，圆周角与弦、弧之间的关系，解直角三角形，勾股定理，过点作于点，通过轴对称的性质，可证，，然后，不妨设，然后在利用勾股定理求得答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示：    上一点关于直线对称的点落在上， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 不妨设， ， ， ， （舍去）或， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键． （1）通过连接辅助线 ，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而证得线段相等； （2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：如图：过点作于点， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在中，直径垂直于弦，交于点E，连接并延长，交于点M，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆心角与弧之间的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，则可求出的度数，再由圆周角定理可得答案； （2）由垂径定理可得的长，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直径垂直于弦， ∴． ∵， ∴ 又∵是直径， ∴， ∴； （2）解：∵直径垂直于弦， ∴． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的半径为13． 【考点52 圆周角定理】 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，弧，弧，弧，弧的度数之比为，弦，交于点．则的度数是(        ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质、圆心角、弧、弦的关系．连接、、、、，如图，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，，，的度数之比为，则可计算出，，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形外角性质计算出的度数． 【详解】解：如图，连接、、、、， 弧，弧，弧，弧的度数之比为， ，，，的度数之比为， ，， ，， ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，是的直径，、是上的两点，连接，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质定理． 连接，根据直径得出直角，求出，然后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，D在弦的延长线上，，的延长线交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，进而求出是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江西宜春·月考）如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长交圆于点E，连接即可求解； （2）延长，交于点F，连接交于点O即为所求． 【详解】（1）如图所示，即为与互余的角． ∵ ∴是圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵为的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴即为与互余的角； （2）如图所示，点O即为所求． ∵ ∴ ∴点D在线段的垂直平分线上 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点F在线段的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴，即点O是中点． 【点睛】此题考查了无刻度直尺作图，圆中所对的弦是直径，等边三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，三角形内角和定理以及等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【考点53 圆内接四边形的性质】 1．（25-26九年级上·天津和平·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则 ． 【答案】/27度 【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图，再运用三角形内角和性质，得，结合四边形是的内接四边形，得，再根据旋转的性质，得，，则，运用三角形内角性质列式计算得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点落在⊙上，连接如图所示： ∵，， ∴， ∵点落在⊙上，是的内接三角形， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形是的内接四边形，于点，且， (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明即可； （2）证明，解直角三角形求出，即可． 【详解】（1）解：结论：△是等边三角形． 理由：，， ， ， ， △是等边三角形； （2）△是等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图1，三角形内接于，点在上，且，连接，，为延长线上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，当直线与相切时．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证，推出，再由圆内接四边形对角互补可得，结合即可证明； （2）连接并延长交于点，交于点，连接，由直线与相切，可得，由为直径，可得，进而可得，再证，推出，，即可证明． 【详解】（1）证明： 点在上，且， ， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ； （2）解：连接并延长交于点，交于点，连接， ， ， 直线与相切， ， ． ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 【考点54 点和圆的位置关系】 1．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是，的中点，以点为圆心，3为半径作，则下列判断错误的是（    ） A．点在外 B．点在外 C．点在上 D．点在内 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形性质，勾股定理等．根据题意可知，继而利用题意即可对选项进行判断． 【详解】解：∵边长为4的等边三角形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴以点为圆心，3为半径作，点在外，点在外，点在内， ∵， ∴点在外， j则，选项点在上判断错误， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 3．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，5为半径的圆上运动，得到当点在线段上时，的值最小为的长进行求解即可． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为. 故答案为：． 【考点55 直线和圆的位置关系】 1．（25-26九年级上·北京·期中）在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】在中，，因此点A到直线的距离等于，比较点A到直线的距离与的半径3，即可判断位置关系． 本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故点A到直线的距离等于， 由的半径为3，且， ∴边所在直线与相离。 故答案为：相离． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 3．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 【考点56 三角形的外接圆】 1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为20， ∴即， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 3．如图，是的外角的平分线，外接圆的圆心O为的中点，延长交于点F．若，，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理得到，求得，根据三角形的内角和定理得到 ，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是的外角的平分线， ∴， ∵外接圆的圆心为的中点， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 故答案为：． 4．（2025·吉林长春·一模）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作出直线，使，点为格点； (2)在图②中作出以线段为腰的等腰三角形，点为格点，且的面积为8； (3)在图②中作出的外接圆圆心（不要求画）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义，勾股定理与网格问题，三角形的外接圆圆心的定义，数形结合是解题的关键； （1）找到的格点，作直线即可求解； （2）根据等腰三角形的定义以及轴对称的性质，作出等腰三角形， （3）根据三角形的外接圆圆心的定义，找到的垂直平分线的交点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 如图， ∵, ∴ 又∵ ∴，即 （2）解：如图，即为所求； ∵ ∴是等腰三角形， ∵，到的距离为 ∴的面积为8； （3）解：如图，点即为所求， 同（1）作出的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ∴到的距离相等，即是的外接圆圆心． 【考点57 确定圆的条件】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 2．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 【答案】3 【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【详解】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为3． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线． 3．如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，圆的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先由勾股定理得出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明． 【详解】证明：连接，      ∵， ∴， 又， ， ， 取的中点O，连接， ∴， ∴点在同一个圆上． 4．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时；②当三点在一直线上时；③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时；分别画出图形讨论即可． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时，    ②当三点在一直线上时，如图2    分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即， ③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，    分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时， 即n不能是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了确定一个圆的条件，正确分类、熟知不共线的三点确定一个圆是解题的关键． 【考点58 切线的性质与判定】 1．如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出的度数，由切线的性质得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． (1)求证：为的切线． (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出，得到，即可得到得到结论； （2）利用直径定理得出，然后利用含30度的直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形，正确连接辅助线解题是此题的关键． 3．如图，半径为1的与直线l相切于点A，C为上的一点，于点B，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】延长到点D，使，则，当与相切于点C时，最大，则此时连接并延长交延长线于点E，则，根据，可得，根据勾股定理可得的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，延长到点D，使， 则， 当与相切于点C时，最大，则此时连接并延长交延长线于点E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与直线l相切于点A， ∴， ∴， ∴， 连接，则， 在中，，根据勾股定理，得 ， ∴． ∴的最大值是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图1，将的顶点放在上，边与相切于点，边与交于点．已知的直径为8． (1)如图1，过点作于点，求的长度； (2)从图1的位置开始，将绕点顺时针旋转，设旋转角为． ①如图2，当经过圆心时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，直接写出点到边的距离的取值范围． 【答案】(1) (2)①与相切，理由见解析；② 【分析】本题考查切线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，利用勾股定理即可求出的长； （2）①过点作于点，根据角的直角三角形的性质可以得到，即可得到结论；②由旋转可以找到距离最大和最小位置，然后计算解题即可． 【详解】（1）解：连接， 边与相切于点， ， 又， ， ， ； （2）解：①与相切，理由为： 过点作于点， ，， ， ， ， ， 与相切； ②如图，当点O、C、B三点共线时，h最大，这时； 如图，当点O在上时，h最小，这时； ∴在旋转过程中，h的取值范围为． 【考点59 切线长定理】 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，在四边形中，，分别与扇形相切于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质等，连接，过点作于，可得，，进而由勾股定理得，再证明四边形是矩形，得到，，即得，设，则，，在中利用勾股定理求出的值即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于，， ∵分别与扇形相切于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，是的切线，，为切点．若，，则直径的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，先根据切线长定理，切线的性质，得出，，然后根据含角的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵，是的切线，， ∴，， ∵， ∴， ∴直径． 故答案为：． 3．一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线长定理、切线的性质定理是关键． （1）连接，根据切线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）设线段与相交于点，证明垂直平分线段，由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意可得，均是的切线， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 即的长度为米； （2）设线段与相交于点， ∵均是的切线， ∴, ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴米， ∴米， 故M、N两点的距离为米． 4．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【考点60 三角形的内切圆】 1．如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心，解答的关键是充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和． （1）根据等面积法即可得出结论； （2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系． 【详解】（1）解：连接、、， ∵ ∴ 在中， ∵，， ∴ 又∵， 代入①得：； （2）∵， 代入①得， ∴，，之间数量关系为 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内切圆，切点分别是、、．若，则 °． 【答案】 【分析】连接、，由切线的性质得，，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 是的内切圆，切点分别是、、， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、四边形的内角和等于、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 的内切圆与分别相切于点， ，，， ，，， ，， ， ， 解得：， 即， 故选：B． 4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接， 则：点是三条角平分线的交点， ， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴，即的半径为； 故选C． 【考点61 正多边形和圆】 1．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1),理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论． （2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：． 理由：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴． ∵与相切于点D， ∴，即． ∴， ∴． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，正六边形为的内接正六边形． (1) 度； (2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？ (3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)劣弧比正六边形最长对角线的长． (3) 【分析】本题考查圆与正多边形的基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键． （1）根据正多边形性质求解即可； （2）连接，，为正六边形最长对角线，通过弧长公式算出劣弧的长度与比较即可； （3）如图，过点作于点，先求出的长度，再分别用r表示出和的面积，再相加计算即可． 【详解】（1）解：∵正六边形为的内接正六边形． ∴， 故答案为：60． （2）如图，连接，，为正六边形最长对角线， 设的半径为，则，， ∴， ∴劣弧的长度为：， ∴劣弧比正六边形最长对角线的长． （3）如图，过点作于点， ∴， ∵正六边形的内角和为：， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 又∵正六边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴ 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，三角形内角和及内心，正多边形与圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得，多边形内角和定理得到，根据三角形内角和定理得到，因为点为三角形的内心，所以，所以． 【详解】解：根据题意得， 正五边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中，已知正七边形，分别画出一个以为边的平行四边形和为边的菱形； (2)在图2中，若正七边形的外接圆为，画出的中点P，过点A作的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了几何作图，包括平行四边形、菱形、切线的作法等，解题关键是理解正多边形的性质以及平行四边形、菱形和圆的相关性质． （1）连接，交于，交于，则四边形是平行四边形；延长，交于点，则四边形为菱形； （2）连接并延长，交于点，即为所求；连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交延长线于点，连接并延长，交延长线于点，作射线，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，四边形为平行四边形，四边形为菱形； （2）如图所示，点P为的中点，为的切线． 【考点62 弧长的计算】 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴的长为． 故选：C 2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式，代入圆心角和半径计算即可． 【详解】解：由弧长公式，其中，， 则的长为（）． 故选：B． 3．如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，旋转的性质，根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可； 【详解】∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长； 故答案是：． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键． （1）根据正n边形中心角为，即可求解； （2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 【考点63 扇形面积的计算】 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2025·湖南株洲·二模）如图，点、、均在上，直径，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形面积，先根据得，根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B 3．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，中，， 分别以三边为直径画半圆， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）是（    ）． A． B． C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出，根据两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积）计算即可． 【详解】解：中，， ， 则两月形图案的面积之和 （阴影部分的面积） ， 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转变换，推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键． 线段所扫过的面积 ． 【详解】解：线段所扫过的面积 ． 故答案为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $