专题05 一次函数（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题05 一次函数 题型1从函数图像中获取信息常考点） 题型9已知直线与坐标轴围成图形面积求解析式（易错） 题型2根据一次函数的定义求参数（易错） 题型10一次函数与实际应用（常考点） 题型3正比例函数的图像与性质 题型11一次函数与等腰三角形存在性问题（重点） 题型4一次函数的图像与性质（常考点） 题型12一次函数与直角三角形存在性问题（重点） 题型5待定系数法（常考点） 题型13一次函数与等腰直角三角形存在性问题（重点） 题型6画一次函数图像（难点） 题型14一次函数与特殊角及关系存在性问题（难点） 题型7一次函数平移问题（常考点） 题型15一次函数与全等三角形存在性问题（难点） 题型8一次函数与方程、不等式（常考点） 题型16一次函数与其它存在性问题（难点） 题型一 从函数图像中获取信息（共3小题） 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】小明每次休息的时间为（    ） A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离y（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是（    ） ①乙的速度为7千米/时；    ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距A地21千米；   ④A、B两地距离27千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图1，一个圆柱体铁块放置在圆柱体水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，32秒时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将圆柱体铁块取出，再经过 秒恰好将水槽注满． 题型二 根据一次函数的定义求参数（共2小题） 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若函数是一次函数，求m的值． 题型三 正比例函数的图像与性质（共5小题） 6．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）下列各图像中，表示函数的大致图像是（    ） A．B．C． D． 7．（23-24八年级上·安徽蚌埠·月考）关于正比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象经过原点 B．随的增大而减小 C．点在函数的图象上 D．图象经过第二、四象限 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用连接） 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则k的值为 ． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 题型四 一次函数的图像与性质（共7小题） 11．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A．B．C． D． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数． （1）当m 时，y随x的增大而减小； （2）当m ，n 时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）当m ，n 时，函数图象过原点． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知直线经过一定点，则定点的坐标是 ． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知一次函数（为常数且）． (1)若一次函数经过点，求此时函数表达式； (2)若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围； (3)若函数在的范围内，至少有一个x的值使得，求m的取值范围． 17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 题型五 待定系数法（共4小题） 18．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为 ． 21．（24-25八年级下·浙江台州·月考）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 题型六 画一次函数图像（共3小题） 22．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）已知函数． (1)当时，利用描点，连线的方法在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，函数随着的增大而减小，求的取值范围； (3)已知该函数经过点，，，且，求的取值范围． 23．（23-24八年级上·浙江绍兴·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 （浙教版）七年级（上）数学教材1.3绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 （浙教版）八年级（上）数学教材第五章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问  题  解  决 任务1 对于函数，当时化简函数的表达式： 当时，______；当时，______； 任务2 在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画函数图象，写出函数的增减性． 任务3 当自变量时，函数（m为常数）的最小值为3，求的值． 【任务1】：①列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 2 1 0 1 2 3 … 【任务2】：②画出函数的图象． 函数的增减性是 ． 24．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图是函数的图象的一部分． (1)请你画出图象的另一部分； (2)当k取不同数值时，一次函数一定经过同一个点 　 　； (3)当时，函数和的图象交点个数是 　 　； (4)请找出一个k的值，使函数和的图象有两个交点，并说明理由． 题型七 一次函数平移问题（共4小题） 25．（2023八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移的做法正确的是（　　） A．将向下平移6个单位 B．将向下平移2个单位 C．将向右平移6个单位 D．将向右平移2个单位 26．（22-23八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）一次函数的图象经过点，且与直线平行，则此函数的解析式为（      ） A． B． C． D． 27．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 28．（24-25八年级上·浙江金华·月考）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 题型八 一次函数与方程、不等式（共3小题） 29．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求时x的取值范围． 30．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与直线的交点坐标为， (1)试确定方程组的解． (2)直接写出方程组的解． 31．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．    同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数（，为常数，且）， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________． 【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．   【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标． 题型九 已知直线与坐标轴围成图形面积求解析式（共3小题） 32．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与轴，轴分别交于点，点．若的面积是，则的值为 ． 33．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ． 34．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作于点B，交x轴于点C． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十 一次函数与实际应用（共6小题） 35．（24-25八年级下·浙江台州·期末）阅读素材，完成下列任务． 如何购买才能使分拣速度最快 背景 随着技术的快速发展，越来越多的行业借助人工智能来提高工作效率，某快递公司准备购买甲、乙两种不同型号的人工智能机器人帮忙分拣快递． 素材1 甲、乙两种机器人的单价分别为3万/台和2万/台． 素材2 甲种机器人开到最大功率时，分拣速度件/时与工作时间小时的函数关系如图所示．    素材3 经厂家介绍，为了延长机器人的使用寿命，可以适当降低功率，使机器人以固定的速度分拣快递．已知降低功率后，甲种机器人以素材2中的速度a工作，乙种机器人以600件/时的速度工作． 解决问题 任务1 若甲种机器人开到最大功率工作，当时，求分拣速度v与工作时间t的函数关系式； 任务2 求素材2的图象中a的值； 任务3 该快递公司计划用不超过10万元的钱购买4台甲、乙两种机器人，当甲、乙两种机器人都降低功率工作时，如何购买才能使分拣速度最快？ 36．（24-25八年级下·浙江台州·期末）A，B两地相距，甲车以的速度从A地去往B地，到达B地后，立即以相同速度返回A地；乙车沿同一条道路以的从B地去往A地．已知乙比甲迟1h出发，设甲车行驶时间为t h，甲、乙离A地的距离分别为，，其中关于t的函数图象如图所示． (1)在同一平面直角坐标系中画出随时间t变化的函数图象； (2)当时，求关于t的函数解析式； (3)当甲、乙两车相距时，t的值为 ． 37．（24-25八年级上·浙江温州·期末）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 38．（24-25八年级上·浙江·期末）在年第九届哈尔滨亚冬会的开幕式上，组委会组织了无人机表演，为了给世界各国人民带来盛大的视觉盛宴，需要甲无人机从地面指定地点起飞，乙无人机从距离地面米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，秒时甲无人机到达表演指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按表演要求同时到达距离地面的高度为米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米）与飞行的时间（单位：秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是______米/秒钟，乙无人机的速度是______米/秒钟； (2)线段对应的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时的时间． 39．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 40．（24-25八年级上·浙江·期末）为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说题比赛，购买，两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是元和元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的． (1)问至少购买种笔记本多少本？ (2)当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少的费用是多少元？ 题型十一 一次函数与等腰三角形存在性问题（共3小题） 41．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 42．（21-22八年级上·山东济南·期末）综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式与点的坐标； (2)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 43．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，点，过作平行x轴的直线，交于点C，点在线段上，延长交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式． (2)当点E恰好是中点时，求长． (3)是否存在m，使得是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 题型十二 一次函数与直角三角形存在性问题（共2小题） 44．（24-25八年级上·浙江金华·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 45．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是． (1)求的值； (2)作的平分线交轴于点，将绕点顺时针旋转得到直线，线段沿着射线方向平移，得到线段，连结，， ①求直线的函数关系式； ②当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标． 题型十三 一次函数与等腰直角三角形存在性问题（共3小题） 46．（2022八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 47．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C．    (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 题型十四 一次函数与特殊角及关系存在性问题（共4小题） 49．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 50．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，求的长； (3)求出当是等腰三角形时直线的函数解析式 (4)如图3，若，过点，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图1 ， 在平面直角坐标系中， 一次函数与轴交于点， 与轴交于点， 点为线段的中点， 过点作轴， 垂足为． (1)求两点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点， 连接交轴于点， 且， 在直线上有一点， 使得最小， 求点坐标； (3)如图2， 直线上是否存在点 使得，若存在， 请求出点的坐标， 若不存在， 请说明理由． 题型十五 一次函数与全等三角形存在性问题（共3小题） 52．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于两点，点的坐标为连结过点作于点点为线段上一个动点． (1)求的长； (2)在线段上是否存在一点使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点关于的对称点恰好落在的边上，请直接写出点的坐标． 53．（22-23八年级上·浙江金华·月考）直线：分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标 　　； (3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等（重合除外），请求出点D的坐标． 54．（23-24八年级上·浙江金华·月考）如图，平面直角坐标系中，，，．    (1)求直线的解析式：并求出O到直线的距离； (2)E为直线上一点，若，求满足条件的点E的坐标； (3)当D的坐标为时，在的边上是否存在点P、Q（Q不与D重合）使与全等？若存在，求出P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十六 一次函数与其它存在性问题（共4小题） 55．（21-22七年级下·山东烟台·期中）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积： (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 56．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 57．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 58．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．    (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数 题型1从函数图像中获取信息常考点） 题型9已知直线与坐标轴围成图形面积求解析式（易错） 题型2根据一次函数的定义求参数（易错） 题型10一次函数与实际应用（常考点） 题型3正比例函数的图像与性质 题型11一次函数与等腰三角形存在性问题（重点） 题型4一次函数的图像与性质（常考点） 题型12一次函数与直角三角形存在性问题（重点） 题型5待定系数法（常考点） 题型13一次函数与等腰直角三角形存在性问题（重点） 题型6画一次函数图像（难点） 题型14一次函数与特殊角及关系存在性问题（难点） 题型7一次函数平移问题（常考点） 题型15一次函数与全等三角形存在性问题（难点） 题型8一次函数与方程、不等式（常考点） 题型16一次函数与其它存在性问题（难点） 题型一 从函数图像中获取信息（共3小题） 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】小明每次休息的时间为（    ） A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象．先求出跑步速度，再求出跑步返回家中所用的时间，根据两次休息时间相同且跑步速度始终不变，即可求解． 【详解】解：由题意，小明跑步速度为（米/分钟）， 跑步返回家中所用的时间为（分钟）， ∴小明每次休息的时间为（分钟）， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离y（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是（    ） ①乙的速度为7千米/时；    ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距A地21千米；   ④A、B两地距离27千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的运用，行程问题的追击题型的等量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键． ①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度； ②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程甲走的路程就可以求出结论； ③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距地的距离； ④求出乙到达终点的路程就是，两地距离． 【详解】解：①由题意，得 甲的速度为：千米时； 设乙的速度为千米时，由题意，得 ， 解得：． 即乙的速度为7千米时， 故①正确； ②乙到终点时甲、乙相距的距离为： 千米，故②正确； ③当乙追上甲时，两人距地距离为： 千米．故③正确； ④，两地距离为： 千米，故④错误． 综上所述：正确的有①②③． 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图1，一个圆柱体铁块放置在圆柱体水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，32秒时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将圆柱体铁块取出，再经过 秒恰好将水槽注满． 【答案】8 【分析】根据函数图象和图象中的数据，可以求得如果将圆柱体铁块取出，又经过多少秒恰好将水槽注满．本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答． 【详解】解：由图形可知， 圆柱体水槽的高是，圆柱体铁块的高是，注满水需要（秒， 故如果将圆柱体铁块取出，又经过（秒恰好将水槽注满， 故答案为：8． 题型二 根据一次函数的定义求参数（共2小题） 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是关于的一次函数； (2)当，时，该函数是关于的正比例函数． 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴， 即当时，该函数是关于的一次函数； （2）解：由（1）知，， 由题意知：，所以， 即当，时，该函数是关于的正比例函数． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若函数是一次函数，求m的值． 【答案】或或0 【分析】本题主要考查一次函数的定义，解此题的关键在于注意原函数中有次数为1的自变量，所以要分多种情况进行讨论． 根据题意可得、或且均可使原函数为一次函数，然后求解得到m的值即可． 【详解】解：是一次函数， ∴分情况求解如下： ①当时，解得； ②当时，解得； ③当且时，解得． 综上所述，m的值为或或0． 题型三 正比例函数的图像与性质（共5小题） 6．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）下列各图像中，表示函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限． ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 【点睛】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线． 7．（23-24八年级上·安徽蚌埠·月考）关于正比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象经过原点 B．随的增大而减小 C．点在函数的图象上 D．图象经过第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据正比例函数的性质，结合各选项逐一验证即可. 【详解】解：选项A：正比例函数的形式为，当时，，因此图象必经过原点，选项A正确； 选项B：系数，故随的增大而减小，选项B正确； 选项C：将点代入函数，计算得，与点的纵坐标不符，因此该点不在图象上，选项C错误； 选项D：当时，正比例函数图象经过第二、四象限，选项D正确； 综上，结论不正确的是选项C； 故选：C 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是根据正比例函数图像经过的象限判断系数的正负，再通过直线靠近y轴的程度判断系数绝对值的大小，进而比较系数大小． 根据正比例函数的图像特征：图像过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近y轴，|k|越大．先判断、、的正负，再比较负数的绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：∵ 正比例函数的图像特征为： 图像过第一、三象限时，；图像过第二、四象限时，； 直线越靠近轴，|k|越大． ∴ 由图像可知：①过第一、三象限，故； ②③过第二、四象限，故，； ②比③更靠近轴，故， 负数比较大小，绝对值大的数更小，故． 综上，． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得． ∴k的值为或． 故答案为：或． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的取值范围为 【分析】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法求解析式，正比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，把时，代入计算即可； （2）根据正比例函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵与成正比例关系， ∴设， 当时，， ∴， 解得，， ∴，整理得，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）可得，与之间的函数解析式为， ∴， ∴随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，的取值范围为． 题型四 一次函数的图像与性质（共7小题） 11．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线经过第一、三、四象限，可知，，可得，所以直线的图象经过一、二、三象限． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断． 【详解】解：A、∵，∴函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题意； B、∵，，∴函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题，不符合题意； C、函数的图象向左平移2个单位后得，不经过原点，故C结论不正确，是假命题，符合题意； D、当时，，则函数图象与y轴交于点，故D结论正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图像的识别，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题目中各函数图像，分析函数解析式中一次项系数和常数项的正负情况，然后结合函数解析式分析判断即可． 【详解】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意； D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数． （1）当m 时，y随x的增大而减小； （2）当m ，n 时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）当m ，n 时，函数图象过原点． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数（，，为常数）的图象与性质．它的图象为一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方． （1）当，随的增大而减小； （2）当，且，函数的图象与轴的交点在轴的下方； （3）当，且，函数图象经过原点． 【详解】解：（1）当，即，随的增大而减小， 所以当，为任何实数时，随的增大而减小； 故答案为： （2）当，且时，一次函数的图象与轴的交点在轴的下方， 解不等式得，，且， 所以当，且时，函数的图象与轴的交点在轴的下方； 故答案为：，， （3）当，且，一次函数图象经过原点， 解不等式、方程得，，且， 所以当，且时，函数图象经过原点． 故答案为：，. 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知直线经过一定点，则定点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了恒过定点的直线，对直线解析式进行参数分离是解题的关键．将直线整理为，代入可得，即可求出定点坐标． 【详解】解：， 当，即时，， 直线恒过定点， 定点的坐标是． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知一次函数（为常数且）． (1)若一次函数经过点，求此时函数表达式； (2)若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围； (3)若函数在的范围内，至少有一个x的值使得，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）将点代入解析式求出m的值即可； （2）由一次函数图象不经过第三象限，得求解即可； （3）分情况：当时，当时，根据函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：一次函数为常数且的图象经过， ， 解得：， ； （2）∵一次函数为常数且的图象不经过第三象限， ， 解得：， 的取值范围为； （3）一次函数为常数且中， 当时，y随x的增大而减小， 当时，有， 解得：， 当时，y随x的增大而增大， 至少有一个x的值使得， 当时，有， 解得：； 的取值范围为或， 故答案为：或 17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质； （1）把点，代入，再求解即可；②先得到平移后的，再代入即可得到答案； （2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数为； ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数为， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当，函数最小值为：， 当，函数最大值为：， ∴，解得：， ∴， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，函数最大值为：， 当，函数最小值为：， ∴，解得：， ∴， 综上：． 题型五 待定系数法（共4小题） 18．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，下表是部分x与y的对应值，则m的值为（    ） x … 0 1 2 3 … y … 2 m … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，结合表格数据确定函数解析式是解题关键．根据表格数据，待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为，由表格可知，直线经过点， ∴，解得：， ∴， ∴当时，． 故选：C． 19．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．利用待定系数法即可求解． 【详解】解：由图象可知直线经过，两点， ∴根据题意得：， 解得：， 则这个函数的表达式是：， 故选：C． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，由题意可设一次函数的表达式为，把点代入计算即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可设一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为， 故答案为：． 21．（24-25八年级下·浙江台州·月考）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)自变量的取值范围为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）求出当时，的值，再结合一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为（为常数，且）， ∵一次函数的图象经过和两点， 解得：， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：在中， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∵对于随的增大而增大， ∴当时，自变量的取值范围为． 题型六 画一次函数图像（共3小题） 22．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）已知函数． (1)当时，利用描点，连线的方法在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，函数随着的增大而减小，求的取值范围； (3)已知该函数经过点，，，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图像，一次函数与不等式； （1）当时，，根据列表，描点，连线的方法画函数图像； （2）根据函数图像，即可求解； （3）由（2）可得，函数的图像，关于对称，离对称轴越远，函数值越大，据此分，，三种情况，结合题意，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 列表如下， -3 -2 -1 0 1 3 2 1 2 3 （2）根据函数图像可得，当时，函数随着的增大而减小， 的取值范围为； （3）由（2）可得，函数的图像，关于对称， 当时，，得 当时，，得 当时，不符合要求   ∴或 23．（23-24八年级上·浙江绍兴·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究函数的图象性质 素材1 （浙教版）七年级（上）数学教材1.3绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义 素材2 （浙教版）八年级（上）数学教材第五章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象． 问  题  解  决 任务1 对于函数，当时化简函数的表达式： 当时，______；当时，______； 任务2 在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画函数图象，写出函数的增减性． 任务3 当自变量时，函数（m为常数）的最小值为3，求的值． 【任务1】： 【任务2】： ①列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 2 1 0 1 2 3 … ②画出函数的图象． 函数的增减性是 ． 【任务3】： 【答案】任务1：；；任务2：图见解析；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；任务3：或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、绝对值的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 任务1：根据绝对值的性质化简即可得； 任务2：利用描点法画出函数图象，再结合函数图象写出增减性即可得； 任务3：分三种情况：①，②和③，结合函数的最小值求解即可得． 【详解】解：任务1：当时，， 则当时，；当时，； 任务2：根据表格中的点，描点画出函数图象如下： 由此可知，函数的增减性是当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 故答案为：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 任务3：①如图，当时， 则在内，当时，函数取得最小值，最小值为， 解得，符合题设； ②如图，当时， 则在内，当时，函数取得最小值，最小值为0，不符合题意，舍去； ③如图，当时， 则在内，当时，函数取得最小值，最小值为， 解得，符合题设； 综上，或． 24．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图是函数的图象的一部分． (1)请你画出图象的另一部分； (2)当k取不同数值时，一次函数一定经过同一个点 　 　； (3)当时，函数和的图象交点个数是 　 　； (4)请找出一个k的值，使函数和的图象有两个交点，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 (4)k=，理由见解析 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）时，，即可得出结论； （3）根据图象即可求得； （4）观察图象即可求得． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： （2）解：时，， 当取不同数值时，一次函数一定经过同一个点， 故答案为：； （3）解：当时，则， 当时，， 直线过点，， 过点， 观察图象可知函数和的图象有1个交点， 故答案为1； （4）解：当，函数和的图象有两个交点，理由如下； 当经过点时，，此时有一个交点； 当时，此时有一个交点， 当时，有两个交点． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，两条直线相交和平行问题，解题的关键是利用数形结合求解． 题型七 一次函数平移问题（共4小题） 25．（2023八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移的做法正确的是（　　） A．将向下平移6个单位 B．将向下平移2个单位 C．将向右平移6个单位 D．将向右平移2个单位 【答案】D 【分析】利用一次函数图像的平移规律解答即可；掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：∵将直线平移后得到直线， ∴，解得：， 故将向右平移2个单位长度． 故选：D． 26．（22-23八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）一次函数的图象经过点，且与直线平行，则此函数的解析式为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行，设此函数的解析式，将点代入，进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，且与直线平行，设此函数的解析式， ∴， ∴； ∴， 故选B． 【点睛】本题考查求一次函数的解析式．解题的关键是掌握两条直线平行，值相等． 27．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意得到平移后的函数解析式，与联立，用含有的代数式表示交点坐标，并判断其正负性，从而判断交点所在象限． 【详解】解：由题意得： 直线向上平移个单位后变为：， 与直线联立得： ， 解得： ∵ ∴交点在第二象限， 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数的交点坐标求解，联立函数解析式并根据题意判断正负是解决本题的关键． 28．（24-25八年级上·浙江金华·月考）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 【答案】(1)直线l1的函数解析式为；直线l2的函数解析式； (2)当时，函数的图象在函数图象的上方 (3) 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式以及一次函数与不等式，正确求出两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入求得a的值，再把代入求得点P的坐标，利用待定系数法即可求得的函数解析式； （2）两直线的交点坐标为，根据图象即可得出答案， （3）根据平移的性质得到平移点的坐标，代入直线l1的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； ∵、的交点． ∴， ∴ ∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， 解得：， ∴直线l1的函数解析式为； （2）∵ 、的交点， 由函数图象可得当时，函数的图象在函数图象的上方； （3）点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后 平移后点的坐标为即， ∵平移后的点恰好落在的图象上， ∴，解得： 题型八 一次函数与方程、不等式（共3小题） 29．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C． (1)求直线的解析式． (2)求时x的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式∶从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A和点B的坐标代入直线的解析式得到关于k、b的方程组，从而可求得k、b的值，于是可得到直线的解析式； （2）写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立方程组， 解得， 则的取值范围为． 30．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知直线与直线的交点坐标为， (1)试确定方程组的解． (2)直接写出方程组的解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系． （1）根据方程组的解就是交点坐标写出即可． （2）根据中心对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解为； （2）解：如图，直线与直线的交点与点关于原点对称， ∴方程组的解为． 31．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．    同学们通过讨论，积极发言，主要把进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数（，为常数，且）， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 【跟进练习】对于函数，当时，则的取值范围是________． 爱思考的小敏同学提出了看法，我还发现：与这两条直线是互相垂直的． 这是一种巧合还是存在着某种联系？ 沈老师说：这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否提出你们的猜想．通过讨论，同学们最终形成共识，得到下列结论： “若两条直线函数表达式为与（，均不为0），当时，两条直线互相垂直；反之亦成立”这个结论． 【结论理解】若直线与直线互相垂直，则________． 【灵活运用】如图2，的斜边在轴上，且，，延长交轴于点，求点的坐标．   【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与轴的交点为，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形是直角三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】【跟进练习】；【结论理解】；【灵活运用】；【延伸拓展】，，， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质． 【跟进练习】根据的取值即可求出的取值；【结论理解】直接利用结论求出即可；【灵活运用】先求出直线的解析式，再设直线的解析式并求出，最后联立两个解析式即可；【延伸拓展】先求出直线解析式，再得出点坐标，最后由的坐标结合以为顶点的三角形是直角三角形即可． 【详解】解：【跟进练习】 ， 当时，；当时， 故答案为：； 【结论理解】直线与直线互相垂直 故答案为：； 【灵活运用】 ， 直线的解析式为： 设直线的解析式为： 将代入得， 由得 ； 【延伸拓展】直线经过点 得 与轴的交点 ，，为顶点的三角形是直角三角形 如图，    当，点C在y轴上时，点坐标是， 当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C， 点C在y轴上时，点坐标是， 点C在x轴上时，点坐标是， 当时，直线，直线与坐标轴交点即可所求点C， 点C在x轴上时，点坐标是， 综上所述：点坐标可以是以下各点： ，，，． 题型九 已知直线与坐标轴围成图形面积求解析式（共3小题） 32．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数与轴，轴分别交于点，点．若的面积是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，当时，，得，求出，当时，，得，求出，再根据三角形的面积公式列式求解即可．解题的关键是掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的确定方法． 【详解】解：∵一次函数与轴，轴分别交于点，点， 当时，得：；当时，得：， ∴， ∴，， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 33．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式得到，求出k即可． 【详解】解： 当x=0时，y=10 ∴与y轴交于点(0,10) 当y=0时，， ∴与x轴交于点， ∵围成的三角形的面积为5， ∴， 解得 ∴该直线的表达式为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积，解题关键是求出直线与坐标轴的交点坐标，并注意分类讨论． 34．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作于点B，交x轴于点C． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A，B (2) (3)存在，P 或 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质、求一次函数解析式； （1）根据直线与坐标轴交点坐标的求法求出点A和点B坐标即可； （2）根据所给条件先求出点C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式； （3）设点P的坐标为，利用面积关系建立方程，求出m值即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 当时，， 当时，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， , ∴ 设直线表达式为，由题意得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； （3）设点P的坐标为 ∵， ， 解得或， ∴或． 题型十 一次函数与实际应用（共6小题） 35．（24-25八年级下·浙江台州·期末）阅读素材，完成下列任务． 如何购买才能使分拣速度最快 背景 随着技术的快速发展，越来越多的行业借助人工智能来提高工作效率，某快递公司准备购买甲、乙两种不同型号的人工智能机器人帮忙分拣快递． 素材1 甲、乙两种机器人的单价分别为3万/台和2万/台． 素材2 甲种机器人开到最大功率时，分拣速度件/时与工作时间小时的函数关系如图所示．    素材3 经厂家介绍，为了延长机器人的使用寿命，可以适当降低功率，使机器人以固定的速度分拣快递．已知降低功率后，甲种机器人以素材2中的速度a工作，乙种机器人以600件/时的速度工作． 解决问题 任务1 若甲种机器人开到最大功率工作，当时，求分拣速度v与工作时间t的函数关系式； 任务2 求素材2的图象中a的值； 任务3 该快递公司计划用不超过10万元的钱购买4台甲、乙两种机器人，当甲、乙两种机器人都降低功率工作时，如何购买才能使分拣速度最快？ 【答案】任务1：；任务2：800；任务3：购买甲种机器人、乙种机器人各2台． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元一次不等式的解法、一次函数的增减性是解题的关键． 任务1：根据待定系数法解答即可； 任务2：当时，求出对应v的值，即a的值即可； 任务3：设购买甲种机器人x台，则购买乙种机器人台，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设4台甲、乙两种机器人总的分拣速度为y件/小时，写出y关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最大，从而求出的值即可． 【详解】解：任务1：当时，设分拣速度v与工作时间t的函数关系式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 当时，分拣速度v与工作时间t的函数关系式为； 任务2：当时，， ； 任务3：设购买甲种机器人x台，则购买乙种机器人台， 根据题意，得， 解得， 设4台甲、乙两种机器人总的分拣速度为y件/小时，则， ， 随x的增大而增大， ， 当时y值最大，台 答：当购买甲种机器人、乙种机器人各2台才能使分拣速度最快． 36．（24-25八年级下·浙江台州·期末）A，B两地相距，甲车以的速度从A地去往B地，到达B地后，立即以相同速度返回A地；乙车沿同一条道路以的从B地去往A地．已知乙比甲迟1h出发，设甲车行驶时间为t h，甲、乙离A地的距离分别为，，其中关于t的函数图象如图所示． (1)在同一平面直角坐标系中画出随时间t变化的函数图象； (2)当时，求关于t的函数解析式； (3)当甲、乙两车相距时，t的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)或或3 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据时间=路程÷速度求出乙车达到B地的时间，从而画出随时间t变化的函数图象即可； （2）根据路程=速度×时间计算即可； （3）写出关于t的函数解析式，当甲、乙两车相距时，按照t的取值范围列关于t的方程并求解即可． 【详解】（1）解：乙车达到B地的时间为， 在同一平面直角坐标系中画出随时间t变化的函数图象如图所示： ； （2）解：当时，， ∴当时，关于t的函数解析式为； （3）解：当时，， 当时，， 当时，当甲、乙两车相距时，得， 解得（舍去）， 当时，当甲、乙两车相距时，得， 解得或， 当时，当甲、乙两车相距时，得， 解得， ∴当甲、乙两车相距时，t的值为或或3． 故答案为：或或3． 37．（24-25八年级上·浙江温州·期末）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】(1)见解析，这些点分布在同一直线上 (2)，弹簧B在弹性限度内的最大拉力是 (3)购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）设弹簧A为m根，则弹簧B为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可． 【详解】（1）描点并连线如图所示： 由图象可知，这些点分布在同一直线上． （2）由（1）可知，与之间是一次函数关系， 设关于的函数表达式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于x的函数表达式为， 当时，， 弹簧B在弹性限度内的最大拉力是； （3）设购买A弹簧m根，则购买B弹簧根， 根据题意，得， 解得， 当时，， 随m的增大而增大， 且m为非负整数， 当时值最大，最大（根）． 答：购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为． 38．（24-25八年级上·浙江·期末）在年第九届哈尔滨亚冬会的开幕式上，组委会组织了无人机表演，为了给世界各国人民带来盛大的视觉盛宴，需要甲无人机从地面指定地点起飞，乙无人机从距离地面米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，秒时甲无人机到达表演指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按表演要求同时到达距离地面的高度为米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米）与飞行的时间（单位：秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是______米/秒钟，乙无人机的速度是______米/秒钟； (2)线段对应的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时的时间． 【答案】(1)， (2) (3)秒或秒或秒 【分析】（）根据速度路程时间计算即可； （）求出甲无人机飞行段所用时间，从而求出点的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式，根据甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米列出方程求解即可； 本题考查了一次函数的图象，一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得，甲无人机的速度是(米/秒)，乙无人机的速度是(米/秒) ， 故答案为：，； （2）解：甲无人机飞行段用时(秒)， ∵， ∴， 设线段对应的函数表达式为， 将和代入得， ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为； （3）解：当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， ∴甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， 设乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时， 则， 解得或（不合，舍去）， ∴； 当，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时， 则， 解得（不合，舍去）或， ∴； 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时， 则， 解得； 综上，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时的时间为秒或秒或秒． 39．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元． (1)求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数） (2)修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出（万元）关于（个）的函数关系式，然后根据要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．可以得到的取值范围； （2）根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得的最小值，以及此时的值． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍． ∴， 解得：， 即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）； （2）解：由（1）知：， ∴随的增大而增大， ∵且为整数， ∴当时，取得最小值，此时， 故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元． 40．（24-25八年级上·浙江·期末）为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说题比赛，购买，两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是元和元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的． (1)问至少购买种笔记本多少本？ (2)当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少的费用是多少元？ 【答案】(1)本 (2)当购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少的费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的，可以列出相应的不等式，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出总费用与购买种笔记本数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以得到总费用的最小值． 【详解】（1）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本， 由题意可得，解得． 答：至少购买种笔记本8本． （2）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本， 设购买，两种笔记本的总费用为元， ， ， 的值随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值是， ， 答：当购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少的费用是元． 题型十一 一次函数与等腰三角形存在性问题（共3小题） 41．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或或或； (3)点坐标是或． 【分析】（）把点代入得到，求得直线的解析式为，当 时，，得到点坐标是，把点，代入，即可得到结论； （）由，，得到，，根据勾股定理得到 ，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设直线的解析式为，得到直线的解析式为，求得直线与轴的交点坐标为(0， ，设，根据三角形的面积公式列方程即可求解； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标是， 把点，代入得， 故答案为：，； （2）解：存在，理由， ∵，， ∴，， ∴， 当时，如图， 则点是， ∴点是或 ； 当时， ∴， ∴点是， 当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是， 即， 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 设， ∵点的坐标为，，的面积为， ∴， ∴或， ∴点坐标是或． 42．（21-22八年级上·山东济南·期末）综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． (1)求直线的表达式与点的坐标； (2)如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 (3)存在，M点的坐标为或或或 【分析】（1）分别求出，，再确定函数解析式即可； （2）设，则，则，再求，由题意可得，即可求点坐标； （3）分三种情况：①当以为等腰三角形的顶点时，；②当以为等腰三角形的顶点时，，则点与点关于轴对称；③当以为等腰三角形的顶点时，，设，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数图象分别交轴、轴于点、， 当时，则，得：， 当时，得：， ∴，， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴直线的表达式为：， 当时，则，得：， ∴点的坐标为； （2）解：存在，理由如下： 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ①当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点的坐标为或； ②当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； ③当以为等腰三角形的顶点时， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识点，运用了方程的思想，难度较大．熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 43．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，点，过作平行x轴的直线，交于点C，点在线段上，延长交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式． (2)当点E恰好是中点时，求长． (3)是否存在m，使得是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，或2 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用直线与直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入函数表达式y=kx+b,即可求解； （2）证明可求解； （3）①当时，，则AC是中线，则，故点，即可求解；②当时，则点，则，故点，即可求解． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得： ， 解得，， 故直线的表达式为：； （2）解：当时， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， （3）解：①当时，，则是中线，则， 故点， 设直线的表达式为， 把点C、F的坐标代入得 解得 ∴直线的表达式为，， 故点，则； ②当时，则点， 则， 故点， 同理直线的表达式为：， 故； 综上，或2． 题型十二 一次函数与直角三角形存在性问题（共2小题） 44．（24-25八年级上·浙江金华·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【分析】（1）把代入，求出，即可得得直线； （2）求出点、、的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （3）分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标，进而可得点的坐标；当时，由翻折得，根据勾股定理得，则，即可得点的坐标为． 【详解】（1）解：把代入得， ， 直线； （2）解：直线， 将代入得：， 点的坐标为， 直线与轴、轴、直线分别交于点、、， 当时，，当时，，解得， 、， 联立与得 ，解得， ， ， ， 的面积为； （3）解：如图2，当时，过点作轴于， 由翻折得， ， ， ，， ， ， ， ， 由翻折得， 点的坐标为； 如图3，当时， 由翻折得，， ，， ，，， ， 设，则， ， 解得：， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【点睛】此题为一次函数的综合题，考查了待定系数法，两直线的交点，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，解题的关键是数形结合以及分类思想的运用． 45．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是． (1)求的值； (2)作的平分线交轴于点，将绕点顺时针旋转得到直线，线段沿着射线方向平移，得到线段，连结，， ①求直线的函数关系式； ②当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)①直线的函数关系式为；② 【分析】由得，，根据的面积是，可得，代入得的值为； 过作于，过作于，过作轴于，过作于，设，在中可得，求出，根据，知是等腰直角三角形，有≌，得，，设，，即得，，从而解得，故直线的函数关系式为； 过作轴于，设，由，线段沿着射线方向平移，得到线段，可得，证明≌，有，有，从而，故． 【详解】（1）在中，令得， ，， 的面积是， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 的值为； （2）过作于，过作于，过作轴于，过作于，如图： 平分， ， ，， ≌， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ≌， ，， 设，， ， ， ， ， 由得，， ， 由，可得直线解析式为， 直线的函数关系式为； 过作轴于，如图： 设， ，， ， 线段沿着射线方向平移，得到线段， ， ， 是以为直角边的直角三角形， ，， ， ， ≌， ， ， 由得， ， ． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型十三 一次函数与等腰直角三角形存在性问题（共3小题） 46．（2022八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 【答案】(1)； (2) (3)6， 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、与等腰直角三角形有关的全等问题，构造“一线三垂直”型全等是解题关键. （1）作轴于轴于，证得即可求解； （2）由的面积为可得，分类讨论当点的横坐标小于3时，当点的坐标大于3时，两种情况即可求解； （3）分类讨论①当时，②当时，③当时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图，作轴于轴于， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解： 的面积为， ，即， ， 当点的横坐标小于3时， 分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 同理可证， 点的横坐标为， ， ， 点的坐标为， ，解得， ； 当点的坐标大于3时，如图， 同理可得，点的坐标为， ，解得， 点的坐标为：． （3）解：①当时，由（2）可知与重合， 点的坐标为或， 当点落在直线上时，或，解得：或（舍去）； ②当时，过点作轴的垂线，垂足为，过点作于点， 同理可证明， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当点落在直线上时，， 解得：； ③当时，如图， 设点的坐标为， 则， ， 显然，故此时不成立； 综上可知， 或． 47．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2) (3) (4)，，， 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； （3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 48．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C．    (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析②存在；满足条件的点P为或 【分析】（1）求出的坐标，根据对称性，求出点坐标，待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可； ②分点，点，点分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，，当时，， ∴， ∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C， ∴与关于轴对称，过点， ∴， 设，将，代入得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ①当点在线段上：即：时， ； ②当点在线段的延长线上，即：时，   ， 综上：； （3）①∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②存在， 当点为直角顶点时，设，如图：    ∵平移， 设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴，， 过点作 ，设交轴于点， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图：    过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了4个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点为直角顶点时：此时在轴正半轴上，在轴负半轴上， 设平移后的解析式为：，当时，，当时，， ∴，， 当在的右侧时：      同法可得：， ∴， ∴，解得： 当时，与点重合，不符合题意； 当在的左侧时：    同法可得：， ∴， ∴， ∴， 当时，点的纵坐标不是整数，不符合题意； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，难度大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 题型十四 一次函数与特殊角及关系存在性问题（共4小题） 49．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；    (1)求点E的坐标和k的值； (2)如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； (3)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，k的值是2 (2)所在直线解析式为或 (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）把代入得，即得，把代入得； （2）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为； （3）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 把代入得： ， 解得， 点的坐标为，的值是2； （2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：    由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ∴，，， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图：     ， ， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或； （3）解：在直线上存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：   ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 由，可得直线解析式为， 解得， ； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：    同理可得， 由，可得解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 50．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，求的长； (3)求出当是等腰三角形时直线的函数解析式 (4)如图3，若，过点，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质及分类讨论． （1）根据直线与坐标轴的坐标特点即可求解； （2）连接，根据题意可证明，得到，求出，再利用在中，由股定理求得； （3）分，两种情况讨论，分别求出直线的函数解析式即可； （4）根据平行求出直线的函数表达式为，得到，，再分当点在点左侧，当点在点右侧分别进行求解． 【详解】（1）解：∵直 ， 当时，， 当时，， ∴，两点的坐标分别为，． （2）如图，连接， ∵，两点的坐标分别为，， ． ， ． ， ． ， ． ，． ∵点是线段的中点， ． ． （3）如图，当时，过点作轴，于点， ， ． 轴， ． ． ． ， ． ． 点的坐标为：． ∴直线的函数解析式为：． 如图，当时，过点作轴，于点， ， ，． ． ． 点的坐标为：． ∴直线的函数解析式为：． 综上所述，直线的函数解析式为：或． （4）存在， ∵，，， ∴直线的解析式为． 当时， ∴． ． ， ． 如图，当点在点左侧时，在上取， 又，， ． ． ， ． ∴此时点即为所求． ， ． ∴点的坐标为． 如图，当点在点右侧时， ，， ． 设，则， 由勾股定理得，， ，解得． 此时的坐标为． 综上所述，在轴上存在点，使，点的坐标为或． 51．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图1 ， 在平面直角坐标系中， 一次函数与轴交于点， 与轴交于点， 点为线段的中点， 过点作轴， 垂足为． (1)求两点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点， 连接交轴于点， 且， 在直线上有一点， 使得最小， 求点坐标； (3)如图2， 直线上是否存在点 使得，若存在， 请求出点的坐标， 若不存在， 请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）已知一次函数与轴交于点， 与轴交于点，利用点在坐标轴上的特点，代数求值即可； （2）已知点为线段的中点，轴，可求出，且，得到，进而，要求最小，则根据最短路径原理，作对称点连线求值即可； （3）直线上存在点使得，分两种情况，点分别在轴的上方和下方，画图找点证明即可． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，即时，，点， 与轴交于点，即时，，点 （2）解：点为线段的中点, 由（1）得、，所以根据中点坐标为，即， ，轴， ， ， ， 作点关于直线的对称点，坐标为，连接，与直线交于点，根据最短路径原理，此时最小， 设直线为一次函数，将 、代入得： ，解得， ， 当时，， 即点坐标为； （3）解：如图1 当点在轴上方时，，过点作,交于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形， , , , , , , 设直线为一次函数，将、代入得： ，解得， 当时，， 即点坐标为； 如图2，当点在轴下方时，， 过点作,交于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，同理可得, , 设直线为一次函数，将、代入得： ，解得， 当时，， 即点坐标为； 所以坐标或 【点睛】本题主要考查了一次函数与等腰三角形结合，如何构造等腰直角三角形是解题的关键． 题型十五 一次函数与全等三角形存在性问题（共3小题） 52．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于两点，点的坐标为连结过点作于点点为线段上一个动点． (1)求的长； (2)在线段上是否存在一点使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点关于的对称点恰好落在的边上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】（1）先求出点点坐标，由勾股定理和面积法可求解； （2）分两种情况讨论，先求出解析式，由全等三角形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，利用折叠的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 点，点， 点的坐标为， ， ， ； （2）解：存在，理由如下： 设直线的解析式为 ， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 当时，， ， ， 点在第二象限， 点 ， 当时， ， ， 点在第二象限， 点 ， 综上所述：点坐标为：或； （3）解：如图，当点关于的对称点落在上时，作于点于点 又 ， ， 点的坐标为， 点关于的对称点落在上时， 点是的中点， 点 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 53．（22-23八年级上·浙江金华·月考）直线：分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标 　　； (3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等（重合除外），请求出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 或 或 (3)或或 【分析】（1）由直线过点A，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，进而可得出点B的坐标及的长度，结合可求出点C的坐标，再由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）根据等腰三角形的定义（两条边相等的三角形是等腰三角形）结合图形求解即可； （3）分和两种情况考虑，结合的长度即可得出点D的坐标． 【详解】（1）∵直线：过点A， ∴， ∴． 当时，， ∴点B的坐标为，即． ∵， ∴． ∵点C在x轴正半轴， ∴点C的坐标为． 设直线BC的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为． （2）∵、 ∴， ∴ ①当为腰时，点P的位置有三处，(，和)如图， 当时，则有 ∴， 当时， ∴， 当时， ∴； ②当为底边时，设，则有 解得， ∴， ∴点P的坐标为或 或 或 故答案为：或 或 或； （3）分在x轴上方：和（如图1）和点D在y轴上（如图②）两种情况考虑： 如图①： ①当时， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为； ②当时，，， ∴， ∴点D的坐标为． 如图② 当时， ∴ ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的性质，解题的关键是由点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式；分和两种情况求出点D的坐标． 54．（23-24八年级上·浙江金华·月考）如图，平面直角坐标系中，，，．    (1)求直线的解析式：并求出O到直线的距离； (2)E为直线上一点，若，求满足条件的点E的坐标； (3)当D的坐标为时，在的边上是否存在点P、Q（Q不与D重合）使与全等？若存在，求出P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，O到直线的距离为； (2)满足条件的点E的坐标为，； (3)存在，点 P的坐标为或或． 【分析】（1）本题设直线的解析式为，将将代入解析式求解，即可得到直线的解析式，记O到直线的距离为，利用勾股定理算出，再利用等面积法建立等式求解，即可解题． （2）本题设直线的解析式为，由（1）类似的求出直线的解析式，根据E为直线上一点，设的坐标为，分以下两种情况讨论，①当在轴左侧，②当在轴右侧，结合列出等式求解，即可解题． （3）本题根据点P、Q在的边上使得与全等，利用全等三角形的性质和判定，以长和一次函数上点的坐标特征为突破点，构造三角形全等，要使与全等，可以分为以下三种情况，①在边上，，则，②当，时， ③当于点，交于点时，根据以上三种情况画出图形，结合全等三角形性质进行分析，即可解题． 【详解】（1）解：直线的解析式过点，， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为， 记O到直线的距离为， ，， ， ，即，解得， O到直线的距离为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为， E为直线上一点， 设的坐标为， ①当在轴左侧，    有， ， ，即， ， ，解得， 的坐标为， ②当在轴右侧， 过点作轴于点，    有， ， ， ， ，解得， 的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． （3）解：存在， 要使与全等，则不在边上， ① O到直线的距离为， 过点作于点，    同理可得， ， D的坐标为， ， 设， ， 整理得，解得， ， 与全等， ， 设的坐标为， 解得， 点 P的坐标为， ②当，时， 与全等，    设的坐标为，则的坐标为， ，解得， 点 P的坐标为， ③当于点，交于点时，与全等，    由（1）可知， ， ，， 与全等， 点 P的横坐标为， 点 P在直线上， 点 P的纵坐标为， 点 P的坐标为， 综上所述，点 P的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、全等三角形性质和判定、一次函数图象上点的坐标特征、解题的关键在于根据题意构造三角形全等，并根据全等的性质建立等式求解． 题型十六 一次函数与其它存在性问题（共4小题） 55．（21-22七年级下·山东烟台·期中）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积： (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点P的坐标为时，的最大值为 【分析】（1）作轴于点，可证得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直线的解析式； （2）由三角形的面积公式即可得出结论； （3）延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度，由可得出：点P ．由勾股定理可得，，即可得出答案． 【详解】（1）作轴于点， 由题意，，， ∵， ∴， ∴，， 由，令，得， ∴，， 令，得，得， ∴，， ∴，， ， ∴点D的坐标为， 设直线的解析表达式为， 代入和， 得， 解得， ∴直线的解析表达式为； ∴点D的坐标为，直线的解析表达式为； （2）由题意得，，， ∴； （3）存在，理由如下： 延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度． 令，代入， 解得， ∴点P的坐标为． 在中，由勾股定理得， ． 综上，点P的坐标为时，的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式，两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键． 56．（25-26八年级上·浙江·月考）如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解： ， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，    ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 57．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． （1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点 ， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． （2）解：设 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点在上， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图，过作轴于点， 同理可得或， ∵点在上， ∴或， 解得(舍)或， ∴． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 58．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．    (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2) ；存在， 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，三角形面积等知识，解题的关键是读懂题意，理解“中根三角形”和的“中根线”的定义． （1）作的中线，由是等边三角形，可求出，，故，从而为“中根三角形”； （2）①过B作于K，根据为的“中根线”， ，可得，，又，，知，故，可求出，从而； ②当时，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，则，，过点D作于点H，由的面积可得．根据垂线段最短可得，而当有且只有一个点C落在直线上时，，得到，即可求解．当时，同理可求解． 【详解】（1）证明：作的中线，如图：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为“中根三角形”； （2）解：①过B作于K，如图：    ∵为的“中根线”，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴的面积为； ②存在，理由如下： 当时，如图：    设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴，，， 过点D作于点H， ∴， 即， ∴． ∵为的“中根线”，， ∴， ∵点C落在直线上， ∴由垂线段最短可得， ∴当有且只有一个点C落在直线上时，， ∴， ∴． 当时，如图：    同理可得． 综上所述，当时，有且只有一个点落在直线上． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $