上海市2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

九年级数学试卷参考答案 一、选择题：（本大题6小题，每小题4分，满分24分） 1.C; 2.C;3D; 4.C 5.A: 6.A. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.7 8.-a+2b;9.3-√5；10.50°或65°；11.15； 12.45°： 13.12: 14.15.a-5:1620: 17.√2： 18. 70 39 三、解答题；（本大题共7题，满分78分） 19.解：原式4×（宁 (8分) V31 22 =1-(W3+1)=-√3 (2分) 20.解：（1)联结AF :E是AB的中点，DF=B,EF∥AD,EF=1AD .AD=CF,.四边形AFCD是平行四边形.... (1分) AF∥DC,AF=DC.… (1分) AB=a,AD=b,A亚=1a ，®五=2B (2分) 4F=4B+BRABab. (1分) A=成，=+五 (1分) (2),∠EFB=90°，tan∠FEB=3, BF 1 之在R人BB中，E万3BFl,小B3. (2分) .AD=2EF,AD=CF,..CF=2........ (1分) 在Rt△CFB中，BC=VCF2+BF2=V13. ..(1分) 21.解：(1)过点C作CF⊥AB,垂足为F 在ac烟中，mAg- AF 4 设CF=3k,AF=4k,则AC=5kAB=AC,∴.AB=5k. (1分) AD2,AD2AD2k…（分) AB 5 DF=AF-AD=2k,DC=VcF2+DE2=13............() ·sin☑DCT=DF23 (1分) DC 13 ,CD⊥DE,∠EDB+∠BDC=90. 1 ,∠DCF+∠BDC=90°，∴.∠EDB=∠DCF (1分) ·sin∠BDF=213 13 .(1分) (2)过点B作BQ⊥DE,垂足为Q ·在R△BDQ中，n∠EDF=23 B2_213 13 …(1分) BD 13 AB-5k,AD=2k,BD-BO-63 (1分) 3 BO∥CD,BE-Bg_6 (1分) CE CD 13 爱 .(1分) 22.解（1)画图过程略.… (3分) (2),PN⊥BC,OMLBC,.∠PNB=∠QMB=90°.∴.PN/QM. .PQBC,.四边形PQN是平行四边形. (1分) ∠PM=90°，.平行四边形POMN是矩形.… (1分) 四边形DEFG是正方形，.∠GFB=90°，DG//BC,DG=GF. .PN⊥BC,PO/BC,∴.GF/PN,DGH/PO. .GF_BG DG BG PN BP PO BP .GF DG PN PO ∴PN=PO (3分) ,矩形PQMN是正方形. (1分) ,点P、Q在△ABC的边AC、AB上，N在边BC上 ∴.正方形PON是△ABC的内接正方形.… (1分) 23.证明：（1)，BE平分∠ABC,∠ABE=∠CBF.… (1分) BC.BE=BA.BF,BC_BF … (1分) BA BE .△CBF∽△ABE.∴.∠BCF=∠BAE. (2分) .∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACD=90°. ∠BAE+∠ACD=90°.… (1分) .∠ADC=90°，即CDLAB. (1分) (2)过点C作CHLEF,垂足为H. ,∠ABE=∠CBF,∠BCF=∠BAE,∴∠CFE=∠CEF. cp=cB. (1分) H=B. (1分) ,∠BFD=∠CFH,∠BDF=∠CHF,∴.△BDF∽△CHF.… (2分) H=CB=cp (1分) FD BF 尽)2驱-B=C-DP,即Z孤B驭2CD吸. (1分) 24.任务1：(1)图中的相似三角形：△BEO∽△BDA,△CDO∽△CEA, △BEO∽△CEB,△CDO∽△BDC...…(4分) △BEO∽△CEB证明过程如下： ,△ABC为等边三角形，.∠A=∠ABC=60°，AB=BC, ,AD=BE,∴.△ABD≌△CBE..∠ABD=∠CBE. (1分) :∠BEO=∠CEB,∴.△BEO∽△CEB. (1分) (其他几组同样分步得分) 任务2：(2)过点D作DF∥CE,交AB于点F ·DRIOE,:BOBE DO EF .'BO=DO,.BE=EF... (1分) 设AD=BE=X,则AD=BE=EF=X 设等边三角形ABC的边长为1，则AF=1-2x,DC-1-x. DEICE,AD AF (1分) DC EF :,年1-2x解得x3士5，《x3+5不合题意，含去) 1-x x 2 2 ·DC=1-x=1-3-V5-1+5 ...(1分) 2 2 AD5-1 .(1分) DC 2 任务3：(3)AD+4m-1 (2分) DC 2 4 25.解：（1)在A4BC中，∠C=90,AC8,B=5,÷AB=10（1分） DE/BC,∴∠AED=∠B..sinAED= AD 4 AE =sinB= 5 设AD=4x,AE=5x,则BE=AD=4x,DE=3x. 4x+5x=10,x=10 9 …(1分) AD9D29证9 9 （1分 9 AD.DE=AE.DG.DG=8 (1分) 3 ·点D关于直线AB的对称点为P,DF=2DG=16 (1分) (2)如果△BDE与△BCA相似，：∠B∠B,·BD-BC或BD-BA BE BA BE BC CD=BE=1,.BC-6,AB=10,..BD=6-t. ①当BD-BC时，6=‘-6，解得1=15CD:BD= (2分) BE BA t10 4 3 ②当BD-BA时，6-1_0，解得1=9CDBD= BE BC 4 (2分) 5 (3),点D关于直线AB的对称点为F,.ED=EF. ,△DEF是直角三角形，∴.△DEF是等腰直角三角形.…（1分) ①当点D在线段AC上时，，DF⊥AB,.∠ADG=∠B SinADG=4G-sinB=4 AD 设AD=5t,AG=4t,则BE=AD=5t,DG=3t,DF=6t. 又EG=DG=3t,AB=10,.4t+3t+5t=10.解得t=二 6 DFx …(2分) ②当点D在线段BC上时，：DFLAB,:mB=DC-4 BD 5 设DG=4t,BD=5t,则BG=3t,BE=AD=7t,CD=6-5t 又4C8,六8+(6-5=(7}.解得f=-15±533 (负数舍去)· 12 ∴8.r=号DF-BG=x8x41-350-503 …(2分) 3九年级数学 (满分150分，考试时间100分钟) 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题： 2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效： 3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤， 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）〉 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的 相应位置上。】 如果g-且b是a和c的比例中项，那么的值是（A a ® (c)4: (D)9. 9 2.已知G是△ABC的重心，如果AB=AC=5,AG=2,那么底边BC的长是（▲） (A)4: (B)6: (C)8: (D)10. 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，ab、c分别是∠A∠B、∠C的对边，下列关系正确的是（▲） (a4=2: (B)c0 (C)sinA= (D)cos4= 4.已知a、b是非零向量，如果a=-2五，下列说法中正确的是（▲） (A)a+2b=0: (B)a-2b=0; (C)a上2b: (D)2a=b. 5.己知点D、E分别在△ABC的边AB和AC的反向延长线上，BD=3AB.当AC=kCE 时，DE∥BC,那么k的值是（▲） (C) (D) 3 6.如图1，将两个宽度为3c的矩形纸条叠放在一起，得到四边 B 如果四边形ABCD的面积为I5cm2,那么直线AD、CD所夹锐角 正切值是（▲）· D a 图1 (C) 5 (D) 5 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分) 7.已知货-那么中 九年级数学试卷第1页共4页 8.如果向量a、b和x满足a-x=2(a-),那么x=▲. 9.已知线段AB=2,如果P是AB的黄金分割点(AP>PB),那么PB的长度是▲·（结 果保留根号) 10.如果两个等腰三角形是相似三角形，其中一个三角形的一内角为50°，那么另一个三 角形中底角的度数为▲度 11.已知AD∥BE∥CF,它们与直线影、1，依次交于点A、B、C和点D、E、F.如果F=3 AB=10,那么线段BC的长是▲ 12.在Rt△ABC中，∠C-90°.如果AB=V6,BC-V3,那么∠A=▲度 13.已知△4ABC三边长分别为2、3、4，△DEF的两条边长为6、9，当△DEF最长边为▲ 时，△ABC与△DEF相似： 14.已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高.如果AC=4,CD=3,那么△ACD 面积与△CBD的面积的比值是▲· 15.如图2，在平行四边形ABCD中，点M,N分别是边DC、BC的中点，设AB=a,AD=b. 那么M=▲（用含有向量a、五的式子表示）· 16.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方 法.如图3，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B, 设AB=36cm,A'B=24cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B的距离为▲ cm 17.如图4，在平行四边形ABCD中，AB=BD,过点A作对角线BD的垂线，交边BC于 点F.如果F是边BC的中点，那么AF:CD的值是▲· 30cm-？cm 图2 图3 图4 18.如图5，已知Rt△ABC,∠B=90°，AB=3,BC=4.将△ABC绕着绕顶点A旋转，点 B、C的对应点为D、E,当点D恰好落在△ABC的中线BM的延 长线上时，延长ED交AC于点F,那么CF的长为▲ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19。（本题满分10分) B 图5 计算：4sin230°- tan 45 c0s30°-c0s60° 九年级数学试卷第2页共4页 20。（本题满分10分，第（1)小题6分，第(2)小题4分) 如图6，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB、CE交于点F,DF=FB,AD=CF (1)设AB=a,AD=b,试用a、b的线性组合表示向量DC: (2)如果∠EFB=90°，tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长 21。（本题满分10分，第（1)小题6分，第(2)小题4分) 图6 图7，在△4BC中，AB=AC,tamA=点D在边AB上，BD=,过D作DE DC,交CB延长线于点E. (1)求∠BDE的正弦值： (②)求是的值 22。（本题满分10分，第(1)小题3分，第(2)小题7分) 图7 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两边上， 那么我们把这个正方形叫做三角形的内接正方形， 小明用如下的方法画出了锐角△ABC的内接正方形：如图8，在△ABC的边AB取点D, 过点D作DE⊥BC,垂足为E,以DE为边在△ABC的内部作正方形DEFG,联结BG并 延长，交边AC于点P,过点P作PQ/BC,交边AB于点Q,分别过点P、Q作边BC的垂 线，垂足为N、M,得到的四边形PON为△ABC一个内接正方形. (1)请按照上述画图过程在图8中画出△ABC一个内接正方形PON.（保留画图痕迹) (2)请证明这种画法的正确性. 23。（本题满分12分，每小题各6分) 图8 己知：如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC,点D在边AB上，CD 与BE相交于点F,BCBE=BABF. (1)求证：CDLAB: (2)求证：EF,BF=2CFDF, 图9 九年级数学试卷第3页共4页 24。（本题满分12分，第(1)小题6分，第（2)小题4分，第（3)小题2分) 某校九年级数学兴趣小组在学习“图形的相似”后，开展了一次主题探究活动。他们从一 个基本图形出发，逐步深入，请你参与他们的探究过程，完成下列任务 如图10-1，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边AC、AB上，且AD=BE,BD 与CE相交于点O. 任务1：观察与发现-寻找相似三角形 写出图中的相似三角形（全等三角形除外），并选择其中一对 写出证明过程； 任务2：特殊情形探究--中点条件下的比例 如图10-2，如果BO=OD,求AD:DC的值； B 任务3：一般化推广--比例条件下的规律 图10-1 如果BO:OD=m,直接写出AD:DC的值（用含m的代数式表示） E O 图10-2 25。(本题满分14分，第(1)小题5分，第(2)小题4分，第（3)小题5分) 在△MBC中，∠C=90,AC8,iB=行，点D在边AC或BC上（不与4C重合)， 点E在边AB上，点D关于直线AB的对称点为F,联结DF,交边AB于点G,联结ED、 EF. (1)如图11，当点D在边AC上时，如果DE/BC,AD=BE,求DF的长： (2)当点D在线段BC上时，如果△BDE与△BCA相似，CD=BE,求CD:BD的值； (3)如果△DEF是直角三角形，AD=BE,求△DEF的面积. A B 备用图 图11 备用图 九年级数学试卷第4页共4页