专题07 数列（期末复习知识清单）高二数学上学期沪教版选择性必修第一册

该高中数学数列专题知识清单全面涵盖等差数列、等比数列核心内容，通过13个知识清单系统梳理定义、通项公式、性质及前n项和等要点，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型分类+易错警示+方法总结”四维架构呈现，21类题型覆盖判断、计算、证明等场景，3个易错点聚焦裂项相消、错位相减等高频错误，培养学生数学思维与运算能力。如“等差数列判断方法”明确证明仅用定义法或中项法，助力师生精准突破重难点，提升复习效率。

专题07 数列（13知识&21题型&3易错&3方法清单） 【清单01】等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 【清单02】等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 【清单03】等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 【清单04】等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 【清单05】等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【清单06】等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【清单07】等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 【清单08】等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为 1、当或时，等比数列为递增数列； 2、当或时，等比数列为递减数列； 3、当时，等比数列为常数列（） 4、当时，等比数列为摆动数列. 【清单09】等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【清单10】等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【清单11】等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【清单12】数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【清单13】数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 【题型一】判断与验证等差数列 【例1】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2025·湖北·三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）在数列中，，且，则 ． 【变式1-3】（24-25高三上·上海松江·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（   ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 【题型二】等差数列角标和性质应用 【例2】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列满足，则 ． 【变式2-1】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则 ． 【变式2-2】（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列中，公差，且，则 ． 【题型三】等差数列单调性分析 【例3】（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【变式3-1】（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【变式3-2】（20-21高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 【变式3-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型四】求等差数列最大（小）项 【例4】（20-21高二上·江苏无锡·期中）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式4-1】（20-21高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【变式4-2】（20-21高二上·上海浦东新·期中）在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则 【变式4-3】（22-23高二上·陕西渭南·月考）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【题型五】等差数列基本量（）计算 【例5】（25-26高三上·上海·期中）等差数列中，，则该数列的公差为 . 【变式5-1】（2025·上海黄浦·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 【变式5-2】（25-26高三上·上海·月考）在等差数列中，若，，则的值为 . 【变式5-3】（2025·上海普陀·一模）设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为 ． 【题型六】等差数列片段和性质应用 【例6】（23-24高二上·甘肃武威·期中）等差数列中，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【变式6-1】（23-24高二上·甘肃金昌·月考）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（22-23高二上·上海长宁·月考）已知等差数列的前n项和为，若，，则 【变式6-3】（23-24高二上·上海闵行·月考）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【题型七】两个等差数列前项和比问题 【例7】（24-25高二下·上海奉贤·月考）数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【变式7-2】（21-22高二上·江苏镇江·期末）已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 . 【变式7-3】（22-23高二上·河南许昌·期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 【题型八】等差数列奇偶项和计算 【例8】（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【变式8-1】（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·上海·课后作业）在等差数列中，已知公差，且，求的值． 【变式8-3】（21-22高二上·河南·月考）在等差数列中，已知公差，且，则 . 【题型九】含绝对值的等差数列前项和 【例9】（2025高三·全国·专题练习）在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 【变式9-1】（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【变式9-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【变式9-3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【题型十】判断与验证等比数列 【例10】（2023·上海金山·一模）已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（22-23高二下·上海浦东新·期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既不充分又非必要条件． 【变式10-2】（22-23高二上·上海浦东新·期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式10-3】（24-25高二下·上海宝山·月考）已知数列为等差数列，首项，公差． (1)若，证明：是等比数列； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值． (3)若，求数列的前项和； 【题型十一】等比数列角标和性质应用 【例11】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【变式11-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）若数列是等比数列，且则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式11-3】（2025·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【题型十二】等比数列片段和性质应用 【例12】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等比数列的前 项和 满足 ，则 . 【变式12-1】（23-24高三下·上海·月考）记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 【变式12-2】（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 【变式12-3】（2023·浙江·一模）已知是等比数列的前项和，且，，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【题型十三】等比数列奇偶项和计算 【例13】（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【变式13-1】（22-23高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【变式13-2】（21-22高三上·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 . 【变式13-3】（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知无穷等比数列首项为，公比为r，无穷等比数列首项为，公比为s. (1)若＜1且，求：数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和； (2)若数列满足，且求：的值； (3)请直接写出： . 【题型十四】求等比数列最大（小）项 【例14】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【变式14-1】（2023·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【变式14-2】（2023·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式14-3】（2020·上海青浦·一模）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【题型十五】数列求通项（累加法、累乘法） 【例15】（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则 ． 【变式15-1】（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【变式15-2】（20-21高一下·四川德阳·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式15-3】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【题型十六】数列求通项（利用与关系） 【例16】（24-25高一下·上海·期末）已知数列的前项和满足，则其通项公式 ． 【变式16-1】（24-25高二上·上海·期末）已知数列的前n项和，那么的值为 . 【变式16-2】（2014高三·全国·专题练习）对于正项数列，定义，若，则数列的通项公式 ． 【变式16-3】（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则数列的通项公式 . 【题型十七】数列求通项（构造法、观察法） 【例17】（21-22高二上·上海徐汇·期末）数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为= 【变式17-1】（24-25高二上·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 【变式17-2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）在数列与中，已知，则 ． 【变式17-3】（21-22高一下·上海普陀·期末）设数列满足，，若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 . 【题型十八】数列求和（倒序相加法） 【例18】（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，则 ． 【变式18-1】（24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 【变式18-2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和； (3)设数列满足，.设.若（2）中的满足，恒成立，试求的最大值. 【变式18-3】（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【题型十九】数列求和（分组求和法） 【例19】（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 【变式19-1】（25-26高三上·北京·月考）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式19-2】（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【变式19-3】（25-26高二上·上海·月考）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； 【题型二十】数列求和（裂项相消法） 【例20】（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式20-1】（23-24高二下·内蒙古·期末）在数列中，，且. (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【变式20-2】（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 【变式20-3】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知数列的前n项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若表示不超过x的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 【题型二十一】数列求和（错位相减法） 【例21】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 【变式21-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【变式21-2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，.证明：当时，. 【变式21-3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知数列的前项和为，当时，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，数列的前项和为，若恒成立，求正整数的最大值. 【题型一】使用裂项相消法裂项后前后不一致 【例1】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)若是数列的前项和，求的最小值. 【变式1-1】（2023·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式1-2】（23-24高三上·浙江温州·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式1-3】（24-25高一下·上海·期末）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式； (3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值. 【题型二】错位相减法求前项和时忽视项数与符号 【例2】（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知数列各项均为正数，且满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，求数列的前项和. 【变式2-1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 【题型三】分组并相求和时忽略奇偶性 【例3】（22-23高二下·上海宝山·期末）在数列中，.在等差数列中，前项和为，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式3-1】（21-22高一下·上海长宁·期末）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求； (3)记，若数列中去掉数列中的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值． 【变式3-2】（21-22高一上·上海杨浦·期末）设，数列满足，数列的通项公式为. (1)已知，求k的值； (2)若，设，求数列最大项及相应的序数； (3)若，设，求数列的前n项和. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【题型一】由an与Sn的关系求通项公式 1．已知Sn求an的三个步骤 (1)利用a1＝S1求出a1． (2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式． (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝ 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差、等比数列，或用累加、累乘等方法求解． 【例1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【变式1-2】（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）若数列的前n项和满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型二】由数列的递推关系求通项公式 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 【例2】（24-25高二下·上海嘉定·期末）对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 【变式2-1】（22-23高一下·上海浦东新·期末）若严格递增数列满足，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2021高二下·全国·专题练习）在数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·上海·期中）已知数列满足，且，则 . 【题型三】数列的函数特性 1．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解． 2．判断数列单调性的两种方法 (1)作差(商)法． (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 3．求数列中最大(小)项的两种方法 (1)根据数列的单调性求解． (2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． 【例3】（25-26高二上·上海·月考）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【变式3-1】（25-26高二上·上海·月考）已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为 ． 【变式3-2】（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列（13知识&21题型&3易错&3方法清单） 【清单01】等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 【清单02】等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 【清单03】等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 【清单04】等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 【清单05】等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【清单06】等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【清单07】等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 【清单08】等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为 1、当或时，等比数列为递增数列； 2、当或时，等比数列为递减数列； 3、当时，等比数列为常数列（） 4、当时，等比数列为摆动数列. 【清单09】等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【清单10】等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【清单11】等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【清单12】数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【清单13】数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 【题型一】判断与验证等差数列 【例1】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出等差数列的公差，利用等差数列定义一一判断四个数列，对于④中数列，只需举反例即可说明. 【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 【变式1-1】（2025·湖北·三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出合适的选项. 【详解】若对任意的、，都有，不妨取，则， 所以，，此时，是等差数列， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”； 若是等差数列，不妨取，则， ， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”. 综上所述，“对任意的、，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）在数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题设可得为等差数列，故可求. 【详解】因为，故为等差数列且公差为， 故， 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高三上·上海松江·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（   ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 【答案】C 【分析】构造等差数列得出公差及首项，再应用等差数列通项公式计算即可. 【详解】设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁， 所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为,公差为的等差数列， 1974年5月出生的男职工退休年龄为. 故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月. 故选：C. 【题型二】等差数列角标和性质应用 【例2】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列满足，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列性质结合题意可得答案. 【详解】，则. 故答案为：4 【变式2-1】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则 ． 【答案】4 【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，又，进而求解. 【详解】由题意有，又，， 所以. 故答案为：4. 【变式2-2】（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】2 【分析】转化为是的两个根，由韦达定理和等差数列性质得到. 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列中，公差，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求得，进而得公差，即可求得. 【详解】由题意，在等差数列中，， 由，解得或， 因为公差，所以，则， 所以公差，所以. 故答案为：10. 【题型三】等差数列单调性分析 【例3】（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得. 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 【变式3-1】（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【答案】 【分析】由与的关系再结合等差数列通项公式的基本量计算即可； 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 【变式3-2】（20-21高三上·上海嘉定·期中）已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 【答案】4 【分析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其增减性，求得最小值. 【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差， 故为正整数，关于d单减， ，则当时，故取得最小值为4， 故答案为：4 【变式3-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 【题型四】求等差数列最大（小）项 【例4】（20-21高二上·江苏无锡·期中）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解. 【详解】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题. 【变式4-1】（20-21高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 【变式4-2】（20-21高二上·上海浦东新·期中）在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则 【答案】 【解析】求出公差，与通项公式，由可得使取得最大值时的值． 【详解】设公差为，则得，解得， ， 由，，即， ∴取得最大值时，． 故答案为：9． 【点睛】本题考查等差数列的前项，考查前项和的最值问题． 是等差数列的前项和，时，求其最大值的两种方法： （1）若，，则最大； （2）可利用二次函数的性质求得最大值． 【变式4-3】（22-23高二上·陕西渭南·月考）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【详解】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 【题型五】等差数列基本量（）计算 【例5】（25-26高三上·上海·期中）等差数列中，，则该数列的公差为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 【变式5-1】（2025·上海黄浦·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意利用等差中项化简，可得关于的方程，分别取求即可. 【详解】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 故答案为： 【变式5-2】（25-26高三上·上海·月考）在等差数列中，若，，则的值为 . 【答案】28 【分析】由等差中项可得，，结合等差数列通项公式求出和，再求出即可. 【详解】由题, ，， ,， ， ， . 故答案为：28 【变式5-3】（2025·上海普陀·一模）设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为 ． 【答案】2 【分析】设出基本量，根据已知条件列方程组即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 即，解得. 故答案为：2. 【题型六】等差数列片段和性质应用 【例6】（23-24高二上·甘肃武威·期中）等差数列中，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】 利用等差数列片段和的性质求解即可. 【详解】等差数列中，成等差数列， 所以即. 故选：B 【变式6-1】（23-24高二上·甘肃金昌·月考）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解. 【详解】在等差数列中，成等差数列， 则， 设，则， 故，解得， 所以. 故选：A. 【变式6-2】（22-23高二上·上海长宁·月考）已知等差数列的前n项和为，若，，则 【答案】 【分析】由等差数列片段和的性质知成等差数列，再由等差中项的性质求结果. 【详解】由题设成等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为： 【变式6-3】（23-24高二上·上海闵行·月考）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列片段和性质可得，，成等差数列，再根据等差中项的性质计算可得； 【详解】因为是等差数列，所以，，成等差数列， 则， 因为，，所以，解得. 故答案为：. 【题型七】两个等差数列前项和比问题 【例7】（24-25高二下·上海奉贤·月考）数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 【答案】 【分析】由等比数列前项和的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得：， 故答案为： 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【答案】 【分析】设，在根据得出的关系，进而求得. 【详解】设， 则． 故，则,且． 故， 则． 故答案为：． 【变式7-2】（21-22高二上·江苏镇江·期末）已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 . 【答案】15 【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案. 【详解】由题意得， 设等差数列的公差分别为， ，，故， 故，又， 故，即， ，又， ，即， 联立，化简得， 解得 又是整数，即是整数， 设，故，即， 解得， 令，解得，且， 当时，满足要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 综上，的值为15. 故答案为：15 【变式7-3】（22-23高二上·河南许昌·期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】， 由于， 故答案为： 【题型八】等差数列奇偶项和计算 【例8】（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 【变式8-1】（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 【变式8-2】（23-24高二上·上海·课后作业）在等差数列中，已知公差，且，求的值． 【答案】 【分析】根据等差数列通项可构造方程求得，与已知等式作和可求得结果. 【详解】， ， . 【变式8-3】（21-22高二上·河南·月考）在等差数列中，已知公差，且，则 . 【答案】145 【分析】根据题意得到，再由等差数列性质得到，代入数据计算即可得到答案. 【详解】等差数列中，已知公差， . 故答案为：145. 【题型九】含绝对值的等差数列前项和 【例9】（2025高三·全国·专题练习）在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 【答案】 【分析】先由解得，利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由，即时，，时，， 所以 ． 故答案为：755. 【变式9-1】（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2)52 【分析】（1）设公差为，然后由等差数列的通项公式与前项和公式求解； （2）由（1）判断出前6项为正，然后由前项和公式计算. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）知，所以， . 【变式9-2】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由累加法结合等差数列的求和公式可得； （2）分和两种情况利用等差数列的求和公式求解. 【详解】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 【变式9-3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【答案】(1)，当取得最小值时，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可； （2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； （2）由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 【题型十】判断与验证等比数列 【例10】（2023·上海金山·一模）已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断. 【详解】角的终边不在坐标轴上，有，，，， 对于A，令，则， ，即，A不是； 对于B，令，则，即，B不是； 对于C，令，则， 于是，即，C不是； 对于D，，则，则一定成等比数列，D是. 故选：D 【变式10-1】（22-23高二下·上海浦东新·期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既不充分又非必要条件． 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合等比数列的概念即得. 【详解】由“一个数列是常数列”推不出“这个数列是公比为1的等比数列”，如常数列0,0,0，显然不是等比数列， 由“数列是公比为1的等比数列”可推出“这个数列是常数列”， 故“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的必要非充分条件. 故选：B. 【变式10-2】（22-23高二上·上海浦东新·期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子进行判断. 【详解】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且， ，故成等比数列，且公比为， 因此成等比数列，且公比为， ，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列， 故选：C 【变式10-3】（24-25高二下·上海宝山·月考）已知数列为等差数列，首项，公差． (1)若，证明：是等比数列； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值． (3)若，求数列的前项和； 【答案】(1)证明见详解 (2)13 (3) 【分析】（1）由等差数列通项公式可得，结合等比数列定义分析证明； （2）由题意可得，利用裂项相消法求和； （3）由题意可得以及数列的前项和，根据的符号去绝对值求和. 【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差， 所以. 对于，且， 所以是等比数列. （2）由（1）可知：， 可得， 令，解得， 所以满足的的最小值为13. （3）由（1）可知：， 则，可知数列为等差数列， 设数列的前n项和为，则， 令，解得， 当时，，则； 当时，，则 ； 综上所述：. 【题型十一】等比数列角标和性质应用 【例11】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）在等比数列中，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【详解】， 则， 又，解得， 因为， 所以. 故选：D. 【变式11-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）若数列是等比数列，且则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质可得，再利用对数法则进行运算化简即可. 【详解】数列是等比数列，则， 则. 故选：B 【变式11-2】（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 【变式11-3】（2025·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 又因为在等比数列中，， 又因为是正项等比数列，所以， 所以， 故选:B. 【题型十二】等比数列片段和性质应用 【例12】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等比数列的前 项和 满足 ，则 . 【答案】273 【分析】由等比数列片段和的性质可解. 【详解】等比数列的前 项和 满足成等比数列， 所以，即. 故答案为：273 【变式12-1】（23-24高三下·上海·月考）记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】或 【分析】由等比数列性质得出也成等比数列，从而求得，然后求得公比后，再求得即得． 【详解】设的公比是， ，同理， 由已知，否则公比，，与已知矛盾， 所以也成等比数列，， 又，，所以，解得或， 又，所以与同号，因此， 所以，，， 若，则，，即， 若，则，，即． 故答案为：或． 【变式12-2】（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 【变式12-3】（2023·浙江·一模）已知是等比数列的前项和，且，，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【分析】由是等比数列的前项和得成等比数列，结合，列方程求解即可． 【详解】因为是等比数列，是等比数列的前项和， 所以成等比数列，且， 所以， 又因为，， 所以，即，解得或， 因为， 所以， 故选：C． 【题型十三】等比数列奇偶项和计算 【例13】（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 【变式13-1】（22-23高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 【变式13-2】（21-22高三上·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 . 【答案】120 【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案. 【详解】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 【变式13-3】（25-26高二上·上海杨浦·月考）已知无穷等比数列首项为，公比为r，无穷等比数列首项为，公比为s. (1)若＜1且，求：数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和； (2)若数列满足，且求：的值； (3)请直接写出： . 【答案】(1)； (2) (3). 【分析】（1）由题意可知数列所有奇数项仍成等比数列，数列所有偶数项也成等比数列，根据等比数列的前项和公式表示出数列前个奇数项的和与数列前个偶数项的和，并分别求出当时它们的值，即为数列所有奇数项的和与数列所有偶数项的和； （2）根据所给递推公式求得数列的公比，代入，可求得的值； （3）分类讨论的取值情况，可得到 . 【详解】（1）等比数列首项为a，公比为r，若＜1 数列前个奇数项的和为 若＜1，则由，得，所以当时，. 所以数列所有奇数项的和为. 等比数列首项为b，公比为s.， 所以数列前个偶数项的和为 若，则由，得，所以当时，. 所以数列所有偶数项的和为. （2）若数列满足，则. 由，得，解得. （3）由题可知，. 所以. 【题型十四】求等比数列最大（小）项 【例14】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）    根据题意判定数列为等比数列，利用等比数列的通项公式写出答案； （2）    利用作商法研究数列的单调性，进而得解. 【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 【变式14-1】（2023·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【答案】D 【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 【变式14-2】（2023·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 【变式14-3】（2020·上海青浦·一模）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案． 【详解】，，， ，． ，故①正确； ，，故②不正确； ，是数列中的最大项，故③正确； ，， 使成立的最大自然数等于4038，故④不正确． 正确结论的序号是①③． 故选：B． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 【题型十五】数列求通项（累加法、累乘法） 【例15】（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ． 故答案为：. 【变式15-1】（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】5 【分析】用累加法求解. 【详解】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 【变式15-2】（20-21高一下·四川德阳·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，进而计算即可得出结果. 【详解】当时，； 当时，由，可得， 两式相除得 故答案为： 【变式15-3】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 【题型十六】数列求通项（利用与关系） 【例16】（24-25高一下·上海·期末）已知数列的前项和满足，则其通项公式 ． 【答案】 【分析】应用计算得出通项公式即可求解. 【详解】数列的前项和满足， 当时，， 当时，，满足上式， 则． 故答案为：. 【变式16-1】（24-25高二上·上海·期末）已知数列的前n项和，那么的值为 . 【答案】 【分析】根据，结合对数运算即可求解. 【详解】， 故答案为：1. 【变式16-2】（2014高三·全国·专题练习）对于正项数列，定义，若，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】先把条件化成这样的形式，再利用与的关系，作差即可得到答案. 【详解】由，得， 当时，， 由得，所以， 又时，由得，也满足上式 所以. 故答案为： 【变式16-3】（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】利用和的关系，降标作差即可求出. 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 【题型十七】数列求通项（构造法、观察法） 【例17】（21-22高二上·上海徐汇·期末）数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为= 【答案】， 【分析】观察项与项数的关系，项的变化比较快故可以考虑与指数函数的关系. 【详解】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=. 故答案为: 【变式17-1】（24-25高二上·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 【答案】 【分析】根据递推公式，得到，结合即可求出数列的各项值，进而得到数列的各项值，由此即可求数列的所有项和. 【详解】因为，所以有：， 因为，由此可得，所以， 所以数列为各项均为的无穷数列， 由此可得：. 故答案为： 【变式17-2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）在数列与中，已知，则 ． 【答案】1 【分析】由已知计算可得为常数列，进而可得结果. 【详解】由题意知，， 所以为常数列，即， 所以． 故答案为：1. 【变式17-3】（21-22高一下·上海普陀·期末）设数列满足，，若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】先由数列的递推关系解，代入恒成立的不等式中，分离参数，构造函数求不含参数那一边的最值即可求解 【详解】（） 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列 所以，所以 即 即 设（） 则 当时；当时， 所以当时，取得最大值 恒成立 故，所以 故答案为： 【题型十八】数列求和（倒序相加法） 【例18】（2024·浙江·一模）若，已知数列中，首项，则 ． 【答案】158 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为：158 【变式18-1】（24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 【答案】1012 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 【变式18-2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，、、、），求数列的前项和； (3)设数列满足，.设.若（2）中的满足，恒成立，试求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用指数的运算性质可证得为定值； （2）利用（1）中的结论可得出，并计算出的值，利用倒序相加法可求得； （3）由已知条件可得出，利用裂项相消法可求出，分析数列的单调性，求出的最小值，根据可得出关于的不等式，即可得出正整数的最大值. 【详解】（1）证明：， 因此，. （2）解：由（1）可知，， 则，其中，即， 所以，，且， ，① ，② ①②得，因此，. （3）解：因为，， 对任意的，，则，则， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，数列单调递增， 因为，，， 当时，的最小值为， 因为恒成立，则，解得， 所以，正整数的最大值为. 【变式18-3】（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 【题型十九】数列求和（分组求和法） 【例19】（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，即， 又，即，又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 所以 . 【变式19-1】（25-26高三上·北京·月考）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. （2）. 所以 【变式19-2】（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由等差数列求和公式即可求解； （2）通过和分别求和； （3）由，，和即可求解. 【详解】（1）设等差数列公差为， 由题意， 所以， 所以； （2）当时， ， 当时， ， 综上； （3）由题意：公比， 所以， 则， 记， 所以 . 【变式19-3】（25-26高二上·上海·月考）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析； (2)数列的前项和为； (3)证明见解析. 【分析】（1）由，取，结合可求，结合关系当时，可得，变形为，结合，即可得出，结合等比数列 证明结论； （2）由（1）可得，结合关系可得，所以，利用裂项相消法求数列的前项和； 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， （2）由（1）， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为； 【题型二十】数列求和（裂项相消法） 【例20】（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列的通项公式可得结果； （2）由等差数列的前项和公式及裂项相消法求前项和可得结果. 【详解】（1）由已知，，即， 解得（舍）或， . （2）由（1）得，， ， 【变式20-1】（23-24高二下·内蒙古·期末）在数列中，，且. (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据递推式得，结合等差数列定义判断证明即可； （2）由（1）得，应用累加法求通项公式； （3）应用裂项相消法求. 【详解】（1）由，可得，且， 所以是首项为4，公差为2的等差数列，得证； （2）由（1）有且，则，，， 累加得，且， 所以，显然也满足， 综上，. （3）由题设及（2）有， 所以. 【变式20-2】（23-24高一下·上海·期末）在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依题意得，而，则数列为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消求和． 【详解】（1）解：由，得，得，而， 则数列为等差数列，其首项为1，公差为1， 则， 故的通项公式为：， （2）由（1）知，， 所以 ． 【变式20-3】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知数列的前n项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若表示不超过x的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，最大值为674. 【分析】（1）利用给定的递推公式求得，结合“当时，”进行计算即可. （2）在时，可得，再求和确定范围，按定义即可作答. （3）利用裂项相消法求和，再判断单调性即可求解作答. 【详解】（1）因为， 则当时，， 又因为， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时，， 则 当时，，即对任意的，都有， 所以 （3）由（1）知，， 则有， 因，则数列单调递增，， 因对任意正整数均有成立，于是得，解得，而，则， 所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为674. 【题型二十一】数列求和（错位相减法） 【例21】（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用变形推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. （3）求出，分离参数并构造新数列，探讨数列单调性求出最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，则， 即，因此是以为首项，公差为1的等差数列， 则，. （2）由（1）得， ， 则， 则， 所以； （3），不等式， 即对任意正整数都成立， 令，则， 则，数列是递增数列， 因此，即，所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，分离参数，构造新数列，再探讨单调性是求解的关键. 【变式21-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合等比、等差数列通项列出方程组求解作答； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 【变式21-2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，.证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）分类讨论得出数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，从而可求得通项公式； （2）由（1）求出，用错位相减法求得和后，然后根据设新数列，结合数列单调性进而证明结论. 【详解】（1）因为， 所以当时，，即， 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此； 当时，， 因为，所以，所以为常数， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此. 故数列的通项公式为 （2）由（1）知， ① ② ①②得， 所以 令， 则对恒成立， 所以时，， 所以当时，， 即当时， 【变式21-3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知数列的前项和为，当时，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，数列的前项和为，若恒成立，求正整数的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）时，用代入化简，用等差数列的定义即可证明； （2）用错位相减法求出，不等式可化为恒成立，再用基本不等式求得的最大值，从而可得的最大值. 【详解】（1）由题意知，当时，，所以， 整理得：，即，所以数列是以1为公差的等差数列. （2）由，由（1）知是以2为首项、1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以，① 所以，② ①-②得， 所以，所以. 因为，所以， 由于，当且仅当时等号成立，故正整数的最大值为8. 【题型一】使用裂项相消法裂项后前后不一致 【例1】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)若是数列的前项和，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式； （2）由裂项相消法求和即可得，根据数列单调性可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意， 即，解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由， . 因为，即， 所以为严格增数列， 所以时，有最小值. 【变式1-1】（2023·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1） 利用与的关系式，分类讨论与即可得解； （2）利用裂项相消求和法即可得解. 【详解】（1）因为， 当时，有， 当时，有， 所以， 经检验，满足上式， 所以，； （2）因为，； 所以， 因此. 【变式1-2】（23-24高三上·浙江温州·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等比数列通项公式、前n项和求基本量，进而写出等比数列通项公式. （2）等比数列前n项和公式写出，应用裂项相消法求 【详解】（1）由题知：①， ②， ②÷①得，，解得，代入①式得，， 所以． （2）由（1）知：， 所以， 所以 ． 【变式1-3】（24-25高一下·上海·期末）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式； (3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)627 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的基本量运算可得答案； （2）设求出n为偶数，进而求出两数列的公共项通项公式，利用等比数列求和公式可得答案； （3）利用错位相减法求出，结合单调性和恒成立可得答案. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 解得，所以，. （2）设，则， ， 因为为正整数，所以能被4整除，所以为偶数， 即公共项为，. （3）因为，所以，所以； 又，所以， ， ， 两式相减可得 . ， . 因为，所以； 所以， 时，令， 则， 即为递增数列，所以，解得， 故的最小值为. 【题型二】错位相减法求前项和时忽视项数与符号 【例2】（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知数列各项均为正数，且满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知式子化简得出，即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一证明结果得出，即可得出，即可根据错位相减法得出答案. 【详解】（1）因为，则， 又，所以，即， 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）得，则， ， ， 两式相减得 即. 【变式2-1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，然后利用求得. （2）利用错位相减法求得. 【详解】（1）由于，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 当时，， 所以， 也符合上式，所以. （2）， ，， 两式相减得 ， 所以. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期末）已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义分析怎么，再根据等差数列通项公式求； （2）分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法运算求解. 【详解】（1）因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. （2）由（1）可知：， 若n为偶数，则； 若n为奇数，则； 综上所述：. 【变式2-3】（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设的公比为，的公差为，根据已知条件求出可得答案； （2）根据和的通项公式可得数列中项的特点，由等差数列求和公式可得答案； （3）求出数列的通项公式，分组求和可得，可转化为对任意的都成立，求出的最小值可得答案. 【详解】（1）设的公比为，的公差为， 因为且，所以，， 解得，， 所以，； （2），， 因为数列是正偶数构成的等差数列，数列除首项外，其余项都是的倍数， 所以数列的前50项和； （3）因为，， 所以 ， 由得， 即对任意的都成立， 因为，，等号取不到， 当时，，当时，， 所以正数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 【题型三】分组并相求和时忽略奇偶性 【例3】（22-23高二下·上海宝山·期末）在数列中，.在等差数列中，前项和为，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，再由等差数列通项公式及求和公式求出公差，即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法求出，从而求出，即可判断. 【详解】（1）因为，当，，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，显然a1也满足； 设等差数列的公差为，由，， 可得，解得， 所以； （2）由（1）可得， 又， 则 所以 ， 其中 ， 则 ，， 所以，， 显然是递增数列，，，所以不存在正整数，使得． 【变式3-1】（21-22高一下·上海长宁·期末）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求； (3)记，若数列中去掉数列中的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系即可求解. （2）根据的奇偶，分别求中奇数项的和以及偶数项的和即可. （3）首先求出，然后去除掉中的项，表示出，即可求解. 【详解】（1）由，当时，，解得， 当时，，两式作差得， 即， 所以数列为等比数列，公比为2，所以， 所以数列的通项公式． （2）由,得 所以 ； （3）， 因为， 所以 ． 【变式3-2】（21-22高一上·上海杨浦·期末）设，数列满足，数列的通项公式为. (1)已知，求k的值； (2)若，设，求数列最大项及相应的序数； (3)若，设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)最大项为，相应的序数为57或58. (3) 【分析】（1）由已知代入即可求解； （2）由题，计算，分类讨论n的取值，判断与的大小即可得解； （3）分类讨论n为奇数和n为偶数，利用分组求和结合等差数列求和及等比数列求和公式可得解. 【详解】（1）因为数列满足， ，解得 （2）由题知 显然，令，得 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ，且 所以数列的最大项为，相应的序数为57或58. （3）由已知，即 当n为偶数时， 当n为奇数时， 所以 【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法： （1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； （3）（数列为等差数列）：裂项相消法； （4）等差等比数列：错位相减法. 【变式3-3】（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由等差数列求和公式即可求解； （2）通过和分别求和； （3）由，，和即可求解. 【详解】（1）设等差数列公差为， 由题意， 所以， 所以； （2）当时， ， 当时， ， 综上； （3）由题意：公比， 所以， 则， 记， 所以 . 【题型一】由an与Sn的关系求通项公式 1．已知Sn求an的三个步骤 (1)利用a1＝S1求出a1． (2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1求出an的表达式． (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式，即an＝ 2．Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 提醒：注意an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，转化后往往能构造等差、等比数列，或用累加、累乘等方法求解． 【例1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【答案】D 【分析】利用与的关系即可求解. 【详解】由，得. 故选：D 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由等差数列定义数列为等差数列，求出，利用求出，则等价于，再利用配方法求出取得最大值可得答案． 【分析】由知， 所以数列为等差数列， 又，， 则等差数列的公差， 所以，，则， 故， 经检验，满足该通项公式.故， 则等价于， 故当时，取得最大值1，故的最小值为1． 故选：A. 【变式1-2】（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 【答案】A 【分析】根据，可求出，即可求出，将其化为形式，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列的前项和, 当时，； 当时，， 也适合，故； 则， 由于，时，，时，， 结合二次函数性质，对称轴为， 则当，，递增， 再结合数的特点知， 故数列的各项中所有项均是数列中的项， 故选：A 【变式1-3】（23-24高二上·上海·期末）若数列的前n项和满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求出，由可得，两式相减可证得数列是从第二项开始，为公比的等比数列，再由等比数列的前项和求解即可. 【详解】令可得，又因为，所以， 由可得， 两式相减可得：，则， 所以，又因为， 所以数列是从第二项开始，为公比的等比数列， 所以， . 故选：B. 【题型二】由数列的递推关系求通项公式 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 【例2】（24-25高二下·上海嘉定·期末）对任意正整数n有，且为严格增数列的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．无穷多 【答案】B 【分析】构造数列可得为等比数列，进而可得的通项公式，结合，恒成立，求解的值即可. 【详解】因为，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 因为为严格递增数列，所以，恒成立， 即，恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，且当为偶数时，恒成立， 当为奇数时，恒成立， 因为随的增大而减小，所以，故， 当为偶数时，恒成立， 因为随的增大而增大，所以，故， 所以，故， 所以满足条件的数列的个数为个. 故选：B. 【变式2-1】（22-23高一下·上海浦东新·期末）若严格递增数列满足，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列的单调性可得出或，推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，可求得，然后就或恒成立进行讨论，综合可得出的取值范围. 【详解】因为数列为单调递增数列，由， 解得或， 因为，且， 所以，数列是公比为的等比数列，故， 解得. 若恒成立，可得， 即，即， 因为不等式不可能恒成立，舍去； 若，可得， 即，即，解得， 因此，首项的取值范围是. 故选：A. 【变式2-2】（2021高二下·全国·专题练习）在数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对变形可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，即可得解. 【详解】在中，， 由可得， 所以为以为首项，公差为的等差数列， 所以， 所以， 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一下·上海·期中）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】推导出数列为常数列，可得出，即得出的值. 【详解】因为数列满足，且， 则，所以， 所以数列为常数列，故， 因此，. 故答案为：. 【题型三】数列的函数特性 1．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求解． 2．判断数列单调性的两种方法 (1)作差(商)法． (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 3．求数列中最大(小)项的两种方法 (1)根据数列的单调性求解． (2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． 【例3】（25-26高二上·上海·月考）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意列不等式即可求解. 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-1】（25-26高二上·上海·月考）已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题设，讨论符合求其范围，进而得到的取值范围. 【详解】由题意， 当时，，可得或， 此时，时，恒有或，故或， 同时，由，而， 所以， 所以或，故或， 当时，在上单调递减，则，显然， 且在上单调递增，则，依次类推知时恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 当时，在上单调递增，则，依次类推知恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 所以或 当时，，可得，不合前提； 综上，. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高二下·上海·月考）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用数列单调性定义列式求解得到答案. 【详解】由数列为严格增数列， 得，， 因此，，而数列为严格减数列， 所以，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是 ． 【答案】 【分析】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项. 【详解】， ，， 取最大值，有， ，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $