专题07 数列11题型5易错（期末复习知识清单）高一数学下学期沪教版

**基本信息** 以“定义-公式-性质-应用”为逻辑主线，系统整合等差等比数列核心方法，通过11类题型（含例+变式）实现从概念理解到解题迁移，突出数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列|4题型（例1-例3+变式）|定义法/中项法判定、通项公式函数化、前n项和最值求法|从定义推导通项公式（一次函数模型），延伸至性质（下标和、片段和）及实际应用| |等比数列|5题型（例3-例8+变式）|基本量计算、中项性质、前n项和分类讨论（q=1/q≠1）|类比等差数列，从定义到通项（指数函数模型），强调公比符号与绝对值对单调性的影响| |综合应用|2题型（递推/归纳法）|递推关系转化、数学归纳法两步论证|衔接数列概念，通过递推公式构建新数列，结合数学归纳法证明，体现数学建模素养|

专题07 数列 一、等差数列 1. 设为正整数，若数列满足，则为等差数列； 2. 等差数列的通项公式：； 【补充】若数列｛an｝是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an=f（n）=a1+（n-1）d=nd+（a1-d）. （1）点（n，an）落在直线y=dx+（a1-d）上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1-d ；  （2）这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 注意点： （1）已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. （2）等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一. （3）当d>0时，是递增数列，当d=0时，是常数列，当d<0时，是递减数列. 4. 证明或判定等差数列的方法 （1）定义法：an+1-an=d（n∈N*）. （2）等差中项法：2an=an-1+an+1（n≥2）. （3）通项公式法：an=a1+（n-1）d=pn+q（p，q为常数）. 注意点：证明｛an｝是等差数列常用定义法. 5. 等差数列的性质 ★设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d，则 （1）an=dn+（a1-d）（n∈N*）； （2）an=am+（n-m）d（m，n∈N*）； （3）d=（m，n∈N*，且m≠n）. ★下标性质：在等差数列｛an｝中，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq. 特别地，若m+n=2p（m，n，p∈N*），则有am+an=2ap. 注意点： （1）推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az. （2）该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. （3）在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1+an=a2+an-1=…. ★由等差数列构造新数列 若｛an｝，｛bn｝分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 ｛c+an｝ 公差为d的等差数列（c为任一常数） ｛c·an｝ 公差为cd的等差数列（c为任一常数） ｛an+an+k｝ 公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N*） ｛pan+qbn｝ 公差为pd+qd'的等差数列（p，q为常数） 6. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d 注意点： （1）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. （2）由公式二知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. （3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数. ★【补充】等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列｛an｝中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定. （2）Sn=n2+n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 注意点： （1）当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. （2）Sn取得最大值或最小值时的n不一定唯一. ★等差数列前n项和的性质及应用 （1）设等差数列｛an｝的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. （2）若数列｛an｝是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. （3）在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=-（m+n）. （4）已知等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，则=，=·. （5）等差数列的奇（偶）项和的性质 ①设等差数列｛an｝的项数为2n（n∈N*），则有： S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd，=（an≠0，且S奇，S偶分别是数列｛an｝的所有奇数项和、偶数项和）. ②设等差数列｛an｝的项数为2n-1（n≥2，且n∈N*），则S2n-1=（2n-1）an（an是数列的中间项），S奇-S偶=an，=. 二、等比数列 1.设为正整数，若数列满足，则为等比数列； 2.等比数列的通项公式：； ★3. 等比数列的性质及应用 等比数列通项公式的推广和变形an=amqn-m. 设数列｛an｝为等比数列，则： （1）若k+l=m+n（k，l，m，n∈N*），则ak·al=am·an. （2）若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列. 注意点： （1）性质的推广：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz. （2）该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. （3）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an=a2·an-1=…. ★4. 等比数列的常用结论 （1）若｛an｝是公比为q的等比数列，则 ①｛can｝（c为任一不为零的常数）是公比为q的等比数列； ②｛|an|｝是公比为|q|的等比数列； ③｛｝（m为常数，m∈N*）是公比为qm的等比数列. （2）若｛an｝，｛bn｝分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列｛an·bn｝是公比为q1·q2的等比数列. （3）等比数列的“子数列”的性质 若数列｛an｝是公比为q的等比数列，则 ①｛an｝去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列； ②奇数项数列｛a2n-1｝是公比为q2的等比数列，偶数项数列｛a2n｝是公比为q2的等比数列； ③若｛kn｝是等差数列且公差为d，则｛｝是公比为qd的等比数列，也就是说，若等比数列中项的序号成等差数列，则对应的项依次成等比数列. 3.等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一：Sn= 公式二：Sn= 注意点： （1）用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. （2）公式一中的n表示的是所求数列的项数. （3）公式二中的a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项 . ★利用等比数列前n项和公式判断等比数列 （1）当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式是Sn=Aqn-A.即Sn是n的指数型函数. （2）当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1，Sn是n的正比例函数. 注意点：公比不为1的等比数列前n项和公式的结构特点：qn的系数与常数项互为相反数. ★等比数列前n项和公式的性质 （1）数列｛an｝为公比不为-1的等比数列（或公比为-1，且n不是偶数），Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍构成等比数列. （2）若｛an｝是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，=q. ②在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==（q≠-1）；S奇=a1+qS偶. （3）若｛an｝是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm（n，m∈N*）. 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 三、数列 按照一定顺序排列的一列数称为数列。 四、用数学归纳法证明命题的一般步骤是： （1）证明当取第一个值时，命题成立； （2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立。 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立。 题型一、等差数列及其通项公式 【例1】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则______________． 【答案】4 【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，又，进而求解. 【详解】由题意有，又，， 所以. 故答案为：4. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列满足，则________． 【答案】 【分析】由等差数列性质结合题意可得答案. 【详解】，则. 故答案为：4 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则______． 【答案】2025 【分析】由知，，依题意得，，进而可得. 【详解】由得， 所以，，由知，， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以； 数列为摆动数列，所以， 故. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海闵行·期末）在等差数列中，则_________. 【答案】 【分析】由等差数列的性质，有,结合已知，即可求得. 【详解】等差数列中，， 因为, 所以. 故答案为：. 题型二、求等差数列前n项和 【例2】（24-25高一下·上海·期末）已知数列为等差数列，前项和为，若，，则________． 【答案】 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】数列为等差数列，前项和为， 因为，，则． 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列中，，，则________． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和公式得，结合已知及等差数列的性质和通项公式得，即可得. 【详解】由题设， 由，，则， 设数列的公差为，所以， 易得，故， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海静安·期末）在第三十个世界读书日到来之际，为大力推广全民阅读，某书店开展图书促销活动，第一天卖出图书100本，此后每天比前一天多卖20本.若活动持续15天，则该书店在活动期间共卖出___________本图书． 【答案】3600 【分析】根据题意，这15天卖出的书成等差数列，利用等差数列的求和公式求解. 【详解】由题，这15天卖出的书成等差数列，设，， 则15天共卖出的书有. 该书店在活动期间共卖出3600本图书. 故答案为：3600. 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）设等差数列中，，前项和为，则______． 【答案】30 【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解． 【详解】等差数列中，根据等差数列的性质可知：， 即，则． 故答案为：30． 题型三、等比中项的应用 【例3】（24-25高一下·上海金山·期末）已知是等比数列，若分别是方程的两个根，则___________. 【答案】 【分析】根据根与系数关系及等比数列性质可得，再由等比数列性质可知奇数项同号，得． 【详解】因为分别是方程的两个根，则，所以， 又因为， 再由，知同号，又因为，所以,故. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）在等比数列中，，则__________. 【答案】 【分析】由等比中项的性质易得结果. 【详解】由题意，可得，所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 【答案】2或 【分析】根据等比数列的性质及通项公式计算得解. 【详解】因为， 所以，故， 即，化简得， 解得或， 故答案为：2或 【变式3】（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列的通项公式可得结果； （2）由等差数列的前项和公式及裂项相消法求前项和可得结果. 【详解】（1）由已知，，即， 解得（舍）或， . （2）由（1）得，， ， 题型四、写出等比数列的通项公式 【例4】（24-25高一下·上海·期末）已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 【答案】 【分析】由数列递推式，利用构造法得为等比数列，再根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， ， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为___________小时． 【答案】 【分析】设检测第次时，给药时间为，根据等差数列的定义得，设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，根据等比数列的定义得，进而求得，即可求给药时间. 【详解】设检测第次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以， 设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为， 则数列是首项为，公比为0.4的等比数列，所以， 令，即，解得， 当血药浓度为峰值的时，给药时间为． 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）将面积为的正三角形（其内部为灰色）的三条边的中点两两相连，并将这三条线段所围成的三角形区域设置为白色，得到图①；将图①中的内部为灰色的小三角形都重复上述操作，得到图②；依此类推，可得图③，图④，…．设从左到右第n个图形中的白色三角形区域的总面积为，则满足的n的最小值为______． 【答案】33 【分析】由图形，再结合等比数列求和公式应用指数函数单调性计算即可； 【详解】记第n个图形中灰色区域的面积为. 由图知后一个图形中灰色区域的面积是前一个的倍，第一个三角形的面积为， 故是以为首项，为公比的等比数列，故， 第n个白色三角形区域的总面积为，，， 所以，所以， 因为单调递减，所以 则满足的n的最小值为33. 故答案为：33. 题型五、等比数列通项公式的基本量计算 【例5】（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列满足，，则______． 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求公比及首项，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，由已知得， 解得，所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海·期末）在等比数列中，已知，，则公比______． 【答案】 【分析】将用首项和公比来表示，建立关于公比的等式求解即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且，求集合中元素个数__________. 【答案】9 【分析】设的公差为，由题意基本量化简得到.，代入基本量，化简得到，通过的范围进而得到的范围. 【详解】设等差数列的公差为，，，即.， ，得到，将代入，得到，即. ，，即， 得到，，，，所以元素个数为9个. 故答案为：9. 【变式3】（23-24高一下·上海静安·期末）已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______． 【答案】3 【分析】根据等比数列通项公式以及题意即可求解. 【详解】由题意可知，故， 所以. 故答案为：3. 题型六、求等比数列前n项和 【例6】（23-24高一下·上海·期末）已知数列的通项公式为，则_________. 【答案】/ 【分析】根据已知条件结合等比数列的前n项和公式以及极限思想即可求解. 【详解】由题意得 ， 因为， 所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海·期末）在数列中，，，则__________. 【答案】 【分析】利用等比数列的前项公式求解. 【详解】由，可知数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以 ， 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，若，公比. (1)求数列的通项公式； (2)求前项和：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列前n项和公式结合题中所给数据求出数列的首项即可由等比数列通项公式求出数列的通项公式. （2）先求出和数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式即可得解. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 所以. （2）由（1）得， 所以，故数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以. 【变式3】（23-24高一下·上海金山·期末）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为q，由已知条件列方程组求和，可得数列的通项公式，再由得的通项公式； （2）由数列的通项，利用分组求和，结合等差数列和等比数列的前项和公式求. 【详解】（1）设数列的公比为q，由已知， ， 则有，由，解得，所以； 由，得. （2）， 所以 . 题型七、前n项和与通项关系 【例7】（24-25高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 【答案】D 【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断D项. 【详解】设等比数列,, 对于A，由，得，则，即， 所以当时，满足，但不是单调递增，故A错误； 对于B，由，得，则， 所以当时，满足，满足，但不是单调递增，故B错误； 对于C，当时，由，，此时满足数列单调递增,但， 故C错误； 对于D，由数列是单调递增，则，所以,故， 即，所以，且， 又因为所以即，故D正确. 故选:D 【变式1】已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=___________ 【答案】 【分析】由等比数列的前n项和，可得数列的前三项，再根据等比数列的定义可得，由此可得结果． 【详解】由等比数列的前n项和，可得首项， ， ， 再由等比数列的定义可得，解得t=−1， 当时，， 当时，，也满足，故 经检验符合题意. 故答案为：−1. 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知等比数列，前项和为，满足. (1)求的值及的通项公式； (2)求的值； (3)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据与的关系求出前3项，再由题意知为等比数列即可求出及公比和首项即可求解； （2）把（1）的结论代入化简，再根据等比数列前项和公式即可求解； （3）分组求和即可求解. 【详解】（1）由可得， ， ， 因为数列是等比数列，所以， 即，所以，. 所以，，符合题意； （2）由（1）知，，所以， 令，则，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （3）因为， 所以. 题型八、等比数列的简单应用 【例8】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【答案】(1)约万元 (2)11年 【分析】（1）利用乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%，即可求出他在第5年的年薪； （2）求出小李在甲公司工作连续工作n年的工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论． 【详解】（1）小李在乙公司工作第年的年薪为, 小李在乙公司连续工作年，万元， 所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元； （2）由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为， 小李在乙公司工作10年的总收入， 则， 即, ，， 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入. 【变式1】（22-23高一下·上海浦东新·期末）（1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、除以七余二，求这个整数.设这个整数为，当时，试求符合条件的的个数. （2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的倍.问第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由. 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数即可； （2）设大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成等比数列，然后由等比数列前项和公式计算可得. 【详解】（1）由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23， 满足该条件的数从小到大构成以23为首项，为公差的等差数列， 其通项公式为， 令，解得，所以符合条件的整数a的个数为10. （2）大老鼠“壮壮”和小老鼠“果果”每天穿墙尺寸分别构成数列，它们都是等比数列， 由题意，数列的公比为，数列的公比为， 则， 所以第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”不能喜相逢. 【变式2】在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：①第一年的年薪为万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元） 【答案】(1)证明见解析， (2)至少元 【分析】（1）由题意可得出，利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式； （2）设数列、的前项和分别为、（单位：万元），计算出、，由，解出的范围，即可得解. 【详解】（1）解：由题意可得，且，则， 所以，数列为等比数列，且首项为，公比为， 所以，，故. （2）解：设数列、的前项和分别为、（单位：万元）， 则数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， ， 可得. 所以，每年应至少发放元的交通补贴. 题型九、判断数列的增减性 【例9】（24-25高一下·上海·期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（   ）. A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质可得，逐项分别判断即可. 【详解】，又， 所以， 对于A，若且，则即可，故A是可能，不符合题意， 对于B，若，则可知，则，故B不可能，符合题意， 对于C，若且，则即可，故C是可能的，不符合题意， 对于D，若且，则即可，故D是可能的，不符合题意. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期末）等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，确定数列单调性即可求解. 【详解】令等差数列公差为，由，得， 则，解得，， 显然数列是递减数列，由，得，即数列前6项都为正，从第7项起为负， 所以最大时，的值是6. 故答案为：6 【变式2】（22-23高一下·上海虹口·期末）若数列的通项公式为，则______时取到最大值. 【答案】 【分析】由判断出变号的相邻两项即可求解. 【详解】令，解得， ∵, ∴前项为正数，从项开始为负数， ∴当时，取到最大值， 故答案为： . 【变式3】（22-23高一下·上海普陀·期末）已知无穷数列的各项均为整数．设数列的前项和为，记中奇数的个数为． (1)若，试写出数列的前5项； (2)证明：“为奇数，且为偶数”是“数列为严格增数列”的充分非必要条件； (3)若（为正整数），求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）可得，由此能写出数列的前5项． （2）先证充分性，推导出，从而数列是单调递增数列；再通过举反例说明不必要性． （3）通过分类讨论可得：与的奇偶性相同，进而说明与只能同偶，结合题意即可得结果． 【详解】（1）因为，则， 可得， 所以. （2）先证充分性： 因为为奇数，且为偶数，则有： 当时，为奇数， 当时，则为偶数，可知为奇数， 综上所述：为奇数，则， 又因为，所以数列为严格增数列. 说明非必要性：举反例，可得，所以， 显然数列为严格增数列，但不满足“为奇数，且为偶数”， 综上所述：“为奇数，且为偶数”是“数列为严格增数列”的充分非必要条件. （3）因为 （ⅰ）当为奇数时，为偶数， ①若是奇数，则为奇数，可知为偶数，与矛盾； ②若为偶数，则为偶数，可知为奇数，与矛盾． 所以当为奇数时，不能为偶数； （ⅱ）当为偶数，为奇数， ①若为奇数，则为偶数，可知为偶数，与矛盾， ②若为偶数，则为奇数，可知为奇数，与矛盾， 所以当为偶数时，不能是奇数． 综上所述：与的奇偶性相同. 当与为奇数， 若与同为奇数，可知为偶数，与为奇数矛盾； 若与同为偶数，可知为奇数，与为偶数矛盾； 综上所述：与不能同为奇数， 所以对，与为偶数，则， 所以. 题型十、根据数列递推公式写出数列的项 【例10】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知数列对任意正整数，均满足，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，分别令和，两式作商，即可求解. 【详解】由数列对任意正整数，均满足， 当时，可得；当时，可得， 所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·上海·期末）已知，各项均为正数的数列满足，.若，则______. 【答案】 【分析】根据递推公式求出，即可求解. 【详解】由题设，又得：，， 由， 可得， 因为，可得， 又，，，，， 得， 综上，. 故答案为：. 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值集合为______． 【答案】 【分析】已知，在为奇数和偶数前提下，讨论为奇数和偶数时的取值，即可得出的取值. 【详解】由题知， 若为偶数，则，， 此时若为偶数，则，， 若为奇数，则，（舍去）； 若为奇数，则，， 此时若为偶数，则，， 若为奇数，则，（舍去）. 综上，所有可能的取值集合为. 故答案为： 题型十一、由递推关系式求通项公式 【例11】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A．63 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【分析】根据递推公式可证明是等比数列，求得其通项公式可求. 【详解】由可得，且， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，则. 故选：C 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则最多有_____项 【答案】102 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，结合求解即可. 【详解】，，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，又， 所以， 当时，，即， 所以最多有102项. 故答案为：102. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式3】数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，.证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）分类讨论得出数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，从而可求得通项公式； （2）由（1）求出，用错位相减法求得和后，然后根据设新数列，结合数列单调性进而证明结论. 【详解】（1）因为， 所以当时，，即， 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此； 当时，， 因为，所以，所以为常数， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此. 故数列的通项公式为 （2）由（1）知， ① ② ①②得， 所以 令， 则对恒成立， 所以时，， 所以当时，， 即当时， 题型一、由递推数列研究数列的有关性质 【例1】（21-22高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，则的整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据数列的递推公式，利用裂项相消法求和即可得到，再先判断，通过计算可判断出，即可求出结果. 【详解】因为数列满足，， 所以，即， 所以， 所以， 又因为，即， 所以，所以， ，，，，，， ，即，， ， 因此的整数部分是. 故选：C. 【变式1】（22-23高一下·上海宝山·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则__________. 【答案】98 【分析】根据给定条件，结合前n项和的意义可得当时，，再求出即可求和作答. 【详解】当时，，则， 则当时， ， 因此，而， 所以. 故答案为：98 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）两个由实数组成的无穷数列和具有下述关系：对，，都有已知，. 求的所有可能值. 【答案】 【分析】记, ，则有，是函数的两个实数根. 函数总有两个实数根，所以，进而，知，进而得到答案. 【详解】记, ，则有， 于是，数是函数的两个实数根. 可知，这表明的判别式4. 因为函数总有两个实数根，所以，进而. 由以及，知，进而. 依次倒推，结合，知. 【变式3】（21-22高一下·上海普陀·期末）对于无穷数列，设集合．若为有限集，则称数列为“数列”． (1)已知数列满足，判断是否为“数列”，并说明理由； (2)设函数的表达式为，数列满足．若为“数列”，求首项的值； (3)设．若数列为“数列”，求实数的取值集合． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据，计算即可；（2），当时，，分，两种情况讨即可；（3）当为有理数时，必存在，使得，则，因此集合中元素个数不超过，为有限集；为无理数时，用反证法证明解决即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以是“数列”； （2）由题知，， 所以， 当时，， 因此当时，， 即，此时为“数列”， 当时，， 由得，...， 因此显然不是“数列”； 综上，； （3）当为有理数时，必存在，使得， 则， 因此集合中元素个数不超过，为有限集； 当为无理数时，对任意，下用反证法证明， 若，即， 则或，其中， 则或，矛盾，所以， 因此集合必为无限集； 综上，的取值集合是全体有理数，即． 题型二、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【例2】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（    ） A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】A 【分析】根据通项首项为负，公差为正判断即可. 【详解】易得该等差数列首项为负，公差为正， 故该数列的前n项和， 故当或时取得最小值，无最大值. 故选：A 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据等差数列通项公式解题即可; （2）根据等差数列的前项和公式，再由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列，所以， 因为，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列的前项和， 因为，所以当或时，有最大值，即. 所以数列的最大项和. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）设等差数列的公差为，其前项和为，且满足. (1)求的值； (2)当为何值时最大，并求出此最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）运用等差数列的求和公式和性质求解即可； （2）求出，用二次函数知识来解题即可． 【详解】（1），则，， 故的值为. （2）由（1）知道，，， ， 由于开口向下，且对称轴为. 而，则或者时，最大. ． 题型三、求等差数列前n项和的最值 【例3】（24-25高一下·上海闵行·期末）设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．或为的最大值 【答案】C 【分析】根据等差数列的前n项和公式，求出公差和首项之间的等量关系，分别判断各选项正误. 【详解】由可得，即，故B正确； 因为，所以，即A正确； 因为，，故，即C错误； 因为，，知是递减数列，又，所以为最大值，即D正确. 故选：C. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】由等差数列前项和的性质可得公差，再利用二次函数性质可求最大值. 【详解】设等差数列的公差为，， ， 解得，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 【变式2】（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知等差数列，是数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值，并求取最大值时的值. 【答案】(1) (2)8， 【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项， （2）根据等差数列求和公式，结合二次函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）由题意， （2） 当时，取最大值为8. 题型四、利用an与sn关系求通项或项 【例4】（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则数列的通项公式__________. 【答案】 【分析】利用和的关系，降标作差即可求出. 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知数列的前项和满足，则其通项公式________． 【答案】 【分析】应用计算得出通项公式即可求解. 【详解】数列的前项和满足， 当时，， 当时，，满足上式， 则． 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式______． 【答案】． 【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式． 【详解】由，可得时，； 当时，． 此时，当 综上，可得． 故答案为：． 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由将转化成即可根据等差数列定义和通项公式求解，进而得解. （2）由已知条件可求出，进而得，根据数列是严格减数列，则即可求解. 【详解】（1）因为， 故即， 所以当时， 左右两边除以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故由得， （2）由（1）以及题意得， 即，， 所以，故， 因为数列是严格减数列， 所以， 所以，即， 故，即的取值范围为. 题型五、数学归纳法 【例5】（24-25高一下·上海·期末）观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 【答案】C 【分析】由归纳推理结合题意可得答案. 【详解】注意到， 则可猜想：，AD错误， 或，B错误C正确. 故选：C 【变式1】（19-20高一下·上海浦东新·期末）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是__________. 【答案】 【分析】由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式． 【详解】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）（1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的性质即可求解； （2）利用第n项和前n项和的关系可得，继而变形为，结合等比数列定义即可证明结论，再利用等比数列的通项公式即可求得答案； （3）利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）由题意知等差数列满足：， 则， 则，即， 即. 经验证时满足题意，故. （2）由于， 故当时，，即， 则，即， 是以为首项，为公比的等比数列， 则，. （3）要证点在直线上，即证， 下面用数学归纳法证明． ①当时，，，等式成立， ②假设当（为正整数）时，等式成立，即，即， 那么当时，，等式也成立， 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任意都成立， 故原命题成立. 试卷第1页，共3页 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 一、等差数列 1. 设为正整数，若数列满足，则为等差数列； 2. 等差数列的通项公式：； 【补充】若数列｛an｝是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an=f（n）=a1+（n-1）d=nd+（a1-d）. （1）点（n，an）落在直线y=dx+（a1-d）上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1-d ；  （2）这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 注意点： （1）已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. （2）等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一. （3）当d>0时，是递增数列，当d=0时，是常数列，当d<0时，是递减数列. 4. 证明或判定等差数列的方法 （1）定义法：an+1-an=d（n∈N*）. （2）等差中项法：2an=an-1+an+1（n≥2）. （3）通项公式法：an=a1+（n-1）d=pn+q（p，q为常数）. 注意点：证明｛an｝是等差数列常用定义法. 5. 等差数列的性质 ★设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d，则 （1）an=dn+（a1-d）（n∈N*）； （2）an=am+（n-m）d（m，n∈N*）； （3）d=（m，n∈N*，且m≠n）. ★下标性质：在等差数列｛an｝中，若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则am+an=ap+aq. 特别地，若m+n=2p（m，n，p∈N*），则有am+an=2ap. 注意点： （1）推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az. （2）该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. （3）在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1+an=a2+an-1=…. ★由等差数列构造新数列 若｛an｝，｛bn｝分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 ｛c+an｝ 公差为d的等差数列（c为任一常数） ｛c·an｝ 公差为cd的等差数列（c为任一常数） ｛an+an+k｝ 公差为2d的等差数列（k为常数，k∈N*） ｛pan+qbn｝ 公差为pd+qd'的等差数列（p，q为常数） 6. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d 注意点： （1）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. （2）由公式二知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. （3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数. ★【补充】等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列｛an｝中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定. （2）Sn=n2+n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 注意点： （1）当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. （2）Sn取得最大值或最小值时的n不一定唯一. ★等差数列前n项和的性质及应用 （1）设等差数列｛an｝的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. （2）若数列｛an｝是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. （3）在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=-（m+n）. （4）已知等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，则=，=·. （5）等差数列的奇（偶）项和的性质 ①设等差数列｛an｝的项数为2n（n∈N*），则有： S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd，=（an≠0，且S奇，S偶分别是数列｛an｝的所有奇数项和、偶数项和）. ②设等差数列｛an｝的项数为2n-1（n≥2，且n∈N*），则S2n-1=（2n-1）an（an是数列的中间项），S奇-S偶=an，=. 二、等比数列 1.设为正整数，若数列满足，则为等比数列； 2.等比数列的通项公式：； ★3. 等比数列的性质及应用 等比数列通项公式的推广和变形an=amqn-m. 设数列｛an｝为等比数列，则： （1）若k+l=m+n（k，l，m，n∈N*），则ak·al=am·an. （2）若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列. 注意点： （1）性质的推广：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz. （2）该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. （3）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an=a2·an-1=…. ★4. 等比数列的常用结论 （1）若｛an｝是公比为q的等比数列，则 ①｛can｝（c为任一不为零的常数）是公比为q的等比数列； ②｛|an|｝是公比为|q|的等比数列； ③｛｝（m为常数，m∈N*）是公比为qm的等比数列. （2）若｛an｝，｛bn｝分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列｛an·bn｝是公比为q1·q2的等比数列. （3）等比数列的“子数列”的性质 若数列｛an｝是公比为q的等比数列，则 ①｛an｝去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列； ②奇数项数列｛a2n-1｝是公比为q2的等比数列，偶数项数列｛a2n｝是公比为q2的等比数列； ③若｛kn｝是等差数列且公差为d，则｛｝是公比为qd的等比数列，也就是说，若等比数列中项的序号成等差数列，则对应的项依次成等比数列. 3.等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一：Sn= 公式二：Sn= 注意点： （1）用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. （2）公式一中的n表示的是所求数列的项数. （3）公式二中的a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项 . ★利用等比数列前n项和公式判断等比数列 （1）当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式是Sn=Aqn-A.即Sn是n的指数型函数. （2）当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1，Sn是n的正比例函数. 注意点：公比不为1的等比数列前n项和公式的结构特点：qn的系数与常数项互为相反数. ★等比数列前n项和公式的性质 （1）数列｛an｝为公比不为-1的等比数列（或公比为-1，且n不是偶数），Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍构成等比数列. （2）若｛an｝是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，=q. ②在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==（q≠-1）；S奇=a1+qS偶. （3）若｛an｝是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm（n，m∈N*）. 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 三、数列 按照一定顺序排列的一列数称为数列。 四、用数学归纳法证明命题的一般步骤是： （1）证明当取第一个值时，命题成立； （2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立。 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立。 题型一、等差数列及其通项公式 【例1】（24-25高一下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则______________． 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列满足，则________． 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则______． 【变式3】（23-24高一下·上海闵行·期末）在等差数列中，则_________. 题型二、求等差数列前n项和 【例2】（24-25高一下·上海·期末）已知数列为等差数列，前项和为，若，，则________． 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列中，，，则________． 【变式2】（24-25高一下·上海静安·期末）在第三十个世界读书日到来之际，为大力推广全民阅读，某书店开展图书促销活动，第一天卖出图书100本，此后每天比前一天多卖20本.若活动持续15天，则该书店在活动期间共卖出___________本图书． 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）设等差数列中，，前项和为，则______． 题型三、等比中项的应用 【例3】（24-25高一下·上海金山·期末）已知是等比数列，若分别是方程的两个根，则___________. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）在等比数列中，，则__________. 【变式2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 【变式3】（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型四、写出等比数列的通项公式 【例4】（24-25高一下·上海·期末）已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为___________小时． 【变式2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）将面积为的正三角形（其内部为灰色）的三条边的中点两两相连，并将这三条线段所围成的三角形区域设置为白色，得到图①；将图①中的内部为灰色的小三角形都重复上述操作，得到图②；依此类推，可得图③，图④，…．设从左到右第n个图形中的白色三角形区域的总面积为，则满足的n的最小值为______． 题型五、等比数列通项公式的基本量计算 【例5】（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列满足，，则______． 【变式1】（23-24高一下·上海·期末）在等比数列中，已知，，则公比______． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且，求集合中元素个数__________. 【变式3】（23-24高一下·上海静安·期末）已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______． 题型六、求等比数列前n项和 【例6】（23-24高一下·上海·期末）已知数列的通项公式为，则_________. 【变式1】（23-24高一下·上海·期末）在数列中，，，则__________. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，若，公比. (1)求数列的通项公式； (2)求前项和：； 【变式3】（23-24高一下·上海金山·期末）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 题型七、前n项和与通项关系 【例7】（24-25高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 【变式1】已知数列的前n项和为（其中t为常数），若为等比数列，则t=___________ 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知等比数列，前项和为，满足. (1)求的值及的通项公式； (2)求的值； (3)若数列满足，求数列的前项和. 题型八、等比数列的简单应用 【例8】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【变式1】（22-23高一下·上海浦东新·期末）（1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、除以七余二，求这个整数.设这个整数为，当时，试求符合条件的的个数. （2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的倍.问第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由. 【变式2】在一次招聘会上，甲、乙两家公司分别给出了它们的工资标准.甲公司允诺：第一年的年薪为万元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工资标准如下：①第一年的年薪为万元；②从第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，还另外发放（为大于的常数）万元的交通补贴作为当年年薪的一部分.设甲、乙两家公司第年的年薪依次为万元和万元. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)小李年初被这两家公司同时意向录取，他打算选择一家公司连续工作至少年.若仅从前年工资收入总量较多作为选择的标准（不记其它因素），为了吸引小李的加盟，乙公司从第二年起，每年应至少发放多少元的交通补贴？（结果精确到元） 题型九、判断数列的增减性 【例9】（24-25高一下·上海·期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（   ）. A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期末）等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是______． 【变式2】（22-23高一下·上海虹口·期末）若数列的通项公式为，则______时取到最大值. 【变式3】（22-23高一下·上海普陀·期末）已知无穷数列的各项均为整数．设数列的前项和为，记中奇数的个数为． (1)若，试写出数列的前5项； (2)证明：“为奇数，且为偶数”是“数列为严格增数列”的充分非必要条件； (3)若（为正整数），求数列的通项公式． 题型十、根据数列递推公式写出数列的项 【例10】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知数列对任意正整数，均满足，则_________． 【变式1】（23-24高一下·上海·期末）已知，各项均为正数的数列满足，.若，则______. 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值集合为______． 题型十一、由递推关系式求通项公式 【例11】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A．63 B．128 C．255 D．256 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则最多有_____项 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为__________. 【变式3】数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，.证明：当时，. 题型一、由递推数列研究数列的有关性质 【例1】（21-22高一下·上海浦东新·期末）数列满足，，，则的整数部分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（22-23高一下·上海宝山·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则__________. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）两个由实数组成的无穷数列和具有下述关系：对，，都有已知，. 求的所有可能值. 【变式3】（21-22高一下·上海普陀·期末）对于无穷数列，设集合．若为有限集，则称数列为“数列”． (1)已知数列满足，判断是否为“数列”，并说明理由； (2)设函数的表达式为，数列满足．若为“数列”，求首项的值； (3)设．若数列为“数列”，求实数的取值集合． 题型二、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【例2】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知等差数列，，……，则该数列的前n项和（    ） A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知数列是等差数列，为数列的前项和，； (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）设等差数列的公差为，其前项和为，且满足. (1)求的值； (2)当为何值时最大，并求出此最大值. 题型三、求等差数列前n项和的最值 【例3】（24-25高一下·上海闵行·期末）设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．或为的最大值 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为________． 【变式2】（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知等差数列，是数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值，并求取最大值时的值. 题型四、利用an与sn关系求通项或项 【例4】（24-25高一下·上海·期末）若数列满足，则数列的通项公式__________. 【变式1】（24-25高一下·上海·期末）已知数列的前项和满足，则其通项公式________． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知数列的前项和，则它的通项公式______． 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 题型五、数学归纳法 【例5】（24-25高一下·上海·期末）观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（     ）. A．； B． C．； D． 【变式1】（19-20高一下·上海浦东新·期末）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·上海浦东新·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是__________. 【变式3】（24-25高一下·上海·期末）（1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 试卷第1页，共3页 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $