专题04 数列全章23大题型（期末复习专项训练）高二数学下学期沪教版

**基本信息** 聚焦数列核心知识，以题型为载体系统覆盖等差、等比数列及递推数列，通过分层训练构建从定义到应用的逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列|题型1-8（32题）|定义应用、基本量计算、中项性质、前n项和及最值|从定义出发，通过通项公式、性质到求和及最值，形成完整认知链| |等比数列|题型9-15（27题）|中项应用、定义判定、基本量计算、下标性质及求和|类比等差数列，强化公比特性及分类讨论（q=1与q≠1）| |递推数列与数学归纳法|题型16-23（36题）|单调性分析、an与sn关系、递推求通项、数学归纳法证明|从具体递推关系到抽象通项推导，渗透转化与归纳思想|

专题04 数列 题型1 利用定义求等差数列通项公式（重点） 题型13 等比数列下标和性质及应用 题型2 等差数列通项公式的基本量计算 题型14 求等比数列前n项和 题型3 求等差中项 题型15 等比数列前n项和的基本量计算（常考点） 题型4等差中项的应用 题型16确定数列中的最大（小）项 题型5 利用等差数列的性质计算（常考点） 题型17 根据数列的单调性求参数（难点） 题型6 求等差数列前n项和 题型18 利用an与sn关系求通项或项（常考点） 题型7 等差数列前n项和的基本量计算 题型19 根据数列递推公式写出数列的项 题型8求等差数列前n项和的最值（难点） 题型20由递推关系式求通项公式（难点） 题型9等比中项的应用（常考点） 题型21由递推数列研究数列的有关性质 题型10写出等比数列的通项公式（重点） 题型22数学归纳法 题型11由定义判定等比数列（重点） 题型23数学归纳法证明数列问题（难点） 题型12等比数列通项公式 的基本量计算 题型一、利用定义求等差数列通项公式（共3小题） 1．（23-24高二下·上海宝山·期末）在等差数列中，若，则的通项公式为__________. 2．（24-25高二下·上海青浦·期末）等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为______ 3．（24-25高二下·上海·期末）数列中，，当时，数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等差数列，并求的表达式； (2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最大值． 题型二、等差数列通项公式的基本量计算（共6小题） 4．（24-25高二下·上海松江·阶段检测）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列中，公差，且，则_____． 7．（23-24高二下·上海闵行·阶段检测）已知等差数列的通项公式为，则公差_______________. 8．（23-24高二下·上海·阶段检测）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被4除余数为，被5除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为_____________ 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知数列是等差数列，若点与点在直线上，且A、B两点关于对称，则______． 题型三、求等差中项（共3小题） 10．（24-25高二下·上海青浦·期末）与的等差中项为_____. 11．（24-25高二下·上海宝山·期末）等差数列中，2和8的等差中项为__________. 12．（22-23高二下·上海浦东新·期末）与的等差中项是______． 题型四、等差中项的应用（共3小题） 13．（23-24高二下·上海·阶段检测）若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”.已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 14．（24-25高二下·上海·月考）在数列中，，，且为等差数列，则________． 15．（24-25高二下·上海·期中）若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为______. 题型五、利用等差数列的性质计算（共3小题） 16．已知等差数列，则______． 17．（23-24高二下·上海青浦·阶段检测）已知数列是等差数列，且，则______. 18．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知数列满足，且，，则__________． 题型六、求等差数列前n项和（共7小题） 19．（24-25高二下·上海宝山·期中）是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 20．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，，则______． 21．（23-24高二下·上海闵行·期中）设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则___________． 22．（25-26高二下·上海宝山·期中）设等差数列的前项和为，已知，则___________． 23．（24-25高二下·上海·阶段检测）等差数列的公差，其前项和为，若，则中不同的数值有__________个. 24．（24-25高二下·上海杨浦·月考）已知数列满足：，且，，则的前100项和为______． 25．（24-25高二下·上海·期中）记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________. 题型七、等差数列前n项和的基本量计算（共5小题） 26．（24-25高二下·上海松江·月考）在等差数列中，，则_________. 27．已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为_____________. 28．（25-26高二下·上海·期中）已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 29．（23-24高二下·上海青浦·月考）等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有______个. 30．（24-25高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 题型八、求等差数列前n项和的最值（共3小题） 31．已知等差数列中，，则该数列的前项和的最大值为__________. 32．已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 33．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 题型九、等比中项的应用（共4小题） 34．（25-26高二下·上海·期中）已知等比数列的各项均为正数，若，则______． 35．（25-26高二下·上海·月考）已知是等差数列，，公差为其前项和，若成等比数列，则__________. 36．已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则____________ 37．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)为数列的前n项和，试判断当n取何值时，最大，并求出最大值. 题型十、写出等比数列的通项公式（共3小题） 38．（24-25高二下·上海奉贤·阶段检测）对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 39．已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 40．已知数列的递推公式为. (1)求证：为等比数列； (2)令，求数列的前项和. 题型十一、由定义判定等比数列（共3小题） 41．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知数列满足，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的为递增数列； ③对任意的既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的，都有. 其中所有结论中正确的有（    ）个. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 43．数列满足，数列，数列 (1)求证:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 题型十二、等比数列通项公式 的基本量计算（共5小题） 44．（23-24高二下·上海闵行·月考）已知等比数列，____________. 45．已知为等比数列，且，则的公比为_____________． 46．等比数列满足：，则___________． 47．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____. 48．（2024·上海）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 题型十三、等比数列下标和性质及应用（共4小题） 49．（24-25高二下·上海宝山·期末）在等比数列中，，则________． 50．已知数列为正项等比数列，，，则______． 51．设等比数列的前项和，为正整数，若，，则__________． 52．（25-26高二下·上海·月考）在等比数列中，，，则公比_____． 题型十四、求等比数列前n项和（共7小题） 53．（25-26高二下·上海·期中）设无穷数列的前n项和为，定义，则下列正确的选项为（   ） A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 54．_____________. 55．（25-26高二下·上海·期中）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 56．（23-24高二下·上海闵行·阶段检测）正项数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 57．（25-26高二下·上海·月考）已知数列是等差数列，，公差． (1)设，等比数列满足，，求的前项和； (2)数列前项和为，若，，求的值． 58．（25-26高二下·上海·月考）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 59．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 题型十五、等比数列前n项和的基本量计算（共4小题） 60．（23-24高二下·上海宝山·期末）中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里. 61．在等比数列中，其前n项和为，若，，则______． 62．设等比数列的公比为2，前项和为，若，则__________． 63．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知数列 为公比为 的无穷项等比数列， 为其前 项和，满足 ，则 的取值范围是_____. 题型十六、确定数列中的最大（小）项（共4小题） 64．数列满足，当_____时，最小． 65．（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 66．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 67．（24-25高二下·上海奉贤·阶段检测）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 题型十七、根据数列的单调性求参数（共4小题） 68．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 69．已知数列的通项公式为（λ为实数），若是严格增数列，则λ的取值范围为_____． 70．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为_____. 71．已知数列的通项公式是，其前项的和为.设，若数列是严格增数列，则实数的取值范围是______. 题型十八、利用an与sn关系求通项或项（共5小题） 72．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列的前项和为，则 _____. 73．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列的前n项和为，若，则___________． 74．（23-24高二下·上海闵行·月考）数列的前n项和，且，计算___________. 75．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 76．已知数列的前项和. (1)求的值； (2)求的通项公式. 题型十九、根据数列递推公式写出数列的项（共5小题） 77．（24-25高二下·上海普陀·期末）在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 78．（25-26高二下·上海·期中）在数列中，，（为正整数），则__________. 79．（24-25高二下·上海青浦·期末）在数列中，，，则______. 80．（25-26高二下·上海·期中）甲同学走楼梯，每一步可跨1级台阶或2级台阶或3级台阶．若恰走完8级台阶，则有______种不同的走法． 81．类似巴比伦算法，对于给定的正实数，为了计算的近似值，构造如下数列：选定首项，由递推式得到数列，利用数列可以计算的近似值. (1)设，计算的值（精确到； (2)当时，证明：（可以不加证明地使用下面结论：） (3)当时，用数列计算的近似值时，于第步停止，即使用作为的近似值.若要求，请你估计正整数的值. 题型二十、由递推关系式求通项公式（共5小题） 82．（24-25高二下·上海·月考）已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 83．（23-24高二下·上海浦东新·期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 84．（24-25高二下·云南·期末）数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 85．（25-26高二下·上海·期中）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 86．（24-25高二下·上海奉贤·月考）某地区要进行沙漠治理， 已知第 1 年该地区有土地 1 万平方千米， 其中 70%是沙漠， 30%是绿洲.从第 2 年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 16% 改造成绿洲， 而原有绿洲的 4%被沙漠所侵蚀后又变成沙漠. 设第 年的绿洲面积为 万平方千米 (1)求数列的通项公式 (2)从第几年起，绿洲面积占土地面积的比例超过 60%？ 题型二一、由递推数列研究数列的有关性质（共4小题） 87．数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是（   ） A．， 都有最小值 B．， 都有最大值 C．， 都无最小值 D．， 都无最大值 88．（24-25高二下·上海金山·期末）设由复数组成的数列满足：对任意的正整数，都有（是虚数单位），则数列的前项的和为 __________ ． 89．如表定义函数 1 2 3 4 5 4 5 1 2 3 数列中，，，，3，4，，则______. 90．数列满足：，，且（，），则该数列前100项和______ 题型二二、数学归纳法（共3小题） 91．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 92．下列命题正确的有（ ）个 （1）若数列为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，存在，使得； （3）设为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 93．（23-24高二下·上海·期末）用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为______． 题型二三、数学归纳法证明数列问题（共2小题） 94．（23-24高二下·上海·阶段检测）在数列中，，且，则________． 95．（23-24高二下·上海青浦·阶段检测）已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 2 / 56 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 题型1 利用定义求等差数列通项公式（重点） 题型13 等比数列下标和性质及应用 题型2 等差数列通项公式的基本量计算 题型14 求等比数列前n项和 题型3 求等差中项 题型15 等比数列前n项和的基本量计算（常考点） 题型4等差中项的应用 题型16确定数列中的最大（小）项 题型5 利用等差数列的性质计算（常考点） 题型17 根据数列的单调性求参数（难点） 题型6 求等差数列前n项和 题型18 利用an与sn关系求通项或项（常考点） 题型7 等差数列前n项和的基本量计算 题型19 根据数列递推公式写出数列的项 题型8求等差数列前n项和的最值（难点） 题型20由递推关系式求通项公式（难点） 题型9等比中项的应用（常考点） 题型21由递推数列研究数列的有关性质 题型10写出等比数列的通项公式（重点） 题型22数学归纳法 题型11由定义判定等比数列（重点） 题型23数学归纳法证明数列问题（难点） 题型12等比数列通项公式 的基本量计算 题型一、利用定义求等差数列通项公式（共3小题） 1．（23-24高二下·上海宝山·期末）在等差数列中，若，则的通项公式为__________. 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解. 【详解】由可得公差， 故， 故答案为： 2．（24-25高二下·上海青浦·期末）等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为______ 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】直接根据基本量写出等差数列通项公式 【详解】设等差数列的公差为，由题意，. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海·期末）数列中，，当时，数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等差数列，并求的表达式； (2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】数列不等式恒成立问题、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）由已知等式变形可得，推导可知，对任意的，，在将所得等式变形，结合等差数列的定义可证得结论成立，结合等差数列的通项公式可求得的表达式； （2）推导可知，数列单调递增，由此可得出，解出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）解：当时，数列的前项和为，满足， 即， 整理可得， 因为，则，即，可得， 由，即，可得，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边同时除以可得， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为， 所以，，因此，. （2）解：，对任意的，， 即，所以，数列单调递增， 不等式对所有的恒成立，则，即， 又因为，所以，，即，解得， 因此，满足条件的正整数的最大值为. 题型二、等差数列通项公式的基本量计算（共6小题） 4．（24-25高二下·上海松江·阶段检测）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】求出等差数列的公差，即可求出的值. 【详解】由题意可知，等差数列的公差为，故. 故选：C. 5．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆的弦长与中点弦、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可. 【详解】曲线，即 由已知圆的圆心为，半径为，因为， 所以点在圆内，且， 所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长， 从而公差. 故选：B 6．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列中，公差，且，则_____． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的性质求得，进而得公差，即可求得. 【详解】由题意，在等差数列中，， 由，解得或， 因为公差，所以，则， 所以公差，所以. 故答案为：10. 7．（23-24高二下·上海闵行·阶段检测）已知等差数列的通项公式为，则公差_______________. 【答案】2 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据数列的通项公式，即可得出数列的公差. 【详解】等差数列的通项公式为，所以， 所以公差. 故答案为： 8．（23-24高二下·上海·阶段检测）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被4除余数为，被5除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为_____________ 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的简单应用 【分析】首先根据题意得到，然后结合题目所给范围，即可求解. 【详解】将题目问题转化为既是的倍数也是的倍数，也就是的倍数， 所以，即，令， ∴，又因为，所以共项. 故答案为： 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知数列是等差数列，若点与点在直线上，且A、B两点关于对称，则______． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求点关于直线的对称点 【分析】应用等差数列公式计算得出公差，再应用点对称得出，即可得出通项公式. 【详解】数列是等差数列，若点与点在直线上， 所以， 设等差数列公差为，所以， 因为A、B两点关于对称，则， 又因为，所以， 故. 题型三、求等差中项（共3小题） 10．（24-25高二下·上海青浦·期末）与的等差中项为_____. 【答案】2 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项定义计算求解. 【详解】与的等差中项为:. 故答案为：2. 11．（24-25高二下·上海宝山·期末）等差数列中，2和8的等差中项为__________. 【答案】5 【知识点】求等差中项 【分析】由等差中项的性质即可求解. 【详解】所求为. 故答案为：5. 12．（22-23高二下·上海浦东新·期末）与的等差中项是______． 【答案】8 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项的定义求解即可. 【详解】设与的等差中项是， 则， . 故答案为：8 题型四、等差中项的应用（共3小题） 13．（23-24高二下·上海·阶段检测）若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”.已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【知识点】等差中项的应用、数列新定义 【分析】首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有50组． 【详解】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足， 得 消去，并整理得，， 所以（舍去），，则有， 在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列， 所以必为2的被数， 又，， 所以，则， 即，，， 故这样的数组共50组． 故选：B． 14．（24-25高二下·上海·月考）在数列中，，，且为等差数列，则________． 【答案】 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差中项的性质求解即可. 【详解】因为为等差数列，所以， 则，解得. 故答案为：. 15．（24-25高二下·上海·期中）若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为______. 【答案】1 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，则. 故答案为：1 题型五、利用等差数列的性质计算（共3小题） 16．已知等差数列，则______． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据题意，由等差数列的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，则，即. 故答案为： 17．（23-24高二下·上海青浦·阶段检测）已知数列是等差数列，且，则______. 【答案】9 【知识点】利用等差数列的性质计算、对数的运算 【分析】根据等差数列下标和性质，结合对数运算法则可求得结果. 【详解】由等差数列性质知：， 所以， 故答案为：9. 18．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知数列满足，且，，则__________． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【分析】根据等差中项法判断数列为等差数列，进而利用等差数列的性质求解. 【详解】因为数列满足， 所以数列为等差数列， 所以，又因为，， 所以，解得， 故答案为：. 题型六、求等差数列前n项和（共7小题） 19．（24-25高二下·上海宝山·期中）是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 【答案】10 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和、等差数列的单调性、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，又，可判断数列为递减数列，且，得解. 【详解】由，得， ，又， 所以数列为递减数列，且， ， 所以当时，取得最大值. 故答案为：10. 20．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，，则______． 【答案】260 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列求和公式求解即可． 【详解】利用等差数列求和公式：可得， ． 故答案为：260. 21．（23-24高二下·上海闵行·期中）设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则___________． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据韦达定理，结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，由等差数列的性质可知，， 所以. 故答案为： 22．（25-26高二下·上海宝山·期中）设等差数列的前项和为，已知，则___________． 【答案】210 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】先根据已知求出等差数列的公差和首项，再代入等差数列前项和公式计算可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以 ，解得， 所以. 故答案为：. 23．（24-25高二下·上海·阶段检测）等差数列的公差，其前项和为，若，则中不同的数值有__________个. 【答案】2016. 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】由等差数列求和公式得到，进而可求解. 【详解】已知等差数列的公差，其前n项和为， ， 即， 所以，即， ，即， ，即， 则对称轴为， ，，，，有九组数相同， 则中不同的数值有个， 故答案为：2016 24．（24-25高二下·上海杨浦·月考）已知数列满足：，且，，则的前100项和为______． 【答案】5000 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据，可得数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，再根据等差数列的前项和公式结合分组求和即可得解. 【详解】因为， 所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列， 所以当为奇数时，， 当为偶数时，， 故，， 所以 ， 所以的前100项和为. 故答案为：. 25．（24-25高二下·上海·期中）记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________. 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列的通项公式及前n项和公式，联立组成方程组计算即可. 【详解】是等差数列，设首项为，公差为， 又，， ，即， 解得：， 故答案为：. 题型七、等差数列前n项和的基本量计算（共5小题） 26．（24-25高二下·上海松江·月考）在等差数列中，，则_________. 【答案】2 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质可求解. 【详解】等差数列中，，所以，所以. 故答案为：2 27．已知等差数列的前项和为，，，则满足的的值为_____________. 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由已知利用等差数列通项公式与前项和公式得到关于的不等式，结合得解. 【详解】等差数列中，由，所以， 设等差数列的公差为，则得， 所以， 所以，，， 所以，得，得， 又，所以. 故答案为：. 28．（25-26高二下·上海·期中）已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、数列不等式恒成立问题 【分析】先根据求出的通项公式，再代入不等式求解，结合对勾函数性质及不等式恒成立条件即可求出实数的取值范围． 【详解】由，平方得， 又等差数列中有， 所以， 所以，由于，得， 则，即对任意恒成立， 设， 根据对勾函数性质，当时该式子取得最小值，此时，而， 所以，故． 29．（23-24高二下·上海青浦·月考）等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有______个. 【答案】2020 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】 根据给定条件，求出与的关系，再利用前项和公式，结合二次函数对称性求解即得. 【详解】依题意，，解得， 因此，， 由于二次函数图象的对称轴为， 则在的2024个数值中，， 所以不同的数值有2020个. 故答案为：2020 30．（24-25高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】（1）解得： （2）解得： 题型八、求等差数列前n项和的最值（共3小题） 31．已知等差数列中，，则该数列的前项和的最大值为__________. 【答案】169 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题设条件，求出公差，写出数列的前项和的表达式，依据二次函数的最值求得的最大值. 【详解】设数列的公差为，由可得，则， 故时，取得最大值169. 故答案为：169. 32．已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）求得数列的所有正数项，它们的和为的最大值. 【详解】（1）因为数列是首项为23，公差为-4的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）令，可得，所以数列的前6项为正， 所以数列的前6项和为的最大值，最大值=. 33．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【答案】(1) (2)最小值； 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可； （2）根据的正负性可判断的最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. （2）当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 题型九、等比中项的应用（共4小题） 34．（25-26高二下·上海·期中）已知等比数列的各项均为正数，若，则______． 【答案】 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【详解】在等比数列中， ， 已知 ，所以， 又因为数列各项均为正数，所以． 35．（25-26高二下·上海·月考）已知是等差数列，，公差为其前项和，若成等比数列，则__________. 【答案】49 【知识点】等比中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】因为成等比数列，所以， 即，解得或（舍）， 所以. 36．已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则____________ 【答案】81 【知识点】等比中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得， 即，解得， 代入，故. 37．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)为数列的前n项和，试判断当n取何值时，最大，并求出最大值. 【答案】(1) (2)，338 【知识点】等比中项的应用、求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）先根据成等比数列求公差，再根据等差数列通项公式得结果； （2）根据等差数列前项和公式得，再根据二次函数性质求最大值. 【详解】（1）设的公差为， 由题意，，即 于是 又，所以 (舍去)，. 故. （2）因为 = 当时有最大值为338. 题型十、写出等比数列的通项公式（共3小题） 38．（24-25高二下·上海奉贤·阶段检测）对于数列，若存在实数，使得 对任意正整数 都成立，则称数列 是线性数列，则对于:① 等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（   ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．① 错误②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、数列新定义 【分析】根据“线性数列”的定义进行判断 【详解】数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故①正确； 数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，故②正确； 故选：A 39．已知数列满足：. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）将递推公式由来表示，进而利用等比数列的定义即可判断； （2）由（1）利用等比数列通项公式即可求解. 【详解】（1）证明：由得，易知，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得， 所以. 40．已知数列的递推公式为. (1)求证：为等比数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】分组（并项）法求和、错位相减法求和、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据时，，得到，利用等比数列的定义证明即可； （2）由（1）知，先分组求和，利用错位相减法求的前，再利用公式法求的前项和，即可得解. 【详解】（1）因为当时，， 所以， 又，所以 所以数列是一个首项为2公比为2的等比数列， （2）由（1）得，故， 所以， 先求的前， ， ， 所以， 所以， 又的前项和， 所以数列的前项和为：. 题型十一、由定义判定等比数列（共3小题） 41．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D 【详解】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 42．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知数列满足，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的为递增数列； ③对任意的既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的，都有. 其中所有结论中正确的有（    ）个. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】若为常数列，可得，显然不成立，可判断①；由，可判断②；若是等差数列，可得常数，得到矛盾；若是等比数列，根据递推公式，得到矛盾判断③；两边平方得，迭代计算可判断④. 【详解】对于①，若为常数列，则，根据递推公式， 可得，进而可得，解得，又， 故不存在，使得为常数列，故①错误； 对于②，对于，由递推公式，可得， 所以，，所以， 所以数列是递增数列，结论②正确； 对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数， 则可得是常数数列，则，与矛盾， 故对任意的，既不是等差数列， 若是等比数列，则为常数。根据递推公式， 即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾， 所以对任意的，不是等比数列； 综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确； 对于④，由， 当时，， 两边平方，得， 当时，， 所以当时，，故④正确. 因为②③④正确，所以正确的有个. 43．数列满足，数列，数列 (1)求证:数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【知识点】构造法求数列通项、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）由题设可得，结合题设即可证结论. （2）由（1）可得，结合写出的通项公式. 【详解】（1）由题设，且，即且，而， 所以且，则是首项为，公比为的等比数列，得证. （2）由（1）可得：，故，则， 所以. 则的通项公式为. 题型十二、等比数列通项公式 的基本量计算（共5小题） 44．（23-24高二下·上海闵行·月考）已知等比数列，____________. 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式的基本运算求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 45．已知为等比数列，且，则的公比为_____________． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设出等比数列公比，利用等比数列通项公式列式计算作答. 【详解】设等比数列公比为，依题意，， 而，解得， 所以的公比为. 故答案为：. 46．等比数列满足：，则___________． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意求得，结合，即可求解. 【详解】由等比数列满足：，可得公比， 所以. 故答案为：. 47．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____. 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明等比数列 【分析】由递推公式构造等比数列，再由基本量法可得. 【详解】由题意可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 所以. 故答案为：. 48．（2024·上海）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围. 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 题型十三、等比数列下标和性质及应用（共4小题） 49．（24-25高二下·上海宝山·期末）在等比数列中，，则________． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的下标和性质整理可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且， 可得，即， 所以. 故答案为：. 50．已知数列为正项等比数列，，，则______． 【答案】3 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的性质可得答案. 【详解】等比数列中， 因为，所以， 又为正项的等比数列，所以. 故答案为：3. 51．设等比数列的前项和，为正整数，若，，则__________． 【答案】48 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则有， 又因为， 故答案为：48. 52．（25-26高二下·上海·月考）在等比数列中，，，则公比_____． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比中项的应用 【分析】首先由等比中项性质求出，之后结合条件求出，即可求出公比. 【详解】，解得 当时，，，解得； 当时，，，无解； 综上所述，. 题型十四、求等比数列前n项和（共7小题） 53．（25-26高二下·上海·期中）设无穷数列的前n项和为，定义，则下列正确的选项为（   ） A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】根据选项不同的通项公式，求出与，逐一验证即可. 【详解】对于A，由可得，则，，故A错误； 对于B，因，则 ，则，，故B错误； 对于C，因，则， 则 故， 故，则，故C错误； 对于D，因，则，则， ， 故，故D正确． 54．_____________. 【答案】/ 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】按无穷等比数列的各项和公式直接求值. 【详解】因为：数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以： . 故答案为： 55．（25-26高二下·上海·期中）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. （2）由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 56．（23-24高二下·上海闵行·阶段检测）正项数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以 . 57．（25-26高二下·上海·月考）已知数列是等差数列，，公差． (1)设，等比数列满足，，求的前项和； (2)数列前项和为，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【详解】（1）由题可知， 当时，，， 由题意，等比数列满足，， 公比，所以，所以. （2）则， 由，得， 根据条件，得， 即，即，整理得①， 又，，故②， 联立方程①②可得解得. 58．（25-26高二下·上海·月考）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1)证明见解析，； (2)2025. 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）应用等比数列定义结合已知证明，再应用等比数列通项公式计算求解； （2）应用分组求和结合等比数列通项公式计算，再结合数列单调性计算判断最大整数. 【详解】（1）对任意， 且，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即 （2）记 ， 对任意恒成立， 故数列是严格增数列， 且， 故. 59．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用关系变形已知等式，再同时除以可得； （2）先由等比数列的基本量法求出的通项，再利用关系可得； （3）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意可得，即， 两边同时除以可得， 又， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得， 当时，， 化简可得， 当时，代入也成立， 所以. （3）因为， 则， ， 两式作差可得， 所以. 题型十五、等比数列前n项和的基本量计算（共4小题） 60．（23-24高二下·上海宝山·期末）中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里. 【答案】96 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列， 公比，， 因为，解得， 所以（里）. 故答案为：96. 61．在等比数列中，其前n项和为，若，，则______． 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、写出等比数列的通项公式 【分析】根据等比数列求和公式列方程组解得首项与公比，再代入等比数列通项公式得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，显然不符合题意； 当时，，解得， 所以． 故答案为：. 62．设等比数列的公比为2，前项和为，若，则__________． 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，求得，再由等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由等比数列的公比为2，且， 可得，整理得，解得， 所以. 故答案为：. 63．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知数列 为公比为 的无穷项等比数列， 为其前 项和，满足 ，则 的取值范围是_____. 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的前n项和公式及已知得到 的取值范围. 【详解】数列 为公比为 的无穷项等比数列， 又，易知， 若，， 故， 当，则，此时，显然无解； 当，则，此时，可得； 当，则，此时，可得； 当，则，此时，显然无解； 若，则，显然不成立； 综上，. 故答案为：. 题型十六、确定数列中的最大（小）项（共4小题） 64．数列满足，当_____时，最小． 【答案】或8 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】求最小值，即令，解出的范围，进而可得最小值. 【详解】令，得，又，故当或8时，最小． 故答案为：或8 65．（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项. 【详解】， ，， 取最大值，有， ，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且. 故答案为：. 66．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 【答案】(1)； (2)－6 【知识点】由Sn求通项公式、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）应用计算求解通项公式； （2）先计算作差得，计算单调性即可得最小值. 【详解】（1）当时，； 当时，； 经检验符合通项公式， 所以通项公式为． （2）令，则， 令得； 所以，所以最小项为. 67．（24-25高二下·上海奉贤·阶段检测）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2) 【知识点】确定数列中的最大（小）项、写出等比数列的通项公式、求等比数列中的最大（小）项 【分析】 （1）    根据题意判定数列为等比数列，利用等比数列的通项公式写出答案； （2）    利用作商法研究数列的单调性，进而得解. 【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 题型十七、根据数列的单调性求参数（共4小题） 68．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案. 【详解】根据题意，可得，即， ，对， 又数列是单调递减数列，则， . 故答案为：. 69．已知数列的通项公式为（λ为实数），若是严格增数列，则λ的取值范围为_____． 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据题意，由数列单调性的定义可得，在时恒成立，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，若是严格增数列，且， 则，在时恒成立， 变形可得在时恒成立，因为, 所以必有，即λ的取值范围为； 故答案为：． 70．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】利用数列单调性定义列式求解得到答案. 【详解】由数列为严格增数列， 得，， 因此，，而数列为严格减数列， 所以，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 71．已知数列的通项公式是，其前项的和为.设，若数列是严格增数列，则实数的取值范围是______. 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数、裂项相消法求和 【分析】先由裂项相消法求出，进而得到，由数列是严格增数列求解实数的取值范围即可. 【详解】由，得：. 所以， 因为数列是严格增数列， 所以，在时恒成立， 可得在时恒成立，则， 即的取值范围为. 故答案为：. 题型十八、利用an与sn关系求通项或项（共5小题） 72．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列的前项和为，则 _____. 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由即可得答案. 【详解】因为数列的前项和为， 则. 故答案为：. 73．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列的前n项和为，若，则___________． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据数列的项与和的关系式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 74．（23-24高二下·上海闵行·月考）数列的前n项和，且，计算___________. 【答案】726 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】利用与的关系，求出的通项公式，判断出时，，则，求值即可. 【详解】数列的前n项和， 时，，有 时，， 此时，，有， 所以时，；时，， . 故答案为：726 75．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】由，， ， ， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以当时，取最小值的取值范围是. 故答案为：. 76．已知数列的前项和. (1)求的值； (2)求的通项公式. 【答案】(1)15 (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】 （1）利用即可求得的值； （2）利用数列前项和与通项间的关系即可求得数列的通项公式. 【详解】（1） （2）当时，， 当时，， 综上，的通项公式为 题型十九、根据数列递推公式写出数列的项（共5小题） 77．（24-25高二下·上海普陀·期末）在数列中，，，则（   ）. A． B． C． D．5 【答案】B 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】计算数列的前几项，得到数列的周期，根据周期性即可求解. 【详解】由，得， ， 所以是以为周期的数列，所以. 故选：. 78．（25-26高二下·上海·期中）在数列中，，（为正整数），则__________. 【答案】15 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据累加法求解即可. 【详解】由，则，，，， 则， 即，所以. 79．（24-25高二下·上海青浦·期末）在数列中，，，则______. 【答案】/0.8 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据给定的递推公式，依次求出确定周期，进而求出. 【详解】由题意易知， 当时，由，得， 由，得，，， 因此数列是以为周期的数列，所以. 故答案为： 80．（25-26高二下·上海·期中）甲同学走楼梯，每一步可跨1级台阶或2级台阶或3级台阶．若恰走完8级台阶，则有______种不同的走法． 【答案】81 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】递推得出计算即可； 【详解】最后一步跨1级：前面只需要走到第级需种； 最后一步跨2级：前面只需要走到第级需种； 最后一步跨3级：前面只需要走到第级需种； 故种， 由，， ． 81．类似巴比伦算法，对于给定的正实数，为了计算的近似值，构造如下数列：选定首项，由递推式得到数列，利用数列可以计算的近似值. (1)设，计算的值（精确到； (2)当时，证明：（可以不加证明地使用下面结论：） (3)当时，用数列计算的近似值时，于第步停止，即使用作为的近似值.若要求，请你估计正整数的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)17 【知识点】判断数列的增减性、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、递推数列的实际应用 【分析】（1）直接代入计算； （2）证明是递减数列，然后用作差法证明不等式； （3）利用（2）得出，所以只要即可， 于是，求出的最大值，利用对数运算可得结论． 【详解】（1），； （2）， ， 因为，即， 所以，即数列是递减数列， 所以， 所以． （3）由（2）得 ，所以只要即可， 于是， ，，的最大值为， 所以， 所以． 题型二十、由递推关系式求通项公式（共5小题） 82．（24-25高二下·上海·月考）已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】由已知得出是以为首项，公比为的等比数列，写出数列的通项公式即可求解． 【详解】由，得， 又，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 故选：A． 83．（23-24高二下·上海浦东新·期末）数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（    ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用，可判断①，当时，，，可求判断②. 【详解】由，可得，故①正确； ， 当时，，不适合上式， 所以，故②正确. 故选：C. 84．（24-25高二下·云南·期末）数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】裂项相消法求和、由递推关系式求通项公式 【分析】利用数列的递推关系式，求得，再由时，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】由数列满足， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，可得， 所以数列的通项公式为， 当时，， 所以数列的前9项和为. 故选：A. 85．（25-26高二下·上海·期中）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用的关系可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求得，进而利用单调性可求得的最小值； （3）由题意可得为等比数列，求得，令，利用作差法可得的单调性，进而可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当； 当时，， . 当时，代入符合； 所以，； （2）， . 由单调性知，递增，当时，， 当时，，所以 所以，所以， 所以最小值为. （3） 数列为等比数列，首项为，公比为2， 所以. 所以，令， 所以 当时，， 当时，，所以， 又，，， 因为集合为正整数有且仅有两个元素， 当时，集合为正整数有且仅有两个元素. 所以实数为为的取值范围. 86．（24-25高二下·上海奉贤·月考）某地区要进行沙漠治理， 已知第 1 年该地区有土地 1 万平方千米， 其中 70%是沙漠， 30%是绿洲.从第 2 年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 16% 改造成绿洲， 而原有绿洲的 4%被沙漠所侵蚀后又变成沙漠. 设第 年的绿洲面积为 万平方千米 (1)求数列的通项公式 (2)从第几年起，绿洲面积占土地面积的比例超过 60%？ 【答案】(1) (2)6 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）由题意得到递推公式，再构造数列然后由等比数列的基本量法求出； （2）令，再由对数的运算性质可得. 【详解】（1）由题意，当时， ， 变形为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 所以数列的通项公式. （2）由题意可得， 于是， 因为， 即，又，所以从第6年起. 题型二一、由递推数列研究数列的有关性质（共4小题） 87．数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是（   ） A．， 都有最小值 B．， 都有最大值 C．， 都无最小值 D．， 都无最大值 【答案】A 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、确定数列中的最大（小）项 【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案． 【详解】因为，所以当时，且单调递减； 当时，，且单调递减，故当时，为最小值； 又因为当时，；当时，，故可得最小， 综上可知，都有最小值． 故选：A 88．（24-25高二下·上海金山·期末）设由复数组成的数列满足：对任意的正整数，都有（是虚数单位），则数列的前项的和为 __________ ． 【答案】 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由数列的前n项和具有周期性，且周期为4. 【详解】由已知，得，所以 ， ， ， , , 所以，，， 依次类推，所以数列具有周期性，且周期为4，且. . 得. 故答案为：. 89．如表定义函数 1 2 3 4 5 4 5 1 2 3 数列中，，，，3，4，，则______. 【答案】2 【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据已知条件和数列的周期性求解即可. 【详解】由，， 可得， ， ， ， ，， 可得数列是最小正周期为5的数列， 则. 故答案为：2. 90．数列满足：，，且（，），则该数列前100项和______ 【答案】 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】根据递推公式求得数列前几项，观察可得是以6为周期的数列.进而求出，即可根据周期性得出答案. 【详解】由已知可得，，，，， ，，， 所以，是以6为周期的数列. 又， 所以，. 故答案为：5. 题型二二、数学归纳法（共3小题） 91．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【知识点】数学归纳法 【分析】直接用数学归纳法证明可得答案． 【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 92．下列命题正确的有（ ）个 （1）若数列为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，存在，使得； （3）设为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】数学归纳法、等比数列片段和性质及应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】（1）取特列，分析判断；（2）根据实数的性质分析判断；（3）利用数学归纳法证明，即可得结果. 【详解】对（1）：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，故，，不是等比数列，（1）错误； 对（2）：根据实数性质可得：对，均存在，使得，， 故对，均存在，使得，则，（2）正确； 对（3）：若，则，故，且. 下证对，， 当时，，即； 假设当时，； 当时，则 ∵，当且仅当，即时，等号成立， 则； 故对，. ∵，，则，可得， 可得， ∵， 下证， 当时，则成立； 假设当时，则成立； 当时，则，即； 故. 可得，且，即的取值可能是有限的， 故为有限集，（3）正确； 故选：C. 【点睛】关键点点睛： ①对，则，且； ②在数列递推性质时，常用数学归纳法证明. 93．（23-24高二下·上海·期末）用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为______． 【答案】 【知识点】数学归纳法 【分析】根据题意，得到到时，左边增加两项，减少了一项，即可求解. 【详解】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 题型二三、数学归纳法证明数列问题（共2小题） 94．（23-24高二下·上海·阶段检测）在数列中，，且，则________． 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数学归纳法证明数列问题 【分析】利用递推公式求出数列的前4项，由此猜想．再用数学归纳法证明，由此能求出． 【详解】在数列中，，且， ， ， ， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明： ①，成立， ②假设成立， 则成立， 由①②得， 则． 故答案为：． 95．（23-24高二下·上海青浦·阶段检测）已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数学归纳法证明数列问题、数学归纳法、等差中项的应用 【分析】（1）先根据题意得到之间的等式关系，再证明时，符合题意，而后假设时，所证成立，最后再根据之间的关系，推出时所证成立即可； （2）根据（1）的结论，结合，可得出当时，的通项公式，再验证时，是否符合通项公式，最后写出通项公式即可。 【详解】（1）证明：因为，，成等差数列，所以， 因为，所以上式可化简为， 将带入上式可得：， 当时，，符合， 假设当时，有成立， 则当时，， 因为，所以, 所以,符合， 故有成立； （2）由（1）可得，， 当时，， 因为，符合， 故。 2 / 56 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $