专题02 直角三角形的边角关系（期末复习讲义，6知识点+20题型）九年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理直角三角形边角关系的5个核心考点，明确复习目标与考情规律，分6个知识点细化定义、关系及注意事项，结合图形辅助理解，构建从概念到实际应用的递进知识脉络。 讲义亮点在于20类题型分层设计，从基础概念辨析到综合应用，解题技巧强调构造直角三角形、方程思想等方法，如仰角俯角问题培养模型意识与推理能力。分层练习适配不同学生，考情分析助教师精准把握重难点，提升复习效率。

第2章 直角三角形的边角关系（期末复习讲义） 核心 考点 对应复习目标 对应考情规律 1. 锐角三角函数的定义 能准确说出锐角三角函数的定义，熟练计算直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切值. 多以选择题、填空题形式考查，常结合直角三角形边长计算三角函数值，难度较低 2. 特殊角的三角函数值 熟记特殊角的三角函数值，能快速进行相关计算和化简. 选择题、填空题必考，常与根式运算、代数式化简结合，难度低，属于送分题. 3. 解直角三角形 掌握解直角三角形的方法，能根据已知条件选择合适的三角函数求解边长或角度. 解答题高频考点，常单独出题或结合其他几何图形，难度中等. 4. 解直角三角形的实际应用 理解仰角、俯角、坡度、方位角的含义，能将实际问题转化为直角三角形问题求解. 期末解答题常考题型，联系生活中的测量、导航等场景，难度中等偏上. 5.利用三角函数测高 掌握利用仰角、俯角等概念解决高度测量问题，理解测量原理和计算方法. 常作为解答题最后一问，查看实际应用能力. 知识点01锐角三角函数 1、正切、正弦、余弦 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A. 正弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 余弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cos A，即cos A＝ ＝ ＝． 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． 2、锐角三角函数：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数． 3、锐角三角函数之间的关系： （1）正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sin A=cos (90－A)=cos B, cos A =sin(90º－A)=sin B． （2）同角的正弦、余弦关系：sin 2A+cos 2A=1． tan A= 知识点02 30°、45°、60°的三角函数值 1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 （1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. （2）当角度在0°~ 90°之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. 知识点03用计算器求锐角三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按 （或 ）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按 键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为： （或 ）、、度数、、分数、秒数、、 . 【注意】 使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值. 知识点04 解直角三角形 1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2、直角三角形中的边角关系： 直角三角形各元素之间的关系 图形 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°. 三边之间的关系 a² + b²=c² 边角之间的关系 sin A＝ ＝ ＝． sin B＝ ＝ ＝． cos A＝ ＝ ＝． cos B＝ ＝ ＝． tan A＝ ＝ ＝． tan B＝ ＝ ＝． 3、解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 【注意】 1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边. 知识点05 三角函数的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 知识点06 利用三角函数测高 1、测量倾斜角 测量倾斜角可以用测倾器 ——简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. 2、测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）. 3、测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）. ◆测量物体高度的方法可利用全等三角形、相似三角形和三角函数等有关知识测高. 题型一 正切、正弦、余弦的相关概念 【典例1】如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 【变式2】在中，，则下列三角函数值正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦、余弦、正切定义．首先利用勾股定理计算出的长，再利用三角函数定义进行计算即可． 【详解】解：如图： ∵ ∴， ∴，，，， 故选：B． 题型二 根据定义求锐角函数值 解｜题｜技｜巧 1、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值. 2、在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函 数值，即可求出其他所有锐角的三角函数值. 【典例1】（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，，的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，熟记余弦的定义是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，， ∴ ∴． 故选A． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，根据勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】如图，在矩形中，，把矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，余弦的定义，解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．令，则，由翻折可知，，结合矩形的性质推出，令，则 ，在中，利用勾股定理求出，，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：令，则，由翻折可知，． ∵四边形是矩形， ，， ， ， ． 令，则 ， 在中，，即， 解得， ，， 在中，． 故答案为：． 题型三 由锐角三角函数值求三角形的边长 解｜题｜技｜巧 已知一边及其邻角或对角的锐角三角函数时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题. 【典例1】（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，，则点B到 直线的距离是（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，过点B作于点D，根据题意得，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴， 即点B到直线的距离是． 故答案为：B． 【变式1】（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义．根据同角的余角相等求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵矩形中，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型四 特殊锐角三角函数的计算 解｜题｜技｜巧 先求出特殊角的三角函数值，然后按照实数的运算顺序和法则进行计算即可解答. 【典例1】（24-25九年级上·河南商丘·期末）计算的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 ． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可． 本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型五 根据特殊角的三角函数值求角的度数 解｜题｜技｜巧 根据特殊角的三角函数值求角的度数，首先要看准三角函数的类别，同样的函数值，不同类别，角的度数可能不一样. 【典例1】在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·广西梧州·期末）若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，当正切值为时，对应的角度为，由此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在中，若，则 ． 【答案】/90度 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴ 故答案为：． 题型六 利用特殊角的三角函数判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧 首先利用非负性求出特殊角的三角函数值，然后应用三角形的内角和定理来判断三角形的形状. 【典例1】若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 【答案】A 【分析】根据非负数的性质，求出和的度数，然后可判定的形状． 【详解】解：由题意得：，， 即，， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 【变式1】若，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据非负数的性质得到，再由特殊角的三角函数值求出的度数，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 由特殊角的三角函数值可知此时， 此时， 则的形状是钝角三角形， 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式2】在中，若，，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案． 【详解】解：在中， ，， 且，都是锐角， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记住特殊角的三角函数是解题关键． 题型七 已知角度比较三角函数值的大小 解｜题｜技｜巧 解题技巧提炼 锐角的正弦函数值随角度的增大而增大 ，锐角的余弦函数值随角度的增大而减小 锐角的正切函数值随角度的增大而增大. 【典例1】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 【变式1】s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知，，． 又，正弦值随着角的增大而增大， ． 故选D． 【变式2】若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可． 【详解】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 题型八 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解｜题｜技｜巧 主要是利用锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，关键是锐角三角函数增减性的熟练掌握． 【典例1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 【变式1】（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解： ，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 【变式1】已知为锐角，且，那么下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的增减性，可得答案． 【详解】解：， 由正切函数随锐角的增大而增大，得 tan30°＜tanA＜tan45°， 即30°＜A＜45°， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键． 题型九 同角或互余两角的三角函数的关系 解｜题｜技｜巧 商数关系：; 平方关系: ; 互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°， 则sinA= cosB，cosA= sinB， tanA · tanB = 1 . 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】根据三角函数的定义，sinA，因而可以设BC＝5k，则AB＝13k，根据勾股定理可以求得AC的长，然后利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA， ∴设BC＝5k，则AB＝13k， 根据勾股定理可以得到：AC12k， ∴cosA． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，正确理解三角函数可以转化成直角三角形的边的比值，是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：， 设，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 【变式2】已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： ． 如图2： ． 如图3： ． ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 题型十 利用网格求锐角三角函数 解｜题｜技｜巧 利用网格求锐角三角函数值时，要利用网格的特性来解决问题:(1)任何格点之间所连的线段都是某个正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点之间所连的线段的长度都能求出；(2)利用正方形的性质容易得出一些特殊的角，如45°，90°角等. 【典例1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则 的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据勾股定理，可得的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】如图： 由题知，，，， 由勾股定理，得， ． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，取格点，连接，由网格线的特征易得共线，根据勾股定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格线的特征得共线， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可．此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出的长解答． 【详解】解：由勾股定理得： , ∴是直角三角形，， ∴，，， 故选：A． 题型十一 锐角三角函数与平面直角坐标系 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 【典例1】如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　） A． B．（8，12） C． D．（6，10） 【答案】B． 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，结合题意得出∠EAC＝∠OBC，继而得出EC＝OD＝8，解Rt△CDB，得出CD＝12，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E， ∵∠ACB＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠OBC+∠OAC＝180°， ∵∠EAC+∠OAC＝180°， ∴∠EAC＝∠OBC， ∵AC＝10，， ∴， ∴EA＝6， ∴， ∴OD＝EC＝8， ∵OB＝17， ∴BD＝9， ∵， ∴CB＝15， ∴， ∴C（8，12）． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，得出∠EAC＝∠OBC是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先根据三角函数设，则，根据旋转求B和的坐标，根据中点坐标公式表示C的坐标，代入反比例函数表达式求得x的值，从而求得、的长，根据三角形面积公式即可求得的面积． 【详解】解：作于D， 设，则， ∵将绕点逆时针旋转后得到， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵点C为斜边的中点， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、勾股定理等知识． 过点D作轴于点F，设交y轴于点G，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理可得，，再由，可得，再利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：过点D作轴于点F，设交y轴于点G， ∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B 题型十二 解直角三角形 解｜题｜技｜巧 解直角三角形的核心是“知二求三”（除直角外，至少知道两个元素且其中一为边），通过勾股定理、锐角三角函数和两锐角互余关系列方程求解，优先使用原始数据、避免中间近似以提高精确度. 【典例1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 【变式1】如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【变式2】如图，在中，，于D，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，求锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）利用勾股定理求出，然后求锐角三角函数的值即可； （2）利用等面积法求出的长，然后求锐角三角函数即可； （3）利用等面积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由等面积法可得，， ∴， ∴； （3）解：由等面积法可得，， ∴． 题型十三 解非直角三角形 解｜题｜技｜巧 解斜三角形问题的方法：先通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解. 【典例1】如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 过点作的垂线，再结合特殊角的三角函数值即可解决问题． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， 在中，， 因为， 所以， 则． 在中，， 因为， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，是的角平分线，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线． 作于，作于，分别解直角三角形求得和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】解：如图，作于，作于， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ， 在中，设， 在中，， ∴， 由得，， ， ， 故答案为： 2 ． 题型十四 利用解直角三角形求图形的面积 解｜题｜技｜巧 求不规则图形的面积有两种方法：一是补形法，补形成直角三角形的问题解决；二是分割法，分割成一个直角三角形和其它图形. 【典例1】如图，在中，， ，，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．10.5 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点作于点D，先解，再解，求出即可． 【详解】解：过点作于点D， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在四边形中，，，，，则四边形 的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式1】如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点A作ADCB于点D，利用，，勾股定理，结合三角形面积公式计算即可． 【详解】如图，过点A作ADCB于点D， 因为，AB=6， 所以， 所以=； 因为，AD=3， 所以DC=3AD=9， 所以的面积为：=． 【点睛】本题考考查了化斜为直解直角三角形，勾股定理，熟练掌握解直角的基本方法，灵活选择三角函数是解题的关键． 题型十五 俯角与仰角问题 解｜题｜技｜巧 1、在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． 2、水平线与竖直线的夹角是90°,据此构造直角三角形. 【典例1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；利用三角函数把和用含的代数式表示出来，再根据求出结果即可． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，乐乐想测对面杆子的高度，他离杆子的距离 为，在点他仰视杆顶，测得仰角为，他沿向杆走近了到达点，再次测得仰角为，乐乐高 度为，则杆的高度为（　   ），已知． A． B． C．3.6 D．4.6 【答案】B 【分析】通过设未知数，利用三角函数关系建立方程，求出相关线段长度，进而求得杆高．本题主要考查了三角函数在实际测量中的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：设米． ∵在中，， ∴米． ∵米， ∴米． ∵在中，，， ∴，即． ∵解方程， ∴， ， ， ， ． ∵米， ∴（米）． 故选：B． 【变式2】如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点C处，测得点C距地面70米，测得楼底A的俯角为，楼顶C的俯角为，求大楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）． 【答案】大楼的高度约为49.8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点E，则，根据题意可得：米，然后先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点E，则， 由题意得：米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴大楼的高度约为49.8米． 题型十六 方位角问题 解｜题｜技｜巧 1、以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角（方位角）. 2、通过向南北(东西)方向作垂线,或向航线作垂线,构造直角三角形. 【典例1】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点作于点，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：点作于点， ， 由题意可得：，， ∴，， 在中，米， ∴米， 米， ∴米， ∵， ∴（米）， 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾 到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行 驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形性质和计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键；过点B作于点D，根据，，利用三角形内角和定理求出，在得出长度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的长． 【详解】如图所示：过点B作于点D，    由题意得：，， ， ， ， ，， （千米），， （千米）， （千米）， 故选：A 【变式2】某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时40海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值） 【答案】海里 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设海里，则海里，解直角三角形得到海里，海里，海里，据此建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于H， 由题意得，，，，海里， 设海里，则海里， 在中，海里， 在中，海里， 在中，海里， ∴， 解得， ∴海里， 答：A、D两点间的距离为海里． 题型十七 坡度（角）问题 解｜题｜技｜巧 1、坡面与水平面的夹角叫做坡角.坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 2、坡面与其铅直高度和水平宽度构成直角三角形. 【典例1】如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是 ． 【答案】/米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键． 根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵坡的斜坡坡度， ∴，而， 即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 【变式1】为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长 米．（结果精确到米）（参考数据：，，） 【答案】10 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴在中，（米）． ∴斜坡的长约为10米， 故答案为：10． 【变式2】为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作于点N，过点D作于点M，根据已知得出，则，再解Rt，由通道斜面的坡度，得出，然后根据勾股定理求出； （2）先解Rt，求出，得出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点N，过点D作于点M， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∵通道斜面的坡度， ∴， ∴， ∴． 即通道斜面的长约为米； 故答案为：； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∴ （米）． 答：的长为米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型十八 利用解直角三角形解决方案设计问题 解｜题｜技｜巧 解决方案设计问题的关键是要找准达到方案要求的关键点，然后再利用解直角三角形的一般步骤来解决即可解答. 【典例1】某房地产集团筹建一小区，居民楼均为平顶条式，南北朝向，楼高统一为16m（五层）．已知该城市冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为32°． （1）如果甲、乙两楼相隔仅有20m（如图），试求此时甲楼的影子落在乙楼上有多高； （2）根据居住要求，每层楼在冬天都要受到阳光照射，请你重新设计一个方案．（精确到0.1m，参考数据：tan32°≈0.6249） 【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，解直角△ACE，求出AE的长，从而求得CD的长； （2）设射线AC交直线BD于点F．在Rt△ABF中，利用正切函数求得BF的长，即为使前后楼每层居民在冬天都能有阳光，两楼应至少相距的米数． 【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于E， 由题意可知∠ACE＝32°，CE＝BD＝20m． 在Rt△ACE中，∵tan∠ACE， ∴AE＝CE•tan∠ACE＝20•tan32°≈12.5， ∴DC＝EB＝AB﹣AE＝16﹣12.5＝3.5． 答：此时南楼的影子落在北楼上约3.5米高； （2）如图，设射线AC交直线BD于点F． 在Rt△ABF中，∵AB＝16，∠F＝32°， ∴BF25.6． 答：如按城市规划要求，使前后楼每层居民在冬天都能有阳光，两楼间的距离约是25.6米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 【变式1】如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC ＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠ B'AD＝27°． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，） 【分析】（1）过点B′E⊥AD于E，根据正弦的定义求出B′E，进而求出车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）过点C′作C′F⊥B′E于点F，根据题意求出∠C′B′F＝60°，根据余弦的定义求出B′F，再求出点C'到地面l的距离，比较大小证明结论． 【详解】解：（1）如图2，过点B′E⊥AD于E， 在Rt△AB′E中，AB′＝AB＝1m，∠B′AD＝27°， ∵sin∠B′AE， ∴B′E＝AB′•sin∠B′AE＝1×sin27°≈0.454（m）， ∴点B'到地面l的距离为：0.454+1.7＝2.154≈2.15（m）， 答：车后盖最高点B'到地面l的距离约为2.15m； （2）没有碰头的危险， 理由如下：如图2，过点C′作C′F⊥B′E于点F， 在Rt△AB′E中，∠B′AD＝27°， 则∠AB′E＝90°﹣27°＝63°， ∵∠AB′C＝∠ABC＝123°， ∴∠C′B′F＝60°， ∵B′C′＝BC＝0.6m， ∴B′F＝B′C′•cos∠C′B′F＝0.60.3（m）， ∴点C'到地面l的距离为：2.15﹣0.3＝1.85（m）， ∵1.85＞1.8， ∴没有碰头的危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式2】图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤ AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点 A距离地面BD的高度AE为3.5m． （1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF； （2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：1.732） 【分析】（1）如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝30°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可； （2）如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝60°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可． 【详解】解：（1）如图，作AG⊥CF于点G， ∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°， ∴四边形AEFG为矩形， ∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°， ∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝120°﹣90°＝30°， 在Rt△ACG中，sin∠CAG， ∴CG＝AC•sin∠CAG＝12×sin30°＝126（m）， ∴CF＝CG+GF＝6+3.5＝9.5（m）； （2）如图，作AG⊥CF于点G， ∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°， ∴四边形AEFG为矩形， ∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°， ∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝150°﹣90°＝60°， 在Rt△ACG中，sin∠CAG， ∴CG＝AC•sin∠CAG＝20×sin60°＝2017.32（m）， ∴CF＝CG+GF＝17.32+3.5＝20.82（m）； ∴最高救援高度为20.82m， 故该消防车能实施有效救援． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算． 题型十九 由三角函数测物高 解｜题｜技｜巧  使用三角函数测高的关键在于构建或识别直角三角形，通过测量角度（仰角/俯角）和可得边长，结合正切等函数公式求解高度，尤其适用于无法直接测量的物体． 【典例1】（2025·内蒙古包头·三模）研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对内江三元塔进行了解．学校组织学生研学活动．在了解相关历史背景后，采集三元塔的相关数据． 数据采集：如图，小明同学要测量三元塔的高度，从三元塔底部点B处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内，则三元塔的高度为 ．（参考数据：，结果保留到1．） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．首先过点作于点，于点，构造矩形，根据、斜坡的斜面坡度，可以求出、的长度，根据在点处测得塔顶的仰角为，可以求出的长度，就是双塔的高度． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 可得四边形为矩形， ，． 斜坡的斜面坡度， ， ， ， 又， ，， ， ， 在中， ，， ， ． 故答案为： 【变式1】县某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房前有一斜坡，它的坡度．他们先在坡面处测量楼房顶部的仰角，接着沿坡面向下走到坡脚处，然后向楼房的方向继续行走至处，再次测量楼房顶部的仰角，并测量了、之间的距离，最后测量了坡面、之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪高度忽略不计），如下表： 项目 内容 课题 测量学校附近楼房的高度 测量示意图 说明：测点D、E与点C、B都在同一水平面上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 30.2° 29.8° 30° 仰角的度数 60.1° 59.9° 60° 、之间的距离 5.1米 4.9米 5米 、之间的距离 9.8米 10.2米 … … 任务一：两次测量，之间的距离的平均值是________米； 任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房的高．（结果精确到0.1米．参考数据：，） 【答案】任务一： 10；任务二：楼房的高为19.3米． 【分析】任务一：直接用平均数公式计算即可； 任务二：过点作于点；作于点，交于点．过点作于点，根据坡比求，解△DCG、△EHP、△AFH即可． 【详解】解：任务一：（米）， 故答案为：10 任务二： 如图，过点作于点；作于点，交于点．过点作于点．则易得，． ∵，，∴； 在中，， 在中，，， ∴ 又∵，∴， 在中， 米． 答：楼房的高为19.3米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当的作辅助线，构建直角三角形． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 【答案】9米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．设，根据三角函数求出的值，再得出的长． 【详解】解：设， ∵， ∴（）， 在中，， ∴（）， 在中，'， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴（）， 答：损坏的“表”原来的高度（即的长）约为米． 题型二十 锐角三角函数的综合应用 解｜题｜技｜巧  掌握锐角三角函数综合应用的关键在于：准确构造或识别直角三角形，并灵活运用三角函数定义、特殊角值、方程思想与常见几何模型（如背对背型、仰俯角、坡度等）进行求解。． 【典例1】矩形中，已知，点E是上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点． (1)如图1，若点恰好落在对角线上，求的值； (2)如图2，若点E为线段的中点，延长交于点M，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据矩形的性质得，因为折叠，得，则， 运用勾股定理得，再证明，故把数值代入进行计算，即可作答． （2）的延长线交于点，结合矩形的性质，证明，同理得，运用勾股定理得，解得，再代入数值到，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠可知：， ． ∴， 在中，， ， ， ； （2）解：如图，的延长线交于点， 四边形为矩形， ∴， ∴ ∵点E为线段的中点， ∴ ∵ ∴ ， ∵折叠 ∴ ∴ ∴． 设，则， 则， 在中，， 即， 解得， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°＝ 　 ； （2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值； （3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ 　 　． 【分析】（1）根据题意可知，sad60°为顶角为60°的等腰三角形，从而可以求得sad60°的值； （2）根据△ABC中，CB＝CA，sadC，可以求得CB与AB的关系，从而可以求得CB与AB边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，构造以∠A为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形， ∴sad60°． 故答案为：1． （2）如图②所示： 作CD⊥BA于点D， ∵△ABC中，CB＝CA，sadC，sadC， ∴ABBC，BD＝ADAB， ∴BD＝ADAB， ∴CDBC， ∴tanB， 即tanB； （3）如图③所示，在AB上截取AD＝AC，作DE⊥AC于点E， Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA， 设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝AD＝4a． ∴DE＝AD•sinA＝4a，AE＝AD•cosA＝4a， ∴CE＝AC﹣AE＝4a， ∴CDa， ∴sadA， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质． （1）先求出，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质和相似三角形的性质计算即可； （2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：连接交于点O， ， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可． 【详解】解：在中，， 即， 解得：． 由勾股定理得，， 故选：B． 2．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 3．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 4．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，过点A作于点D，．若E、F分别为、的中点，则的长为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由等腰直角三角形的性质求出，由锐角的正弦求出，由三角形中位线定理求出． 【详解】解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，勾股定理，求三角函数值，先根据算术平方根定义得出大正方形边长为，小正方形的边长为1．求出三角形的面积，根据三角形面积公式和勾股定理得出，求出，然后再根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：根据题意，大正方形边长为，小正方形的边长为1， ∴三角形的面积为：， 设三角形两直角边为、，则：． 根据勾股定理得：， 联立解得，（负值舍去） ∴． 故选：A． 6．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）中，均为锐角，且满足，则 度． 【答案】75 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值的非负性以及三角形的内角和．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负性，求出，进而求出，根据三角形内角和求出即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴； 故答案为：75． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并能灵活的运用． 【详解】解： 8．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、零指数幂、负整数指数幂及特殊角三角函数，掌握这些基础知识是关键；依次计算算术平方根、零指数幂、特殊角三角函数及负整数指数幂，即可求解． 【详解】 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时A，B两处相距 海里．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】112 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 过点P作于点C，然后分别在和中，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点C， 根据题意得：，，海里， 在中，，海里， ∴海里， ， 在中，， ∴海里， ∴海里， 即A，B两处相距112海里． 故答案为：112． 10．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段与相交于点P，则的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求正弦，勾股定理，平行线的性质， 作，交格点于点E，F，连接，再根据勾股定理得，可知，然后根据平行线的性质得，最后根据正弦的定义得出答案. 【详解】解：如图所示，过点C作，交格点于点E，F，连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴. ∵， ∴， 即. 故答案为：. 11．（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，锐角三角函数等知识，由题意得绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环，第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，利用旋转的性质和解直角三角形即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，如图所示： 由旋转可得：， ， 故选：C． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．根据矩形的性质可证 ，过点作于点，可证 ，得出比例式，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 过点作于点， ， ∴， ， ， ， ， ，且， ， ， 故选：B． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴的正半轴上，以为边作平行四边形，且． (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，若，求点坐标． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）作，垂足为，利用平行四边形的性质和锐角三角函数求出，然后再利用勾股定理求出，得出点坐标为，利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据条件和矩形的性质得出，确定点纵坐标为，然后利用函数解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，作，垂足为， 四边形是平行四边形， ， ， 在Rt中，， ， ， 由勾股定理得， 点坐标为，把代入得， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ∵，轴， ， ∴四边形为矩形， ， ∵， ， 点纵坐标为， 把代入得， ， 解得， 点坐标为． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的中点，连接，过点作，且，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，则的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确的添加辅助线是解答的关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，进而可得，证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可得结论； （2）过D作于H，先根据菱形的性质得到求得，则，则，设，，利用勾股定理求得x值，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：过D作于H， ∵四边形是菱形，， ∴，，则， ∴， 设，， 由得， 解得，则， ∴的面积为， 故答案为：7． 15．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)的山坡，点、点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了20米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．求楼的高度．(溅角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，) 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 由题意得：，米，根据已知山坡的坡度，可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，米， 山坡的坡度：， ， 设米，则米， 在中， 米， ， 解得：， 米， 过点作，垂足为， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， ， 解得：， 米， 楼的高度约为米． 16．如图，在△ABC中，AB＝5，sinB，tanC． （1）求BC的长． （2）若点D在BC边上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值． 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出BE的长，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出BC的长； （2）根据BD：CD＝3：2，求出CD的长，过点D作AF⊥AC，垂足为F，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出DF和CF的长，从而求出AF的长，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 在Rt△ABE中，AB＝5，sinB， ∴， ∴AE＝3， ∴BE4， 在Rt△AEC中，tanC， ∴， ∴CE＝2AE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10； （2）过点D作AF⊥AC，垂足为F，连接AD， ∵BD：CD＝3：2，BC＝10， ∴CD＝104， 在Rt△CDF中，tanC， ∴， ∴设DF＝x，则CF＝2x， ∵DF2+CF2＝CD2， ∴x2+4x2＝16， 解得x， ∴DF，CF， 由（1）得AC3， ∴AF＝3， ∴在Rt△ADF中，tan∠CAD． 【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 直角三角形的边角关系（期末复习讲义） 核心 考点 对应复习目标 对应考情规律 1. 锐角三角函数的定义 能准确说出锐角三角函数的定义，熟练计算直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切值. 多以选择题、填空题形式考查，常结合直角三角形边长计算三角函数值，难度较低 2. 特殊角的三角函数值 熟记特殊角的三角函数值，能快速进行相关计算和化简. 选择题、填空题必考，常与根式运算、代数式化简结合，难度低，属于送分题. 3. 解直角三角形 掌握解直角三角形的方法，能根据已知条件选择合适的三角函数求解边长或角度. 解答题高频考点，常单独出题或结合其他几何图形，难度中等. 4. 解直角三角形的实际应用 理解仰角、俯角、坡度、方位角的含义，能将实际问题转化为直角三角形问题求解. 期末解答题常考题型，联系生活中的测量、导航等场景，难度中等偏上. 5.利用三角函数测高 掌握利用仰角、俯角等概念解决高度测量问题，理解测量原理和计算方法. 常作为解答题最后一问，查看实际应用能力. 知识点01锐角三角函数 1、正切、正弦、余弦 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A. 正弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即sin A＝ ＝ ＝． 余弦：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 cos A，即cos A＝ ＝ ＝． 【注意】 （1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形. （2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位． 2、锐角三角函数：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数． 3、锐角三角函数之间的关系： （1）正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sin A=cos (90－A)=cos B, cos A =sin(90º－A)=sin B． （2）同角的正弦、余弦关系：sin 2A+cos 2A=1． tan A= 知识点02 30°、45°、60°的三角函数值 1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 （1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数. （2）当角度在0°~ 90°之间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小. 知识点03用计算器求锐角三角函数值 （1）当锐角以度为单位时，可先按 （或 ）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按 键，即可在屏上显示出结果. （2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为： （或 ）、、度数、、分数、秒数、、 . 【注意】 使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值. 知识点04 解直角三角形 1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2、直角三角形中的边角关系： 直角三角形各元素之间的关系 图形 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°. 三边之间的关系 a² + b²=c² 边角之间的关系 sin A＝ ＝ ＝． sin B＝ ＝ ＝． cos A＝ ＝ ＝． cos B＝ ＝ ＝． tan A＝ ＝ ＝． tan B＝ ＝ ＝． 3、解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 【注意】 1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边. 知识点05 三角函数的应用 1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： （1） 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据题目条件解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念： （1）仰角、俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角， 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． （2）方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90°的角，叫做方位角. 如图： 如图所示,目标方向线 OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向. （3）坡角、坡度 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角. 一般用字母 α，β，γ 表示 . ①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值， 即 i =tan α； ②坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 当 h =1， l= 时，坡度. i = h : l=1：，坡角为30°. 坡度 坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 通常用 i 表示， 即 i = h : l . 知识点06 利用三角函数测高 1、测量倾斜角 测量倾斜角可以用测倾器 ——简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. 2、测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）. 3、测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）. ◆测量物体高度的方法可利用全等三角形、相似三角形和三角函数等有关知识测高. 题型一 正切、正弦、余弦的相关概念 【典例1】如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在中，，则下列三角函数值正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 根据定义求锐角函数值 解｜题｜技｜巧 1、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值. 2、在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函 数值，即可求出其他所有锐角的三角函数值. 【典例1】（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，，的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在矩形中，，把矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为 ． 题型三 由锐角三角函数值求三角形的边长 解｜题｜技｜巧 已知一边及其邻角或对角的锐角三角函数时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题. 【典例1】（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，，则点B到 直线的距离是（   ） A．5 B． C．3 D． 【变式1】（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）如下图所示，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 题型四 特殊锐角三角函数的计算 解｜题｜技｜巧 先求出特殊角的三角函数值，然后按照实数的运算顺序和法则进行计算即可解答. 【典例1】（24-25九年级上·河南商丘·期末）计算的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·期末）计算：． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 题型五 根据特殊角的三角函数值求角的度数 解｜题｜技｜巧 根据特殊角的三角函数值求角的度数，首先要看准三角函数的类别，同样的函数值，不同类别，角的度数可能不一样. 【典例1】在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·广西梧州·期末）若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在中，若，则 ． 题型六 利用特殊角的三角函数判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧 首先利用非负性求出特殊角的三角函数值，然后应用三角形的内角和定理来判断三角形的形状. 【典例1】若的内角满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形 【变式1】若，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】在中，若，，，都是锐角，则是 三角形． 题型七 已知角度比较三角函数值的大小 解｜题｜技｜巧 解题技巧提炼 锐角的正弦函数值随角度的增大而增大 ，锐角的余弦函数值随角度的增大而减小 锐角的正切函数值随角度的增大而增大. 【典例1】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【变式1】s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【变式2】若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 题型八 根据三角函数值判断锐角的取值范围 解｜题｜技｜巧 主要是利用锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值，关键是锐角三角函数增减性的熟练掌握． 【典例1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知为锐角，且，那么下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九 同角或互余两角的三角函数的关系 解｜题｜技｜巧 商数关系：; 平方关系: ; 互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°， 则sinA= cosB，cosA= sinB， tanA · tanB = 1 . 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： ． 如图2： ． 如图3： ． ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 题型十 利用网格求锐角三角函数 解｜题｜技｜巧 利用网格求锐角三角函数值时，要利用网格的特性来解决问题:(1)任何格点之间所连的线段都是某个正方形或长方形的边或对角线，所以任何格点之间所连的线段的长度都能求出；(2)利用正方形的性质容易得出一些特殊的角，如45°，90°角等. 【典例1】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则 的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 【变式2】（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十一 锐角三角函数与平面直角坐标系 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 【典例1】如图，∠ACB＝90°，AC＝10，OB＝17，cos∠OBC，则点C的坐标为（　　） A． B．（8，12） C． D．（6，10） 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．10 D．11 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型十二 解直角三角形 解｜题｜技｜巧 解直角三角形的核心是“知二求三”（除直角外，至少知道两个元素且其中一为边），通过勾股定理、锐角三角函数和两锐角互余关系列方程求解，优先使用原始数据、避免中间近似以提高精确度. 【典例1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式1】如图，在等腰中，于点，则的值（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，于D，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 题型十三 解非直角三角形 解｜题｜技｜巧 解斜三角形问题的方法：先通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角.在作垂线时，要充分利用已知条件，一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识求解. 【典例1】如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，， 则 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，是的角平分线，则线段的长为 ． 题型十四 利用解直角三角形求图形的面积 解｜题｜技｜巧 求不规则图形的面积有两种方法：一是补形法，补形成直角三角形的问题解决；二是分割法，分割成一个直角三角形和其它图形. 【典例1】如图，在中，， ，，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．10.5 D．21 【变式1】如图，在四边形中，，，，，则四边形 的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【变式1】如图，在中，，，，求的面积． 题型十五 俯角与仰角问题 解｜题｜技｜巧 1、在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． 2、水平线与竖直线的夹角是90°,据此构造直角三角形. 【典例1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，乐乐想测对面杆子的高度，他离杆子的距离 为，在点他仰视杆顶，测得仰角为，他沿向杆走近了到达点，再次测得仰角为，乐乐高 度为，则杆的高度为（　   ），已知． A． B． C．3.6 D．4.6 【变式2】如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点C处，测得点C距地面70米，测得楼底A的俯角为，楼顶C的俯角为，求大楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）． 题型十六 方位角问题 解｜题｜技｜巧 1、以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角（方位角）. 2、通过向南北(东西)方向作垂线,或向航线作垂线,构造直角三角形. 【典例1】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（    ） A．400米 B．米 C．米 D．米 【变式1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾 到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行 驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 【变式2】某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时40海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值） 题型十七 坡度（角）问题 解｜题｜技｜巧 1、坡面与水平面的夹角叫做坡角.坡面的铅直高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比). 2、坡面与其铅直高度和水平宽度构成直角三角形. 【典例1】如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是 ． 【变式1】为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长 米．（结果精确到米）（参考数据：，，） 【变式2】为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 题型十八 利用解直角三角形解决方案设计问题 解｜题｜技｜巧 解决方案设计问题的关键是要找准达到方案要求的关键点，然后再利用解直角三角形的一般步骤来解决即可解答. 【典例1】某房地产集团筹建一小区，居民楼均为平顶条式，南北朝向，楼高统一为16m（五层）．已知该城市冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为32°． （1）如果甲、乙两楼相隔仅有20m（如图），试求此时甲楼的影子落在乙楼上有多高； （2）根据居住要求，每层楼在冬天都要受到阳光照射，请你重新设计一个方案．（精确到0.1m，参考数据：tan32°≈0.6249） 【变式1】如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC ＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠ B'AD＝27°． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，） 【变式2】图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤ AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点 A距离地面BD的高度AE为3.5m． （1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF； （2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：1.732） 题型十九 由三角函数测物高 解｜题｜技｜巧  使用三角函数测高的关键在于构建或识别直角三角形，通过测量角度（仰角/俯角）和可得边长，结合正切等函数公式求解高度，尤其适用于无法直接测量的物体． 【典例1】（2025·内蒙古包头·三模）研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对内江三元塔进行了解．学校组织学生研学活动．在了解相关历史背景后，采集三元塔的相关数据． 数据采集：如图，小明同学要测量三元塔的高度，从三元塔底部点B处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内，则三元塔的高度为 ．（参考数据：，结果保留到1．） 【变式1】县某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房前有一斜坡，它的坡度．他们先在坡面处测量楼房顶部的仰角，接着沿坡面向下走到坡脚处，然后向楼房的方向继续行走至处，再次测量楼房顶部的仰角，并测量了、之间的距离，最后测量了坡面、之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪高度忽略不计），如下表： 项目 内容 课题 测量学校附近楼房的高度 测量示意图 说明：测点D、E与点C、B都在同一水平面上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 30.2° 29.8° 30° 仰角的度数 60.1° 59.9° 60° 、之间的距离 5.1米 4.9米 5米 、之间的距离 9.8米 10.2米 … … 任务一：两次测量，之间的距离的平均值是________米； 任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房的高．（结果精确到0.1米．参考数据：，） 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 题型二十 锐角三角函数的综合应用 解｜题｜技｜巧  掌握锐角三角函数综合应用的关键在于：准确构造或识别直角三角形，并灵活运用三角函数定义、特殊角值、方程思想与常见几何模型（如背对背型、仰俯角、坡度等）进行求解。． 【典例1】矩形中，已知，点E是上的一个动点，连接并延长，交射线于点F．将沿直线翻折，点B的对应点为点． (1)如图1，若点恰好落在对角线上，求的值； (2)如图2，若点E为线段的中点，延长交于点M，求的正切值． 【变式1】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°＝ 　 ； （2）如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC，求tanB的值； （3）如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，sadA＝ 　 　． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2） 如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 2．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 4．（23-24九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，过点A作于点D，．若E、F分别为、的中点，则的长为（   ） A．2 B． C． D．4 5．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 6．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）中，均为锐角，且满足，则 度． 7． （24-25九年级上·安徽六安·期末）计算：． 8． （24-25九年级上·湖南株洲·期末）计算： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．这时A，B两处相距 海里．（结果取整数，参考数据：，，） 10．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段与相交于点P，则的正弦值为 ． 11．（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在反比例函数第一象限的图象上，点在轴的正半轴上，以为边作平行四边形，且． (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，垂足为点，交反比例函数的图象于点，若，求点坐标． 14．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的中点，连接，过点作，且，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，则的面积为 ． 15．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)的山坡，点、点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了20米到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．求楼的高度．(溅角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，) 16．如图，在△ABC中，AB＝5，sinB，tanC． （1）求BC的长． （2）若点D在BC边上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $