2.1.2 正弦与余弦 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

第二章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦 目标一 正弦 认知基础练 练点1 正弦的定义 1.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则 sin A 的值为__________. 2.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足.若AC =8,BC=6,则 sin∠ACD的值为( ) 练点2 正弦的应用 3. 如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3,4),连接OP,则 OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( ) 4.如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板 AB长为4米，支柱 OH垂直地面.如图①，当AB的一端A 接触地面时，AB与地面的夹角的正弦值为 如图②，当AB的另一端B接触地面时，AB 与地面的夹角的正弦值为 则支柱 OH的长为( ) A.0.5米 B.0.6米 C.0.8米 米 纠易错 不能正确构造直角三角形而误用正弦 5.】如图,在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB的值为( ) 思维发散练 发散点1 利用正弦的定义求正弦值 6.如图,点M 是正方形ABCD的边 CD上一点,连接AM,作 DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接 BE. (1)求证:AE=BF; (2)已知 AF=2,四边形 ABED 的面积为24,求∠EBF的正弦值. 发散点2 利用正弦值求线段的长 7.学科素养模型观念如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC,水平横梁 BC 长 18 m,中柱 AD高6m,其中D是 BC 的中点,且AD⊥BC. (1)求 sin B 的值; (2)现需要加装支架DE,EF,其中点E在AB上,BE=2AE,且EF⊥BC,垂足为 F,求支架EF的长. 目标二 余弦 认知基础练 练点1 余弦 1.在Rt△ABC中,∠C=则AC 的长为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 2.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C =90°,若 则 cos B 的值为( ) 3.如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值是( ) 练点2 锐角三角函数 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,则下列选项正确的是( ) B. tanA=2 C. cosB =2 5.如图,在 Rt△ABC中,∠C =90°,a,b分别是∠A,∠B的对边. 若 sin A : cos A = 2 :3,则tan B 的值是( ) 纠易错 忽视锐角的余弦值的取值范围而致错 6.已知 x=cosα(α为锐角)满足方程2x²-5x+2=0,求 cosα的值. 思维发散练 发散点1 利用三角函数的定义求三角函数值 7.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B在第一象限内， 求: (1)点B的坐标; (2)cos∠BAO 的值. 发散点2 利用三角函数的定义求线段的长 8.如图,在△ABC 中, (1)求边AC 的长和 cos C 的值; (2)设边BC 的垂直平分线与边AB，BC 的交点分别为D,F,求DF 的长. 参考答案 目标一 正弦 【点拨】在 Rt△ABC中,根据勾股定理得,AB= 2. C 【点拨】∵CD⊥AB,∴∠CDA =90°. ∵∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,∴∠ACD=∠B. 在 Rt△ABC中, 故选 C. 3. D【点拨】过点P作PM⊥x轴于点M.∵P的坐标为(3,4),∴PM=4,OM=3,由勾股定理得 OP=5, 故选 D. 4. C 【点拨】在 Rt△AOH 中, 2OH.同理可得OB=3OH. ∵AB=4,∴2OH+3OH=4,解得 OH=0.8.故选 C. 5. D 【点拨】过点 A 作AD⊥BC 于点D,则∠ADC= .故选 D. 6.(1)【证明】∵四边形 ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∴∠BAF+∠DAE=90°. ∵DE⊥AM,BF⊥AM,∴∠DEA =∠AFB=90°.∴∠ADE+∠DAE=90°.∴∠BAF=∠ADE. 在△DEA 和△AFB中, ∴△DEA≌△AFB(AAS).∴AE=BF. (2)【解】设AE=x,则 BF=x.∵△DEA≌△AFB,∴DE=AF=2. ∵四边形ABED的面积为24,解得x1=6,x2= -8(舍去).∴AE=BF=6.∴EF=AE-AF=6-2=4. 在 Rt△EFB 中, 7.【解】(1)在 Rt△ABD中,∵ (2)在 Rt△BEF中. 又∵ 答:支架EF的长为4m . 目标二 余弦 1. C 【点拨】 解得AC=6,故选 C. 2. C 【点拨】由题知 故选 C. 3. C 【点拨】延长AC到D,连接BD.∵AD²=20,BD²=5,AB² = 25,∴ AD²+BD²= AB², ∴∠ADB = 90°,故选 C. 4. D 【点拨】在△ABC中,∠C=90°,BC=1,AB= , 故选 D. 5. B 【点拨】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA:cosA=2故选B. 6.【解】解方程2x²-5x+2=0,得 ∵α为锐角, 点易错 本题易忽略 cosα(α为锐角) 的取值范围是0＜cosα＜1,而错得cosα=2或 7.【解】如图,过点 B作BC⊥OA 于点 C. 点B的坐标为(4,3). (2)易知 OA =10. 8.【解】(1)如图,过点A作AE⊥BC 于点E,则∠AEB=∠AEC=90°. 在 Rt△ABE中, 设 AE=3x,则BE=4x.∵AE²+BE²=AB², ∴(3x)²+(4x)²=5²,解得x=1.∴AE=3,BE=4.∴EC=BC-BE=5-4=1. (2)∵DF垂直平分 BC, 在Rt△BFD中, 1 学科网（北京）股份有限公司 $