专题12 线段和角压轴汇编（五大题型）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题12 线段和角压轴汇编 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】.................................................1 【题型2：与线段有关动点问题】........................................................2 【题型3：双角平分线模型-分类讨论】...................................................6 【题型4：角的折叠综合问题】..........................................................9 【题型5：钟表问题】..................................................................12 【题型1：线段有关计算-分类讨论】 1．已知线段，点C在直线上，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 2．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 3．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段AC的中点，，，则线段BC的长为 ． 4．在数轴上剪下长度为16（从到14）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是 ． 5．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【题型2：与线段有关动点问题】 1．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 2．已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 4．如图，数轴上点A表示的数是，点A的右侧顺次有B、M两点，线段，，线段在直线上，点位于原点的右侧且绝对值为8，点恰好为线段的中点． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______． (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动．设线段的运动时间为秒． ①当点A与点D到原点距离相等时，求t的值； ②当点D为线段中点时，直接写出t的值； ③当时，直接写出t的值； 5．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 6．已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 7．如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 8．如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 【题型3：双角平分线模型-分类讨论】 1．如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足 ，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 2．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 3．如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 4．如图1，已知O是直线上一点，是位于直线上方的三条射线，是的角平分线，在内部，且． (1)求的度数； (2)如图2，射线和射线分别从图1中射线和射线的位置出发，同时开始绕点O旋转．其中，射线以每秒的速度逆时针方向旋转，到达射线的位置时，射线立即停止旋转；射线以每秒的速度顺时针方向旋转，与射线重合后立即调转方向，变为逆时针方向旋转，速度仍为每秒． ①当时，求时t的值； ②射线开始旋转的同时，射线也从射线的位置开始绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，当到达射线时，速度立即变为每秒，当射线到达射线时，和同时停止旋转．作的角平分线，是否存在t，使得三条射线中，其中一条射线恰好是另两条射线所形成的角的角平分线？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 5．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ，（已知）， ____________． 平分（已知）， ____________（角平分线定义）． （已知）， ____________． (2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒，当平分时，请直接写出t的值． 【题型4：角的折叠综合问题】 1．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 2．如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． (1)直接写出，时，______；，时，______； (2)求时，的值； (3)当平分时，若，则______．（直接写出结果） 3．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 4．折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 5．如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【题型5：钟表问题】 1．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 2．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 3．【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 4．【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 ，分针每分钟转动 ，钟面显示的时间是8点15分，此时钟面角 ； 【类比探究】 （2）①如图2，甲，乙两人分别从相距的A，B两地同时出发，若甲的速度为，乙的速度为，甲追上乙需花多长时间？设甲追到乙所花时间为，则可列方程为 ； ②时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？ 【深入思考】 （3）如图3，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请求出此时对应的时刻． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 线段和角压轴汇编 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】.................................................1 【题型2：与线段有关动点问题】........................................................5 【题型3：双角平分线模型-分类讨论】...................................................17 【题型4：角的折叠综合问题】..........................................................33 【题型5：钟表问题】..................................................................42 【题型1：线段有关计算-分类讨论】 1．已知线段，点C在直线上，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．点 C 在直线 上，需分两种情况讨论：当 C 在线段上时， ；当 C 在线段 的延长线上时，． 【详解】解：因为点C在直线上，有两种情况： ① 当点C在线段上时， ② 当点C在线段的延长线上时， ∴的长为或． 故选：C． 2．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：①当A、C或B、D重合且剩余两端点在重合点同侧时；②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 3．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段AC的中点，，，则线段BC的长为 ． 【答案】8或23 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及“折中点”的定义是正确解答的关键． 根据“折中点”的定义，分两种情况分别画出图形，由图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，点E为线段的中点，， ，， ， ， 点D是折线的“折中点”， ， ； 如图2，点E为线段AC的中点，， ， ， ， 点D是折线的“折中点”， ， ； 综上所述，或 4．在数轴上剪下长度为16（从到14）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是 ． 【答案】4或6或8 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，线段的和与差，有理数的加法计算，分图1，图2和图3三种情况，求出的长，再求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵原来线段的长度为16，且剪断后的三条线段的长度之比为， ∴剪断后的三条线段的长度分别为8，4，4， 如图1所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 如图2所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 如图3所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 综上所述，折痕处对应的点所表示的数是4或6或8， 故答案为：4或6或8． 5．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，熟练找出已知条件中线段的和差关系是解题的关键． 对点P在线段之间和在的反向延长线上时的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ． 故答案为：或． 【题型2：与线段有关动点问题】 1．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解． 【详解】 解：如解图，设， 由题意可知，， 如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴； 如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴． 综上所述，木棒的长度为4或． 2．已知点在线段上，，线段在线段上移动（点，不与点，重合）． (1)如图1，当，时， ①的长是______，的长是______； ②如图2，当点为中点时，求的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点在点的左侧．点（不与点，，重合）在线段上，，，直接写出的长． 【答案】(1)①16，8；②14； (2)或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）①根据线段的和差关系求解即可；②先求得，再由点是的中点，可得，可得，最后由可得结果； （2）根据题意，分两种情况，画出图形，当点在点左侧时；当点在点的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， 故答案为：16，8； ②，， ， 点是的中点， ， ， ； （2）分两种情况： 如图所示，当点在点右侧时， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ， ， 如图所示，当点在点左侧时， 由条件可知，， ， 综上所述，的长为或． 3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①,；②， (2)或 (3)不发生变化，线段的长为 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用含的代数式表示出点运动后表示的数是解题的关键． （1）①利用数轴上两点间的距离公式和线段的中点公式，即可求值；②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含的代数式得出点，表示的数； （2）先根据两点间的距离公式得出，进一步得，即可求出的值； （3）根据题意，先将点，点表示的数用含的代数式表示，再根据两点间的距离公式得出线段的长即可． 【详解】（1）解：①由题意得， ， 线段的中点表示的数为：． 故答案为：,； ②由题意得，秒后，点表示的数为：， 点表示的数为：． 故答案为：，． （2）解： 秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ． 又 ， ， 解得，或． 即当或时，． （3）解：不发生变化． 点为的中点，点为的中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ． 答：线段的长度不发生变化，线段的长为． 4．如图，数轴上点A表示的数是，点A的右侧顺次有B、M两点，线段，，线段在直线上，点位于原点的右侧且绝对值为8，点恰好为线段的中点． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______． (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动．设线段的运动时间为秒． ①当点A与点D到原点距离相等时，求t的值； ②当点D为线段中点时，直接写出t的值； ③当时，直接写出t的值； 【答案】(1)2；38 (2)①t的值为1或10；②；③t的值为4或7 【分析】（1）先求出点B表示的数，再根据两点间距离公式求出点M表示的数，根据中点坐标公式求出点C表示的数即可； （2）①先得出点A表示的数为，点D表示的数为，再分两种情况：点A在原点左侧时，点A在原点右侧时，分别列出方程，解方程即可； ②先得出点B表示的数为，点C表示的数为，再根据，列出方程，解方程即可； ③点A表示的数为，点B表示的数为，点D表示的数为，分两种情况：当点B在点D左侧时，当点B在点D右侧，点A在点D左侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数是，， ∴点B表示的数为， ∵点位于原点的右侧且绝对值为8， ∴点D表示的数为， ∵， ∴点M表示的数为：， ∵点恰好为线段的中点， ∴点C表示的数为：； （2）解：①点A表示的数为，点D表示的数为， 点A在原点左侧时，， 解得：； 点A在原点右侧时，， 解得：； 当时，点B表示的数为， ∴此时点B还没有到达点M，符合题意； 综上分析可知，当点A与点D到原点距离相等时，t的值为1或10； ②点B表示的数为，点C表示的数为， 当点D为线段中点时，， ∴， ∴， 解得：， 即当点D为线段中点时，t的值为9； ③点A表示的数为，点B表示的数为，点D表示的数为， 当点B在点D左侧时，， 解得：； 当点B在点D右侧，点A在点D左侧时，， 解得：； 综上分析可知：当时，t的值为4或7． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，用数轴上的点表示有理数．解题的关键根据数轴上两点间距离列出方程，注意进行分类讨论． 5．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 6．已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)2.5秒 (3)值不变；是定值10；理由见解析 【分析】（1）根据，得出，利用点对应的数是20，即可得出a，b的值； （2）设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足，表示出，，然后列方程求解即可； （3）设运动的时间为t，则，，表示出，然后根据中点的性质得到，，然后表示出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，∵， ∴， ∵C点对应的数为20， ∴点A对应的数为：，点B对应的数为：， ∴，； （2）解：如图2，根据（1）可得， 设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足， ∵，， ∴当时，， 解得：， ∴在三点出发后2.5秒时恰好满足； （3）解：的值不变．理由如下： 如图3，设运动的时间为t，则，， 由（1）可得，点C表示20， ∴，，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∴． 即的值不发生变化，是定值10． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，根据已知得出各线段之间的关系等量是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 7．如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【分析】（1）分别求出和的长，即可求出； （2）当时，点P在线段上，点Q在线段上，求出即可； （3）分段讨论，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可； （4）分情况，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵， ∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 8．如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)或 【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案； （2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的时间，再比较即得结论； （3）当在线段上，在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，当、均在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，由此构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：运动时间是， 当，，， 若，则， 解得：； （2）解：点停止运动时，用的时间为秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 秒 ∵ 点不能追上点； （3）解：当在线段上，在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时， ，解得：． 当、均在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时 ，解得：或（舍）． 综上所述：或 【题型3：双角平分线模型-分类讨论】 1．如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足 ，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平面内直角三角板在直线上旋转．熟练掌握余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． （1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 2．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2) 或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 3．如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 4．如图1，已知O是直线上一点，是位于直线上方的三条射线，是的角平分线，在内部，且． (1)求的度数； (2)如图2，射线和射线分别从图1中射线和射线的位置出发，同时开始绕点O旋转．其中，射线以每秒的速度逆时针方向旋转，到达射线的位置时，射线立即停止旋转；射线以每秒的速度顺时针方向旋转，与射线重合后立即调转方向，变为逆时针方向旋转，速度仍为每秒． ①当时，求时t的值； ②射线开始旋转的同时，射线也从射线的位置开始绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，当到达射线时，速度立即变为每秒，当射线到达射线时，和同时停止旋转．作的角平分线，是否存在t，使得三条射线中，其中一条射线恰好是另两条射线所形成的角的角平分线？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或②当运动10或65秒或80时，射线是射线，射线构成角的平分线； 【分析】（1）根据，不妨设，则，，结合是的角平分线，得到，结合，计算求的度数即可． （2）①设两射线的运动时间为t，根据题意，得射线转过的角度为，射线转过的角度为，根据（1）得到，，，结合题意，得到射线转动时间为，射线转动到时间为，分射线转动到前，到达和后三种情况解答即可； ②设三射线的运动时间为t，根据题意，得射线转过的角度为，射线转过的角度为，射线转过的角度为，根据（1）得到，，，，，再后分类画图解答即可． 【详解】（1）解：∵，不妨设，则，， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． （2）①解：设两射线的运动时间为t，根据题意，得射线转过的角度为，射线转过的角度为， 根据（1）得到，，， ∴射线转动时间为，射线转动到时间为， 当射线转动到前，射线未到达处时， ∵，且， ∴， 解得； 当射线转动到前，射线到达处时，此时， ∵，且， ∴， 解得； 矛盾，此情形不存在； 当射线转动到前，射线到达处后返回时，此时， ∵，且， ∴， 解得； 综上所述，当时，t的值为或． ②解：设三射线的运动时间为t，根据题意，得射线转过的角度为，射线转过的角度为，射线转过的角度为， 根据（1）得到，，，，，， ∴射线转动到时间为，射线转动到时间为，射线转动到时间为， 当时， 当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴， 解得； 当与互为反向延长线时， , 当时， 当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴， 解得；不符合题意，舍去； 当时，如图， 当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴， 解得；舍去； 当重合时，, 解得：， 如图，当时， 当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴， 解得（舍去）； 当重合时，，解得：， 当时，如图， 当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴， 解得； 当重合时，，解得， 当时，如图， 当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴， 解得；（舍去） 当时，如图， 当射线是射线 ，构成角的平分线时，根据题意，得， 此时，，， ∴， 解得：， 综上所述，当运动10或65秒或80时，符合题意． 【点睛】本题考查了角的平分线的应用，解方程，角的和差计算，本题难度很大，熟练掌握定义和解方程，画出图形是解题的关键． 5．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ，（已知）， ____________． 平分（已知）， ____________（角平分线定义）． （已知）， ____________． (2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒，当平分时，请直接写出t的值． 【答案】(1)（或），，，，， (2) (3)或 【分析】（1）由邻补角互补可得，由角平分线的定义可得，由和互余可得，由此即可求出的度数； （2）按照（1）的推导方法进行推导即可：由邻补角互补可得，由角平分线的定义可得，由和互余可得，由此即可求出的度数； （3）由角平分线的定义可得，当平分时，分两种情况讨论：①平分；②平分；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将解题过程补充完整如下： ，（已知）， ， 平分（已知）， （角平分线定义）， （已知）， ， 故答案为：（或），，，，，； （2）解：，， ， 平分， ， ， ； （3）解：，平分， ， 当平分时，分两种情况讨论： ①平分， 此时，， 由题意可得：， 解得：； ②平分， 此时，， ， 由题意可得：， 解得：； 综上，当平分时，或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用（几何问题），几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，求一个角的余角，利用邻补角互补求角度等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 【题型4：角的折叠综合问题】 1．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 【答案】（1）90°；（2）①；② 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）①根据、 、即可求解；②根据题意得，结合①得推理过程即可求解； 【详解】解：（1）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （2）①由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； ②若， 则， ∴， ∴； 2．如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． (1)直接写出，时，______；，时，______； (2)求时，的值； (3)当平分时，若，则______．（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，解题的关键是分情况讨论． （1）由折叠可得：，，则，，当，时，根据，即可求解；，时，根据，即可求解； （2）分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差求解即可； （3）由平分，可得，分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差列方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得：，， ，， 当，时， ， 即； 当，时， ， 即； 故答案为：；； （2）当点在的左侧时， ， ，， ， ， ； 当点在的右侧时， ， ，， ， ， ， 或； （3） 平分， ， 由（2）知，当点在的左侧时，， ， ， ， ， 解得：； 由（2）知，当点在的右侧时，， ， ， 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 3．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点落在上，得出，即可得出结论； ②同①的方法求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①， 理由：由折叠知，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵点落在， ∴， ∴， ∴，即； ②由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即． 4．折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】【知识初探】，45；【类比再探】；；；【拓展探究】 【分析】本题考查角平分线有关的计算问题，掌握角平分线的定义与审清题意是解题的关键． 【知识初探】根据题意得出是的角平分线，和分别是与的角平分线，据此可解； 【类比再探】由沿折叠可得，同理由沿折叠可得，再根据，即可得到； 【拓展探究】由（2）知，从而得到，再用与（2）相同的方法可得． 【详解】解：【知识初探】由题意可知：是的角平分线， ∴， 同理可得：和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，45； 【类比再探】证明：沿折叠， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：；；； 【拓展探究】，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∵和分别沿和再折叠， ∴， ∴． 5．如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠知，再根据即可求解； （2）由折叠知，，再根据即可求解； （3）由折叠知，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠知， 由题意得： ； 故答案为：； （2）由折叠可知： ， ， ， ， ， ， ； （3）由折叠知：，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键． 【题型5：钟表问题】 1．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 【答案】（1）①，12，2；②10秒；（2）分钟 【分析】本题考查了数轴的意义，同类项，解一元一次方程，线段中点定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）①由与是同类项，可得，知，点为线段的中点，即可得； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为，点Q追上点P时，，解方程即可； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成，1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为，得，解方程即可得出结果． 【详解】（1）①∵与是同类项， ∴ 解得， ∵点为线段的中点，所表示的数为， 故答案为：，12，2； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为， 点Q追上点P时，， 解得：， ∴经过10秒后，点Q追上点P； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成， 1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为， 解得 经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 2．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 【答案】 任务： 任务：点分 任务：点分 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 任务：根据时针每分钟转，一大格之间是即可求解； 任务：设此时为点分，根据题意构建方程求解即可； 任务：设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作，时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数），根据题意列出，进而根据到的正整数求解即可． 【详解】解：任务： 时针每分钟转动， ， 又每一数字之间的角度为， 点分，钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务： 设此时为点分， 则， 解得：， 此时为点分； 任务： 设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作， 时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数）， ， 当，时，，此时重合，但不符合题意（舍去）； 当，时，，，即此时为点分． 3．【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 【答案】（1）2；（2）①，，；②不变化，；（3）11秒或19秒；（4）分钟 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移到前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可； ②表示出，化简后即可判断； （3）分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【详解】解：（1）， ． 故可将点B向左移动2个单位长度． 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为，，． 故答案为：，，； ②点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴ ∴不变化，； （3）∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线、的夹角为， 当追上前，则 解得：． 当追上后，则， 解得：． ∴经过11秒或19秒后，射线的夹角为． （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 4．【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 ，分针每分钟转动 ，钟面显示的时间是8点15分，此时钟面角 ； 【类比探究】 （2）①如图2，甲，乙两人分别从相距的A，B两地同时出发，若甲的速度为，乙的速度为，甲追上乙需花多长时间？设甲追到乙所花时间为，则可列方程为 ； ②时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？ 【深入思考】 （3）如图3，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请求出此时对应的时刻． 【答案】 （1），， （2）①，；②分钟 （3）点分或点分 【分析】（1）根据题意，可利用和来得出时针和分针每分钟所走的角度，然后根据时针、分针每分钟的转动角度可求钟面角； （2）①根据追及问题列方程并求解即可；②同理①，根据追及问题列方程并求解即可； （3）由题意，分四种情况讨论：当射线在射线的左侧，且满足射线平分时；当射线在内部，且满足射线平分时；当射线在外部，且满足射线平分时；当在外部，且满足射线平分时；然后分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： 时针每分钟转动的度数为:， 分针每分钟转动的角度为：， 当钟面显示的时间为8点15分时，则钟面角， 故答案为：，，； （2）①由题意可列方程为：， 解得：， 答：甲追上乙需花， 故答案为：； ②设经过m分钟会再次出现时针和分针重合的现象， 由题意得：， 解得：， 答：至少经过分钟会再次出现时针和分针重合的现象； （3）由题意可知：当时间为1点时，钟面角，时间为3点时，钟面角， ∴（此时皆为初始状态），如图所示， 所以，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，可把题意理解为射线是以每分钟的速度转动，射线是以每分钟的速度在转动，同时出发，设它们转动的时间为分钟，则可分四种情况讨论： 当射线在射线的左侧，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得为负数，不符合题意，故舍去； 当射线在内部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：， 此时对应的时刻为点分； 当射线在外部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：， 此时对应的时刻为点分； 当射线在外部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：（不符合题意，故舍去）； 综上所述：当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻为点分或点分． 【点睛】本题主要考查了钟面角，角平分线的有关计算，一元一次方程的应用（行程问题），一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握钟面角及一元一次方程的应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $