专题11 图形的初步认识重难点题型汇编（十二大题型）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题11 图形的初步认识重难点题型汇编 【题型1 常见的几何体】............................................................................................................................1 【题型2 几何体中的点棱面】.....................................................................................................................3 【题型3 点线面体四者之间的关系】..........................................................................................................5 【题型4：线段的和与差】...........................................................................................................................7 【题型5：线段中点的有关计算.....................................................................................................................9 【题型6: 线段n等分点的有关计算】.........................................................................................................11 【题型7：与线段有关的动点问题】............................................................................................................15 【题型8：钟面角】......................................................................................................................................20 【题型9：与方向角有关的计算题】............................................................................................................23 【题型10：三角板中角度计算问题】..........................................................................................................25 【题型11：几何图形中角度计算问题】......................................................................................................29 【题型12：角平分线的有关计算】.............................................................................................................34 【题型1 常见的几何体】 1．下列选项中的几何体，没有曲面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了认识立体图形，根据立体图形的特征即可求解，熟记立体图形的特征是解题的关键． 【详解】解：、球的表面是曲面，故本选项不符合题意； 、圆锥的侧面是曲面，故本选项不符合题意； 、圆柱的侧面是曲面，故本选项不符合题意； 、四棱锥的底面是平面，侧面是平面，故本选项符合题意； 故选：． 2．如图是一幅几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（     ） A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．球体 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的识别，掌握常见几何体是关键． 根据图示，结合常见几何体即可求解． 【详解】解：根据图示，图中有棱柱、棱锥、球体， ∴没有圆柱， 故选：C ． 3．下列物体中，形状类似圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆锥的特点．根据圆柱、圆锥、球体、正方体的主要特点判断即可； 【详解】解：A是圆柱体，B是圆锥，C是球体，D是正方体， 故选：B． 4．下列物品类似正方体的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了常见的几何体，熟悉几何体的特征是解题的关键．根据正方体的判断即可． 【详解】解：根据正方体的特征得知常用三阶魔方类似正方体． 故选：D． 【题型2 几何体中的点棱面】 1．若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是棱柱的特点，根据棱柱的性质，顶点数等于底面边数的两倍，侧面个数等于底面边数即可解答. 【详解】解：∵ 棱柱的顶点数底面边数， 给定顶点数为10， ∴ 底面边数， ∴ 底面边数， 又∵ 侧面个数底面边数， ∴ 侧面个数为5. 故选：A 2.重阳节小颖想给奶奶一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法正确的是（    ） A．它有9个顶点 B．它有6条棱 C．它的所有侧棱长都相等 D．它的上、下底面形状不相同 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的特点，掌握三棱柱中点，线，面是关键． 根据立体图形的特点，结合图形分析即可求解． 【详解】解：有6个顶点，故A选项错误，不符合题意； 有9条棱，故B选项错误，不符合题意； 它的所有侧棱长都相等，故C选项正确，符合题意； 它的上、下底面形状相同，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．如果一个棱柱共有15条棱，那么它是（     ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的判断，熟练掌握棱柱的棱总数和底面边数的关系是解题的关键． 棱柱的棱总数等于底面边数的3倍，据此求解即可． 【详解】解：设棱柱的底面边数为n，则棱总数为， ∵， ∴， 故为五棱柱． 故选：C． 4．五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查棱柱的顶点数，棱数和面数，根据棱柱的性质，n棱柱的顶点数为，棱数为，面数为，进行求解即可． 【详解】解：五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为；；； 故选：C． 5．六棱柱中棱的条数和面数是（    ）． A．6，6 B．12，12 C．12，8 D．18，8 【答案】D 【分析】本题考查棱柱的构造特征，掌握棱柱的特点是解题的关键．一个n棱柱有个面，个顶点，条棱． 根据棱柱的构造特征作答即可． 【详解】解：六棱柱中棱的条数是，面数是． 故选：D． 6．如果一个棱柱有15条棱，那么它的底面一定是（   ） A．五边形 B．六边形 C．十边形 D．十五边形 【答案】A 【分析】本题考查的是棱柱的特征．抓住“棱柱的侧面与上下底面交界处的棱的条数和侧面与侧面交界处的棱的条数是相等的，即侧棱的条数就是底面的边数”这个知识点是解题的关键．根据棱柱的特征求解即可． 【详解】解：一个棱柱共有条棱， ，解得， 这是五棱柱，底面为五边形． 故选：A． 【题型3 点线面体四者之间的关系】 1．在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】A 【分析】本题主要考查了点动成线，笔尖可看作一个点，在纸上移动形成笔画（线），这符合点动成线的数学原理． 【详解】解：∵笔尖是一个点，在移动过程中形成轨迹（笔画）， ∴这一现象符合点动成线的原理， 故选：A． 2．在足球训练中，运动员踢出一次强烈的“香蕉球”，足球在空中绕过人墙后飞入球门．若将足球的运动轨迹抽象为几何现象，用数学语言解释这一现象为（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．点动成面 【答案】A 【分析】本题主要考查点，线，面，体的关系，理解题意，掌握点动成线是关键． 足球的运动轨迹可以抽象为一个点在空间中移动，形成一条曲线，符合“点动成线”的几何现象． 【详解】解：∵ 足球在空中运动时，其位置随时间变化，形成一个点移动的轨迹， ∴ 该轨迹是一条曲线，即点动成线， 故选：A． 3．硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 【答案】C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的运动关系，熟练掌握“面动成体”的几何原理是解题的关键． 判断硬币（圆面）转动形成球体对应的几何原理，结合点、线、面、体的运动关系分析． 【详解】解：硬币是圆面（面），快速转动时该面的运动形成球体（体），这种现象反映的数学原理是面动成体， 故选：C． 4．打开折扇时，随着扇骨的移动渐渐形成一个扇面（如图），这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交成体 【答案】B 【分析】本题主要考查了线动成面．根据点，线，面的关系解答即可． 【详解】解：这种现象可以用数学原理解释为线动成面． 故选：B． 5．汽车雨刷器在挡风玻璃上来回摆动，雨刷器扫过的区域形成了一个扇形，这体现了（  ）原理． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．体动成体 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体之间的关系，掌握点、线、面、体之间的关系是解题的关键． 可将汽车的雨刷看成一条线，雨刷在刷玻璃上的雨水时形成了面，所以属于线动成面的实际应用． 【详解】解：可将汽车的雨刷看成一条线，雨刷在刷玻璃上的雨水时形成了面， 所以属于线动成面的实际应用． 故选：B． 6．李白的《望庐山瀑布》中描写瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，瀑布从山崖顶端倾泻而下形成水流的过程，蕴含以下哪个道理（    ） A．两点之间，线段最短 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握它们之间的关系是解题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：∵ 诗句描述瀑布水流从顶端倾泻而下，是由水滴（点）的运动形成的连续线条， ∴ 蕴含了“点动成线”的道理， 故选：B． 【题型4：线段的和与差】 1．如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用线段的中点定义可得，再根据已知易得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答 【详解】解：点M是的中点，， ， ， ， ， 的长为； 故选：D 2．如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且．若点E在直线AB上，且，则CE的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了与线段中点有关计算和线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，表示出线段之间的和差关系，代入求解即可得到答案． 【详解】解：点在直线上 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧时，如图所示： 是中点， . 当点在点右侧时，如图所示： 是中点， . 综上所述：的长为或. 故选：． 3．已知线段，在直线上画线段，使它等于，则线段的长是（） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的计算，点在直线上且，需分点在线段上和在延长线上两种情况讨论． 【详解】点在直线上，且， 点的位置有两种可能： ①当点在线段上时，； ②当点在线段的延长线上时，． 的长为或． 故选：D． 【题型5：线段中点的有关计算】 1．如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差． （1）先根据线段的中点定义得到，再由线段的和差得到即可； （2）根据线段的中点得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴ ∵， ∴ （2）解：∵N是的中点，， ∴， ∴． 2．如图，已知C，D两点在线段上，点M是线段的中点，点N是线段的中点，若，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离和中点的定义，根据，，求出，再根据中点的定义求出，由线段的和差关系求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴， ∴． 3．已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，求线段的长度． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，分两种情况讨论，点在的左侧和右侧，分别画出图形，根据中点的性质求得，结合图形求得，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵、分别是线段，的中点， ∴， ∴； 如图所示， ∵，， ∴， ∵、分别是线段，的中点， ∴， ∴； 综上分析可知：线段的长为：或． 【题型6: 线段n等分点的有关计算】 1．如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算： （1）利用中点求出，再由求出，最后由求解即可； （2）分两种情况讨论，分别求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点C是线段的中点 ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：当点为靠近点D的三等分点时，如图： 则， ∴； 当点为靠近点A的三等分点时，如图： 则， ∴， ∴的长为或． 2．【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【答案】（1）3；（2）或；（3）t为9，，54秒 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）点C是线段的三等分点分两种情况：和进行讨论求解即可； （3）根据题意先确定秒后，点的位置，再分点B是的三等分点和点C在的三等分点进行讨论求解． 【详解】解：（1），， ， 解得， 故答案为：3； （2）点C是线段的三等分点分两种情况： 当；，则， ，解得， 当；，则， ，解得， 综上，或． （3）数轴上点A表示，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是的三等分点， B在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得． 情况2：点C在的三等分点时 C在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得（舍去）． 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点． 3．【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）17；（3）①；②当时，为定值，是 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）求出点D对应的数，即可求解； （2）根据题意可得点P所表示的数为，点Q表示的数为，再由的中点所对应的数为10，列出方程，即可求解； （3）①依题意可得出M对应的数；②根据题意可得点E表示的数为，点F所表示的数为，从而得到，进而得到，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧， ∴点D对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； 故答案为： （2）由题意得，点P所表示的数为，点Q表示的数为， ∵的中点所对应的数为10， ∴， 解得：， 当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意∶点M对应的数为， 故答案为∶； ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，为定值，是． 【题型7：与线段有关的动点问题】 1．根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 【答案】(1)6 (2)6 (3)见解析，6 【分析】（1）由可得、，然后根据图形可得即可解答； （2）根据图形可得即可解答； （3）根据图形可得当点C在延长线上时，． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， 如图1：当点C在线段AB上时，． （2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时，． （3）解：如图： 当点C在延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了线段的和差、线段的等分点等知识点，正确化出图形成为解答本题的关键． 2．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 3．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 4.如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1) ； ； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 【题型8：钟面角】 1．观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 【答案】(1)120° (2)30° (3)240° 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，找出8时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可； （2）由时钟可知时针个小时转一圈，一圈是，所以速度为； （3）若时针从8：00到8：40，共经过分钟，时针一小时即分钟转，一分钟转动，分针一小时转，一分钟转，据此作答． 【详解】（1）解：8时整，时针和分针中间相差4个大格． 因为钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， 所以早晨8时整，时针与分针所成的最小的角为． （2）解：由时钟可知，时针12个小时转一圈． ． 故时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30°． （3）解：． 故分针转动了240°． 2．如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （3）根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了角的平分线的定义，角的和差计算，解方程，熟练掌握角的平分线，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过， 设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得， 解得． 故经过，与第一次垂直． 3．问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 【答案】问题一：（1）  （2） 或 问题二：（1）6， （2） 【分析】本题考查了行程问题中的追及与距离计算、分类讨论思想，以及钟表问题中的角度运动规律，解题的关键是根据题意建立等量关系（如追及路程、角度差），并对多情况问题（如距离）进行分类讨论． 问题一（1）：利用“甲路程乙路程初始间距"列方程； 问题一（2）：分“追上前后”两种情况，列距离为 的方程； 问题二（1）：根据钟表总角度和时间计算每分钟转动角度； 问题二（2）：确定初始夹角，利用速度差（分针比时针快的角度）计算追及时间． 【详解】问题一 （1）当甲追上乙时，甲行驶的路程乙行驶的路程间距（）． 列方程：，即，解得． 故答案为：． （2）分两种情况： 甲未追上乙时，距离为 ： 列方程：， 即，解得； 甲追上乙后，距离为 ： 列方程：，即，解得． （验证：甲到C需，乙到C需，两解均合理） 问题二 （1）分针60分钟转，故每分钟转； 时针12小时（720分钟）转，故每分钟转． 故答案为：与． （2）2点时，时针与分针夹角为，设t分钟后重合，分针比时针多转： ，即 ， ∴ ． 【题型9：与方向角有关的计算题】 1．如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，度分秒的换算，正确计算是解题的关键．根据计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故答案为：． 3．如图，是北偏东，为南偏东，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，由题意可得，，再利用平角的定义计算即可得解，熟练掌握方向角的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵是北偏东，为南偏东， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型10：三角板中角度计算问题】 1．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差运算，利用三角板已知角的度数，先求出的度数，再可求出的度数解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为： 2．一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，先求出，，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角尺中角的计算，解决本题的关键是熟练掌握三角尺中各个角的度数，先求得，，可得，再计算可得结果． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 4．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型11：几何图形中角度计算问题】 1．如图： ． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查互余的定义，几何图形中角度的计算，熟练掌握各个角之间的互余和数量关系是解决问题的关键． （1）根据，结合图形即可求出结论； （2）根据，结合题意得出各个角度，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解： ， 由可得， ， ； （2）解：由（1）知， ，， ，解得， ∴，， ． 2．如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 【答案】(1)的余角是；的补角是； (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由直角的定义可得，则由平角的定义可得，，再由度数之和为90度的两个角互为余角，度数之和为180度的两个角互为补角可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案； （3）同（2）思路求解即可； （4）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是； ∵， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查角的和差计算与角平分线性质的应用，解题关键是利用平角、角平分线定义及余角关系，通过角的和差运算求解角度． （1）先求出，再根据平分即可得出的度数；   （2）①先求出，再根据平分可得出的度数；②先根据平分得，则，进而得，则与互为余角，据此可得的值． 【详解】（1），，   ，   平分，   ； （2）①，，，   ，   平分，   ；   ②，平分，   ，   ，   ，   ，   与互为余角，   ． 4．已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【题型12：角平分线的有关计算】 1．【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 【答案】（1）①15；②；（2） 【分析】本题考查了求角度，角平分线的应用． （1）①由角平分线的性质，可得到； ②由角平分线的性质，得到度数，由已知条件中，得到的度数，利用角平分线，得到结果； （2）设，通过已知条件，求得，从而得到结果． 【详解】解：（1）①∵，是的角平分线， ∴， 故答案为：15； ②因为，是的平分线， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以； （2）设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 因为， 所以． 2．【综合与探究】 课堂上，李老师让同学们以“角平分线”为主题开展探究活动：如图，已知，是内部两条射线，，且．    (1)如图1，若平分平分，则的度数为______； (2)如图2，若平分平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点转动，在转动过程中，若，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)的度数为或． 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角度的计算是解决问题的关键；分类讨论是难点，漏解是易错点． （1）设，，根据角平分线的定义得，，则，再根据，得，然后根据可得出答案． （2）设，，则，，根据角平分线的定义得，，进而得 ，再根据，得，然后根据可得出答案； （3）分两种情况讨论如下：①当在的左侧时，先得，根据角平分线得，进而得，则，然后根据角平分线得，然后根据可得出的度数；②当在的右侧时，先得，根据角平分线得，进而得，则，再根据角平分线得，然后根据可得出的度数，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：如图1所示：    设，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图2所示：    设，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴； （3）在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点O转动，有以下两种情况： ①当在的左侧时，如图3所示：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当在的右侧时，如图4所示：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述：的度数为或． 3．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 图形的初步认识重难点题型汇编 【题型1 常见的几何体】............................................................................................................................1 【题型2 几何体中的点棱面】.....................................................................................................................2 【题型3 点线面体四者之间的关系】..........................................................................................................3 【题型4：线段的和与差】...........................................................................................................................3 【题型5：线段中点的有关计算....................................................................................................................4 【题型6: 线段n等分点的有关计算】.........................................................................................................4 【题型7：与线段有关的动点问题】............................................................................................................6 【题型8：钟面角】......................................................................................................................................7 【题型9：与方向角有关的计算题】............................................................................................................9 【题型10：三角板中角度计算问题】..........................................................................................................9 【题型11：几何图形中角度计算问题】......................................................................................................11 【题型12：角平分线的有关计算】.............................................................................................................13 【题型1 常见的几何体】 1．下列选项中的几何体，没有曲面的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是一幅几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（     ） A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．球体 3．下列物体中，形状类似圆锥的是（    ） A． B． C． D． 4．下列物品类似正方体的有（   ） A． B． C． D． 【题型2 几何体中的点棱面】 1．若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 2.重阳节小颖想给奶奶一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法正确的是（    ） A．它有9个顶点 B．它有6条棱 C．它的所有侧棱长都相等 D．它的上、下底面形状不相同 3．如果一个棱柱共有15条棱，那么它是（     ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 4．五棱柱的顶点数、棱数、面数依次为（    ） A． B． C． D． 5．六棱柱中棱的条数和面数是（    ）． A．6，6 B．12，12 C．12，8 D．18，8 6．如果一个棱柱有15条棱，那么它的底面一定是（   ） A．五边形 B．六边形 C．十边形 D．十五边形 【题型3 点线面体四者之间的关系】 1．在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 2．在足球训练中，运动员踢出一次强烈的“香蕉球”，足球在空中绕过人墙后飞入球门．若将足球的运动轨迹抽象为几何现象，用数学语言解释这一现象为（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．点动成面 3．硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 4．打开折扇时，随着扇骨的移动渐渐形成一个扇面（如图），这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交成体 5．汽车雨刷器在挡风玻璃上来回摆动，雨刷器扫过的区域形成了一个扇形，这体现了（  ）原理． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．体动成体 6．李白的《望庐山瀑布》中描写瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，瀑布从山崖顶端倾泻而下形成水流的过程，蕴含以下哪个道理（    ） A．两点之间，线段最短 B．点动成线 C．线动成面 D．面动成体 【题型4：线段的和与差】 1．如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 2．如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且．若点E在直线AB上，且，则CE的长为（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知线段，在直线上画线段，使它等于，则线段的长是（） A． B． C． D．或 【题型5：线段中点的有关计算】 1．如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 2．如图，已知C，D两点在线段上，点M是线段的中点，点N是线段的中点，若，，求线段的长． 3．已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，求线段的长度． 【题型6: 线段n等分点的有关计算】 1．如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 2．【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 3．【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【题型7：与线段有关的动点问题】 1．根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 2．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 3．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 4.如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【题型8：钟面角】 1．观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 2．如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 3．问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 【题型9：与方向角有关的计算题】 1．如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则 ． 2．如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 3．如图，是北偏东，为南偏东，则等于 ． 【题型10：三角板中角度计算问题】 1．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 2．一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 3．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，则与之间的数量关系是 ． 4．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【题型11：几何图形中角度计算问题】 1．如图： ． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 2．如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 3．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 4．已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【题型12：角平分线的有关计算】 1．【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 2．【综合与探究】 课堂上，李老师让同学们以“角平分线”为主题开展探究活动：如图，已知，是内部两条射线，，且．    (1)如图1，若平分平分，则的度数为______； (2)如图2，若平分平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点转动，在转动过程中，若，直接写出的度数． 3．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $