专题10 线﹑角和平行线压轴汇编（八大题型）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新教材）

专题10 线﹑角和平行线压轴汇编 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】.................................................1 【题型2：与线段有关动点问题】........................................................2 【题型3：双角平分线模型-分类讨论】...................................................3 【题型4：角的折叠综合问题】..........................................................7 【题型5：钟表问题】.................................................................10 【题型6：铅笔模型】.................................................................15 【题型7：猪蹄模型】.................................................................16 【题型8：抬头模型】.................................................................19 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 1．若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 2．已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 3．点A、B、C在直线l上，，，点M是的中点，则线段的长度是（） A． B． C．或 D．或 4．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 5．已知点、、在同一直线上，若，，点，分别是线段、中点，则线段的长是 ． 【题型2：与线段有关动点问题】 1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 2．如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 3．已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 4．如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【题型3：双角平分线模型-分类讨论】 1．已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 3．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是 ． 4．已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 5．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图1，过点作射线使得为的角平分线，且，求的度数． (2)如图2，过点作射线使得为的角平分线，过点作射线使得为的角平分线，求的度数． 6．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系，并说明理由； (2)未旋转时． ①则当旋转时间t为6秒，求的度数； ②在旋转的过程中，若绕点O按每秒的速度逆时针旋转，当旋转一周后也同时停止旋转，旋转时是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 7．已知点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则_____． (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数． (3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 8．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． (1)如下图，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为_____； (2)如下图，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 9．点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图①，将三角板的一边与射线OB重合时，则的度数为 ； (2)如图②，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求和的度数． (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图③时，，你还能求出的度数吗？ 10．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【题型3：角的折叠综合问题】 1．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 2．如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． (1)直接写出，时，______；，时，______； (2)求时，的值； (3)当平分时，若，则______．（直接写出结果） 3．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 4．折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 5．如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【题型4：钟表问题】 1．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 2．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 3．【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 4．【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 ，分针每分钟转动 ，钟面显示的时间是8点15分，此时钟面角 ； 【类比探究】 （2）①如图2，甲，乙两人分别从相距的A，B两地同时出发，若甲的速度为，乙的速度为，甲追上乙需花多长时间？设甲追到乙所花时间为，则可列方程为 ； ②时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？ 【深入思考】 （3）如图3，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请求出此时对应的时刻． 5．某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心，，且点A、O、C在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常． 【简单认识】 (1)时针每分钟转动______度，分针每分钟转动______度； 当时针与边重合时，钟面显示的时间为______． 【初步研究】 (2)爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：如图②，延长交于点E，某一时刻时针恰好平分． ①此时时针与分针的夹角为______度．（小于平角的角） ②求此时的度数． 【深入思考】 (3)若时针与分针同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过______分钟，时针与分针互相垂直． 6．阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 【题型5：铅笔模型】 1.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°． 问题迁移： （1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由： （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明． 2.从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．    (1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：． (2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______． (3)如图3，，则______． 【题型6：猪蹄模型】 1.【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 2.如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 3.综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 4.如图，直线PQ∥MN． （1）若把一块三角尺（）按如图甲方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，则＝ 度； （2）若点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个点，且∠1与∠2都是锐角，如图乙，写出∠DCE与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由； （3）将图甲中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 5.如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 【题型7：抬头模型】 1.如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 2.【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点作，∴． ∵，，∴， ∴， ∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，，求的度数． （2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程） 3.已知，    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 线﹑角和平行线压轴汇编 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】.................................................1 【题型2：与线段有关动点问题】........................................................5 【题型3：双角平分线模型-分类讨论】...................................................11 【题型4：角的折叠综合问题】.........................................................25 【题型5：钟表问题】.................................................................34 【题型6：铅笔模型】.................................................................46 【题型7：猪蹄模型】.................................................................50 【题型8：抬头模型】.................................................................54 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 1．若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，结合题意分情况求解是解题的关键．分靠近和靠近两种情况，结合线段中点定义求解即可． 【详解】解：点是线段中点， ， 点、点是线段上的三等分点， 分靠近和靠近两种情况， 当靠近时，如图，， ， ， ， 当靠近时，如图，，则， ， ， ， 故的长为或． 故选：D ． 2．已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键．分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解． 【详解】解：当点在点右侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ； 当点在点左侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ． 综上所述：线段MN的长度为5 cm． 故选：B． 3．点A、B、C在直线l上，，，点M是的中点，则线段的长度是（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点C在点A和点B之间和点C在点A和点B外侧两种情况，分别根据中点的定义以及线段的和差求解即可． 【详解】解：①如图：点C在点A和点B之间时， ∴， ∵点M是的中点， ∴． ∴． ②如图：点C在点A和点B外侧时， ∴， ∵点M是的中点， ∴． ∴． 综上，的长度可能为或． 故选D． 4．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据点的位置分两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在的延长线上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 如图，当点在上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 综上可知，线段 或， 故答案为：或． 5．已知点、、在同一直线上，若，，点，分别是线段、中点，则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差并分类讨论是解题关键．分类讨论：点在线段上时或点在线段的延长线上时，根据中点定义，可得与的关系，与的关系，可根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当点在线段上时， 、分别为线段、的中点， ，， ； 当点在线段的延长线上时， 、分别为线段、的中点， ，， ； 故答案为：或． 【题型2：与线段有关动点问题】 1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【答案】(1)1，3 (2)8cm (3)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可； （2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可； （3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0 ∴a-1=0，b-3=0， ∴a=1，b=3， 故答案为：1；3； （2）当C、D运动时，，， ∴ ． （3）当点N在线段上时， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当点N在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键． 2．如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 【答案】(1)4cm (2)4cm (3)4cm 【分析】（1））根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （3）结合（1）、（2）进行解答； 【详解】（1）解：依题意知，当时，， ∴   ∵， ∴ 即， ∴ 又， ∴； （2）解：当时，， ∴ 又， ∴， 即， ∴ 又， ∴ （3）解：当运动时间为t时，， ∴ 又， ∴， 即 ∴ 又， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 3．已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)2cm (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据运动的时间为2s，结合图形可得出，，即可得出，再由，即得出AC+MD的值； （2）根据题意可得出，．再由，可求出，从而可求出，即证明； （3）①分类讨论当点在线段上时、②当点在线段的延长线上时和③当点在线段的延长线上时，根据线段的和与差结合，即可求出线段MN和AB的等量关系，从而可求出的值，注意舍去不合题意的情形． 【详解】（1）∵时间时， ，， ∴ ； （2）∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ③如图，当点在线段的延长线上时， ，这种情况不可能， 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查线段的和与差、与线段有关的动点问题．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键． 4．如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm． 【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可． 【详解】解：（1）图形补充完整如图， ∵CB＝AB， ∴CA＝， ， 故答案为：； （2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒， cm，cm， ， ②当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， cm， 运动时间为：18÷3=6（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， 运动时间为：36÷3=12（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 综上，MN的长是12cm或24cm． 【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． 【题型3：双角平分线模型-分类讨论】 1．已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到在外部和内部两种情况是关键． 分在外部和内部两种情况，由、分别平分、可得、度数，在根据两种位置分别求之． 【详解】解：①如图，当在外部时， ∵，平分， ∴ ， 又∵，平分， ∴ ， ∴； ②如图，当在内部时， ∵，平分， ∴ ， 又∵，平分， ∴ ， ∴， 综上所述：为或． 故选C． 2．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 【答案】C 【分析】分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当在内部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图2所示，当在外部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的角度是30度或120度， 故选C． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是 ． 【答案】30度或120度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当在内部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图2所示，当在外部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的角度是30度或120度， 故答案为：30度或120度． 4．已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 【答案】60°或10° 【分析】需要分类讨论：射线OC在∠AOB的内部和射线OC在∠AOB的外部两种情况．由角平分线的定义以及角的关系求解即可． 【详解】∵∠AOB=70°，∠BOC=50°，且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线， ∴∠BOD=∠AOB=35°，∠EOB=∠BOC=25°， ①当OC在∠AOB内部时，如图， ∴∠DOE=∠BOD-∠EOB=35°-25°=10°； ②当OC在∠AOB外部时，如图， ∠DOE=∠BOD +∠EOB=35°+25°=60°． 综上所述，∠DOE的度数为60°或10°． 故答案是：60°或10°． 【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义的运用．解题时注意结合图形求得角与角间的和差关系：∠DOE=∠BOD-∠EOB或∠DOE=∠BOD+∠EOB． 5．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图1，过点作射线使得为的角平分线，且，求的度数． (2)如图2，过点作射线使得为的角平分线，过点作射线使得为的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，求出，再由三角形内角和定理计算答案即可． （2）先求出，根据角平分线的定义得到 ，即可求出答案． 【详解】（1）解： 为的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， 为的角分线，为的角平分线． ，， ， ． 6．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系，并说明理由； (2)未旋转时． ①则当旋转时间t为6秒，求的度数； ②在旋转的过程中，若绕点O按每秒的速度逆时针旋转，当旋转一周后也同时停止旋转，旋转时是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①；②的值为、10、 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角平分线的性质及角的计算， （1）由知、，根据可得答案； （2）①先求出旋转6秒时，由知，再根据角的和差关系即可求解； ②当平分时、当平分时、当平分时，分别列出关于的方程，解之可得． 根据题意全面考虑所有可能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ， ，， 平分， ， ． （2）①旋转时间为6秒， ， ， ， ； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当平分时，，即，解得； 当平分时，，即，解得：． 综上，的值为、10、． 7．已知点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则_____． (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数． (3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角板的知识，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据，代入数据即可解答； （2）根据是的角平分线，得根据即可解答； （3）根据平角的定义求出，再根据角的和差即可得解 【详解】（1）解：根据题意得，，， ， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， 旋转角． （3），， ， ， ， ， ． 8．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． (1)如下图，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为_____； (2)如下图，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算，根据题目已知条件并结合图形分析解题即可． （1）根据已知可得，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用平角是进行计算即可解答 （2）利用平角是，先求出，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答． （3）当射线在射线左侧和右侧时，分别讨论，然后利用角平分线的性质即可解题 【详解】（1）解∶ 为的角平分线， ， 又， ， 故答案为：； （2）， ， 为的角平分线，平分， ，， ． （3）如图，当射线在射线左侧时， 是的角平分线， ， ， ， 是的平分线， ， ； 如图，当射线在射线右侧时， 同理可得， ， 综上，的度数为或． 9．点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图①，将三角板的一边与射线OB重合时，则的度数为 ； (2)如图②，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求和的度数． (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图③时，，你还能求出的度数吗？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据和的度数可以得到的度数； （2）根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数； （3）先求出，再根据代入数据计算即可得解． 【详解】（1），， ； 故答案为：； （2），是的角平分线， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ． 10．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 【题型3：角的折叠综合问题】 1．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 【答案】（1）90°；（2）①；② 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）①根据、 、即可求解；②根据题意得，结合①得推理过程即可求解； 【详解】解：（1）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （2）①由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； ②若， 则， ∴， ∴； 2．如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． (1)直接写出，时，______；，时，______； (2)求时，的值； (3)当平分时，若，则______．（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，解题的关键是分情况讨论． （1）由折叠可得：，，则，，当，时，根据，即可求解；，时，根据，即可求解； （2）分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差求解即可； （3）由平分，可得，分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差列方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得：，， ，， 当，时， ， 即； 当，时， ， 即； 故答案为：；； （2）当点在的左侧时， ， ，， ， ， ； 当点在的右侧时， ， ，， ， ， ， 或； （3） 平分， ， 由（2）知，当点在的左侧时，， ， ， ， ， 解得：； 由（2）知，当点在的右侧时，， ， ， 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 3．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点落在上，得出，即可得出结论； ②同①的方法求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①， 理由：由折叠知，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵点落在， ∴， ∴， ∴，即； ②由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即． 4．折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】【知识初探】，45；【类比再探】；；；【拓展探究】 【分析】本题考查角平分线有关的计算问题，掌握角平分线的定义与审清题意是解题的关键． 【知识初探】根据题意得出是的角平分线，和分别是与的角平分线，据此可解； 【类比再探】由沿折叠可得，同理由沿折叠可得，再根据，即可得到； 【拓展探究】由（2）知，从而得到，再用与（2）相同的方法可得． 【详解】解：【知识初探】由题意可知：是的角平分线， ∴， 同理可得：和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，45； 【类比再探】证明：沿折叠， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：；；； 【拓展探究】，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∵和分别沿和再折叠， ∴， ∴． 5．如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠知，再根据即可求解； （2）由折叠知，，再根据即可求解； （3）由折叠知，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠知， 由题意得： ； 故答案为：； （2）由折叠可知： ， ， ， ， ， ， ； （3）由折叠知：，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键． 【题型4：钟表问题】 1．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 【答案】（1）①，12，2；②10秒；（2）分钟 【分析】本题考查了数轴的意义，同类项，解一元一次方程，线段中点定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）①由与是同类项，可得，知，点为线段的中点，即可得； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为，点Q追上点P时，，解方程即可； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成，1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为，得，解方程即可得出结果． 【详解】（1）①∵与是同类项， ∴ 解得， ∵点为线段的中点，所表示的数为， 故答案为：，12，2； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为， 点Q追上点P时，， 解得：， ∴经过10秒后，点Q追上点P； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成， 1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为， 解得 经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 2．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 【答案】 任务： 任务：点分 任务：点分 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 任务：根据时针每分钟转，一大格之间是即可求解； 任务：设此时为点分，根据题意构建方程求解即可； 任务：设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作，时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数），根据题意列出，进而根据到的正整数求解即可． 【详解】解：任务： 时针每分钟转动， ， 又每一数字之间的角度为， 点分，钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务： 设此时为点分， 则， 解得：， 此时为点分； 任务： 设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作， 时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数）， ， 当，时，，此时重合，但不符合题意（舍去）； 当，时，，，即此时为点分． 3．【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 【答案】（1）2；（2）①，，；②不变化，；（3）11秒或19秒；（4）分钟 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移到前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可； ②表示出，化简后即可判断； （3）分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【详解】解：（1）， ． 故可将点B向左移动2个单位长度． 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为，，． 故答案为：，，； ②点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴ ∴不变化，； （3）∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线、的夹角为， 当追上前，则 解得：． 当追上后，则， 解得：． ∴经过11秒或19秒后，射线的夹角为． （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 4．【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 ，分针每分钟转动 ，钟面显示的时间是8点15分，此时钟面角 ； 【类比探究】 （2）①如图2，甲，乙两人分别从相距的A，B两地同时出发，若甲的速度为，乙的速度为，甲追上乙需花多长时间？设甲追到乙所花时间为，则可列方程为 ； ②时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？ 【深入思考】 （3）如图3，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请求出此时对应的时刻． 【答案】 （1），， （2）①，；②分钟 （3）点分或点分 【分析】（1）根据题意，可利用和来得出时针和分针每分钟所走的角度，然后根据时针、分针每分钟的转动角度可求钟面角； （2）①根据追及问题列方程并求解即可；②同理①，根据追及问题列方程并求解即可； （3）由题意，分四种情况讨论：当射线在射线的左侧，且满足射线平分时；当射线在内部，且满足射线平分时；当射线在外部，且满足射线平分时；当在外部，且满足射线平分时；然后分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： 时针每分钟转动的度数为:， 分针每分钟转动的角度为：， 当钟面显示的时间为8点15分时，则钟面角， 故答案为：，，； （2）①由题意可列方程为：， 解得：， 答：甲追上乙需花， 故答案为：； ②设经过m分钟会再次出现时针和分针重合的现象， 由题意得：， 解得：， 答：至少经过分钟会再次出现时针和分针重合的现象； （3）由题意可知：当时间为1点时，钟面角，时间为3点时，钟面角， ∴（此时皆为初始状态），如图所示， 所以，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，可把题意理解为射线是以每分钟的速度转动，射线是以每分钟的速度在转动，同时出发，设它们转动的时间为分钟，则可分四种情况讨论： 当射线在射线的左侧，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得为负数，不符合题意，故舍去； 当射线在内部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：， 此时对应的时刻为点分； 当射线在外部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：， 此时对应的时刻为点分； 当射线在外部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：（不符合题意，故舍去）； 综上所述：当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻为点分或点分． 【点睛】本题主要考查了钟面角，角平分线的有关计算，一元一次方程的应用（行程问题），一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握钟面角及一元一次方程的应用是解题的关键． 5．某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心，，且点A、O、C在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常． 【简单认识】 (1)时针每分钟转动______度，分针每分钟转动______度； 当时针与边重合时，钟面显示的时间为______． 【初步研究】 (2)爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：如图②，延长交于点E，某一时刻时针恰好平分． ①此时时针与分针的夹角为______度．（小于平角的角） ②求此时的度数． 【深入思考】 (3)若时针与分针同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过______分钟，时针与分针互相垂直． 【答案】(1)，6， (2)①60；②． (3)或 【分析】本题主要考查了钟面角、角的运算、一元一次方程的应用、对顶角等知识点，理清角之间的关系成为解题的关键． （1）直接根据钟面角的特点即可解答； （2）①先求出，再求出，进而求出此时的时刻，然再确定分钟的位置，即可确定时针与分针的夹角；②先求得，然后根据角的和差即可解答； （3）设1小时之内，经过t分钟，时针与分针互相垂直，然后根据题意可列方程或，最后求解即可． 【详解】（1）解：∵时针走动1小时，所转动的角度为， ∴时针每分钟转动， ∵分针走动1小时，所转动的角度为， ∴时针每分钟转动， ∵， ∴当时针与边重合时，走动时间为分钟， ∵边指向12点方向， ∴当时针与边重合时，钟面显示的时间为． 故答案为：，6，． （2）解：①∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴时针转动的角度为，经历时间为分钟，即10时， ∴此时分针与重合，即时针与分针的夹角为60度 故答案为：60； ②∵（对顶角相等），， ∴， ∴． （3）解：设1小时之内，经过t分钟，时针与分针互相垂直， 由题意可得：或， 解得：或分， ∴1小时之内，经过或分钟，时针与分针互相垂直． 6．阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 【答案】（1），（2）4:00或8:00（答案不唯一），（3）或20，（4） 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用； （1）根据时，时针与分针的夹角是3.5个大格，可得所夹的锐角的度数； （2）根据时针与分针的夹角是格，即可得出答案； （3）设经过分钟，钟面角为，根据时针与分针的夹角为，分类讨论，分别列出方程，解方程，即可求解； （4）设小明看了分钟电视节目，根据题意可得时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）时，时针与分针的夹角是3.5个大格， ∴， 故答案为：． （2）某个时刻的钟面角为，则时针与分针的夹角是格， ∴一个相应的时刻可以是或（答案不唯一） 故答案为：或（答案不唯一） （3）设经过分钟，钟面角为， ∴或， 解得：或； 答：经过或20分钟，钟面角为． （4）解：∵在到之间这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置． ∴时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角， 设小明看了分钟电视节目，根据题意得 解得： 故答案为：． 【题型5：铅笔模型】 1.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°． 问题迁移： （1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由： （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明． 【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，证明见解析；（2）当P在A左侧时，∠β=∠α+∠CPD；当P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD；证明见解析． 【分析】（1）先作辅助线，利用平行线的性质得到三个角的关系； （2）分P在A的左边和P在B、O之间两种情况作图，利用平行线性质和三角形外角定理得出三个角的关系． 【详解】解：（1）如图3：∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 过P作PE∥AD，交CD于E， ∵AD∥BC， ∴PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）如图，当P在A左侧时，∠β=∠α+∠CPD． ∵AD∥BC， ∴∠β=∠COD， ∵∠COD是△POD的外角， ∴∠COD=∠CPD+∠ADP， ∴∠β=∠α+∠CPD； 如图，当P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD． ∵AD∥BC， ∴∠α=∠BEP， ∵∠BEP是△PEC的外角， ∴∠BEP=∠PCB+∠CPD， ∴∠α=∠β+∠CPD． 【点睛】本题考查平行线性质，作辅助线，利用三角形的外角性质是求解本题的关键． 2.从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．    (1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：． (2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______． (3)如图3，，则______． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)； 【分析】（1）过点作，可得，根据平行线的性质可得，，再计算角度和即可证明； （2）分别过点E、F、G、H作的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答； （3）由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n和线段条数的关系便可解答； 【详解】（1）证明：如下图，过点作，    ∵，， ∴， 根据两直线平行同旁内角互补可得： ，， ∴， ∴； （2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作，，，，    结合（1）解答在两相邻平行线间可得： ， ， ， ， ， 将所有角度相加可得： ； （3）解：由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和， 由图3可知： 当、之间有2条线段时，， 当、之间有3条线段时，， 当、之间有4条线段时，， 当、之间有5条线段时，， …， 当、之间有条线段时，， ∴； 【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组计算是解题关键． 【题型6：猪蹄模型】 1.【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 2.如图 ① ，直线，直线EF和直线分别交于C、D两点，点A、B分别在直线上，点P在直线上，连接、．    (1)猜想：如图①，若点P在线段上，，，求的大小 (2)探究：如图 ① ，若点P在线段上，写出、、之间的数量关系并说明理由． (3)拓展：如图 ② ，若点P在射线上或在射线上时，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握好平行线的性质是解本题的关键是． （1）根据平行线的性质和，即可得的大小． （2）过点P作 ，根据平行线的性质可得，，即可得出、、之间的数量关系． （3）如图②所示：分两种情况画出图形，当点P在延长线上时或当点P在延长线 【详解】（1）如图①所示：过点P作    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）猜想： 如图①所示：过点P作 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ； （3）①当点P在延长线上时，有．理由如下：    过点P作， ， ②当点P在延长线上时，有．理由如下：    过点P作， ， ，， ∴综上所述：当点P不在线段DC上时， 或． 3.综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 4.如图，直线PQ∥MN． （1）若把一块三角尺（）按如图甲方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，则＝ 度； （2）若点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个点，且∠1与∠2都是锐角，如图乙，写出∠DCE与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由； （3）将图甲中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 【答案】（1）60；（2）∠1+∠2=∠DCE，理由见解析；（3）值为2． 【分析】（1）过点作，先根据对顶角相等求得，根据，进而求得，结合已知条件即可求得； （2）过点作，利用平行线的性质即可得出； （3）设得到，再根据（2）中的结论可得，据此可得的值． 【详解】（1）过点作， , ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ． ． （3）设 ， 由（2）可知：， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质的综合应用，邻补角的性质，作辅助线构造内错角是解题的关键． 5.如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识． （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义即可解答； （2）过点G作，则，根据平行线的性质得到，即可得出结论； （3）过点G作，过点P作，则，由平行线的性质推出，，得到，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）如图，过点G作，则， ∴，， ∴； （3）如图，过点G作，过点P作，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【题型7：抬头模型】 1.如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线． （1）如图1，过点F作，根据平行线性质得出．再结合，得出，得出，即可证明． （2）如图2，过点F作，根据平行线性质得出．结合，得出，根据平行线性质得出，即可证明． （3）如图3，过点F作，过点P作，得出，．证明，，根据平行线性质得出，．结合角平分线的定义即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由：如图2，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：如图3，过点F作，过点P作， 则，． ∵， ∴，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵的平分线和的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． 2.【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点作，∴． ∵，，∴， ∴， ∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，，求的度数． （2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程） 【答案】（1）；（2），见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （3）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（2）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）如图3，过点作， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）． 理由：如图4，过点作， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． （3）． 设，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（2）可知，． 由材料的结论可知，， ∴． 3.已知，    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质分别求出，则； （2）如图所示，过点F作，过点E作，则，则有，，再根据角平分线的定义得到，再证明，，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴    （2）解：，理由如下： 如图所示，过点F作，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线并且熟知平行线的性质是解题的关键． 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