专题09 平面图形的初步认识重难点题型汇编(十五大题型）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新教材）

专题09 平面图形的初步认识重难点题型汇编 【题型01：线段的和与差】.......................................................................................................................1 【题型02：线段中点的有关计算...............................................................................................................2 【题型03：线段中点的有关计算】...........................................................................................................3 【题型04：与线段有关的动点问题】........................................................................................................6 【题型05：钟面角】..................................................................................................................................9 【题型06：与方向角有关的计算题】.......................................................................................................13 【题型07：三角板中角度计算问题】.......................................................................................................15 【题型08：几何图形中角度计算问题】....................................................................................................17 【题型09：角平分线的有关计算】...........................................................................................................20 【题型10：利用平行线的性质求解】........................................................................................................23 【题型11：平行线的判定】.......................................................................................................................25 【题型12：平行线的判定与性质综合】....................................................................................................26 【题型13：多边形截角后的边数问题】...................................................................................................29 【题型14：多边形对角线的条数问题】...................................................................................................29 【题型15：对角线分成的三角形个数问题】............................................................................................30 【题型01：线段的和与差】 1．已知线段，点C在直线上，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 2．已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 3．已知线段，在直线上画线段，使它等于，则线段的长是（） A． B． C． D．或 4．如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 5．如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且．若点E在直线AB上，且，则CE的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型02：线段中点的有关计算】 1．如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 2．如图，已知C，D两点在线段上，点M是线段的中点，点N是线段的中点，若，，求线段的长． 3．已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，求线段的长度． 4．如图，点C是线段上的一点，且，M和N分别是和的中点，已知，，求线段的长度 ． 【题型03: 线段n等分点的有关计算】 1．如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 2．如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧． (1)图中共有________条线段 (2)若线段的长为30，求线段的长． (3)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 3．【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 4．【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 5．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 6．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【题型04：与线段有关的动点问题】 2．根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 3．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 4．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 5.如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 6．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 7．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 8．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 【题型05：钟面角】 1．观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 2．如图，钟表上显示的时间是时分． (1)时针与分针的夹角为 ． (2)设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点引一条射线，且平分，平分． ①若在内部，且，则 ． ②若在外部，且，则的度数为多少？ 3．如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 4．问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 5．根据以下素材，探索完成任务． “数”说时钟 素材1 时钟在我们日常生活中时常可见．时钟表盘中的数字是均匀分布的，其中分针60分钟转动，时针60分钟转动．因此，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．定义：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如右图所示，即为某一时刻的钟面角，我们规定的度数在至之间． 素材2 当时钟显示时，钟面角为多少度呢？要解决这个问题，可以先考虑时，钟面角为，时针经过10分钟转了，分针经过10分钟转了，因此时，钟面角为． 素材3 作息时间表 第一节 第五节 第二节 第六节 大课间 眼保健操 第三节 第七节 眼保健操 体育活动 第四节 课后服务 解决问题 任务1 （1）求作息时间表中第三节课后开始做眼保健操时（即）钟面角的度数． 任务2 （2）根据素材3中作息时间表的安排，在第五节课（）时间段内，请问：上课铃声（即）响后几分钟时恰好存在钟面角为的情况？ 任务3 （3）记钟面上刻度为3的点为，在作息时间表的第六节课时间段内，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，请直接写出此时对应的时刻．（结果用“几时几分”的形式表示） 6．如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 【题型06：与方向角有关的计算题】 1．如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则 ． 2．如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 3．如图，是北偏东，为南偏东，则等于 ． 4．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测，小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它北偏西的方向上，则的度数是 ． 5．如图，图书馆在学校北偏东方向，电影院在学校南偏西方向，博物馆、学校、电影院三者连成的折线是一个直角，则图中∠1的度数为 ． 6．如图，点在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向，若，则点在点的 方向．    【题型07：三角板中角度计算问题】 1．如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 3．如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 4．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 5．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 6．一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，则与之间的数量关系是 ． 8.已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点O，，； (1)如图1，将三角尺绕点O逆时针方向转动，当恰好平分时，求度数； (2)如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果，三角尺在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 9．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【题型08：几何图形中角度计算问题】 1．已知直线与直线交于点O，过点O作． (1)如图1，为内的一条射线，若，求证：． (2)如图2，若，求的度数． 2．如图： ． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 3．如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 4．已知点在直线上，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，且，求的度数． 5．如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 6．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 7．已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【题型09：角平分线的有关计算】 1．【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 2．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． (1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则＝______°． (2)如图二，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分． ①若，求的度数（写出推理过程）． ②若，则的度数是______（直接填空）． (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是______．（直接填空） 3．【综合与探究】 课堂上，李老师让同学们以“角平分线”为主题开展探究活动：如图，已知，是内部两条射线，，且．    (1)如图1，若平分平分，则的度数为______； (2)如图2，若平分平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点转动，在转动过程中，若，直接写出的度数． 4．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【题型10：利用平行线的性质求解】 1．如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东方向航行至C点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 6．在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是直角三角形，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型11：平行线的判定】 1．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【题型12：平行线的判定与性质综合】 1．如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 2．如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 3．已知，点A、点B分别在线段上，， (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点的直角绕点B旋转，并且的两边分别与直线交于点F和点E，如图2，试判断是否为定值？如果是定值，请直接写出结果；如果不是，请简单说明理由． (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 4．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，是直角三角形，，，操作发现： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系． 5．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小轻将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．    (1)填空：________（填“>”“<”或“=”）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小轻将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 6．综合与实践． 【探究】 （1）如图1，已知直线，点在上，点在上，点在两平行线之间，证明：； 【应用】 如图2，已知直线，点，在上，点，在上，连接，，其中，分别是，的平分线，其中，． （2）求的度数（用含，式子表示）； （3）如图3，将线段沿方向平移，其他条件不变，求的度数（用含，式子表示）． 【题型13：多边形截角后的边数问题】 1．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 2．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 3．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【题型14：多边形对角线的条数问题】 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 3．若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【题型15：对角线分成的三角形个数问题】 1．一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（   ） A． 0 B．1 C．2 D．3 2．一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 3．一个六边形从一个顶点出发的对角线的条数为，对角线的总条数为，则，的值分别为（   ） A．2，9 B．3，6 C．3，9 D．2，6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 平面图形的初步认识重难点题型汇编 【题型01：线段的和与差】.......................................................................................................................1 【题型02：线段中点的有关计算...............................................................................................................4 【题型03：线段中点的有关计算】...........................................................................................................6 【题型04：与线段有关的动点问题】......................................................................................................16 【题型05：钟面角】.................................................................................................................................26 【题型06：与方向角有关的计算题】.......................................................................................................36 【题型07：三角板中角度计算问题】.......................................................................................................39 【题型08：几何图形中角度计算问题】....................................................................................................46 【题型09：角平分线的有关计算】...........................................................................................................54 【题型10：利用平行线的性质求解】........................................................................................................63 【题型11：平行线的判定】.......................................................................................................................68 【题型12：平行线的判定与性质综合】....................................................................................................71 【题型13：多边形截角后的边数问题】...................................................................................................81 【题型14：多边形对角线的条数问题】...................................................................................................83 【题型15：对角线分成的三角形个数问题】............................................................................................85 【题型01：线段的和与差】 1．已知线段，点C在直线上，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．点 C 在直线 上，需分两种情况讨论：当 C 在线段上时， ；当 C 在线段 的延长线上时，． 【详解】解：因为点C在直线上，有两种情况： ① 当点C在线段上时， ② 当点C在线段的延长线上时， ∴的长为或． 故选：C． 2．已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，掌握线段的和差计算方法，图形结合分析是解题的关键． 根据线段的位置分类讨论：①如图所示点在点的左边；②如图所示点在点的右边；根据线段的和差计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：①如图所示点在点的左边，，， ∴； ②如图所示，点在点的右边，，， ∴； ∴的长度为或． 故选：C． 3．已知线段，在直线上画线段，使它等于，则线段的长是（） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的计算，点在直线上且，需分点在线段上和在延长线上两种情况讨论． 【详解】点在直线上，且， 点的位置有两种可能： ①当点在线段上时，； ②当点在线段的延长线上时，． 的长为或． 故选：D． 4．如图，线段，线段，点是的中点，在上取一点，使得，则的长为（   ） A．5 B．13 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用线段的中点定义可得，再根据已知易得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答 【详解】解：点M是的中点，， ， ， ， ， 的长为； 故选：D 5．如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且．若点E在直线AB上，且，则CE的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了与线段中点有关计算和线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，表示出线段之间的和差关系，代入求解即可得到答案． 【详解】解：点在直线上 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧时，如图所示： 是中点， . 当点在点右侧时，如图所示： 是中点， . 综上所述：的长为或. 故选：． 【题型02：线段中点的有关计算】 1．如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差． （1）先根据线段的中点定义得到，再由线段的和差得到即可； （2）根据线段的中点得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴ ∵， ∴ （2）解：∵N是的中点，， ∴， ∴． 2．如图，已知C，D两点在线段上，点M是线段的中点，点N是线段的中点，若，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离和中点的定义，根据，，求出，再根据中点的定义求出，由线段的和差关系求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴， ∴． 3．已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，求线段的长度． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，分两种情况讨论，点在的左侧和右侧，分别画出图形，根据中点的性质求得，结合图形求得，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵、分别是线段，的中点， ∴， ∴； 如图所示， ∵，， ∴， ∵、分别是线段，的中点， ∴， ∴； 综上分析可知：线段的长为：或． 4．如图，点C是线段上的一点，且，M和N分别是和的中点，已知，，求线段的长度 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差计算，先根据线段中点的定义求出，根据线段和差的关系求出，根据线段中点的定义求出，最后根据线段和差的关系求解即可． 【详解】解：∵N是的中点，， ∴， 又， ∴， ∵M是中点， 则， ∴． 【题型03: 线段n等分点的有关计算】 1．如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算： （1）利用中点求出，再由求出，最后由求解即可； （2）分两种情况讨论，分别求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点C是线段的中点 ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：当点为靠近点D的三等分点时，如图： 则， ∴； 当点为靠近点A的三等分点时，如图： 则， ∴， ∴的长为或． 2．如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧． (1)图中共有________条线段 (2)若线段的长为30，求线段的长． (3)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)6 (2)5 (3)a或 【分析】本题主要考查了线段的和与差： （1）直接观察，即可求解； （2）根据线段中点以及三等分点的定义可得，即可求解； （3）根据题意可得点F位于点A的左侧或点B的右侧，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：图中由线段，共6条； 故答案为：6 （2）解：∵C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：点F位于点A的左侧或点B的右侧， 当点F位于点A的左侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴； 当点F位于点B的右侧时，如图， ∵， ∴，即， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴，， ∴； 综上所述，的长为a或． 3．【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【答案】（1）3；（2）或；（3）t为9，，54秒 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）点C是线段的三等分点分两种情况：和进行讨论求解即可； （3）根据题意先确定秒后，点的位置，再分点B是的三等分点和点C在的三等分点进行讨论求解． 【详解】解：（1），， ， 解得， 故答案为：3； （2）点C是线段的三等分点分两种情况： 当；，则， ，解得， 当；，则， ，解得， 综上，或． （3）数轴上点A表示，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是的三等分点， B在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得． 情况2：点C在的三等分点时 C在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得（舍去）． 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点． 4．【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）17；（3）①；②当时，为定值，是 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）求出点D对应的数，即可求解； （2）根据题意可得点P所表示的数为，点Q表示的数为，再由的中点所对应的数为10，列出方程，即可求解； （3）①依题意可得出M对应的数；②根据题意可得点E表示的数为，点F所表示的数为，从而得到，进而得到，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧， ∴点D对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； 故答案为： （2）由题意得，点P所表示的数为，点Q表示的数为， ∵的中点所对应的数为10， ∴， 解得：， 当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意∶点M对应的数为， 故答案为∶； ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，为定值，是． 5．【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______． 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】 （3） 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为． ①填空：若数轴上点的对应数为；点 的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________． ②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①②存在，当时， 为定值，是． 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）先由非负数的性质求出，进而可得CD的中点所对应的数； （2）求出点P表示的数为，点Q表示的数为，然后根据的中点所对应的数为，得即可； （3）①依题意可得出M对应的数； ②由（2）可知∶点P所表示的数为，点Q表示的数为，再求出点E所表示的数为，进而求出， ，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）， ，． ，． 的中点所对应的数为． （2）由题意得，点所表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得， 解得．， 当时，的中点所对应的数为． （3）①根据题意∶点M对应的数为 故答案为∶ ． ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为． ，． 当时， ； 当时， ； 当时， ． 当时， 为定值，是． 6．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣： 如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______． (2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，，分别是，的中点，则______． ②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长． ③若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)3 (2)①；②；③ 【分析】（1）由，，得，根据，分别是，的中点，即得 ， ，故； （2）①由，分别是，的中点，知 ， ，即得 ，故 ； ②由 ， ，知 ， ，即得 ，故 ； ③由 ， ，知 ， ，即得 ，故 ． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ， ， ； 故答案为：； （2）解：①，分别是，的中点， ， ， ， ， ； 故答案为： ； ② ， ， ， ， ， ， ； ③ ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 【题型04：与线段有关的动点问题】 2．根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 【答案】(1)6 (2)6 (3)见解析，6 【分析】（1）由可得、，然后根据图形可得即可解答； （2）根据图形可得即可解答； （3）根据图形可得当点C在延长线上时，． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， 如图1：当点C在线段AB上时，． （2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时，． （3）解：如图： 当点C在延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了线段的和差、线段的等分点等知识点，正确化出图形成为解答本题的关键． 3．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 4．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 5.如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1) ； ； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 6．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 7．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 8．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 【答案】（1）6；（2）6；（3）或2 【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出． 【详解】解：如图 (1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点， ∴DC=2，BC=EC=4 ∴DE=DC+CE=6 (2)∵AB= 12， BC= m ∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点 ∴DC=6-m，BC=EC= ∴DE=DC+CE=6 (3)由题意得，如图所示， 或 AP=3t，BQ= 6t ∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12 ∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12 解得t=或t= 2 故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6. 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式． 【题型05：钟面角】 1．观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 【答案】(1)120° (2)30° (3)240° 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，找出8时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可； （2）由时钟可知时针个小时转一圈，一圈是，所以速度为； （3）若时针从8：00到8：40，共经过分钟，时针一小时即分钟转，一分钟转动，分针一小时转，一分钟转，据此作答． 【详解】（1）解：8时整，时针和分针中间相差4个大格． 因为钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， 所以早晨8时整，时针与分针所成的最小的角为． （2）解：由时钟可知，时针12个小时转一圈． ． 故时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30°． （3）解：． 故分针转动了240°． 2．如图，钟表上显示的时间是时分． (1)时针与分针的夹角为 ． (2)设时针与分针的交点为，时针为，分针为，过点引一条射线，且平分，平分． ①若在内部，且，则 ． ②若在外部，且，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了钟表角度的计算和角平分线的定义，首先需要计算时针与分针的夹角，其次根据角平分线的定义，计算不同情况下的度数． （1）根据时针每小时转过的角度计算即可得； （2）①当射线在内部时，由平分可知，，由平分可知，，即可得； ②分为两种情况分析： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时，，根据角平分线的定义可得， ，，最后由即可得的度数． 【详解】（1）时针每小时转过的角度为， 时针与分针的夹角为． （2）①如图1所示，当射线在内部时 平分，平分， ，， ； ②分两种情况： （i）如图2所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ； （ii）如图3所示，当射线在的外部，且时， ，， ， 平分， ， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或．      3．如图，已知线段在同一平面内，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）条件下，若也平分，求的度数； (3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论； （3）根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了角的平分线的定义，角的和差计算，解方程，熟练掌握角的平分线，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过， 设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得， 解得． 故经过，与第一次垂直． 4．问题一：如图①，已知，甲，乙两人分别从相距的A，两地同时出发到地．若甲的速度为，乙的速度为，设乙行驶时间为． （1）当甲追上乙时，_____； （2）在整个运动过程中，当甲、乙两人之间的距离为时，请求出的值． 问题二：如图②，若将上述线段弯曲后视作钟表外围的一部分，线段正好对应钟表上的弧（1小时的间隔），易知． （1）分针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____，时针指向圆周上的点的速度为每分钟转动_____； （2）若从起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？ 【答案】问题一：（1）  （2） 或 问题二：（1）6， （2） 【分析】本题考查了行程问题中的追及与距离计算、分类讨论思想，以及钟表问题中的角度运动规律，解题的关键是根据题意建立等量关系（如追及路程、角度差），并对多情况问题（如距离）进行分类讨论． 问题一（1）：利用“甲路程乙路程初始间距"列方程； 问题一（2）：分“追上前后”两种情况，列距离为 的方程； 问题二（1）：根据钟表总角度和时间计算每分钟转动角度； 问题二（2）：确定初始夹角，利用速度差（分针比时针快的角度）计算追及时间． 【详解】问题一 （1）当甲追上乙时，甲行驶的路程乙行驶的路程间距（）． 列方程：，即，解得． 故答案为：． （2）分两种情况： 甲未追上乙时，距离为 ： 列方程：， 即，解得； 甲追上乙后，距离为 ： 列方程：，即，解得． （验证：甲到C需，乙到C需，两解均合理） 问题二 （1）分针60分钟转，故每分钟转； 时针12小时（720分钟）转，故每分钟转． 故答案为：与． （2）2点时，时针与分针夹角为，设t分钟后重合，分针比时针多转： ，即 ， ∴ ． 5．根据以下素材，探索完成任务． “数”说时钟 素材1 时钟在我们日常生活中时常可见．时钟表盘中的数字是均匀分布的，其中分针60分钟转动，时针60分钟转动．因此，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．定义：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如右图所示，即为某一时刻的钟面角，我们规定的度数在至之间． 素材2 当时钟显示时，钟面角为多少度呢？要解决这个问题，可以先考虑时，钟面角为，时针经过10分钟转了，分针经过10分钟转了，因此时，钟面角为． 素材3 作息时间表 第一节 第五节 第二节 第六节 大课间 眼保健操 第三节 第七节 眼保健操 体育活动 第四节 课后服务 解决问题 任务1 （1）求作息时间表中第三节课后开始做眼保健操时（即）钟面角的度数． 任务2 （2）根据素材3中作息时间表的安排，在第五节课（）时间段内，请问：上课铃声（即）响后几分钟时恰好存在钟面角为的情况？ 任务3 （3）记钟面上刻度为3的点为，在作息时间表的第六节课时间段内，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，请直接写出此时对应的时刻．（结果用“几时几分”的形式表示） 【答案】（1） （2）分钟或分钟 （3）时分或时分 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题），角平分线的有关计算等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）依题意直接列式可得，计算可得答案； （2）设上课铃声响后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，分两种情形构建方程求解即可； （3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（），然后分三种情况讨论：①当为和所成角的平分线时；②当为和所成角的平分线时；③当为和所成角的平分线时；分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）时钟面角的度数为： ； （2）设上课铃声响后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，则： ， 解得：， （分）； 或， 解得：， （分）； 答：上课铃声响后经过分钟或分钟时恰好存在钟面角为的情况； （3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（）， 分三种情况讨论： ①当为和所成角的平分线时， ， 解得：（不符合题意，故舍去）； ②当为和所成角的平分线时， ， 解得：； ③当为和所成角的平分线时， ， 解得：； 综上，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，此时对应的时刻为时分或时分． 6．如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 【答案】(1)线段的长度不发生变化，理由见解析 (2)①，；②6秒，或秒 (3)12 【分析】(1)先求出的长，根据中点定义得到，，再根据，即得； (2)①根据点A表示的数为，点P从点A以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，得到点P表示的数为：，根据点B表示的数为10，点从点以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，得到点表示的数为：；②点与点相距3个单位长度，分两种情况讨论：当点P在点Q左侧时，，解得，当点P在点Q右侧时，，解得，； (3) 设经过分钟后，钟表上的时针与分针的夹角从第一次转到，得到，解得． 本题主要考查了数轴上的动点，钟面角．解题的关键是熟练掌握动点表示的数，两点间的距离公式，时针与分针转动的角速度和转过的角度，列方程解答． 【详解】（1）如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由如下：    ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和10， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∴点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （2）①∵点A、在数轴上表示的数分别为和10， ∴在运动过程中，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：，； ②点与点相距3个单位长度，分两种情况： 当点在点左侧时，如图， ， 解得，    当点在点右侧时，如图， ， 解得，    综上所述，运动6秒或秒时，点与点相距3个单位长度； （3）时针每小时转，分针每分钟转， 设经过分钟后，的度数第一次等于， 则， 解得， ∴经过12分钟后，的度数第一次等于． 故答案为：12． 【题型06：与方向角有关的计算题】 1．如图，表示北偏东方向，表示南偏东方向，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，度分秒的换算，正确计算是解题的关键．根据计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故答案为：． 3．如图，是北偏东，为南偏东，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，由题意可得，，再利用平角的定义计算即可得解，熟练掌握方向角的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵是北偏东，为南偏东， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测，小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它北偏西的方向上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算、方向角及其计算，关键是掌握方向角的定义，度分秒相邻单位的换算是60进制． 根据方向角的定义和角的和差关系，即可求出的度数． 【详解】解：小岛在它北偏东的方向上，小岛在它北偏西的方向上， ． 故答案为：． 5．如图，图书馆在学校北偏东方向，电影院在学校南偏西方向，博物馆、学校、电影院三者连成的折线是一个直角，则图中∠1的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了方向角．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴． 故答案为： 6．如图，点在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向，若，则点在点的 方向．    【答案】南偏东 【分析】本题考查了方位角的定义，根据图示及方位角的定义得到的度数是解题的关键． 根据题意得出，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：点在点的北偏西方向，点在点的北偏东方向， ， ， ， 点在点的南偏东方向， 故答案为：南偏东 ． 【题型07：三角板中角度计算问题】 1．如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角板中的角的和差计算． 根据三角板得到，由角平分线得到，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵恰好平分， ∴， ∴， 故答案为：． 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差运算，根据，进一步利用角的和差即可作答． 【详解】解：∵， ∴. 故答案为：． 3．如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键． 由题意可知，，则，，即①，②，再根据，可得，代入②可得：③，①③可得：，即可得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：一副三角板的顶点重合在一起， ． ，， ①，②， ， ， ③， ①③，得， ， ． 故答案为：． 4．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差运算，利用三角板已知角的度数，先求出的度数，再可求出的度数解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为： 6．一副三角板如图摆放，已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，先求出，，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角尺中角的计算，解决本题的关键是熟练掌握三角尺中各个角的度数，先求得，，可得，再计算可得结果． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 8.已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点O，，； (1)如图1，将三角尺绕点O逆时针方向转动，当恰好平分时，求度数； (2)如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果，三角尺在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：不变，，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴． 9．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型08：几何图形中角度计算问题】 1．已知直线与直线交于点O，过点O作． (1)如图1，为内的一条射线，若，求证：． (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）由垂直的定义得到，得到，进而推出，得到，即可证明； （2）平角的定义，求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图： ． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查互余的定义，几何图形中角度的计算，熟练掌握各个角之间的互余和数量关系是解决问题的关键． （1）根据，结合图形即可求出结论； （2）根据，结合题意得出各个角度，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解： ， 由可得， ， ； （2）解：由（1）知， ，， ，解得， ∴，， ． 3．如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 【答案】(1)的余角是；的补角是； (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由直角的定义可得，则由平角的定义可得，，再由度数之和为90度的两个角互为余角，度数之和为180度的两个角互为补角可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案； （3）同（2）思路求解即可； （4）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是； ∵， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．已知点在直线上，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算及角平分线的定义，弄清角之间的和差关系是解题的关键． （1）由及角平分线定义得出的度数，再由为直角及平角的定义，即可得出的度数； （2）由，设，则，，再由平角的定义列出方程，求解方程，进而即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ． 是的平分线，， ． ； （2） ， 设，则． ． 是的平分线，， ． 由， 得， 解得， ． 5．如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差计算，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键． （1）由求出的度数，根据角平分线的定义得出的度数，求出，进而求解即可； （2）首先由角平分线的定义得出的度数，根据平角的定义与角的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴ ∴ ∴． 6．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查角的和差计算与角平分线性质的应用，解题关键是利用平角、角平分线定义及余角关系，通过角的和差运算求解角度． （1）先求出，再根据平分即可得出的度数；   （2）①先求出，再根据平分可得出的度数；②先根据平分得，则，进而得，则与互为余角，据此可得的值． 【详解】（1），，   ，   平分，   ； （2）①，，，   ，   平分，   ；   ②，平分，   ，   ，   ，   ，   与互为余角，   ． 7．已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【题型09：角平分线的有关计算】 1．【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 【答案】（1）①15；②；（2） 【分析】本题考查了求角度，角平分线的应用． （1）①由角平分线的性质，可得到； ②由角平分线的性质，得到度数，由已知条件中，得到的度数，利用角平分线，得到结果； （2）设，通过已知条件，求得，从而得到结果． 【详解】解：（1）①∵，是的角平分线， ∴， 故答案为：15； ②因为，是的平分线， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以； （2）设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 因为， 所以． 2．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． (1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则＝______°． (2)如图二，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分． ①若，求的度数（写出推理过程）． ②若，则的度数是______（直接填空）． (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是______．（直接填空） 【答案】(1) (2)①② (3)或 【分析】本题考查了直角的性质，角的平分线，角的和差计算． （1）根据，得到． （2）根据为的角平分线，得到；平分，得到． ①根据，计算即可． ②根据，计算即可． （3）分类计算，运用角的平分线，角的和差计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：． （2）∵为的角平分线，， ∴； ∵，， ∴； ∵平分， ∴． ①∴， 故答案为：． ②∵为的角平分线，， ∴； ∵，， ∴； ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：． （3）当在的内部时， ∵为的角平分线， ∴； ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当在的外部时， ∵为的角平分线， ∴； ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为或． 3．【综合与探究】 课堂上，李老师让同学们以“角平分线”为主题开展探究活动：如图，已知，是内部两条射线，，且．    (1)如图1，若平分平分，则的度数为______； (2)如图2，若平分平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点转动，在转动过程中，若，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)的度数为或． 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角度的计算是解决问题的关键；分类讨论是难点，漏解是易错点． （1）设，，根据角平分线的定义得，，则，再根据，得，然后根据可得出答案． （2）设，，则，，根据角平分线的定义得，，进而得 ，再根据，得，然后根据可得出答案； （3）分两种情况讨论如下：①当在的左侧时，先得，根据角平分线得，进而得，则，然后根据角平分线得，然后根据可得出的度数；②当在的右侧时，先得，根据角平分线得，进而得，则，再根据角平分线得，然后根据可得出的度数，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：如图1所示：    设，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图2所示：    设，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴； （3）在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点O转动，有以下两种情况： ①当在的左侧时，如图3所示：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当在的右侧时，如图4所示：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述：的度数为或． 4．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 【题型10：利用平行线的性质求解】 1．如图，，直线分别交于点E、F，平分，交于点G，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，掌握两直线平行、同旁内角互补是解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 2．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的性质、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据对顶角的性质、平行线的性质以及角的和差逐项判断即可． 【详解】解：由对顶角的性质可得，即D选项正确，符合题意； ∵， ∴，，即B、C选项错误，不符合题意； ∵， ∴，即A选项错误，不符合题意． 故选D． 3．如图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东方向航行至C点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方向角和角的有关计算的应用，根据南北方向线是平行的得出，再和相加即可得出答案． 【详解】解：如图，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 5．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，过点作，可得，根据题意得，再由平行线的性质得到，从而得出答案． 【详解】解：过点作，为法线，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线辅助线是解题的关键． 过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，是直角三角形，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的和差运算，平行线的性质. 根据平行线的性质得到，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 【题型11：平行线的判定】 1．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 2．如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角的定义等知识，根据内错角的定义可判断选项A，根据平行线的判定定理可判断选项B，C，D． 【详解】解：．和不是内错角，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项符合题意； 故选：D． 3．如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析． 【详解】解：A、∵， ∴，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项不符合题意； C、∵， ∴，本选项不符合题意； D、∵， ∴，本选项符合题意． 故选：D． 4．如图，由下列条件不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定定理并运用． 利用平行线的判定定理进行分析即可． 【详解】解：A、当时，根据内错角相等，两直线平行得，故A不符合题意； B、当时，根据同位角相等，两直线平行得，故B不符合题意； C、当时，根据同旁内角互补，两直线平行得，故C不符合题意； D、与不属于同位角或内错角，故不能判定，故D符合题意， 故选：D． 【题型12：平行线的判定与性质综合】 1．如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、邻补角的性质等知识点，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据同角的补角相等可得，再根据 “内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）由平行线的性质可得，进而得到，再结合可得；由角平分线的性质可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 3．已知，点A、点B分别在线段上，， (1)如图1，求证：． (2)分别过点A和点C作直线，使，以点B为顶点的直角绕点B旋转，并且的两边分别与直线交于点F和点E，如图2，试判断是否为定值？如果是定值，请直接写出结果；如果不是，请简单说明理由． (3)在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过C作，根据平行线判定和性质证出,进而完成解答； （2）过B作，根据平行线判定和性质证出，整理得，然后化简即可解答； （3）过B作，根据平行线判定和性质证出，根据角平分线定义得：，再证 ，即可． 【详解】（1）解：过C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 过B作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 即 （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴． 4．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，是直角三角形，，，操作发现： (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的度数不确定，同学们把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质． （1）根据平角的定义，平行线的性质进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，平行线的性质以及对顶角相等进行计算即可； （3）根据三角形内角和定理及对顶角的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，过点B作，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 由三角形内角和定理可得，，而， ∴． 5．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小轻将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．    (1)填空：________（填“>”“<”或“=”）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小轻将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可．②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作，交于点Q， 则， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：① ，， ， ， 的平分线交直线于点， ， ， ， ， ； ②当点N在点G的右侧时． ，， ， ， ， ， 的平分线交直线于点， ， 又 ， ； 当点N在点G的左侧时，如图： ，， ， ， ， ，， ， 的平分线交直线于点， ， ， 综上可知，的度数为或． 6．综合与实践． 【探究】 （1）如图1，已知直线，点在上，点在上，点在两平行线之间，证明：； 【应用】 如图2，已知直线，点，在上，点，在上，连接，，其中，分别是，的平分线，其中，． （2）求的度数（用含，式子表示）； （3）如图3，将线段沿方向平移，其他条件不变，求的度数（用含，式子表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出，，即可得出答案； （3）过点作，利用平行线的性质结合角平分线的定义得出，，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图1，作， ，， ． ，． ； （2）如图2，过点作， ， ． ，． 又是的平分线，是的平分线， ，． ； （3）如图3，过点作， ， ． ，． 又是的平分线，是的平分线， ，． ． 【题型13：多边形截角后的边数问题】 1．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图， ，剩余图形是四边形； ，剩余图形是五边形； ，剩余图形是六边形； 故选D． 2．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 3．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【答案】C 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 【题型14：多边形对角线的条数问题】 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点出发可分成个三角形，依此可得的值，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 【详解】解：这个多边形是边形， ∴，解得， 故选：D． 2．如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式、数学思想等知识点，掌握转化的数学思想是解题的关键． 根据题意即可解答． 【详解】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的一个顶点出发引出条对角线，将n边形分割成个三角形，这个三角形的所有内角之和即为n边形的内角和，这一探究过程运用的数学思想是转化思想． 故选D． 3．若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，解题的关键在于能够熟练掌握n边形一个顶点出发可引出条对角线，可分成个三角形，据此求解即可． 【详解】∵过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形， ∴这个多边形的边数是． 故选：C． 4．从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可． 【详解】解：设多边形有条边，由题意，得：， ∴； 故选：B． 【题型15：对角线分成的三角形个数问题】 1．一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（   ） A． 0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题， 根据多边形对角线的定义，从一个顶点出发，可以连接除自身及相邻顶点外的所有其他顶点，因此可引对角线条数为顶点数减3． 【详解】解：从一个顶点出发，可引对角线条数， ∵， ∴可引对角线条数． 故选：D． 2．一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键． 一个边形从一个顶点处可以引出条对角线，由此计算即可． 【详解】解：一个边形从一个顶点处可以引出条对角线， ， ， 故选：． 3．一个六边形从一个顶点出发的对角线的条数为，对角线的总条数为，则，的值分别为（   ） A．2，9 B．3，6 C．3，9 D．2，6 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数，多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，边形有个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从边形的一个顶点出发的对角线有条，总条数为．结合六边形有六个顶点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵六边形有六个顶点， ∴一个顶点出发的对角线的条数为， 则总条数为． 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $