专题05 一元一次方程重难点题型汇编（16大基础题型+6大提升题型）（高效培优期末专项训练）数学浙教版2024七年级上学期

专题05 一元一次方程重难点题型汇编 （16大基础题+6大提升题） 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 已知方程的解求参数............................................................................ 2 题型2 等式的性质..............................................................................................................................................2 题型3 一元一次方程的定义 3 题型4 解一元一次方程 3 题型5 判断解一元一次方程方程过程的问题 4 题型6 一元一次方程-错解问题 .6 题型7 一元一次方程应用-比赛积分问题 6 题型8 一元一次方程应用-配套问题 7 题型9 一元一次方程应用-工程问题 8 题型10 一元一次方程应用-销售盈亏问题 9 题型11 一元一次方程应用-方案问题 12 题型12 一元一次方程应用-数字问题 12 题型13 一元一次方程应用-和倍差分问题 14 题型14 一元一次方程应用-日历问题 14 题型15 一元一次方程应用-古代问题 16 题型16 一元一次方程应用-其他问题 16 【优选提升题】 18 题型1 一元一次方程钟新定义问题 20 题型2 绝对值方程 20 题型3 一元一次方程应用-几何问题 22 题型4 一元一次方程应用-水费和电费问题 22 题型5 一元一次方程应用-行程问题 24 题型6 一元一次方程应用-动点问题...............................................................................................................24 【经典基础题】 题型1 已知方程的解求参数 1．若是关于的方程的解，则的值是 ． 2．方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 3．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 题型2 等式的性质 1．已知，根据等式的基本性质，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．设a，b，m为实数，则正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上（   ） A． B． C． D． 6．等式就像平衡的天平，与如图所示的事实具有相同性质的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型3 一元一次方程的定义 1．如果关于的方程是一元一次方程，则　　． 2．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 题型4 解一元一次方程 3．解方程： (1)； (2)． 4．解方程： (1)； (2)． 5．解方程： (1)； (2)． 6．解方程： (1)； (2)． 题型5 判断解一元一次方程方程过程的问题 1．对于方程，去分母后所得方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程变形中，正确的是（   ） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，系数化为1，得 D．方程，去分母，得 3．解方程：．下面是小圣同学的解题过程 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，得，第③步 合并同类项，得，第④步 系数化为1，得．第⑤步 (1)小圣的解题过程从第______步开始出现错误 (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 4．小红在解方程时，第一步出现了错误： 解： …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 5．在解方程时，小江的解法如下： 解：去分母，得…第①步 去括号，得…第②步 移项，得  …第③步 则 …第④步 解得 …第⑤步 小江同学的解法正确吗？若不正确，请指出他在第 步开始出现错误，并写出正确的解题过程． 6．阅读小虎同学解方程的过程，并回答问题． 解：① ② ③ ④ ⑤ (1)小虎解方程最先出现错误的是第__________步（填写序号），该步骤错误原因是__________；（可多选） A．漏乘不含分母的项 B．分子是多项式，去掉分母后未给分子整体添括号 C．移项没有变号 (2)请正确解出这个方程． 题6 一元一次方程-错解问题 1．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 题型7 一元一次方程应用-比赛积分问题 1.在学校篮球比赛中，李军2分球和3分球共投进8个，共得19分，他2分球和3分球各投进多少个？ 2．12月30日光明中学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 (1)这次竞赛中答对一题得________分； (2)参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题? (3)参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗?请说明理由． 题型8 一元一次方程应用-配套问题 1．某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．2024年，盲盒风潮依旧不减，各款盲盒层出不穷，让人眼花缭乱．镇海区某工厂共有800名工人，负责生产、两种盲盒． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的3倍少200人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由3个盲盒和4个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产10个盲盒或20个盲盒，且每天只能生产其中的一种盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套? 3．七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 4．综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 题型9 一元一次方程应用-工程问题 1．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙，单独打开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时可注满水池；单独打开丙管12小时可将满池水排空．若先将甲、乙两管同时打开2小时，再打开丙管，则打开丙管 小时后水池被注满． 题型10 一元一次方程应用-销售盈亏问题 1．某商店将某物品按进价提高后标价，再优惠150元销售，能获得的毛利率（毛利率）．则销售该物品所得的利润为（   ） A．200元 B．250元 C．300元 D．350元 2．已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为 元． 3．西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 4．2024年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行．小明发现天猫平台甲、乙两家店铺在销售同一款标价均为元的杯子．假设小明均一次性购买，但两家的促销方式不同，具体优惠信息如下： 店铺 优惠信息 是否包邮 甲 任买一件商品先享受九折优惠，同时参加平台每满元减元活动 是 乙 若购买数量不超过个，则不打折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打九折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打八折；若购买数量超过个，则超过个部分打七折．注：不参加平台满减活动． 是 (1)若小明想买个该款杯子，请你帮小明分别计算一下甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，再挑选哪家店铺购买更优惠？ (2)若小明想从乙店铺购买个该款杯子，请用含的代数式表示优惠后购买的总价； (3)若小明想花费元在乙店铺来购买该款杯子且钱恰好用完，则他能买多少个该款杯子？ 5．圆圆和城城去某商场搞周年庆促销活动，活动方案如下： 一次购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400，但不超过600元 按总售价打9折 超过600元 其中600元部分打8折优惠，超过600元部分打七五折优惠 按上述优惠条件，圆圆一次性购买500多元的某些商品，付款总额为495元．（1）则园园购买商品原总价为 ；（2）城城让她别着急付款，花相同的钱，我们还可以选一些其他商品，则其他商品的金额为 ． 6．全民开展体育运动，人们对足球的需求量增加．某经理做市场调研，了解到如下信息： 信息一：成都某体育用品商城从厂家购进了A品牌足球30个，B品牌足球20个，共付款4400元．已知每个B品牌足球比每个A品牌足球进价贵20元． 信息二：成都某体育用品商城将A品牌足球按信息一中的进价提高后标价，B品牌足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时信息一中所购进的足球全部销售完后可获利860元，已知A品牌足球打八折．求： (1)每个A品牌足球和每个B品牌足球进价分别为多少元？ (2)求出信息二中B品牌足球实际销售时打几折？ (3)在（1）（2）的条件下，该经理共购进A、B品牌的足球共50个，每售出一个B品牌足球，再返顾客a元，A品牌足球售价不变．若无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，求a的值． 7．综合实践 【素材】某商家促销电动车的方案为：A档电动车8折优惠，B档一次性降价600元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 新车原价 A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元） B档：3000元及以上 减免 200元 300元 【问题】 (1)若设原价为元，请用含的代数式填写实付价． 新车原价 A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元） B档：3000元及以上 实付价 ___________元 ___________元 (2)用2120元能购买到原价为多少元的电动车？ (3)甲买了A档电动车，乙买了B档电动车，以下是他们的对话． 求甲、乙的实付价分别是多少元？ 题型11 一元一次方程应用-方案问题 1．牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 题型12 一元一次方程应用-数字问题 1．“九宫图”又称“龟背图”．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行三个数、每一列三个数、斜对角三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x的值为 ． 2．“洛书”是我国文化中最古老、神秘的事物之一，相传洛书以九个格子为基础结构，每个格子都包含着1个数字，横、竖、斜数字之和均为15．表中的值为 ． 4 m n 5 1 3．幻方是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代的《洛书》——九宫图．三阶幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图1）．则图2的九格幻方中的9个数的和为 （用含的式子表示）    4．我们知道分数写成小数形式即，反过来，无限小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？先以无限小数为例，设，由可知，，解方程，得．于是，得． 请仿照以上材料中的做法，将无限循环小数化成分数为 ． 5．将正整数，，，，，排列成如下的数表： (1)将表格中的个阴影格子看成一座“塔”，设“塔尖”的值为，用式子表示“塔”中个数的和； (2)将“塔”平移，所覆盖的个数之和能否等于？若能，请写出这五个数中的最大数；若不能，请说明理由． 题型13 一元一次方程应用-和倍差分问题 1．某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生 人． 2．甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场?设应从甲煤场运吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型14 一元一次方程应用-日历问题、 1．如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 2．如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 题型15 一元一次方程应用-古代问题 1．《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 2．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了这样一个问题：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．大致意思为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方． （1）若，则A的值为 ； （2）的值为 ． 5．我国古代数学名著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数几何？”译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问共有几个人？设共有x人，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型16 一元一次方程应用-其他问题 1．某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送150件，则还剩60件无人派送；若每个快递员派送170件，则最后一位还差20件．设快递包裹有x件，快递员有y人，则下列方程：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完，设共有x根竹竿，根据题意，列方程得（    ） A． B． C． D． 3．若同时点燃两支一样长的蜡烛，一支可燃小时，另一支可燃小时，当一支正好为另一支的一半时，已经点燃了 小时． 4．七年（1）班32名同学报名参加了篮球、足球训练．参加篮球训练的人数比参加足球训练的人数多12人，两种训练都参加的有4人．设参加篮球训练的人数为人，根据题意，可列出方程为 ． 5．我国的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体税率等级如下表，其中应纳税所得额月工资专项扣除金额依法确定的其他扣除金额． 其中专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下：①每位子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除1000元；③赡养老人扣除3000元． 依法确定的其他扣除金额主要包括养老保险金，医疗保险金等 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 2 超过3000元至12000元的部分 3 超过12000元至25000元的部分 … … … (1)方方妈妈的月工资为13100元，专项扣除项目只有赡养老人，依法确定的其他扣除金额为1100元，则方方妈妈应纳税所得额为多少元？缴纳的税额是多少元？ (2)方方爸爸的月工资是x元，他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养老人；依法确定的其他扣除金额为1500元．则方方爸爸的应纳税所得额是多少元？（用含x的代数式表示）． (3)在（2）的基础上，方方爸爸每月缴纳的税额是170元，则方方爸爸每月的收入是多少？ 6．2024年11月5日至10日，第七届中国国际进口博览会（进博会）在上海举行．某工艺品厂接到生产一批水晶工艺品的任务，为按时完成任务，厂家做了相关的准备，请帮工艺品厂解决问题． 问题内容 素材1 工艺品厂原有熟练技术工5人，助理技术工8人，因生产需要，现要从其他厂家借用11名技术工，使得工艺品厂的熟练技术工和助理技术工的人数之比为． 素材2 假设每个包装箱里面装的水晶工艺品个数都相同，每种技术工的工作效率也相同．经测试，在一天时间内，5名熟练技术工可以生产8箱还少40个工艺品；8名助理技术工可以生产9箱还少15个工艺品；已知每名熟练技术工比助理技术工每天多生产20个工艺品． 问题解决 任务1 请计算从其他厂家借用的技术工中，熟练技术工和助理技术工各有几人？ 任务2 请计算每名熟练技术工和助理技术工每天各能生产多少个工艺品？ 【优选提升题】 题型1 一元一次方程钟新定义问题 1．定义运算“”如下：当时，；当时，．若，则的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 3．观察下列三个等式：，， ，我们将使等式成立的一对实数，称为“美好数对”，记为，例如数对，，都是“美好数对”，请回答下列问题： (1)数对是“美好数对”吗？请说明理由． (2)若是“美好数对”，求的值． (3)若是“美好数对”，求代数式的值． 4．定义一种新运算“*”，规则如下：当时，；当时，；当时，． (1)求值； (2)已知，求x的值． 5．对于有理数，定义一种新运算“*”，规定． (1)计算的值； (2)已知且，求的值． 6．在实数范围内定义运算“※”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 题型2 绝对值方程 1．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 题型3 一元一次方程应用-几何问题 1．如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一块长方形的地面是由4种不同的正方形地板无缝拼接而成的，若长方形的周长为72，则①号正方形的边长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．18 3．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3∶2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后的周长与装裱前的周长比为．则天头长为 cm． 4．现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为 ． 题型4 一元一次方程应用-水费和电费问题 1．小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 2．为在节能减排的同时考虑惠民利民，某省居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准，如图是电价的收费标准： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 千瓦时 千瓦时 第一档电价 元/千瓦时 第二档用电量 千瓦时 千瓦时 第二档电价 元/千瓦时 第三档用电量 601千瓦时及以上 401千瓦时及以上 第三档电价 元/千瓦时 注：电费按月结算． (1)当时，若小王家10月份用电量为475千瓦时，则应交电费多少元？ (2)若小王家11月份用电量为392千瓦时，则应交电费______________元（用含的式子表示） (3)在（2）的条件下，若小王家12月份用电量为435千瓦时，11月和12月共交电费元．求的值． 3．某学习小组开展了以“居民用电如何计费”为主题的项目化学习． 学习小组首先了解了浙江省电网销售电价： 单位：元/千瓦时（含税） 普通电价 峰时电价 谷时电价 第一阶梯：年用电量2760千瓦时及以下部分 0.5380 0.5680 0.2880 第二阶梯：年用电量2760~4800（不包含2760）千瓦时部分 0.5880 0.6180 0.3380 第三阶梯：年用电量4800（不包含4800）千瓦时以上部分 0.8380 0.8680 0.5880 备注：居民生活用电分时电价时段划分：高峰时段：8：00-22：00，低谷时段：22：00-次日8：00． 然后对“月用电量200千瓦时（其中峰电100千瓦时）需缴多少电费？”探究结果如下： 不使用峰谷电 使用峰谷电 第一阶梯 （元） （元） 第二阶梯 （元） ②________元 第三阶梯 ①________元 （元） 请依据上述素材，解答下列问题： (1)填空：表中①________；②________ (2)已知晶晶家在2024年5月用电量为300千瓦时，且处于第一阶梯，她建议爸爸妈妈申请办理峰谷电，因为用峰谷电可以使本月电费减少元，请问晶晶家5月份用了多少千瓦时的峰电，多少千瓦时的谷电？ (3)2024年10月份小菲家用电量为200千瓦时，小华家用电量比小菲家少，在两家都不使用峰谷电的情况下，小华家的当月电费却超过了小菲家元，求小华家当月用电量（结果精确到1千瓦时）． 题型5 一元一次方程应用-行程问题 1．《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的两点（备注：圆形轨道上相距是圆上这两点间的较短部分展直后的线段长为），动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在第二次相遇前，当动点在轨道上相距时，则 ． 3．甲、乙两车站相距，一列慢车从甲站开出，行驶速度为，一列快车从乙站开出，行驶速度为． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时后快车追上慢车？ (3)两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距？ 4．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 5．“绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统，以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： 指标 优化前 优化后 备注 行程总时间 17.7分钟 10分钟 行程总时间红灯等待时间行驶时间．如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟． 红灯等待次数 6次 1次 单次红灯平均等待时长 为优化前的40% 行驶速度 600米/分钟 900米/分钟 行驶速度总路程行驶时间 设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为分钟， (1)优化前的行驶时间为__________分钟，优化后的行驶时间为__________分钟；（用含的代数式表示） (2)求优化前的单次红灯平均等待时长及该路段的总路程． 题型6 一元一次方程应用-动点问题 1．如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 2．如图，数轴上点A，B表示的数分别是和6，O为原点．点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度匀速相向而行，点P从原点O以1个单位长度/秒的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动．若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动．在此运动过程中，设运动时间为t秒，若，则t的值是 ． 3．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行． 素材1 宁波轨道交通1号线是宁波第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒．如图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图2的数轴．其中数字1代表江厦桥东站，数字2代表舟孟北路站，以此类推． 数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表______站． 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟到数字3和数字4之间时（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）． 探究3 如图3，A从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时B从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2．5个单位长度． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程重难点题型汇编 （16大基础题+6大提升题） 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 已知方程的解求参数............................................................................ 1 题型2 等式的性质..............................................................................................................................................3 题型3 一元一次方程的定义 5 题型4 解一元一次方程 6 题型5 判断解一元一次方程方程过程的问题 9 题型6 一元一次方程-错解问题 12 题型7 一元一次方程应用-比赛积分问题 13 题型8 一元一次方程应用-配套问题 14 题型9 一元一次方程应用-工程问题 18 题型10 一元一次方程应用-销售盈亏问题 25 题型11 一元一次方程应用-方案问题 27 题型12 一元一次方程应用-数字问题 31 题型13 一元一次方程应用-和倍差分问题 32 题型14 一元一次方程应用-日历问题 33 题型15 一元一次方程应用-古代问题 36 题型16 一元一次方程应用-其他问题 41 【优选提升题】 41 题型1 一元一次方程钟新定义问题 41 题型2 绝对值方程 46 题型3 一元一次方程应用-几何问题 46 题型4 一元一次方程应用-水费和电费问题 49 题型5 一元一次方程应用-行程问题 54 题型6 一元一次方程应用-动点问题...............................................................................................................58 【经典基础题】 题型1 已知方程的解求参数 1．若是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解法，解题关键是明确方程解的意义．将代入原方程求解即可． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得：， 故答案为：2． 2．方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．把代入，得到关于的方程，然后解方程求出的值，再把代入各选项判断即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 当时，选项A的值为2，不符合题意，舍去； 选项B的值为，不符合题意，舍去； 选项C的值为，符合题意； 选项D的值为，不符合题意，舍去； 故选：C． 3．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程，再根据等式的性质求出关于a的方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 题型2 等式的性质 1．已知，根据等式的基本性质，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，即：；等式成立，符合题意； B、，则：，原等式不成立，不符合题意； C、，则：，原等式不成立，不符合题意； D、，则：，即，原等式不成立，不符合题意； 故选A 2．下列运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立． 【详解】解：．如果，那么，原变形错误，故该选项不符合题意； ．如果，那么，原变形错误，故该选项不符合题意； ．如果，且时，那么，原变形错误，故该选项不符合题意； ．如果，则，则，变形正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3．等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 根据题意可得，根据等式的基本性质1，将的两边同时加即可． 【详解】解：由图可知， 根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得， ∴A符合题意，BCD不符合题意， 故选：A． 4．设a，b，m为实数，则正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式错误，不符合题意； B、若，则，原式正确，符合题意； C、若，则，原式错误，不符合题意； D、若，则，原式错误，不符合题意； 故选：B． 5．方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键，根据等式的性质进而分析即可求解． 【详解】解： 方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上， 故选：D． 6．等式就像平衡的天平，与如图所示的事实具有相同性质的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 题型3 一元一次方程的定义 1．如果关于的方程是一元一次方程，则　　． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 2．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．或1 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0，则这个整式方程是一元一次方程，根据定义可得关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴ ∴， 故选：B． 题型4 解一元一次方程 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟练运用等式的基本性质和方程求解的步骤，包括移项、去分母、去括号、合并同类项以及系数化为1等． （1）通过移项、合并同类项和系数化为1来求解方程． （2）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，最后系数化为1求解方程 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可． （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可． 【详解】（1）解：（1）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键； （1）方程按移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可； （2）方程按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可． 【详解】（1）移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，， 系数化1，得． 题型5 判断解一元一次方程方程过程的问题 1．对于方程，去分母后所得方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边同时乘以6，即可得出答案. 【详解】解：， 方程两边同时乘以6，得： ， 故选：C 2．下列方程变形中，正确的是（   ） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，系数化为1，得 D．方程，去分母，得 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．根据解方程的步骤逐项排查即可解答． 【详解】解：A、方程，移项，得，故本选项不符合题意； B、方程，去括号，得，故本选项不符合题意； C、方程，系数化为1，得，故本选项不符合题意； D、方程，去分母得，故本选项符合题意； 故选：D． 3．解方程：．下面是小圣同学的解题过程 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，得，第③步 合并同类项，得，第④步 系数化为1，得．第⑤步 (1)小圣的解题过程从第______步开始出现错误 (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据解一元一次方程需要注意的事项进行求解即可得出答案； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：小圣的解题过程从第一步开始出现错误．没有加括号， 故答案为：①； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 4．小红在解方程时，第一步出现了错误： 解： …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去分母即可得出答案； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 5．在解方程时，小江的解法如下： 解：去分母，得…第①步 去括号，得…第②步 移项，得  …第③步 则 …第④步 解得 …第⑤步 小江同学的解法正确吗？若不正确，请指出他在第 步开始出现错误，并写出正确的解题过程． 【答案】不正确，①，正确的解题过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法是解题的关键．根据解一元一次方程的步骤和方法判断求解，即可解题． 【详解】解：不正确，小红在第①步去分母时，没有加括号， 所以他在第①步开始出现错误， 正确的解题过程如下： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 ， 则， 解得． 故答案为：①． 6．阅读小虎同学解方程的过程，并回答问题． 解：① ② ③ ④ ⑤ (1)小虎解方程最先出现错误的是第__________步（填写序号），该步骤错误原因是__________；（可多选） A．漏乘不含分母的项 B．分子是多项式，去掉分母后未给分子整体添括号 C．移项没有变号 (2)请正确解出这个方程． 【答案】(1)AB (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）第①步去分母时，等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，最先出现错误是第①步，错误原因是再去分母时等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号， 故选：AB； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 题6 一元一次方程-错解问题 1．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程错解复原问题，将错就错，去分母后，将代入，求解即可． 【详解】解：按照小马同学去分母的过程得：， 把代入，得：， 解得：； 故选B． 题型7 一元一次方程应用-比赛积分问题 1.在学校篮球比赛中，李军2分球和3分球共投进8个，共得19分，他2分球和3分球各投进多少个？ 【答案】他2分球投进5个，3分球投进3个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设2分球投进x个，则3分球投进个，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设2分球投进x个，则3分球投进个， 根据题意，得， 解得， ， 答：他2分球投进5个，3分球投进3个． 2．12月30日光明中学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 (1)这次竞赛中答对一题得________分； (2)参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题? (3)参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗?请说明理由． 【答案】(1)5 (2)小红答对了15道题 (3)小明得分为60分是不可能的，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对一题的得分参赛者的得分参赛者答对题目数，即可求出结论； （2）利用答错一题的得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答错一题的得分，设小红答对了道题，则答错了道题，根据小红的得分是70分，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）假设小明的得分能是60分，设小明答对了道题，则答错了道题，根据小明的得分是60分，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合需为整数，可得出不符合题意，舍去，进而可得出假设不成立，即小明的得分不可能是60分． 【详解】（1）解：根据题意得：这次竞赛中答对一题得（分． 故答案为：5； （2）解：这次竞赛中答错一题得（分， 设小红答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：． 答：小红答对了15道题； （3）解：不可能，理由如下： 假设小明的得分能是60分，设小明答对了道题，则答错了道题， 根据题意得得：， 解得：， 又需为整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立， 即小明的得分不可能是60分． 题型8 一元一次方程应用-配套问题 1．某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意可知：桶身的数量桶底的数量，然后列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：C． 2．2024年，盲盒风潮依旧不减，各款盲盒层出不穷，让人眼花缭乱．镇海区某工厂共有800名工人，负责生产、两种盲盒． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的3倍少200人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由3个盲盒和4个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产10个盲盒或20个盲盒，且每天只能生产其中的一种盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套? 【答案】(1)该工厂生产盲盒的工人人数为250 (2)该工厂应该安排480名工人生产盲盒，320名工人生产盲盒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该工厂生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设该工厂安排名工人生产盲盒，名工人生产盲盒，根据盲盒大礼包由3个盲盒和4个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该工厂生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的人数为人． 根据题意，得． 解得 答：该工厂生产盲盒的工人人数为250． （2）解：设该工厂安排名工人生产盲盒，名工人生产盲盒． 根据题意，得． 解得， 则． 答：该工厂应该安排480名工人生产盲盒，320名工人生产盲盒． 3．七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 【答案】(1)七（1）班有28名男生，16名女生 (2)有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七（1）班有x名男生，则有名女生，根据男生人数比女生人数的2倍少4人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出的值(即男生人数)，再将其代入中，即可求出女生人数． （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套，利用制作的花瓣的总数量是制作花心总数量的6倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名男生，则有名女生， 根据题意得∶， 解得∶， (名)， 答∶七（1）班有28名男生，16名女生； （2）解：设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套， 根据题意得∶， 解得∶， 答∶有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套． 4．综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【答案】任务1：，；任务2：16个；任务3：当，时，柜子数量最多，为个 【分析】本题考查了列代数，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据图1求解； （2）根据“小正方形和小长方形的数量比为”列方程求解； （3）设制作竖式柜子a个，先用x和a表示柜子的总数，当x增大时，柜子的数量也增大． 【详解】任务1：解：由题意得∶A方法得小长方形木块块，B方法得小正方形块， 故答案为∶，； 任务2：由题意得：， 解得， 则， 所以能做出16个竖式柜． 任务3：设制作竖式柜个，则制作横式柜个， 做出的柜子数量为个． 由题意得：， 化简得：． 因为，和均为正整数， 当增大时，柜子数量也增大， 所以当，时，柜子数量最多，为个． 题型9 一元一次方程应用-工程问题 1．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙，单独打开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时可注满水池；单独打开丙管12小时可将满池水排空．若先将甲、乙两管同时打开2小时，再打开丙管，则打开丙管 小时后水池被注满． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设打开丙管小时后，水池被注满，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，各劳动分量之和等于总量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设打开丙管小时后，水池被注满，由题意，得： ， 解得：； 答：打开丙管小时后水池被注满． 故答案为: 题型10 一元一次方程应用-销售盈亏问题 1．某商店将某物品按进价提高后标价，再优惠150元销售，能获得的毛利率（毛利率）．则销售该物品所得的利润为（   ） A．200元 B．250元 C．300元 D．350元 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该衣服的进价为x元，则售价为元，根据毛利率计算公式列出方程求出进价，进而求出售价即可求出对应的利润． 【详解】解：设该衣服的进价为x元，则售价为元， 由题意得，， 解得， 元， ∴销售该物品所得的利润为250元， 故选：B． 2．已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为 元． 【答案】50 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设A商品每千克的售价为x元，根据毛利率为列方程求解即可． 【详解】解：设A商品每千克的售价为x元， 根据题意，得， 解得， 答：A商品每千克的售价为50元， 故答案为：50． 3．西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【答案】(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克 (2) (3)240 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解； 对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可； 对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得 ， 解得， ∴（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得． 答：销售“狮峰龙井”茶叶盒； （3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得， 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 4．2024年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行．小明发现天猫平台甲、乙两家店铺在销售同一款标价均为元的杯子．假设小明均一次性购买，但两家的促销方式不同，具体优惠信息如下： 店铺 优惠信息 是否包邮 甲 任买一件商品先享受九折优惠，同时参加平台每满元减元活动 是 乙 若购买数量不超过个，则不打折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打九折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打八折；若购买数量超过个，则超过个部分打七折．注：不参加平台满减活动． 是 (1)若小明想买个该款杯子，请你帮小明分别计算一下甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，再挑选哪家店铺购买更优惠？ (2)若小明想从乙店铺购买个该款杯子，请用含的代数式表示优惠后购买的总价； (3)若小明想花费元在乙店铺来购买该款杯子且钱恰好用完，则他能买多少个该款杯子？ 【答案】(1)选择甲店铺优惠后的实际价格为元，选择乙店铺优惠后的实际价格为元，选择甲店铺购买更优惠 (2)元 (3)个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合甲、乙两家店铺给出的优惠方案，可求出选择甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，比较后，即可得出结论； （2）利用总价单价数量，结合乙店铺给出的优惠方案，即可用含的代数式表示优惠后购买的总价； （3）根据在乙店铺优惠后购买的总价为元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：元，元， 选择甲店铺优惠后的实际价格为元； 选择乙店铺优惠后的实际价格为元． ， 选择甲店铺购买更优惠； （2）根据题意得：元． 答：优惠后购买的总价为元； （3）根据题意得：， 解得：． 答：他能买个该款杯子． 5．圆圆和城城去某商场搞周年庆促销活动，活动方案如下： 一次购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400，但不超过600元 按总售价打9折 超过600元 其中600元部分打8折优惠，超过600元部分打七五折优惠 按上述优惠条件，圆圆一次性购买500多元的某些商品，付款总额为495元．（1）则园园购买商品原总价为 ；（2）城城让她别着急付款，花相同的钱，我们还可以选一些其他商品，则其他商品的金额为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是解题题意，分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：设园园购买商品原总价为x元，圆圆一次性购买500多元的某些商品， 所以时，，解得，， 当时，，解得，， （元）， 故答案为：，． 6．全民开展体育运动，人们对足球的需求量增加．某经理做市场调研，了解到如下信息： 信息一：成都某体育用品商城从厂家购进了A品牌足球30个，B品牌足球20个，共付款4400元．已知每个B品牌足球比每个A品牌足球进价贵20元． 信息二：成都某体育用品商城将A品牌足球按信息一中的进价提高后标价，B品牌足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时信息一中所购进的足球全部销售完后可获利860元，已知A品牌足球打八折．求： (1)每个A品牌足球和每个B品牌足球进价分别为多少元？ (2)求出信息二中B品牌足球实际销售时打几折？ (3)在（1）（2）的条件下，该经理共购进A、B品牌的足球共50个，每售出一个B品牌足球，再返顾客a元，A品牌足球售价不变．若无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，求a的值． 【答案】(1)每个A品牌足球的进价是80元，每个B品牌足球的进价是100元 (2)八五折 (3)3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个A品牌足球的进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元，利用总价=单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个A品牌足球的进价），再将其代入中，即可求出每个B品牌足球的进价； （2）设信息二中B品牌足球实际销售时打y折，利用总利润=每个A品牌足球的销售利润×销售数量+每个B品牌足球的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，可得出A，B两种品牌足球的销售利润相同，进而可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个A品牌足球的进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元， 根据题意，得， 解方程，得， ∴． 答：每个A品牌足球的进价是80元，每个B品牌足球的进价是100元； （2）解：设信息二中B品牌足球实际销售时打y折， 根据题意，得， 解方程，得． 答：信息二中B品牌足球实际销售时打八五折； （3）解：∵无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同， ∴A，B两种品牌足球的销售利润相同， ∴， 解方程，得． 答：a的值为3． 7．综合实践 【素材】某商家促销电动车的方案为：A档电动车8折优惠，B档一次性降价600元．年底在原促销基础上再增加以下优惠： 新车原价 A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元） B档：3000元及以上 减免 200元 300元 【问题】 (1)若设原价为元，请用含的代数式填写实付价． 新车原价 A档：2000元~3000元（含2000元，不含3000元） B档：3000元及以上 实付价 ___________元 ___________元 (2)用2120元能购买到原价为多少元的电动车？ (3)甲买了A档电动车，乙买了B档电动车，以下是他们的对话． 求甲、乙的实付价分别是多少元？ 【答案】(1)； (2)用2120元能购买到原价为元或元的电动车 (3)甲的实付价格为元，乙的实付价格为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题的关键． （1）根据题意可得档价格为元，档价格元，即可； （2）列方程和，分别解出即可； （3）设甲的原价为元，乙的原价为元，根据甲的实际价格比乙的实际价格高元，列方程，即可得到甲、乙的原价，即可得到实付价格． 【详解】（1）解：根据题意可得档价格为元，档价格元， 故答案为：；； （2）解：由题意可得，解得， 由题意可得，解得， 用2120元能购买到原价为元或元的电动车； （3）解：设甲的原价为元，乙的原价为元， 根据题意可得， 解得， 甲的实付价格为元，乙的实付价格为元． 题型11 一元一次方程应用-方案问题 1．牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【答案】(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 题型12 一元一次方程应用-数字问题 1．“九宫图”又称“龟背图”．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行三个数、每一列三个数、斜对角三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设第二行第二个方格中的数字为a，则第一行第二个方格中的数为，第二行第一个方格中的数为，第三行第三个方格中的数为，根据第一列及第三行上的三个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第二行第二个方格中的数字为a，则第一行第二个方格中的数为，第二行第一个方格中的数为，第三行第三个方格中的数为， 根据题意得：， 即， 解得：， ∴x的值为2． 故答案为：2． 2．“洛书”是我国文化中最古老、神秘的事物之一，相传洛书以九个格子为基础结构，每个格子都包含着1个数字，横、竖、斜数字之和均为15．表中的值为 ． 4 m n 5 1 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意先求得第一行最中间的数，再求得m，进而求得n的值，最后计值． 【详解】解：由题意得第一行最中间的数为， 则， 解得∶， 则左下角的数为， 则， 解得∶， 则， 故答案为∶8． 3．幻方是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代的《洛书》——九宫图．三阶幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图1）．则图2的九格幻方中的9个数的和为 （用含的式子表示）    【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设右下角格内的数为b，根据处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等，列方程作图，求解即可． 【详解】解：设右下角格内的数为b，则左上角格内的数为， 所以最中间格内的数为， 所以最中间格左侧格内的数为， 所以最中间格下侧格内的数为， 所以左下角格内的数为， 即如图所示，    所以， 整理，得：， 所以， 所以， 所以图2的九格幻方中的9个数的和为． 故答案为：． 4．我们知道分数写成小数形式即，反过来，无限小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？先以无限小数为例，设，由可知，，解方程，得．于是，得． 请仿照以上材料中的做法，将无限循环小数化成分数为 ． 【答案】 【分析】设，根据题中方法把化为分数即可． 【详解】解：设，即， 则， 所以， 解方程得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的运用，关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限循环小数化成分数形式． 5．将正整数，，，，，排列成如下的数表： (1)将表格中的个阴影格子看成一座“塔”，设“塔尖”的值为，用式子表示“塔”中个数的和； (2)将“塔”平移，所覆盖的个数之和能否等于？若能，请写出这五个数中的最大数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，根据题意列方程是解题的关键； （1）设“塔尖”的值为，则另外四个数分别为，，，，将个数相加，即可用含的代数式表示出“塔”中个数的和； （2）假设所覆盖的个数之和能等于，设“塔尖”的值为，则另外个数分别为，，，，根据个数之和为，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出的值，再结合需为整数，可得出不符合题意，舍去，进而可得出假设不成立，即所覆盖的个数之和不能等于． 【详解】（1）解：设“塔尖”的值为，则另外个数分别为，，，， ∴“塔”中个数的和为； （2）解：所覆盖的个数之和不能等于，理由如下： 假设所覆盖的个数之和能等于， 设“塔尖”的值为，则另外个数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 又需为整数， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立，即所覆盖的个数之和不能等于． 题型13 一元一次方程应用-和倍差分问题 1．某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意假设这列队伍前面人，后面则有人，利用他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样得出方程求解即可． 【详解】解：设这列队伍前面人，后面则有人， 根据题意得出：， 解得：， 这个班级共有学生． 故答案为：． 2．甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场?设应从甲煤场运吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设从甲煤场运煤吨到乙煤场，根据调运后甲煤场存煤是乙煤场的2倍，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设从甲煤场运煤吨到乙煤场， 依题意得， 故选：A． 题型14 一元一次方程应用-日历问题、 1．如图所示，将连续正偶数由小到大按顺序排列，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），设“U”型框左上角的数为． (1)用含的代数式表示“U”型框中的5个数的和． (2)“U”型框中的5个数的和能等于758吗？若能，求出的值；如不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及整式的加减，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列代数式及找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据5个数的位置关系，可得出另外的4个数分别为，，，，将5个数相加，即可用含m的代数式表示“U”型框中，的5个数的和； （2）根据“U”型框中的5个数的和得等于758，可列出关于m的一元一次方程，解方程，检验后即可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：另外的4个数分别为，，，， “”型框中的5个数的和为； （2）解：能，理由如下 根据题意得：， 解得：， ，， 在第6列，符合题意， “”型框中的5个数的和能等于758，的值为140． 2．如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)被框住的4个日期之和不可能等于55，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据“T”字形的特征列式即可； （2）根据“4个日期之和等于55”列方程求解，然后判断是否实际意义即可． 【详解】（1）解： （2）解：若4个日期之和等于55 则                                                           观察月历表，发现日期11位于侧边      所以被框住的4个日期之和不可能等于55． 题型15 一元一次方程应用-古代问题 1．《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵若每人出钱，则会多出钱， 物品的价格为钱； 若每人出钱，则还少钱， 物品的价格为钱， 根据题意得可列出方程． 故选：B． 2．我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了这样一个问题：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．大致意思为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设快马天可以追上慢马，根据“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天”，即可列方程． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 则， 故选：C． 3．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设共有x辆车，可列方程为， 故选：C． 3．我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺”，可得出木头的长度是或尺，结合木头的长度不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺， ∴木头的长度是尺； ∵将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺， ∴木头的长度是尺， ∴根据题意得可列出方程， 即． 故选A． 4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方． （1）若，则A的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 7 13 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用及等式基本性质的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键． （1）由第一列的和等于对角线的和相等列等式，代入求解即可， （2）由第三列的和等于对角线的和、第一列的和等于对角线的和相等列出方程，结合整式计算求解即可． 【详解】解：（1）由图可知，， 若，则，解得， 故答案为：7； （2），， 则 ，， 那么，， 故答案为：13． 5．我国古代数学名著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六．问人数几何？”译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问共有几个人？设共有x人，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 根据题意可得等量关系：人数人数，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设有人共同买鸡，根据题意得： 故选A． 题型16 一元一次方程应用-其他问题 1．某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送150件，则还剩60件无人派送；若每个快递员派送170件，则最后一位还差20件．设快递包裹有x件，快递员有y人，则下列方程：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设快递包裹有x件，根据快递员人数相等，即可得出关于x的一元一次方程．同理设快递员有y人，根据包裹数量相等，即可得出关于y的一元一次方程．即可得出答案． 【详解】解：设快递包裹有x件，根据题意：； 设快递员有y人，根据题意： ； 故选：A． 2．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完，设共有x根竹竿，根据题意，列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设共有x根竹竿，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”列一元一次方程即可求解． 【详解】解：设共有x根竹竿，根据题意得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 3．若同时点燃两支一样长的蜡烛，一支可燃小时，另一支可燃小时，当一支正好为另一支的一半时，已经点燃了 小时． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设已经点燃了小时，设蜡烛的长度为“”，根据“一支正好为另一支的一半”列出关于的一元一次方程，求解即可．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设已经点燃了小时，且设蜡烛的长度为“”， 依题意，得：， 解得：， ∴当一支正好为另一支的一半时，已经点燃了小时． 故答案为：． 4．七年（1）班32名同学报名参加了篮球、足球训练．参加篮球训练的人数比参加足球训练的人数多12人，两种训练都参加的有4人．设参加篮球训练的人数为人，根据题意，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据篮球的人数加上足球的人数减去都参加的人数等于报名参加的人数，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：． 故答案为： 5．我国的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体税率等级如下表，其中应纳税所得额月工资专项扣除金额依法确定的其他扣除金额． 其中专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下：①每位子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除1000元；③赡养老人扣除3000元． 依法确定的其他扣除金额主要包括养老保险金，医疗保险金等 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 2 超过3000元至12000元的部分 3 超过12000元至25000元的部分 … … … (1)方方妈妈的月工资为13100元，专项扣除项目只有赡养老人，依法确定的其他扣除金额为1100元，则方方妈妈应纳税所得额为多少元？缴纳的税额是多少元？ (2)方方爸爸的月工资是x元，他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养老人；依法确定的其他扣除金额为1500元．则方方爸爸的应纳税所得额是多少元？（用含x的代数式表示）． (3)在（2）的基础上，方方爸爸每月缴纳的税额是170元，则方方爸爸每月的收入是多少？ 【答案】(1)方方妈妈应纳税所得额为元，缴纳的税额是元 (2)方方爸爸的应纳税所得额是元 (3)方方爸爸每月的收入是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，列代数式，理解题意、正确理解题意是解题的关键． （1）应纳税所得额月工资专项扣除金额依法确定的其他扣除金额，即可求解；再根据应纳税所得额表格代入数据计算即可； （2）根据应纳税所得额月工资专项扣除金额，即可求出方方爸爸的应纳税所得额； （3）先判断出方方爸爸应纳税所得额所在级别，再根据方方爸爸每月缴纳的税额是170元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意： 方方妈妈应纳税所得额为：（元）， 缴纳的税额为：（元） 答：方方妈妈应纳税所得额为元，缴纳的税额是元； （2）解：根据题意： 方方爸爸的应纳税所得额是：元， 答：方方爸爸的应纳税所得额是元； （3）解：∵（元），（元）， ∵方方爸爸每月缴纳的税额是170元， ∴方方爸爸的应纳税所得额超过了元，但不超过元， ∴， 整理得：， 解得：， 答：方方爸爸每月的收入是元． 6．2024年11月5日至10日，第七届中国国际进口博览会（进博会）在上海举行．某工艺品厂接到生产一批水晶工艺品的任务，为按时完成任务，厂家做了相关的准备，请帮工艺品厂解决问题． 问题内容 素材1 工艺品厂原有熟练技术工5人，助理技术工8人，因生产需要，现要从其他厂家借用11名技术工，使得工艺品厂的熟练技术工和助理技术工的人数之比为． 素材2 假设每个包装箱里面装的水晶工艺品个数都相同，每种技术工的工作效率也相同．经测试，在一天时间内，5名熟练技术工可以生产8箱还少40个工艺品；8名助理技术工可以生产9箱还少15个工艺品；已知每名熟练技术工比助理技术工每天多生产20个工艺品． 问题解决 任务1 请计算从其他厂家借用的技术工中，熟练技术工和助理技术工各有几人？ 任务2 请计算每名熟练技术工和助理技术工每天各能生产多少个工艺品？ 【答案】（1）借用的技术工中，熟练技术工为1人，则助理技术工为10人；（2）每名熟练技术工每天能生产80个工艺品，每名助理技术工每天能生产60个工艺品 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，掌握一元一次方程与实际问题的运用是解题的关键． 任务1：设借用的技术工中，熟练技术工为x人，则助理技术工为人，由此列式求解即可； 任务2：设每箱工艺品个数为y个，由此列方程求解即可． 【详解】解：任务1：设借用的技术工中，熟练技术工为x人，则助理技术工为人， ， ， 答：借用的技术工中，熟练技术工为1人，则助理技术工为10人． 任务2：设每箱工艺品个数为y个， ， （个）， （个）， 答：每名熟练技术工每天能生产80个工艺品，每名助理技术工每天能生产60个工艺品． 【优选提升题】 题型1 一元一次方程钟新定义问题 1．定义运算“”如下：当时，；当时，．若，则的值是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新定义列出方程是解题的关键． 按照定义的新运算进行计算，即可解答 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ， ， 故选：B． 2．在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，解一元一次方程，求代数式的值，解题的关键是掌握新定义的运算法则； （1）根据给出的式子总结规律：，即可得到答案； （2）根据（1）中总结的规律进行计算和验证； （3）利用（1）中的规律列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为： （2） ， ∴， ∵， ， ∴， ∴新定义的运算“”满足交换律，即成立． （3）∵ ∴， 解得 3．观察下列三个等式：，， ，我们将使等式成立的一对实数，称为“美好数对”，记为，例如数对，，都是“美好数对”，请回答下列问题： (1)数对是“美好数对”吗？请说明理由． (2)若是“美好数对”，求的值． (3)若是“美好数对”，求代数式的值． 【答案】(1)是，理由入下 (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的计算，解一元一次方程， 对于（1），计算是否相等判断即可； 对于（2），根据定义可得，求出解即可； 对于（3），根据定义得，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：是，理由入下： 因为，得， 所以是“美好数对”； （2）解：因为是“美好数对”， 所以， 解得； （3）解：根据定义得， 所以， 即． 4．定义一种新运算“*”，规则如下：当时，；当时，；当时，． (1)求值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）根据新定义，当时，；进行计算即可求解； （2）分情况讨，分三种情况，根据新定义运算，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1） ， ； （2）情况一：当时， ， ， ， ， ， ， ∴舍去， 情况二：当时， ， ， ， ， ，     ∴舍去， 情况三：当时， ， ， ， ， ， ， 综上所述：． 5．对于有理数，定义一种新运算“*”，规定． (1)计算的值； (2)已知且，求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．掌握新运算的法则，是解题的关键． （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 6．在实数范围内定义运算“※”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据新定义运算进行计算即可； （2）先根据新定义运算得到关于x的一元一次方程，解方程即可求解； （3）先根据新定义运算得到，再代入求值即可． 【详解】（1）； （2）， 解得； （3）原式， 当时，上式． 【点睛】本考查了新定义运算，整式的加减，代入求值，解一元一次方程，有理数的混合运算等，熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 题型2 绝对值方程 1．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 题型3 一元一次方程应用-几何问题 1．如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设日晷基座的底面边长为米，根据阴影部分的面积=4个长方形的面积，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设日晷基座的底面边长为米， 依题意，得：． 故选：A． 2．如图，一块长方形的地面是由4种不同的正方形地板无缝拼接而成的，若长方形的周长为72，则①号正方形的边长为（   ） A．9 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设出④号正方形的边长，进而用④号正方形的边长表示出的长，再根据长方形周长计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设④号正方形的边长为，则③号正方形的边长为， ∴②号正方形的边长为， ∴①号正方形的边长为， ∴， ∵长方形的周长为72， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①号正方形的边长为14， 故选：C． 3．对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3∶2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为，宽为，装裱后的周长与装裱前的周长比为．则天头长为 cm． 【答案】31.5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，算出装裱后的周长，设设地头长为，天头长为，则左右边宽为，根据题意列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：装裱前的周长为：， ∵装裱后的周长与装裱前的周长比为， ∴装裱后的周长为：， 设地头长为，天头长为，则左右边宽为：， 根据题意有：， 整理得：， 即， 故答案为： 4．现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为 ． 【答案】47 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“如图摆放时的长度为”列方程求解． 【详解】解：设灰色梯形的上底为， 则， 解得：， ∴， 故答案为：47． 题型4 一元一次方程应用-水费和电费问题 1．小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 【答案】(1)10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元 (2)小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设小明家10月份用水x吨，根据小明家10月份总共支付水费60.5元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设8月份用水吨，则7月份用水吨，分两种情况考虑，根据两个月共缴水费213元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当用水量为13吨时，水费为， 当用水量为25吨时，水费为．所以水费为第2级． 设用水量为吨，， 解得， 其中污水处理费元 答：明家10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元； （2）解：设8月份用水吨，则7月份用水吨， 由题意可得，8月份用水超过26吨， 若7月份用水在13吨及以下，则可得， ， 此时七月份用水14吨超过13吨，所以不符合，舍去， 若7月份用水在14~25吨， 则可得， 符合题意， 所以小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨． 2．为在节能减排的同时考虑惠民利民，某省居民阶梯电价分夏季与非夏季标准执行：每年的月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准，如图是电价的收费标准： 阶梯电价 夏季标准 非夏季标准 第一档用电量 千瓦时 千瓦时 第一档电价 元/千瓦时 第二档用电量 千瓦时 千瓦时 第二档电价 元/千瓦时 第三档用电量 601千瓦时及以上 401千瓦时及以上 第三档电价 元/千瓦时 注：电费按月结算． (1)当时，若小王家10月份用电量为475千瓦时，则应交电费多少元？ (2)若小王家11月份用电量为392千瓦时，则应交电费______________元（用含的式子表示） (3)在（2）的条件下，若小王家12月份用电量为435千瓦时，11月和12月共交电费元．求的值． 【答案】(1)元 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、有理数四则混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）按照夏季的收费标准，列出运算式子计算即可得； （2）按照非夏季标准，列出代数式即可得； （3）按照非夏季标准，根据11月和12月共交电费元建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：（元）， 答：应交电费元． （2）解：∵11月份执行非夏季标准，且， ∴应交电费为（元）， 故答案为：． （3）解：由题意得：， 解得， 答：的值为． 3．某学习小组开展了以“居民用电如何计费”为主题的项目化学习． 学习小组首先了解了浙江省电网销售电价： 单位：元/千瓦时（含税） 普通电价 峰时电价 谷时电价 第一阶梯：年用电量2760千瓦时及以下部分 0.5380 0.5680 0.2880 第二阶梯：年用电量2760~4800（不包含2760）千瓦时部分 0.5880 0.6180 0.3380 第三阶梯：年用电量4800（不包含4800）千瓦时以上部分 0.8380 0.8680 0.5880 备注：居民生活用电分时电价时段划分：高峰时段：8：00-22：00，低谷时段：22：00-次日8：00． 然后对“月用电量200千瓦时（其中峰电100千瓦时）需缴多少电费？”探究结果如下： 不使用峰谷电 使用峰谷电 第一阶梯 （元） （元） 第二阶梯 （元） ②________元 第三阶梯 ①________元 （元） 请依据上述素材，解答下列问题： (1)填空：表中①________；②________ (2)已知晶晶家在2024年5月用电量为300千瓦时，且处于第一阶梯，她建议爸爸妈妈申请办理峰谷电，因为用峰谷电可以使本月电费减少元，请问晶晶家5月份用了多少千瓦时的峰电，多少千瓦时的谷电？ (3)2024年10月份小菲家用电量为200千瓦时，小华家用电量比小菲家少，在两家都不使用峰谷电的情况下，小华家的当月电费却超过了小菲家元，求小华家当月用电量（结果精确到1千瓦时）． 【答案】(1)①，② (2)晶晶家5月份用了120千瓦时的峰电，180千瓦时的谷电 (3)小华家当月用电量为150千瓦时或162千瓦时 【分析】本题考查电费有关的一元一次方程应用题； （1）根据第三阶梯不使用峰谷电和第二阶梯使用峰谷电分别计算电费即可； （2）设晶晶家5月份用了x千瓦时的峰电，则谷电用了千瓦时，根据“用峰谷电可以使本月电费减少元”列方程即可； （3）由“小华家用电量比小菲家少，可是当月电费却超过了小菲家”，可得小华和小菲家的电费不在同一阶梯．设小华家当月用电量为x千瓦时，再根据他们不同阶梯分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：①第三阶梯不使用峰谷电（元）， ②第二阶梯使用峰谷电费用（元）， 故答案为：，②； （2）解：设晶晶家5月份用了x千瓦时的峰电，则谷电用了千瓦时． 由题意得， 解得． 所以谷电（千瓦时）． 答：晶晶家5月份用了120千瓦时的峰电，180千瓦时的谷电． （3）解：∵小华家用电量比小菲家少，可是当月电费却超过了小菲家， ∴小华和小菲家的电费不在同一阶梯． 设小华家当月用电量为x千瓦时． ①若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第二阶梯， 则由题意得， 解得， 与已知矛盾，故舍去． ②若小菲家处于第一阶梯，小华家处于第三阶梯， 则由题意得， 解得，符合题意． ③若小菲家处于第二阶梯，小华家处于第三阶梯， 则由题意得， 解得，符合题意． 综上所述，小华家当月用电量为150千瓦时或162千瓦时． 题型5 一元一次方程应用-行程问题 1．《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 2．如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的两点（备注：圆形轨道上相距是圆上这两点间的较短部分展直后的线段长为），动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在第二次相遇前，当动点在轨道上相距时，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分三种情况：①第一次相遇前相距；第一次相遇后相距时；③第二次相遇前相距，分别列出方程解答即可求解，理解题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：①当第一次相遇前相距时， 则， 解得； ②当第一次相遇后相距时， 则， 解得； ③当第二次相遇前相距时 则， 解得； 综上，或或， 故答案为：或或． 3．甲、乙两车站相距，一列慢车从甲站开出，行驶速度为，一列快车从乙站开出，行驶速度为． (1)两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ (2)两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时后快车追上慢车？ (3)两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距？ 【答案】(1)两车行驶了小时相遇 (2)小时快车追上慢车 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设小时快车追上慢车，快车比慢车多行驶建立方程求解； （3）设慢车行驶小时两车相遇，分两种情况讨论：两车相遇前；两车相遇后；建立方程求解． 【详解】（1）解：设两车行驶了小时相遇，根据题意，得 ， 解得：， 答：两车行驶了小时相遇； （2）解：设两车行驶了小时快车追上慢车，根据题意，得 ， 解得：， 答：小时快车追上慢车； （3）解：设经过后两车相距，分两种情况讨论： 两车相遇前，由题意， 得， 解得：， 两车相遇后，由题意， 得， 解得， 答：或后两车相距． 4．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 设丙出发与乙相遇，求出乙的速度为；当丙与甲相遇时，①若甲在乙前面，可求得丙速度为，故，②若乙在甲前面，求出丙的速度为，故，分别解方程可得答案． 【详解】解：设丙出发与乙相遇， 根据题意可得：乙的速度为 当丙与甲相遇时， ①若甲在乙前面，则此时乙在A地，甲刚好出发，行驶了， ∴丙速度为， ∴， 解得：； ②若乙在甲前面， ∵， ∴此时乙出发了，所走路程为，甲所走路程为 ∴丙的速度为， ∴， 解得， 综上所述，丙出发或与乙相遇， 故答案为：或． 5．“绿波控制系统”就是通过信号控制技术，让车辆在指定的速度下，避免或减少通过多个路口的红灯等待，从而实现道路通行效率最大化的交通信号控制系统，以下是某路段“绿波控制系统”优化前后各指标的平均数据对比： 指标 优化前 优化后 备注 行程总时间 17.7分钟 10分钟 行程总时间红灯等待时间行驶时间．如：若汽车经过一路段的行程总时间为20分钟，红灯等待时间共计2分钟，则行驶时间为18分钟． 红灯等待次数 6次 1次 单次红灯平均等待时长 为优化前的40% 行驶速度 600米/分钟 900米/分钟 行驶速度总路程行驶时间 设“绿波控制系统”优化前的单次红灯平均等待时长为分钟， (1)优化前的行驶时间为__________分钟，优化后的行驶时间为__________分钟；（用含的代数式表示） (2)求优化前的单次红灯平均等待时长及该路段的总路程． 【答案】(1)； (2)优化前的单次红灯平均等待时长为分钟，该路段的总路程为米 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）用对应总时长减去对应等待红灯的时间即可得到答案； （2）根据总路程等于对应行驶时间乘以对应行驶时长分别表示出优化前后的行驶路程，再根据路程不变建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，优化前的行驶时间为分钟， 优化后的行驶时间为分钟； （2）解：由题意得，， 解得， ∴优化前的单次红灯平均等待时长为分钟， ∵米， ∴该路段的总路程为米． 题型6 一元一次方程应用-动点问题 1．如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）表示的数为，表示的数为；（ⅱ） 【分析】本题考查的数轴，相反数的定义，绝对值的含义，一元一次方程的应用； （1）由数轴上的位置可得； （2）（ⅰ）根据向右移动用加法，向左移动用减法表示即可；（ⅱ）结合（ⅰ）得：，，利用，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：（ⅰ）∵，点，表示的数互为相反数． ∴表示，表示， ∵点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． ∴表示的数为，表示的数为； （ⅱ）结合（ⅰ）得：，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）， 综上：． 2．如图，数轴上点A，B表示的数分别是和6，O为原点．点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度匀速相向而行，点P从原点O以1个单位长度/秒的速度匀速向右运动，遇到点B后立即向左运动．若A，B，P三个点同时开始运动，当A，B两点相遇时所有点停止运动．在此运动过程中，设运动时间为t秒，若，则t的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；先求解，，再分两种情况：当时，，，当时，结合对应的数为，，，再结合建立方程求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A，B表示的数分别是和6， ∴，，， 设运动时间为t，则对应的数为，对应的数为， 当，则， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当时， ∴对应的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故答案是：或． 3．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行． 素材1 宁波轨道交通1号线是宁波第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒．如图1是1号线部分线路图： 素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图2的数轴．其中数字1代表江厦桥东站，数字2代表舟孟北路站，以此类推． 数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠． 问题解决 探究1 图2中数字5代表______站． 探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟到数字3和数字4之间时（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）． 探究3 如图3，A从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时B从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2．5个单位长度． 【答案】探究1：世纪大道；探究2：；探究3：出发4分钟或分钟后两人相距个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 探究1：根据题意得出图2中数字5代表世纪大道； 探究2：根据每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒，表示出点在数轴上表示的数即可； 探究3：分两种情况：当两辆地铁相遇前相距个单位长度时，当两辆地铁相遇后相距个单位长度时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵以东门口站为原点， ∴图2中数字5代表世纪大道站． （2）点在数轴上表示的数为． （3）设A运动分钟后在数轴上表示的数为， ①当两辆地铁相遇前相距个单位长度时， ， 则（分钟）； ②当两辆地铁相遇后相距个单位长度时，    则（分钟）． 综上所述，出发4分钟或分钟后两人相距个单位长度． / 学科网（北京）股份有限公司 $