专题3.1 圆锥曲线的标准方程与几何性质全章14种题型（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题3.1圆锥曲线的标准方程与几何性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的标准方程 1、能根据焦点位置、a/b/c关系、顶点/焦点坐标等条件，精准求解椭圆标准方程； 2、能清晰区分焦点在x轴与y轴的方程形式 基础必考点，多以选择/填空形式出现；高频易错：混淆a/b/c关系（错记为c²=a²+b²）、误判焦点位置 椭圆的几何性质 1、掌握椭圆离心率（0<e<1）、顶点、对称性、点的坐标范围等性质； 2、能根据已知条件求解离心率及范围 高频考点，选择/填空、解答题均可能涉及；命题趋势：常结合焦点三角形、弦长等条件求离心率范围 双曲线的标准方程 1、能根据焦点位置、渐近线、a/b/c关系等条件求解标准方程； 2、会用渐近线系方程（含λ≠0）简化计算 基础重点考点，小题、解答题第一问常见；高频易错：与椭圆a/b/c关系混淆、漏写渐近线系方程中的λ≠0 双曲线的几何性质 1、熟练求解双曲线渐近线方程；掌握离心率（e>1）性质； 2、能结合渐近线、焦点等条件计算离心率及范围 重点难点考点，选择/填空压轴题及解答题常考；命题趋势：多结合渐近线与离心率的关联命题，忽略双曲线单支限制易丢分 抛物线的标准方程 1、能根据开口方向、焦点坐标、准线方程等条件精准求解标准方程； 2、明确p的几何意义（焦点到准线距离）并正确代入计算 基础必考点，小题为主；高频易错：混淆开口方向对应的方程形式、写错焦点/准线符号、忽略p>0条件 抛物线的几何性质 掌握抛物线的对称性、离心率（e=1）等性质；熟练运用定义转化“点到焦点距离”与“点到准线距离” 高频核心考点，各类题型均有涉及；命题趋势：常结合“将军饮马模型”考查距离最值 知识点01 椭圆的标准方程与几何性质 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 ·易错点：分不清焦点在x轴和y轴的标准方程，记错a,b,c的关系（a2=b2+c2），把b2写成c2−a2（和双曲线混淆）． 3、椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 知识点02 双曲线的标准方程与几何性质 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． ·易错点：混淆“双曲线的支”，比如设点时忽略点在左支还是右支，导致距离计算错误． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) ·易错点：分不清焦点在x轴和y轴的标准方程，始终牢记“正项分母”对应焦点所在轴． 3、双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点03 抛物线的标准方程与几何性质 1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ ·易错点：容易记错开口方向对应的标准方程． 3、抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 题型一 与椭圆有关的轨迹问题 解｜题｜技｜巧 与椭圆有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足椭圆定义或符合椭圆方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配椭圆的定义． 【例题1】（24-25高二下·云南保山·期末）已知向量，，，当与垂直时，点的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【变式1-1】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（    ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 题型二 椭圆中的“焦点三角形”问题 解｜题｜技｜巧 椭圆的焦点三角形的求解思路： （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 【例题2】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【变式2-1】（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2-2】（24-25高二上·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【变式2-3】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 题型三 椭圆中距离和差的最值问题 解｜题｜技｜巧 椭圆中“距离和的最值”主要分为“椭圆上一点到两定点的距离和”和“椭圆内一点到椭圆上一点与焦点的距离和”，核心解法“利用椭圆定义转化为两点间距离”（几何法），避免代数硬算． 椭圆中“距离差的最值”主要是“椭圆上一点到两个定点的距离差”和“椭圆上一点到两焦点的距离差”，核心解法是“三角形三边关系”（几何法），注意椭圆的封闭性导致距离差的范围有限制． 【例题3】（24-25高二上·湖北·月考）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·辽宁朝阳·期末）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·天津·期中）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四 椭圆标准方程的性质与求解 解｜题｜技｜巧 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 【例题4】（24-25高二下·上海·期末）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 题型五 求椭圆离心率的值或范围 解｜题｜技｜巧 1、求椭圆离心率的3种方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2、求椭圆离心率范围的2种方法 （1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 【例题5】（24-25高二下·河南商丘·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六 利用定义求双曲线的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1、定义法：找焦点算2c，定距离差2a，验证0<2a<2c，用c2=a2+b2写标准方程；无绝对值则为单支； 2、待定系数法：焦点明确设对应标准式，不明设或渐近线系式，代入求参； 3、相关点法：设动点、相关点，用表示，代入Q的双曲线方程化简 【例题6】（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·河南安阳·开学考）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型七 双曲线的“焦点三角形”问题 解｜题｜技｜巧 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【例题7】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【变式7-1】（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式7-2】（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-3】（24-25高二上·河南·月考）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 题型八 双曲线中距离和差的最值问题 解｜题｜技｜巧 双曲线中距离和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 【例题8】（24-25高二上·江西·月考）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·贵州铜仁·月考）若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【变式8-3】（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 题型九 双曲线标准方程性质与求解 解｜题｜技｜巧 1、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 2、待定系数法求双曲线标准方程 【例题9】（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式9-1】（24-25高二上·北京怀柔·期末）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-2】（25-26高二上·江西宜春·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 题型十 求双曲线离心率的值或范围 解｜题｜技｜巧 1、求双曲线的离心率或其范围的方法 （1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. （2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围． （3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算． （4）通过特殊位置求出离心率． 2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系： 当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－． 【例题10】（24-25高二下·甘肃定西·期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式10-2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十一 抛物线的定义及应用 解｜题｜技｜巧 1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋． 【例题11】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式11-1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式11-2】（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【变式11-3】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ） A． B． C． D． 题型十二 求抛物线的标准方程 解｜题｜技｜巧 1、定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． 2、待定系数法 （1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程； （2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解． 另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)． 【例题12】（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高二上·甘肃·期末）已知抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高二下·青海西宁·期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型十三 抛物线中距离和差的最值问题 解｜题｜技｜巧 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【例题13】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式13-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【变式13-2】（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．13 B．9 C．11 D．10 【变式13-3】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十四 抛物线的几何性质及应用 解｜题｜技｜巧 1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 【例题14】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C． D．4 【变式14-1】（25-26高二上·辽宁锦州·月考）已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（    ） A． B．3 C．2 D．6 【变式14-2】（25-26高二上·河北·月考）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【变式14-3】（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·河南·月考）已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（    ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃定西·期末）若方程表示的曲线是抛物线，则（    ） A． B．的顶点坐标为 C．的焦点坐标为 D．直线为的准线 3．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为N，M，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为 . 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1圆锥曲线的标准方程与几何性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的标准方程 1、能根据焦点位置、a/b/c关系、顶点/焦点坐标等条件，精准求解椭圆标准方程； 2、能清晰区分焦点在x轴与y轴的方程形式 基础必考点，多以选择/填空形式出现；高频易错：混淆a/b/c关系（错记为c²=a²+b²）、误判焦点位置 椭圆的几何性质 1、掌握椭圆离心率（0<e<1）、顶点、对称性、点的坐标范围等性质； 2、能根据已知条件求解离心率及范围 高频考点，选择/填空、解答题均可能涉及；命题趋势：常结合焦点三角形、弦长等条件求离心率范围 双曲线的标准方程 1、能根据焦点位置、渐近线、a/b/c关系等条件求解标准方程； 2、会用渐近线系方程（含λ≠0）简化计算 基础重点考点，小题、解答题第一问常见；高频易错：与椭圆a/b/c关系混淆、漏写渐近线系方程中的λ≠0 双曲线的几何性质 1、熟练求解双曲线渐近线方程；掌握离心率（e>1）性质； 2、能结合渐近线、焦点等条件计算离心率及范围 重点难点考点，选择/填空压轴题及解答题常考；命题趋势：多结合渐近线与离心率的关联命题，忽略双曲线单支限制易丢分 抛物线的标准方程 1、能根据开口方向、焦点坐标、准线方程等条件精准求解标准方程； 2、明确p的几何意义（焦点到准线距离）并正确代入计算 基础必考点，小题为主；高频易错：混淆开口方向对应的方程形式、写错焦点/准线符号、忽略p>0条件 抛物线的几何性质 掌握抛物线的对称性、离心率（e=1）等性质；熟练运用定义转化“点到焦点距离”与“点到准线距离” 高频核心考点，各类题型均有涉及；命题趋势：常结合“将军饮马模型”考查距离最值 知识点01 椭圆的标准方程与几何性质 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 ·易错点：分不清焦点在x轴和y轴的标准方程，记错a,b,c的关系（a2=b2+c2），把b2写成c2−a2（和双曲线混淆）． 3、椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 知识点02 双曲线的标准方程与几何性质 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． ·易错点：混淆“双曲线的支”，比如设点时忽略点在左支还是右支，导致距离计算错误． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) ·易错点：分不清焦点在x轴和y轴的标准方程，始终牢记“正项分母”对应焦点所在轴． 3、双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点03 抛物线的标准方程与几何性质 1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ ·易错点：容易记错开口方向对应的标准方程． 3、抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 题型一 与椭圆有关的轨迹问题 解｜题｜技｜巧 与椭圆有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足椭圆定义或符合椭圆方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配椭圆的定义． 【例题1】（24-25高二下·云南保山·期末）已知向量，，，当与垂直时，点的轨迹为（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【解析】由题，，当与垂直时，， ∴， 化简得，点的轨迹为椭圆，故选：C． 【变式1-1】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是故选： 【变式1-2】（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为.故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（    ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 【答案】A 【解析】    如图，设点，，则， 因点在圆上 ，则 （*）， 又因轴，且M是线段上的点，，则， 则得，即， 将其代入（*），即得是点M的轨迹方程.故选：A. 题型二 椭圆中的“焦点三角形”问题 解｜题｜技｜巧 椭圆的焦点三角形的求解思路： （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 【例题2】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【解析】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为.故选：C 【变式2-1】（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】，， 又椭圆， 则， .故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】因为，所以， 又因为点的横坐标为，所以， 所以点的纵坐标为，所以.故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为， 则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误.故选：D 题型三 椭圆中距离和差的最值问题 解｜题｜技｜巧 椭圆中“距离和的最值”主要分为“椭圆上一点到两定点的距离和”和“椭圆内一点到椭圆上一点与焦点的距离和”，核心解法“利用椭圆定义转化为两点间距离”（几何法），避免代数硬算． 椭圆中“距离差的最值”主要是“椭圆上一点到两个定点的距离差”和“椭圆上一点到两焦点的距离差”，核心解法是“三角形三边关系”（几何法），注意椭圆的封闭性导致距离差的范围有限制． 【例题3】（24-25高二上·湖北·月考）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为.故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·辽宁朝阳·期末）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 故选：B 【变式3-2】（24-25高二上·天津·期中）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为，， 则圆的圆心是椭圆的左焦点， 由椭圆定义得， 所以， 又， 所以.故选：B. 【变式3-3】（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值，故选：B 题型四 椭圆标准方程的性质与求解 解｜题｜技｜巧 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 【例题4】（24-25高二下·上海·期末）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程等价于， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，解得， 则实数k的取值范围是.故选：D. 【变式4-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得且， 故m的取值范围是或.故选：C 【变式4-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为.故选：C. 【变式4-3】（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 题型五 求椭圆离心率的值或范围 解｜题｜技｜巧 1、求椭圆离心率的3种方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2、求椭圆离心率范围的2种方法 （1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 【例题5】（24-25高二下·河南商丘·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，且，则， 所以.故选：B 【变式5-1】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，    由，得，， 其中，所以， 可得为直角三角形， ，且， 解得，， 再由勾股定理可得： 得，．故选：D． 【变式5-2】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得， ，即.故选： 【变式5-3】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得．故选：B． 题型六 利用定义求双曲线的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1、定义法：找焦点算2c，定距离差2a，验证0<2a<2c，用c2=a2+b2写标准方程；无绝对值则为单支； 2、待定系数法：焦点明确设对应标准式，不明设或渐近线系式，代入求参； 3、相关点法：设动点、相关点，用表示，代入Q的双曲线方程化简 【例题6】（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：，故选：A. 【变式6-1】（24-25高二下·河南安阳·开学考）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆N：的圆心为，半径为，且 设动圆的半径为，则，即. 即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为， 虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上， 故动圆圆心P的轨迹方程是，故选：A 【变式6-2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：.故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为.故选：A. 题型七 双曲线的“焦点三角形”问题 解｜题｜技｜巧 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【例题7】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【解析】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12，故选：A 【变式7-1】（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即.故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】已知双曲线，则， 因为，即， 所以点在双曲线左支上， 因为直线为内切圆的一条切线， 而也是内切圆的一条切线， 所以可设内切圆的圆心为，半径为， 设与轴的切点为， 由内切圆切线长性质可知，， 而，即，解得.故选：C 【变式7-3】（24-25高二上·河南·月考）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】依题意，，双曲线的半焦距， 由，得，则，而， 于是，即，解得，而点是线段中点， 所以点到直线的距离为.故选：C 题型八 双曲线中距离和差的最值问题 解｜题｜技｜巧 双曲线中距离和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 【例题8】（24-25高二上·江西·月考）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为.故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为.故选：D. 【变式8-2】（24-25高二上·贵州铜仁·月考）若是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示， 由双曲线方程， 可知双曲线的右焦点为， 则由双曲线定义可知，即， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又， 即. 【变式8-3】（24-25高二上·上海·期末）已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】双曲线，，，，，，即为， 圆的圆心为，半径， P在双曲线的左支上，，， 所以， 根据圆的几何性质可知， 的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为：6 题型九 双曲线标准方程性质与求解 解｜题｜技｜巧 1、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 2、待定系数法求双曲线标准方程 【例题9】（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】因为方程表示双曲线 ，所以即故选：A． 【变式9-1】（24-25高二上·北京怀柔·期末）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】“方程表示焦点在轴上的双曲线”等价于， 即， 所以“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件.故选：C. 【变式9-2】（25-26高二上·江西宜春·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上， 由渐近线方程为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以的方程是.故选：C. 【变式9-3】（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【解析】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为.故选：B. 题型十 求双曲线离心率的值或范围 解｜题｜技｜巧 1、求双曲线的离心率或其范围的方法 （1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. （2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围． （3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算． （4）通过特殊位置求出离心率． 2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系： 当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－． 【例题10】（24-25高二下·甘肃定西·期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为， 则，所以的离心率为，故选：D. 【变式10-1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率.故选：D. 【变式10-2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程为， 由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是.故选：D 【变式10-3】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知点是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，即， 设双曲线的半焦距为，则 所以， ， 因为双曲线上的点坐标都满足，所以. 则有即，所以故选：D. 题型十一 抛物线的定义及应用 解｜题｜技｜巧 1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋． 【例题11】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故，故选：B 【变式11-1】（24-25高二上·福建福州·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【解析】抛物线的准线为，设点，则，解得， 所以点到轴的距离为4.故选：D 【变式11-2】（25-26高二上·河南·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由题意知，所以焦点到准线的距离为3.故选：B. 【变式11-3】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作且垂足为Q，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，，则， 代入抛物线方程得，， 又，.故选：C. 题型十二 求抛物线的标准方程 解｜题｜技｜巧 1、定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． 2、待定系数法 （1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程； （2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解． 另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)． 【例题12】（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是.故选：D. 【变式12-1】（24-25高二上·甘肃·期末）已知抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线经过点，则，所以， 所以抛物线准线方程为.故选：C. 【变式12-2】（24-25高二下·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为，所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为.故选：D. 【变式12-3】（24-25高二下·青海西宁·期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点作垂直于直线，垂足为，则， 由，得，解得，由是抛物线上一点， 得，因此，， 所以圆的标准方程为.故选：A 题型十三 抛物线中距离和差的最值问题 解｜题｜技｜巧 解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解． 【例题13】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则的最小值为6．故选：C 【变式13-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【解析】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接， 过作准线于，连接，如图， 显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以.故选：B. 【变式13-2】（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．13 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为.故选：D 【变式13-3】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线定义得， 圆的圆心，半径，则， 因此， 当且仅当分别是线段与抛物线和圆的交点时取等号， 所以的最小值为.故选：C 题型十四 抛物线的几何性质及应用 解｜题｜技｜巧 1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 【例题14】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】A 【解析】抛物线的准线方程为， 所以点A到抛物线焦点的距离为.故选：A 【变式14-1】（25-26高二上·辽宁锦州·月考）已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（    ） A． B．3 C．2 D．6 【答案】D 【解析】由抛物线的定义知：，又 为等边三角形，， 因为抛物线方程为：，则. 故，故故选：D. 【变式14-2】（25-26高二上·河北·月考）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的方程可知，焦点， 因为，所以直线的斜率， 因此直线的方程为， 与抛物线方程联立，消去得，，解得，， 由图可知点的横坐标为，.故选：C. 【变式14-3】（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，准线的方程为， 因为点是上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又是上一点，所以由抛物线的定义可得.故选：D. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·河南·月考）已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点都满足， 所以到两定点的距离之和为，且， 所以曲线为椭圆，焦点为，则， 且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，即， 故， 所以曲线的标准方程为.故选：C 2．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，抛物线的焦点为，准线方程为， 因为为该抛物线上一点，由抛物线的定义可得.故选：A. 3．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线：，可得，所以， 解得，所以，，， ，， 在中，， ，即， ，.故选：C. 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为， 则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误.故选：D. 5．（23-24高二上·吉林长春·期末）（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（    ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【解析】当时，由得，， 所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得， 此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得， 此时曲线是两条直线，D选项正确；故选：CD. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为，又因为，所以， 因为，则，， 在中，， 所以， 所以， 所以，所以.故选：D. 2．（24-25高二下·甘肃定西·期末）若方程表示的曲线是抛物线，则（    ） A． B．的顶点坐标为 C．的焦点坐标为 D．直线为的准线 【答案】ABD 【解析】由方程易得，方程 可化为，即， 几何意义为点到的距离与点到直线的距离之比为， 由题意知方程表示的曲线为抛物线，则，解得，所以A正确； 由抛物线定义可知，的焦点坐标为，所以C错误； 由抛物线定义可知，的准线方程为，所以D正确； 经过焦点且与直线垂直的直线方程为， 即曲线的对称轴为，设直线与直线的交点为， 联立，解得，所以点坐标为， 的顶点为点与点的中点，所以的顶点坐标为，所以B正确.故选：ABD. 3．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为N，M，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【解析】如图所示，根据相似，. 因为，所以. 所以，又， 根据勾股定理得，化简得， 所以，故. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，所以， 即，所以，故选：B． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即.故选：D 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以.故选：C 4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【答案】 【解析】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $