6.2认识一次函数 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统构建一次函数单元知识体系，涵盖定义、系数与自变量次数要求、与正比例函数关系、自变量取值范围及判定方法等模块，清晰呈现核心概念的内在逻辑与重难点分布。 练习设计注重分层递进，从正比例函数识别、一次函数判定到参数求解及实际应用（如行程问题列解析式），培养抽象能力与模型意识。基础题帮助学生夯实概念，综合题提升推理意识，助力分层教学与学生自主复习提分。

6.2认识一次函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、一次函数的定义 一般地，形如（(k)，(b)是常数，）的函数，叫做一次函数。其中(x)是自变量，(y)是因变量。 二、一次函数定义的理解 1. 系数要求：(k)为不等于(0)的常数，(b)为常数（可以为(0)）。 2. 自变量次数：自变量(x)的次数必须是(1)。 3. 表达式形式：等号右边是关于(x)的一次整式。 三、正比例函数与一次函数的关系 1. 正比例函数定义：当时，一次函数就变成（(k)是常数，），叫做正比例函数。 2. 关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。 四、一次函数中自变量的取值范围 1. 实际问题：自变量的取值范围要使实际问题有意义，例如时间不能为负数，人数应为正整数等。 2. 一般情况：在没有实际背景时，一次函数中自变量(x)的取值范围是全体实数。 五、一次函数的判定 判断一个函数是否为一次函数，需同时满足以下条件： 1. 函数表达式可化为的形式（(k)，(b)为常数）。 2. 自变量(x)的次数是(1)。 3. 比例系数。 型 习 练 题 正比例函数的定义 1．下列函数，是正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各题中的与之间关系式中，是的正比例函数的是(   ) A．在时速为的匀速(速度不变)运动中，路程与时间之间的关系 B．圆柱的体积与它的底面半径之间的关系 C．正方形的面积与它的边长之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过的行李，超过部分每千克收取元的行李费用，则旅客需交的行李费(元)与携带行李质量()之间的关系 4．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（   ） A． B． C． D． 5．下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 识别一次函数 6．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列关系中，是的一次函数的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 8．下列四个等式中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 9．下列各式中，不是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 10．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 根据一次函数定义求参数 11．已知是一次函数，求k的值（    ） A．2 B．1 C． D．1或 12．若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 13．在一次函数中，k的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 14．函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 15．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（    ） A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数 求一次函数自变量或函数值 16．下列各点不在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 17．小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值（　　） A． B． C． D． 18．一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D．以上都正确 19．下列各点在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 20．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B． C．3 D．5 列一次函数解析式并求值 21．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 22．如图，已知两直线 和 分别与 轴交于、两点，点的坐标为 ，且这两条直线相交于点． (1)求 的值； (2)求 的长． 23．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=xcm，BC=ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． 24．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2认识一次函数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、一次函数的定义 一般地，形如（(k)，(b)是常数，）的函数，叫做一次函数。其中(x)是自变量，(y)是因变量。 二、一次函数定义的理解 1. 系数要求：(k)为不等于(0)的常数，(b)为常数（可以为(0)）。 2. 自变量次数：自变量(x)的次数必须是(1)。 3. 表达式形式：等号右边是关于(x)的一次整式。 三、正比例函数与一次函数的关系 1. 正比例函数定义：当时，一次函数就变成（(k)是常数，），叫做正比例函数。 2. 关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。 四、一次函数中自变量的取值范围 1. 实际问题：自变量的取值范围要使实际问题有意义，例如时间不能为负数，人数应为正整数等。 2. 一般情况：在没有实际背景时，一次函数中自变量(x)的取值范围是全体实数。 五、一次函数的判定 判断一个函数是否为一次函数，需同时满足以下条件： 1. 函数表达式可化为的形式（(k)，(b)为常数）。 2. 自变量(x)的次数是(1)。 3. 比例系数。 型 习 练 题 正比例函数的定义 1．下列函数，是正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握“一次函数且无常数项”的判断标准是解题关键． 据正比例函数的定义，逐一判断选项是否符合“（，次数为）”的形式． 【详解】解：正比例函数的定义为（，次数为）， 选项A：，不是正比例函数，不符合； 选项B：，含常数项，不符合； 选项C：，符合形式，且，符合； 选项D：，不是正比例函数，不符合． 故选：C． 2．下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数，根据一次函数和正比例函数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 、是一次函数但不是正比例函数，该选项符合题意； 、是正比例函数，该选项不合题意； 、中的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 故选：． 3．下列各题中的与之间关系式中，是的正比例函数的是(   ) A．在时速为的匀速(速度不变)运动中，路程与时间之间的关系 B．圆柱的体积与它的底面半径之间的关系 C．正方形的面积与它的边长之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过的行李，超过部分每千克收取元的行李费用，则旅客需交的行李费(元)与携带行李质量()之间的关系 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的识别，根据正比例函数的定义，为常数逐一判断各选项． 【详解】正比例函数需满足为常数)， 选项A：匀速运动中，路程y与时间x关系为，符合形式； 选项B：圆柱体积与半径关系为 为常数不符合； 选项C：正方形面积与边长关系为，不符合； 选项D：行李费与质量关系为，不符合． ∴只有A选项是正比例函数． 故选：A． 4．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数，先求出正比例函数的比例系数，然后验证各点是否满足函数解析式即可，正确求出正比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：设正比例函数为， ∵图象经过点， ∴， 解得， ∴函数解析式为， 当时，，不经过，故A不符合题意； 当时，，不经过，故B不符合题意； 当时，，不经过，故C不符合题意； 当时，，经过，故D符合题意； 故选：D． 5．下列选项中，y是关于x的正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数定义来判断即可． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，不是正比例函数，不符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 识别一次函数 6．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数是一次函数． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解： ①可化为，满足一次函数定义； ②中含有项，不是一次函数； ③满足形式，是一次函数； ④ 可化为，不是一次函数； ⑤化简得，满足形式，是一次函数． 综上， 一次函数有①、③、⑤，共3个． 故选C． 7．下列关系中，是的一次函数的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题关键． 根据一次函数的定义，形式为（，k、b为常数）的函数是一次函数．判断每个选项是否符合定义． 【详解】∵ 一次函数的标准形式为，其中，k、b为常数． 对于①，k和b为字母，未指定具体值，k可能为0，因此不一定是一次函数； 对于②，x在分母上，是反比例函数，不是一次函数； 对于③，可化为，，是一次函数； 对于④，可化为，，是一次函数． ∴ y是x的一次函数的是③和④． 故选C． 8．下列四个等式中，是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】A、，的最高次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，解出，不是函数关系，故此选项不符合题意； C、，形式为，其中，是一次函数，故此选项符合题意； D、，和未指定为常数且，因此不一定是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 9．下列各式中，不是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握：解析式形如，这样的函数叫一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义即可求解． 【详解】解：A、变形为，故是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、，未知数次数为2，不是一次函数，符合题意， 故选：D． 10．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1；正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 根据一次函数和正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，是一次函数，不符合题意； B. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； C. 不是正比例函数，是一次函数，符合题意； D. 不是正比例函数，不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 根据一次函数定义求参数 11．已知是一次函数，求k的值（    ） A．2 B．1 C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，由一次函数的定义得且，解之即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故选：C． 12．若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故选：C． 13．在一次函数中，k的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据即即可得出答案． 【详解】解：即， ∴， 故选：D． 14．函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫作一次函数． 15．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（    ） A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义进行解答． 【详解】解：根据题意，，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义． 求一次函数自变量或函数值 16．下列各点不在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解． 【详解】解：A、当 时， ， ∴ 在的图象上； B、当时，， 点在函数图象上； C、当时，， 点不在函数图象上； D、当时，， 点在函数图象上； 故选：C． 17．小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的函数值变化是均匀的即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表格数据可知，后三对数据中，的值每增加，函数值增加，而第一对到第二对数据，的值增加，函数值增加， ∵一次函数的函数值变化是均匀的， ∴这个算错的函数值是第一组， 故选：． 18．一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D．以上都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，通过将各点坐标代入函数解析式，验证是否满足方程 ． 【详解】解：当时， 可得：， 点 在图象上， 故A选项符合题意； 当， 可得：， 点 不在图象上， 故B选项不符合题意； 当时， 可得：， 点 不在图象上， 故C选项不符合题意． 综上，只有选项 A 正确， 故D选项不符合题意． 故选：A． 19．下列各点在一次函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，将每个点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，与对应点的纵坐标比较，判断点是否在图象上． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴四个点中，只有点在一次函数的图象上， 故选：C． 20．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上，则，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵点在函数图象上， ∴， ∴． 故选：D． 列一次函数解析式并求值 21．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 22．如图，已知两直线 和 分别与 轴交于、两点，点的坐标为 ，且这两条直线相交于点． (1)求 的值； (2)求 的长． 【答案】(1)值为 (2) 【分析】（1）将点代入，即可求出值， （2）求出交点坐标，再根据两点间距离公式求出的长度， 本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求两直线交点坐标，以及两点间距离公式，解题的关键是：熟练掌握列方程求交点坐标，两点间距离公式． 【详解】（1）解：在直线上， 解得 ， 故答案为：值为， （2）直线 与交于点 C， ，解得：， 点坐标为：， 点是直线 与轴的交点， 时，，， 点坐标为：， ， 故答案为：． 23．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=xcm，BC=ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． 【答案】y=10-x； 【分析】根据长方形周长公式列式即可，由长宽均大于0可得x的取值范围． 【详解】解：根据题意得，y==10﹣x，即y=10﹣x， ∵x＞0且10﹣x＞0， ∴0＜x＜10． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列一次函数解析式的能力，熟知长方形周长公式是解题根本，由长宽为正可得自变量取值范围． 24．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 学科网（北京）股份有限公司 $