第6章2 认识一次函数-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

(3)超市到坐标原点的距离为√2十1严=√5， (4)48-16×(19-17)=16(升)， 学校到坐标原点的距离为/32+1严=√10， 所以洗衣机中剩下的水量是16升. (5)因为洗衣机的排水速度为每分钟16升， 体育场到坐标原点的距离为√42+22=√20， 所以洗衣机的排水时间为48÷16=3（分钟）， 医院到坐标原点的距离为√1+32=√10. 所以四个连续过程共需要17+3十2=22（分钟）. 因为√5<√10=√/10<20， 2认识一次函数 所以超市到坐标原点的距离最近，体育场到坐标原 点的距离最远， 第1课时“均匀”变化 8,解：1)△ABC的面积为5X2- 2X1x5-号x1X 1.B 2.解：(1)因为弹簧原来的长度为10厘米， 2-×2x8-7 拉力=5时，弹簧的长度=10+2=10+2×1， 拉力=10时，弹簧的长度=10+4=10十2×2， (2)如图所示，△A1B1C1即为所求，A1(-3,一4)， 拉力=15时，弹簧的长度=10+6=10+2×3， B1(-2,1),C1(-1,-1) 拉力=20时，弹簧的长度=10十8=10十2×4， 所以经总结得用拉力F表示弹簧的长度（的公式是 1=10+2× F 当F=18牛时，1=10+2×18-17.2（厘米）， 所以当拉力是18牛时，弹簧长度是17.2厘米. (②)当1=15厘米时，有10+2×号-15， 所以F=12.5, 所以当弹簧长度是15厘米时，拉力是12.5牛. 3.解：(1)0.8 【通中考】 设液面高度为x厘米时开始计时， 9.C10.四 则x+15×0.8=22, 11.(2,1) 解得x=10, 第六章一次函数 所以液面高度为10厘米时开始计时. (2)当t=45分钟时，h=10+0.8×45=46(厘米)； 1 函数 当t=1小时=60分钟时，h=10+0.8×60= 1.B2.A3.C4.B 58(厘米). 5.y=-6x十2 答：自计时开始45分钟时液面高度为46厘米，1小 6解：(1)由题图可知：自变量是温度t,因变量是水的 时时液面高度为58厘米。 密度p. (3)h=10+0.8t. (2)A点表示当温度t=4℃时，水的密度 (4)50厘米和70厘米. p=1000kg/m3. 解析：设t1分钟时，液面高度为h1厘米，t2分钟时， (3)由题图可知，当温度在0℃~4℃时，水的密度p 液面高度为h2厘米. 随温度的升高逐渐增大；当温度在4℃~15℃时， 则h1=10+0.8t1①，h2=10十0.8t2②， 水的密度ρ随温度的升高逐渐减小. ②-①，得h2-h1=0.8(t2一t). 7.B8.-11 因为t2-t1=25, 9.解：(1)y=2x-5=2X(-2)-5=-9. 所以h2-h1=0.8×25=20. (2)y=-3x2+1=-3×(-2)2+1=-11. 因为h2十h1=120, 10.D11.B12.D13.C h2-h1=20, 所以 14.x>-3且x≠1 h2+h1=120, 15.解：(1)洗衣机工作时间洗衣机中的水量 h1=50, (2)4811 解得h=10. (3)洗衣机进水用时6分钟，洗衣机进水的平均速 所以这两次测量的液面高度分别为50厘米和 度是48÷6=8（升/分）. 70厘米. 28 第2课时认识一次函数与正比例函数 55(元). 1.B2.D3.D4.45.D 因为60>55， 6.D7.y=51x+15 所以B类收费方案更划算， 8.解：(1)由题意，得y=2.5x,y是x的一次函数，且 3一次函数的图象 是x的正比例函数. 第1课时正比例函数的图象与性质 (2)由题意，得y=元x2,y与x之间不是一次函数关 1.C2.B3.D4.C 系，也不是正比例函数关系. 9.410.B11.B 5g-062 12.y=10-2x 7.解：(1)略. 13.元x2+20πx (2)两条直线的交角是90度； 14.(1)是(2)-160 当两个一次函数两系数之积为一1时，两条直线的 夹角为90度，即垂直. 15.解：(1)因为函数y=(k一3)x-3十k十2是y关于 8.B9.A x的一次函数， 10.解：列表： 所以及-3≠0，且2一3=1， … -101… 解得k=±2. y 30-3… (2)因为函数y=(k-3)x-3十十2是y关于x 描点、连线得函数y=一3x的图象如图所示. 的正比例函数， 所以k一3≠0，且k2一3=1，且k十2=0，解得 k=-2. 16.解：(1)6.613 (2)y=3.2x-3 2-10 123元 (3)当y=93时，3.2x-3=93,解得x=30, 即护栏总长度为93米时立柱的根数是30. 第3课时用一次函数解决分档计费问题 由函数图象可知，函数图象经过第二、四象限，y随 1.230 x的增大而减小. 2.解：(1)120 11.A12.B13.C14.4 (2)根据题意，得y=210×0.6十0.7(x-210)= 15.解：(1)因为正比例函数y=(m-1)x的图象上的两 0.7x-21, 所以y与x之间的表达式为y=0.7x一21(210< 点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<x2时，有y1> y2,所以m一1<0，解得m<1,所以m的取值范围 x≤400). (3)当用电量为210kW·h时，电费为0.6×210= 是m<1. 126(元)，268>126； (2)因为m<1,所以m取最大整数为0，所以该正 当用电量为400kW·h时，电费为y=0.7×400 比例函数的表达式为y=一x.列表、画图略. 21=259,268>259. 16.解：(1)将(3，-6)代入y=x,得-6=3k, 所以小明家8月用电量在第三档. 解得=一2.所以这个函数表达式为y=一2x, 设小明家8月用了akW·h电(a>400). (2)如图所示. 根据题意，得0.6×210+0.7×(400一210)+0.9× (a-400)=268, 解得a=410, 所以小明家8月用了410kW·h电. 3.解：(1)A类收费方案下每月应缴费用：y=20+ 0.2x; B类收费方案下每月应缴费用： y=-2x 当0≤x≤150时，y=40; (3)将点A(4,-2),点B(-1.5,3)分别代入表达 当x>150时， 式，得 y=40+0.3(x-150)=0.3x-5. -2≠-2×4,3=-2×(-1.5). (2)当x=200时，A类收费方案下每月应缴费用： 故点A不在这个函数图象上，点B在这个函数图 y=20+0.2×200=60(元)； 象上 B类收费方案下每月应缴费用：y=0.3×200-5= (4)由于=-2<0，故y随x的增大而减小，可得 292认识一次函数 第1课时 “均匀”变化（答案P28)》 之通基f础M 变) 【研究过程】七年级数学兴趣小组利用底面积 知识点“均匀”变化 大小相同的水壶，依据以上原理制作了一个漏 1.在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，下 刻工具模型.图②及下表反映了受水壶中液面 表记录了实验中温度和时间变化的数据， 高度随流水时间变化的情况. 时间/分钟 0 510 15 20 25 计时时间t/分钟 15 20 25 30 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 液面高度h/厘米 22 26 30 34 若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度 是( ) ①日天壶 A.62℃ B.64℃ 箭刻 C.66℃ D.68℃ 2夜天壶 2.跨学科·物理在一次科学课上，李明同学做了 平水壶 一次拉弹簧的实验，下表是李明同学的实验数 分水壶 浮舟 据的记录（拉力大小的单位是牛，弹簧长度的 受水壶 单位是厘米) ① ② 拉力大小 【问题解决】依据上述信息，解决下列问题， 0 5101520 25 30 厘米，求液面高 弹簧长度 101214161820 (1)每分钟水面上升 22 度为多少时开始计时？ 假定弹簧长度伸长变化是均匀的， (2)计算自计时开始45分钟时、1小时时，液面 (1)当拉力是18牛时，弹簧长度是多少？ 高度分别为多少？ (2)当弹簧长度是15厘米时，拉力是多少？ (3)用含t的代数式表示h. (4)自计时开始，在液面不超过受水壶总高度 时，先后两次测量时差为25分钟，所测得液面 高度之和为120厘米，直接写出这两次测量的 通能力 液面高度分别为多少？ 3.(石家庄裕华区期中)【研究背景】“漏刻”是我 国古代利用均匀水流导致水位变化来计时的 工具.如图①所示是一种漏刻的工作原理图， 日天壶、夜天壶为平水壶补充水，水流经平水 壶匀速流人受水壶中，在水的浮力作用下浮舟 上升引起箭刻示数变化达到计时效果（为更加 精准，通过分水壶使平水壶中液面高度保持不 △七年级·上册·数学.鲁教版 105 第2课时认识一次函数与正比例函数（答案P29) 8.教材P165习题6.2.2T2变式写出下列各题中 通基础 VEMAAKKEKKKKK114111111111114144 y与x之间的表达式，并判断：y是否为x的 知识点1一次函数与正比例函数的概念 一次函数？是否为x的正比例函数？ 1.下列各式：①y=-8x;②y=-3,③y= (1)小红去商店买笔记本，每本笔记本2.5元， 小红买笔记本所付款y(单位：元)与买笔记本 √Jx+1;④y=-8x2+2;⑤y=0.5x-3.其中 的数量x(单位：本)之间的关系 一次函数有() (2)圆的面积y(单位：cm2)与它的半径x(单 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 位：cm)之间的关系， 2.下列函数是正比例函数的是() A.y=3x2-4x+1 B.y=4 C.y=5x-7 D.y=8 3.已知函数y=(k一2)x十3是关于x的一次函 ☆易错点 忽略一次函数表达式中一次项系数 数，则的取值范围是() A.k>2B.k<2 C.k=2 D.k≠2 不为0的条件 4.已知函数y=2x一4十b是关于x的正比例函 9.已知函数y=(m一2)x3-m十5是关于x的一 数，则b= 次函数，则m= 知识点2一次函数与正比例函数的关系 通能力 IIIIIIMIIIIuIIIu 5.下列函数是一次函数但不是正比例函数 的是() 10,下列函数：①y=kx;@y=号x;@y=- A.y=-4x B.y=5-3 (x-1)x;④y=x2+1;⑤y=22-x.其中一 定是正比例函数的有() C.y=4x2+6 D.y=-0.5x-1 A.1个B.2个C.3个 D.4个 知识点3列一次函数的表达式及其应用 11.如图所示，菜农张大叔要用63米的篱笆围一 6.李庄与张庄之间的距离是100千米，若汽车以 个长方形的菜地，已知在菜地的一边AB上 平均80千米/时的速度从李庄开往张庄，则汽 留有1米宽的入口.设AB边的长为x,BC 车距张庄的路程y(单位：千米)与行驶时间x 边的长为y,则y与x之间的表达式 (单位：小时)之间的表达式是( ) 是( A.y=80x-100 B.y=-80x-100 D C.y=80x+100 D.y=-80x+100 7.某超市国庆期间做促销优惠活动，凡一次性 购物超过100元者，超过100元的部分按 8.5折优惠.小宇在此期间到该超市为单位 购买单价为60元的办公用品x件(x>2), A.y=63-2x 2 B.y=63-2x+1 则应付款y(单位：元)与商品件数x的表达 631 式是 C.y=63-2x D.y=2-2 106 12.一块长5米、宽2米的长方形木板，现要在长 通素养 111I1/1/1/I11/11I1/1/1I/1/1/0 边上截去一个边长为x米的一个小长方形 (如图所示)，则剩余木板的面积y(单位：平方 16.模型观念某校门口道路中间的隔离护栏平 米)与x(单位：米)之间的表达式为 面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2 5米 米，立柱间距为3米。 立柱根数 y 护栏总 13.模型观念如图所示为一个管道的截面图，其 0.2 3.4 9.8 长度/米 内径OA(即内圆半径)为10分米，管壁厚 (1)根据如图所示，将表格补充完整。 AB为x分米，若设该管道的截面（阴影部 (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y 分)面积为y平方分米，那么y与x之间的表 与x之间的表达式是 达式是y= (3)求护栏总长度为93米时立柱的根数. 0.2米 3米 14.(承德宽城期末)全世界大部分国家都采用摄 氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采 用华氏温标.某学生查阅资料，得到下表中的 数据： 摄氏温度值x/℃ 010203040 50 华氏温度值y/F 32506886104122 (1)分析两种温标计量值的对应关系是否是 一次函数？ (填“是”或“否”). (2)请你根据数据推算0°F时的摄氏温度 为 ℃. 15.已知函数y=(k-3)x2-3十k十2. (1)当k为何值时，它是y关于x的一次 函数？ (2)当k为何值时，它是y关于x的正比例 函数？ △七年级·上册·数学.鲁教版Hn 107 第3课时用一次函数解决分档计费问题（答案P29) 通基础 知识点用一次函数解决分档计费问题 通能力 1I1I1llI/lll1l1llllI1ll1l☑ 1.某市居民用水实行阶梯水价，实施细则如 下表： 3.【问题情景】 水量分档 年用水量/立方米 某移动通讯公司有A,B两种手机收费方案供 水价/（元/立方米） 第一阶梯 用户选择.A类收费方案是不管每月通话时长 0~180(含180) 5.00 如何，每部手机每月先缴纳固定的基础费用， 第二阶梯 180~260(含260) 7.00 再按实际通话时间每分钟收取一定费用；B类 第三阶梯 260以上 9.00 收费方案则是按照通话时长分段进行收费，各 若某户2024年交水费1250元，则此用户共用 有不同的单价.收费细则如下表： 水量是 立方米。 B 2.(成都高新区期末)某市电力公司为鼓励居民 方案 节约用电，采用分档计费的方法计算电费，各 每月基本服务 20 40 费/元 档次计费方法如表： 免费通话 档次 标准 0 150 时间/min 每月用电不超过210kW·h时，按 通话每分钟收 第一档 0.2 0.3 0.6元/kW·h计费 费/元 每月用电超过210kW·h但不超过 B类收费：当通话时长小于等于 400kW·h时，其中的210kW·h按 150min时每月费用固定40元；当 第二档 备注 0.6元/kW·h计费，超过210kW·h的 通话时长超过150min时，超出部 部分按0.7元/kW·h计费 分每分钟收0.3元. 每月用电超过400kW·h时，其中的 【问题解决】 210kW·h按0.6元/kW·h计费，超过 (1)分别写出A类、B类收费方案下每月应缴 第三档 210kW·h但不超过400kW·h的部分 费用y(单位：元)与通话时间x(单位：min)之 按0.7元/kW·h计费，超出400kW·h 间的表达式。 的部分按0.9元/kW·h计费 (2)若某手机用户预计自己这个月通话时间为 (1)小明家5月用电200kW·h,需交电费 200min,分别计算按照A,B两种收费方案他 元 应缴费多少元？通过比较，你建议他选择哪种 (2)若设某月用电量为xkW·h(210<x≤ 收费方案更划算呢？ 400),应交电费为y元，求y与x之间的表 达式 (3)若小明家8月交电费268元，求小明家8月 用了多少kW·h电. 108