4.4实数 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“实数”核心知识点，系统梳理无理数与实数的概念、按定义和大小的分类方式，衔接性质（如与数轴一一对应、相反数、绝对值）及运算（法则、顺序），构建从概念到应用的学习支架，助力基础薄弱学生逐步掌握知识脉络。 资料设计亮点突出，含思维导图辅助知识结构化梳理，分题型练习覆盖实数分类、数轴应用等，如“实数与数轴”题培养几何直观（数学眼光），“程序设计与新定义运算”提升运算能力与推理意识（数学思维），适合课中教学辅助及课后查漏补缺，有效助力学生提分。

4.4实数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 实数的概念及分类 · 无理数：无限不循环小数叫做无理数。例如：，，（相邻两个(1)之间依次多一个(0)）等。 · 实数：有理数和无理数统称为实数。 · 分类： · 按定义分：有理数：整数和分数（有限小数或无限循环小数） 无理数：无限不循环小数 · 按大小分：正实数 0 负实数 实数的性质 · 实数与数轴上的点一一对应。 · 数(a)的相反数是(-a)（(a)为实数）。 · 非零实数(a)的倒数是。 · 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，(0)的绝对值是(0)。即： 实数的运算 · 实数可以进行加、减、乘、除（除数不为(0)）、乘方运算，正数和(0)可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算。 · 运算律和运算法则：有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。例如：加法交换律，乘法结合律等。 · 混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 型 习 练 题 实数的分类 1．下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．下列说法错误的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．有理数是有限小数 C．无限不循环小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应 4．下列各数中，是有理数的是（   ） A． B． C．2 D． 5．下列说法：①是9的平方根；②实数可以分为正实数和负实数两类；③的立方根是；④负数没有平方根，其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 实数的性质 6．下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 7．下列说法错误的是（   ） A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反数是 D．π的绝对值是π 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．化简的值为（   ） A． B． C． D． 10．的相反数是（   ） A． B． C． D． 实数与数轴 11．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 13．如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（   ） A． B．10 C． D．3.1 14．如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 15．若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（   ） A． B． C． D． 实数的大小比较 16．在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最远的点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 17．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．下列实数中最大的是（   ） A．3.14 B． C． D． 19．下列四个数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 20．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 程序设计与实数运算 21．小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 22．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 23．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 24．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 25．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　） A．1 B． C． D． 新定义下的实数运算 26．设a ，b是实数，定义* 的一种运算如下：，则下列结论错误的是（    ） A．，则 B． C． D． 27．定义一种新运算：，则的值为（    ） A．25 B．1 C． D． 28．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定．若，则x的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．对任意实数x，通常用表示不超过x的最大整数，如，，下列结论正确的是（    ） ①      ②      ③      ④ A．②③ B．①③ C．①②③ D．①③④ 30．若规定“”是一种数学运算符号，且，，，，…，则的值为（    ） A． B． C． D． 实数的混合运算 31．计算：． 32．计算 (1) (2) 33．计算： 34．计算： (1) (2) 35．计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4实数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 实数的概念及分类 · 无理数：无限不循环小数叫做无理数。例如：，，（相邻两个(1)之间依次多一个(0)）等。 · 实数：有理数和无理数统称为实数。 · 分类： · 按定义分：有理数：整数和分数（有限小数或无限循环小数） 无理数：无限不循环小数 · 按大小分：正实数 0 负实数 实数的性质 · 实数与数轴上的点一一对应。 · 数(a)的相反数是(-a)（(a)为实数）。 · 非零实数(a)的倒数是。 · 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，(0)的绝对值是(0)。即： 实数的运算 · 实数可以进行加、减、乘、除（除数不为(0)）、乘方运算，正数和(0)可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算。 · 运算律和运算法则：有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。例如：加法交换律，乘法结合律等。 · 混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 型 习 练 题 实数的分类 1．下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的分类，正分数是指大于0的分数，包括有限小数、无限循环小数和百分数等，但排除整数、无理数和负数，据此解答即可． 【详解】解：1.2（有限小数）、1.010010001（有限小数）、、0.35（有限小数）是正分数； 是无理数，不是分数；0是整数；是负数；是负数；是整数，不是分数， ∴正分数有4个． 故选：B． 2．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的概念，解题关键是依据无理数 “无限不循环小数” 的定义，区分有理数与无理数． 先明确无理数是 “无限不循环小数”，再逐一判断每个数的类型，统计无理数的个数． 【详解】解：逐一分析各数： ：分数，是有理数； 是无限不循环小数，故是无理数； ：是无限不循环小数，故是无理数； ：分数，是有理数； 0：整数，是有理数； ：有限小数，是有理数； （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）：是无限不循环小数，是无理数． 综上所述共有3个无理数． 故选：B． 3．下列说法错误的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．有理数是有限小数 C．无限不循环小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应 【答案】B 【分析】根据实数的基本概念，数轴与实数的关系，解答即可． 本题考查实数的基本概念和分类，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 实数包括有理数和无理数，正确，不符合题意；     B. 整数和分数统称有理数，错误，符合题意； C. 无限不循环小数是无理数，正确，不符合题意；     D. 数轴上的点与实数一一对应，正确，不符合题意； 故选：B． 4．下列各数中，是有理数的是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数是能表示为两个整数之比的数，选项A为分数形式，因此是有理数，选项B、C、D均无法表示为整数之比，故为无理数． 【详解】解：对于A：∵是整数23与整数7的比， ∴是有理数； 对于B：∵4不是完全立方数，∴是无理数； 对于C：∵π是无理数，∴也是无理数； 对于D：∵是无理数，∴选项D是无理数． 故选：A． 5．下列说法：①是9的平方根；②实数可以分为正实数和负实数两类；③的立方根是；④负数没有平方根，其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根定义，实数的分类等，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键．根据相关定义逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解： ①是9的平方根，故①正确； ②实数包括正实数、负实数和零，故②错误； ③的立方根是，故③错误； ④在实数范围内，负数没有平方根，故④正确； 综上，正确说法有2个． 故选：B． 实数的性质 6．下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，实数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的定义，实数的性质分别判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意； B、，原写法错误，故本选项不符合题意； C、，写法正确，故本选项符合题意； D、，原写法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．下列说法错误的是（   ） A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反数是 D．π的绝对值是π 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，一个数的立方根只有一个，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 根据平方根以及立方根的概念进行判断即可． 【详解】解：A、9的平方根是，该选项说法错误； B、1的立方根是1，该选项说法正确； C．的相反数是，该选项说法正确；     D、π的绝对值是π，该选项说法正确； 故选：A． 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、实数的性质、立方根的意义等知识点，难度不大，熟记各相关知识点是解题的关键． 原式各项利用算术平方根、实数的性质、立方根的意义进行计算得到结果，即可进行判断． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项正确； D．，故本选项错误． 故选：C． 9．化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 10．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求相反数．的相反数是，据此解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A 实数与数轴 11．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，理解其定义是解题的关键． 根据无理数的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，这个无理数在和之间， A：，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：B ． 12．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数，右边的比左边的大是解题的关键． 数轴上的点表示的数，右边的比左边的大，故B表示的数比1大，同理A表示的比1小，即可得到答案． 【详解】解：由已知可得，A表示的数比1小，B表示的数比1大， ∴A表示的数是，B表示的数是， 故选：D． 13．如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（   ） A． B．10 C． D．3.1 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：点表示的数大于3.5，小于4， A、∵， ∴，不符合题意； B、，不符合题意； C、∵， ∴，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 14．如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度，即可得出结果． 【详解】解：点表示的数为，点表示的数为， ， ，， ， 点表示的数为， 故选：D． 15．若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴，得出被如图所示的墨迹覆盖的数是到3之间，再结合每个选项的无理数进行分析，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得出被如图所示的墨迹覆盖的数是到3之间， ∵， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， 故B选项符合题意； ∵， ∴， 故C选项不符合题意； ∵， ∴， 故D选项不符合题意； 故选：B． 实数的大小比较 16．在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最远的点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，比较实数的大小关系，求出各点到原点的距离，再比较大小即可． 【详解】解：到原点的距离为3，0到原点的距离为0，1到原点的距离为1，到原点的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴距离原点最远的点表示的数是． 故选A． 17．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查算术平方根的性质（被开方数越大，算术平方根越大）．解题关键是将有理数转化为算术平方根形式，统一比较标准；易错点是忽略“将有理数化为相同形式”的步骤，直接凭直觉比较． 把转化为算术平方根形式（），结合、，比较被开方数：因为，根据算术平方根的性质，得，即． 【详解】解：∵，，，且， ∴，即． 18．下列实数中最大的是（   ） A．3.14 B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查实数的大小比较及算术平方根，熟练掌握实数的大小比较及算术平方根是解题的关键；通过计算各选项的近似值，比较大小即可． 【分析】解：∵，，， ∴， ∴最大， 故选B． 19．下列四个数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键；比较负数的大小，绝对值越小，数越大，然后问题可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比大的数是． 故选：A． 20．下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键；通过比较各数的大小，负数小于零和正数，且比较负数的绝对值大小，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵， ∴； 又∵， ∴； 且负数小于零和正数， ∴是最小的数； 故选B． 程序设计与实数运算 21．小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．根据流程图分别代入计算，根据计算结果判断即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴的倒数为， ∴， 故选：A． 22．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 23．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图，进行计算，直至结果为无理数，输出即可． 【详解】解：按照流程依次输出：，是无理数，输出， 故值是； 故选D． 24．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：B． 25．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，求算术平方根，依据程序进行计算是解题的关键．根据算术平方根的求解，判断有理数以及无理数即可得出结果． 【详解】解：当输入的数为81时，取算术平方根，则， 9不是无理数，取算术平方根，则， 3不是无理数，取算术平方根，则，是无理数， 则输出的数为， 故选：D． 新定义下的实数运算 26．设a ，b是实数，定义* 的一种运算如下：，则下列结论错误的是（    ） A．，则 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此可判断A；根据新定义可得，据此可判断B；当时，，，据此可判断C；根据新定义可得，据此可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴当，， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴当时，， ， ∴此时等式不成立，原说法错误，符合题意； D、∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 27．定义一种新运算：，则的值为（    ） A．25 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，直接根据新运算的定义代入数值计算即可． 将，代入即可求出答案． 【详解】∵ ， ∴ 故选A． 28．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定．若，则x的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，理解新运算是解题的关键． 根据新运算的定义，将等式转化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】∵， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴． 29．对任意实数x，通常用表示不超过x的最大整数，如，，下列结论正确的是（    ） ①      ②      ③      ④ A．②③ B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义，逐一判断各结论的正确性即可． 【详解】解：，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； 当不是整数时，如，则，故④错误； ∴综上所述，结论正确的是①③． 故选：B． 30．若规定“”是一种数学运算符号，且，，，，…，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，数字类规律探索，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据阶乘的定义，可简化为，直接计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 实数的混合运算 31．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式、立方根的运算，解题关键是熟练掌握根式的运算法则（乘除、开方）． 先分别计算各项（化简根式、进行乘除运算），再合并结果． 【详解】 ． 32．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，积的乘方，整式的乘除运算掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后计算单项式除单项式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算（含绝对值、立方根、平方根、有理数的乘方），解题的关键是正确化简各部分运算项后再进行加减运算． 先化简为，计算、、，再将这些结果进行加减运算． 【详解】解：． 34．计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简算术平方根，然后计算加减即可； （2）先化简绝对值，计算立方根和算术平方根，再进行加减运算． 【详解】（1） ； （2） ． 35．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、绝对值、零次幂、算术平方根等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据有理数乘方、绝对值、零次幂、算术平方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 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