4.1无理数 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“无理数”核心知识点，通过回顾有理数概念（整数和分数，有限或无限循环小数，可表为两整数比），引出无理数的定义（无限不循环小数），系统梳理其无限性与不循环性特征，常见类型（开方开不尽的数、含π的数、特定结构的无限不循环小数）及与有理数的区别，构建从已知到未知的学习支架。 资料特色在于配套思维导图辅助知识结构化梳理，助力学生通过数学眼光发展抽象能力，对比有理数与无理数的区别培养推理意识（数学思维），设计单选、填空、解答分层练习，结合具体实例（如√2与√4的辨析）提升数学语言表达能力。课中辅助教师清晰授课，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺，适合提分需求。

4.1无理数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数。 二、无理数的特征 1. 无限性：小数部分的位数是无限的，没有终止的时候。 2. 不循环性：小数部分没有重复出现的数字序列（循环节）。 三、常见的无理数类型 1. 开方开不尽的数：如、、等（注意：带根号的数不一定是无理数，如是有理数）。 2. 含的数：如、、等（是无限不循环小数）。 3. 特定结构的无限不循环小数：如（相邻两个1之间依次多一个0）、等。 四、无理数与有理数的区别 · 有理数：整数和分数统称为有理数，有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，也可以表示为两个整数的比（即分数形式，其中 (p)、(q) 是整数，且）。 · 无理数：不能表示为两个整数的比，其小数形式是无限不循环的。 型 习 练 题 一、单选题 1．在，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列四个数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C．π D． 3．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各数中是无理数的为（   ） A．5 B． C．3.1415926 D． 二、填空题 5．下列各数1.5、1.01001、、…(每两个2之间增加一个6)、0、，其中有理数有 个． 6．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 三、解答题 7．把下列各数序号填入相应的集合中：①﹣3.14，②﹣2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧6%，⑨+3，⑩． 负分数集合{_________……}； 正整数集合{___________……}； 无理数集合{___________……}． 8．（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是有理数吗？说明理由． （2）两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？举例说明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1无理数 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数。 二、无理数的特征 1. 无限性：小数部分的位数是无限的，没有终止的时候。 2. 不循环性：小数部分没有重复出现的数字序列（循环节）。 三、常见的无理数类型 1. 开方开不尽的数：如、、等（注意：带根号的数不一定是无理数，如是有理数）。 2. 含的数：如、、等（是无限不循环小数）。 3. 特定结构的无限不循环小数：如（相邻两个1之间依次多一个0）、等。 四、无理数与有理数的区别 · 有理数：整数和分数统称为有理数，有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，也可以表示为两个整数的比（即分数形式，其中 (p)、(q) 是整数，且）。 · 无理数：不能表示为两个整数的比，其小数形式是无限不循环的。 型 习 练 题 一、单选题 1．在，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数；根据定义逐个判断各数即可． 【详解】解：∵ 是分数，属于有理数； ∵是无限不循环小数，属于无理数； ∵ ，是分数，属于有理数； ∵ 是循环小数，属于有理数； ∵ （相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数； ∴ 无理数有和（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共2个． 故选：B． 2．下列四个数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1），根据无理数定义逐项判断即可． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故不符合题意； B．是分数，属于有理数，故不符合题意； C．π是无理数，故符合题意； D．是小数，属于有理数，故不符合题意． 故选：C． 3．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式的运算，多项式乘多项式．由已知条件展开 得到 为有理数，从而 为有理数，据此求解即可．理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 【详解】解：∵ 为有理数， ∴ 为有理数（有理数加有理数仍为有理数）， A、不确定是不是有理数，故A不符合题意； B、是有理数，故B符合题意； C、不确定是不是有理数，故C不符合题意； D、不确定是不是有理数，故D不符合题意． 故选：B． 4．下列各数中是无理数的为（   ） A．5 B． C．3.1415926 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比．整数、分数和有限小数均为有理数；π是无理数，因此2π也是无理数，据此判断即可． 【详解】解：A．5是整数，属于有理数； B．是分数，属于有理数； C．3.1415926是有限小数，属于有理数； D．是无理数． 故选：D． 二、填空题 5．下列各数1.5、1.01001、、…(每两个2之间增加一个6)、0、，其中有理数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的定义，解题的关键是根据 “整数和分数（包括有限小数、无限循环小数）是有理数，无限不循环小数是无理数” 的定义判断每个数的类型． 逐个分析所给数的类型，判断哪些是有理数，统计有理数的个数． 【详解】解：根据有理数的定义：整数和分数（包括有限小数．无限循环小数）是有理数，无限不循环小数是无理数， 对每个数分析如下： 1.5是有限小数，属于有理数；1.01001是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；（每两个2之间增加一个6）是无限不循环小数，属于无理数；0是整数，属于有理数；是分数，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 综上，有理数有1.5、1.01001、，共4个． 故答案为：4． 6．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数的定义，注意开方开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数即可． 【详解】解：是有限小数，可以化为分数，因此是有理数； 是整数，因此是有理数； 0.101001 是有限小数，因此是有理数； 是分数，因此是有理数； 中， 是无理数，减去有理数 1 后结果仍为无理数， 因此，无理数只有 1 个， 故答案为 1． 三、解答题 7．把下列各数序号填入相应的集合中：①﹣3.14，②﹣2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧6%，⑨+3，⑩． 负分数集合{_________……}； 正整数集合{___________……}； 无理数集合{___________……}． 【答案】见解析． 【分析】根据负分数，正整数，无理数的定义进行分类即可得到答案． 【详解】解：①﹣3.14是负分数，②﹣2π，是无理数，③是负分数，④0.618是正分数，⑤是正分数，⑥0是整数，⑦﹣1是负整数，⑧6%是正分数，⑨+3是正整数，⑩是无理数． 负分数集合{①③……}； 正整数集合{⑨……}； 无理数集合{②⑩……}． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，解题的关键在于能够熟练掌握负分数所有小于0的分数组成的数集，正整数所有大于0的整数组成的数集，无理数无限不循环的小数组成的数集． 8．（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是有理数吗？说明理由． （2）两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？举例说明． 【答案】（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除（分母为除外），结果还是有理数；理由见解析；（2）两个无理数相加相减、相乘、相除，结果未必是无理数，说明见解析． 【分析】（1）根据有理数的四则运算法则，即可求解； （2）举例加上等于4，乘以等于1，减去的差等于-1，除以等于2，结果都不是无理数，即可求解． 【详解】解：（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除（分母为除外），结果还是有理数； ∵两个有理数相加、相减、相乘、相除（分母为除外），结果一定还是有限小数或无限循环小数，属于有理数； （2）两个无理数相加相减、相乘、相除，结果不一定是无理数，如加上等于4，乘以等于1，减去的差等于-1，除以等于2，结果都不是无理数． 【点睛】本题主要考查了有理数和无理数的四则运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $