4.1无理数（题型专练）数学鲁教版五四制2024七年级上册

4.1无理数 题型一 概念辨析 1．下列四个数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及等有这样规律的数． 根据无理数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A．是循环小数，是有理数，不符合题意； B．是无理数，符合题意； C．是分数，是有理数，不符合题意； D．18是有理数，不符合题意． 故选B． 2．在，，0，0.5252252225…（每两个5之间依次多一个2），，六个数中，属于有理数的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的定义，“可以写成分数的形式的数称为有理数”据此逐个判断即可求解．注意（每两个5之间依次多一个2），都无法写成分数形式，都不是有理数． 【详解】解：是整数，是有理数； 可以写成分数的形式，是有理数； 0是整数，是有理数； （每两个5之间依次多一个2），不能写成分数的形式，不是有理数； 不能写成分数的形式，不是有理数； 是有理数． 故选：A 3．在下列四个实数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与无理数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据有理数与无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，是有限小数，属于有理数，故A选项不符合题意； B、，是整数，属于有理数，故B选项不符合题意； C、是无理数，故C选项符合题意； D、是分数，属于有理数，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．在，3.1415926、，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数，无理数是无限不循环小数，据此逐个判断即可. 【详解】解：由题意得，无理数有（相邻两个1之间0的个数逐次加1），一共3个. 故选：C. 题型二 正误判断 1．无理数可以分为正无理数和负无理数两类．( ) 【答案】√ 【分析】根据无理数的定义及其分类进行判断。 【详解】解：无限不循环小数叫做无理数，根据实数的分类，实数可以分为正实数、负实数和零。其中，零属于有理数，而无理数作为实数的一部分，必然具有正负性。因此，所有无理数要么是正无理数，要么是负无理数，题目中“无理数可以分为正无理数和负无理数两类”的表述符合实数的分类规则，故正确。 故答案为：√． 2．都是无理数．( ) 【答案】× 【详解】解：根据无理数的定义，无理数是不能表示为两个整数之比的数． 1. 对于，因为3不是完全平方数，其平方根无法表示为分数，且是无限不循环小数，所以是无理数． 2. 对于，因为，而2是整数，所以属于有理数． 由于是有理数，命题“，都是无理数”不成立，故答案为×． 【分析】判断两个数是否都是无理数． 3．无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点表示．( ) 【答案】√ 【分析】根据实数与数轴的关系判断。 【详解】解：数轴上的点与实数是一一对应的。有理数和无理数统称为实数，所以每个有理数和每个无理数都能在数轴上找到唯一对应的点。因此，无论有理数还是无理数，均可用数轴上的点表示。 故答案为√。 4．判断下列说法是否正确． （1）所有无限小数都是无理数；( ) （2）所有无理数都是无限小数；( ) （3）有理数都是有限小数；( ) （4）不是有限小数的不是有理数．( ) 【答案】 × √ × × 【详解】解：（1）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数， ∴（1）错误； （2）无限不循环小数是无理数， ∴（2）正确； （3）有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， ∴（3）错误； （4）有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， ∴（4）错误； 故答案为：①×②√③×④×． 【点睛】题目主要考查有理数和无理数的常见类别，理解有理数和无理数的分类是解题关键． 题型三 基础填空 1．若x是一个满足的无理数，任意写出一个符合题意的x值 （答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键； 根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数解答即可． 【详解】解：∵， ∴符合题意的x的值可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 2．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数及无理数的大小比较；根据题意写出一个无理数即可． 【详解】解：； 故答案为：（答案不唯一）． 3．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示实数，数轴上两点间的距离，根据题意，直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点，则的长为圆的周长，求圆的周长即可．明确长度的实际意义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点， ∴， ∴点表示的数是． 故答案为：． 4．已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为： 【答案】①②③ 【分析】本题考查实数的运算，根据a，b，c不全为无理数，得到三个数至少有一个是有理数，分种情况进行讨论，判断即可． 【详解】解：∵a，b，c不全为无理数， ∴a，b，c至少一个有理数， 当a，b，c有1个有理数时，不妨设为有理数，则：均为无理数，可能为有理数（互为相反数时），也可能是无理数， 当a，b，c有2个有理数时，不妨设为无理数，则：为无理数，为有理数， 当a，b，c都是有理数时，三个数都是有理数， 故①②③说法正确，④说法错误． 故答案为：①②③． 题型一 分类与估计 1．将下列各数填在相应的集合里． ，，，，0，1.2121121112…，，， 整数集合：{                  }     分数集合：{                  } 非负数集合：{                }     无理数集合：{                } 【答案】见解析 【分析】本题考查了整数，分数，非负数，无理数的概念．根据这些数的定义，对给定的数进行分类即可． 【详解】解：，，， 整数集合：{，，0}， 分数集合：{，，，}， 非负数集合：{，0，1.2121121112…，，}， 无理数集合：{1.2121121112…，}． 2．已知数，，，3.1416，，0，，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）． (1)写出所有有理数； (2)写出所有无理数． 【答案】(1)有理数：，3.1416，，0，； (2)无理数：，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数． （1）首先计算乘方，然后根据有理数的定义分别作答即可； （2）根据无理数的定义分别作答即可． 【详解】（1）解：， 有理数：，，3.1416，，0，； （2）解：无理数：，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）． 3．将下列各数的序号填写在相应的横线上． ①85  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦  ⑧  ⑨ 分数：______________________________________________________________________； 非负数：________________________________________________________________________； 无理数：_________________________________________________________； 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，掌握无理数的定义（无限不循环小数是无理数）是解题的关键． 根据分数、非负数、无理数的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：分数：③④⑧⑨； 非负数：①⑤⑥⑦⑧⑨ 无理数：⑥⑦． 题型一 性质推理 1．如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（   ） A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变 C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，无理数，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．求出，由勾股定理得到，因此，由三角形面积公式得到的面积，求出，由，得到． 【详解】解：、分别表示数和， ， 四边形是正方形， ，， ， ，故B不符合题意； 的面积， 故D符合题意； ，表示的数分别为，， ， ， 一定是无理数，故C不符合题意； ，，， ， ， 的值随的变化而变化， 故A不符合题意． 故选：D． 2．  同学们，学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，这说明我们的知识越来越丰富了！可是，无理数究竟是一个什么样的数呢？下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数. （1）如图①△ABC是一个边长为2的等腰直角三角形，它的面积是2，把它沿着斜边的高线剪开拼成如图②的正方形ABCD，则这个正方形的面积也就等于正方形的面积即为2，则这个正方形的边长就是，它是一个无理数. （2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就是_____，它是一个无理数. （3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，根据已知可求得AB=_____，它是一个无理数.好了，相信大家对无理数是不是有了更具体的认识了，那么你也试着在图形中作出两个无理数吧： ①你能在6×8的网格图中（每个小正方形边长均为1），画出一条长为的线段吗？ ②学习了实数后，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的关系，那么你能在数轴上找到表示－的点吗？ 【答案】（2） （3） ①见解析 ②见解析 【分析】（2）由（1）的结论我们可以得到数轴上点O′代表的实数就是无理数 （3）直接运用勾股定理求出AB即可. ①画出一条长为的线段问题，可由已知图形及勾股定理得出可以做一个两直角边为3和1的三角形，其斜边长为； ②在数轴上找到表示－的点的问题，，所以应是两直角边为2，1的直角三角形的斜边. 【详解】（2）∵OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就是， 故答案为； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，根据勾股定理得： AB=， 故答案为. ①∵， ∴连接紧相连的3个小正方形的对角线AB，则对角线AB就是要画一条长为的线段如图： ②在数轴上做一个两直角边分别为2，1的直角三角形；以原点为圆心，所画直角边的斜边为半径画弧，交数轴的负半轴于一点A，这点就是所求的表示－的点. 【点睛】本题考查的知识点是实数与数轴，关键运用勾股定理求出所表示的无理数，无理数也可以在数轴上表示出来，一般应把它整理为直角边长为有理数的斜边的长，实数和数轴上的点是一一对应的. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1无理数 题型一 概念辨析 1．下列四个数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．18 2．在，，0，0.5252252225…（每两个5之间依次多一个2），，六个数中，属于有理数的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．5个 D．6个 3．在下列四个实数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 4．在，3.1415926、，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 正误判断 1．无理数可以分为正无理数和负无理数两类．( ) 2．都是无理数．( ) 3．无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点表示．( ) 4．判断下列说法是否正确． （1）所有无限小数都是无理数；( ) （2）所有无理数都是无限小数；( ) （3）有理数都是有限小数；( ) （4）不是有限小数的不是有理数．( ) 题型三 基础填空 1．若x是一个满足的无理数，任意写出一个符合题意的x值 （答案不唯一）． 2．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 3．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ． 4．已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为： 题型一 分类与估计 1．将下列各数填在相应的集合里． ，，，，0，1.2121121112…，，， 整数集合：{                  }     分数集合：{                  } 非负数集合：{                }     无理数集合：{                } 2．已知数，，，3.1416，，0，，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）． (1)写出所有有理数； (2)写出所有无理数． 3．将下列各数的序号填写在相应的横线上． ①85  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦  ⑧  ⑨ 分数：______________________________________________________________________； 非负数：________________________________________________________________________； 无理数：_________________________________________________________； 题型一 性质推理 1．如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（   ） A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变 C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化 2．  同学们，学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，这说明我们的知识越来越丰富了！可是，无理数究竟是一个什么样的数呢？下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数. （1）如图①△ABC是一个边长为2的等腰直角三角形，它的面积是2，把它沿着斜边的高线剪开拼成如图②的正方形ABCD，则这个正方形的面积也就等于正方形的面积即为2，则这个正方形的边长就是，它是一个无理数. （2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长，所以数轴上点O′代表的实数就是_____，它是一个无理数. （3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，根据已知可求得AB=_____，它是一个无理数.好了，相信大家对无理数是不是有了更具体的认识了，那么你也试着在图形中作出两个无理数吧： ①你能在6×8的网格图中（每个小正方形边长均为1），画出一条长为的线段吗？ ②学习了实数后，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的关系，那么你能在数轴上找到表示－的点吗？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $