3.1探索勾股定理（基础篇） 练习2025-2026学年鲁教版 （五四制）七年级数学上册

3.1探索勾股定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角三角形的两条直角边长分别为 (a)、(b)，斜边长为 (c)，则有： 1. 角三角形。 勾股定理的简单应用 1. 已知直角边求斜边：若 ，，则斜边。 2. 已知斜边和一直角边求另一直角边：若 ，，则另一直角边。 型 习 练 题 用勾股定理理解三角形 1．如图，在中，AD平分交于点D，过点D分别作于点E，于点F．已知，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质和勾股定理．根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵AD平分交于点D，过点D分别作于点E，于点F． ∴，， 在中，， ∴， 故选：C 2．如图，在中，，以为边在外作正方形，其面积为9，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4，过点作交于点，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理解三角形，属于基础题，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键．根据题意，可知通过求出的长，已知正方形的面积，可求出边长的长，由勾股定理求得的长，利用面积法求出的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 以为边在外作正方形，其面积为，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4， ∴ ∴， ∴ ∵ ， ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 3．如图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，先连接，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 则， ∴电线管的长度至少要 故选：B． 4．如图，在中，，，以为边作长方形阴影部分，已知该长方形的宽为2，则该长方形的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理和长方形面积的计算，熟练掌握勾股定理求直角三角形斜边长度是解题的关键．先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再结合长方形的宽计算其面积． 【详解】解：由勾股定理得，， 则该长方形的面积， 故选：． 5．底边长为，底边上的高为的等腰三角形的腰长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的高也是等腰三角形的中线是解题的关键．根据等腰三角形底边上的高也是中线，将底边平分，形成两个全等的直角三角形，应用勾股定理即可计算腰长． 【详解】解：等腰三角形底边上的高也是中线， 底边的一半为， 又高为， 腰长． 故选：C． 以弦图为背景的计算题 6．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：B． 7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 8．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 9．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 10．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 用勾股定理构造图形解决问题 11．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 12．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 13．明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设的长为尺， 尺，尺， 尺， 在中，尺，尺，尺，则由勾股定理得， 解得， 秋千绳索或的长度为尺， 故选：B． 14．如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（    ）尺 A．14 B． C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图，一条直角边(即大树的长)长14尺， 另一条直角边长(尺， 因此葛藤长(尺． 故选：B． 15．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 勾股定理与网格问题 16．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理进行求解，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得，，，， 线段长度为的是， 故选D． 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】解：A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 18．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图连接， 由勾股定理得，，，， ∴ ∴点是外心． 故选：B． 19．如图是课堂上同学们在探究勾股定理时用到的图形，已知网格中小正方形的边长都为1，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键．勾股定理是直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，利用此计算即可． 【详解】解：根据勾股定理． 故选：C． 20．如图所示在正方形网格中，其中点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则到两边距离相等的点应该是（   ） A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，角平分线的性质，根据网格的特点可得，进而找到的角平分线，根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格可得，， ∴ ∴， 取格点，使得，则 ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∵经过点， ∴到两边距离相等的点应该是点， 故选：B． 勾股定理与折叠问题 21．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 22．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 23．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 24．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形的翻折，解决本题的关键是根据翻折的性质可得边长与角度翻折前后不变，根据直角三角形建立等式求解． 根据勾股定理可求解，再由图形翻折可得，，设，由勾股定理建立等式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 设， ∴，， 在中，，，， ∴，即， 解得， 即， 在中，，， ∴． 故选：D ． 25．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1探索勾股定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角三角形的两条直角边长分别为 (a)、(b)，斜边长为 (c)，则有： 1. 角三角形。 勾股定理的简单应用 1. 已知直角边求斜边：若 ，，则斜边。 2. 已知斜边和一直角边求另一直角边：若 ，，则另一直角边。 型 习 练 题 用勾股定理理解三角形 1．如图，在中，AD平分交于点D，过点D分别作于点E，于点F．已知，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，在中，，以为边在外作正方形，其面积为9，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为4，过点作交于点，则（   ） A． B． C． D．2 3．如图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，以为边作长方形阴影部分，已知该长方形的宽为2，则该长方形的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．底边长为，底边上的高为的等腰三角形的腰长为（  ） A． B． C． D． 以弦图为背景的计算题 6．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 8．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 9．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 10．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 用勾股定理构造图形解决问题 11．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 12．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 13．明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几尺？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点，于点，于点，，则秋千绳索（或）的长度为（ ） A．14 B． C．15 D． 14．如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（    ）尺 A．14 B． C． D．16 15．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 勾股定理与网格问题 16．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 18．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的格点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 19．如图是课堂上同学们在探究勾股定理时用到的图形，已知网格中小正方形的边长都为1，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C． D．13 20．如图所示在正方形网格中，其中点，，，，，，均在小正方形的顶点上，则到两边距离相等的点应该是（   ） A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 勾股定理与折叠问题 21．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 22．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 24．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 25．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $