3.1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

第三章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 1 学习目标 1.体验勾股定理的探索过程,由特例猜想勾股定理,再由特例验证勾股定理. 2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象. 2 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长钢索？ 课堂导入 3 创设情境引入新课 如图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索? 在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定吗?三边之间存在着一个特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在着一个特殊的关系. 让我们一起去探索吧! 6 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 活动1：在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系?与同伴交流. [任务 探究勾股定理] 8 　 活动2：观察图3-2直角三角形直三边的平方分别是多少?它们满足上面猜想的数量关系吗？(图中每个小方格代表1个单位面积) —————————————— 小方格数 A的面积 小方格数 B的面积 小方格数 C的面积 （1） （2） 9 9 9 9 18 4 4 4 4 8 18 8 9 直角边长的平方等于正方形的面积. 问题1：你发现A、B、C的面积之间有什么关系？ 问题2：正方形的面积与直角边长的平方有什么关系？ 10 　 活动3：图3-3中的直角三角形是否也具有这样的关系？你又是如何计算的？ A B C A B C 小方格数 A的面积 小方格数 B的面积 小方格数 C的面积 （1） （2） 16 16 9 9 25 25 1 1 9 9 10 10 （1） （2） 你发现A、B、C的面积之间有什么关系？ 发现+=. 11 如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位和2.4个单位长度，那么上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由. 　 成立 活动4： 12 　 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 . 即 . 数学表达式： 在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝c，AC＝b，BC＝a，则 . 总结： a2+b2=c2 a2+b2=c2 13 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理. 在西方，又称毕达哥拉斯定理！ 14 典例精讲 例1在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. (1)a=6,b=8,求c. (2)b=40,c=41, 求a. 解：（1）因为=+=+=100, 所以c=10. （2）因为+=， 所以=-=-=81， 所以a=9. 即时测评 1．如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边上的高为 　 ． D 3.如图，在△ABC中，BC＝5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD＝BD＝3，求AB，AC的长． 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AD＝DB＝3，BC＝5， ∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2， ∴AB== AC=． 1．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边的长是（　　） A．7 B．5 C． D．5或 2．如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　． D 24 3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　． 18 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，若BC＝6，AB＝10． （1）求AC的长； 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得： AC== （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，求DE的长 （2）如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线， ∴DE＝CD， 设CD＝x，则DE＝x， ∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD， ∴×6×8=×6CD+×10DE， 即24＝3x+5x， 解得x＝3， 即DE＝3． 5．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值； （2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值； （3）请根据（1）（2）题中的信息， 写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 解：（1）∵AC⊥BD， ∴△ABO是直角三角形， ∴AB2＝AO2+BO2， 同理，可得：BC2＝BO2+CO2， CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2， ∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5， ∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29； （2）由（1）得： BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2） ＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2） ＝AB2+CD2， 即：BC2+AD2＝AB2+CD2， ∵AB＝6，CD＝10， ∴BC2+AD2＝62+102＝136； （3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等． 勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a² + b² = c² 课堂小结： 26 基础题:1.课后习题第 3题 提高题:2.请学有余力的同学做第4题，下节课在班内展示、交流。 课后作业 本节课到此结束， 谢谢大家！ 28 $$