3.1探索勾股定理 同步习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学七年级上册

3.1探索勾股定理 同步习题 一、单选题 1．如图，在中，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 3．如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 4．如图，阴影长方形的面积是，则BC的长度为（   ） A． B． C． D． 5．已知的面积为，斜边长为，则的周长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在等边中，是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转60°得到，连接，若，则的周长的最小值是（    ） A．10 B． C． D．20 7．如图，在中，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 8．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 二、填空题 9．直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为 ． 10．丁丁爸爸要在高，宽的栅栏门相对角的顶点加固一块木板，这块木板需长 ． 11．如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为 ． 12．如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的面积为25，则正方形A，B的面积的和为 13．在中，，，．过点C作，使，连接．点P，Q分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 14．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米． 三、解答题 15．已知直角三角形ABC，两条直角边AB、BC分别为3、4，斜边AC为5．求斜边上的高？ 16．在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题： (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 17．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 18．推理能力  如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形． (1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______． (2)说明你在（1）中猜想结论的正确性． (3)在图②中，若，请你求出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B D A C C B 1．A 【分析】本题考查了勾股定理，理解勾股定理的定义是解题的关键． 根据勾股定理的定义进行判断． 【详解】解：在中，， 由勾股定理知：． 故选：A ． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 【详解】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，以及三角形面积公式得，再结合是边上的高，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴ 解得， 故选：B 4．D 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握长方形面积公式，勾股定理，是解题的关键． 根据长方形面积和宽求出长，再运用勾股定理即可求出长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D， 5．A 【分析】本题主要考查了勾股定理及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设的两条直角边分别为，，根据面积公式得，利用勾股定理得，进而利用完全平方公式求得，即可得解． 【详解】解：设的两条直角边分别为，， 因为． 所以， 在中，， 所以， 所以， 所以， 所以的周长． 故选：． 6．C 【分析】根据旋转的性质，得BD=BE，∠DBE=60°，CD=AE，得△AED的周长＝AC+BD，由勾股定理求出BF的长，根据垂线段最短即可得答案． 【详解】解：如下图，作BF⊥AC 于F， ∵△ABC是等边三角形，BC= 10， ∴AC=10，AF=FC=5， 在Rt△BFC中，， ∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE， ∴BD=BE，∠DBE=60°，CD=AE， ∴△DBE是等边三角形，BD= DE， ∴△AED的周长=AE+AD+DE= CD+AD+BD=AC+BD， ∴当BD最小，即BD=BF=时，△AED的周长最小，最小值=AC+BF= 10+， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握旋转的性质并灵活运用． 7．C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 设长为x，则，根据垂直平分，得，再由的周长为14，可得，求出，，由勾股定理，即可解答． 【详解】解：设长为x，则， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴． 即， ∴，解得， ∴， ∵ ∴． 故选C． 8．B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 9．13 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长，即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为5和12， ∴该三角形的斜边长为． 故答案为：13． 10．1.7 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，． ∴这块木板需长． 故答案为：1.7． 11．17 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．利用勾股定理求出，然后根据线段垂直平分线的性质得到，最后根据三角形的周长公式计算可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为 ， ∴的周长为17． 故答案为：17． 12．25 【分析】本题主要考查了勾股定理弦图，熟练掌握勾股定理的几何意义是解题的关键． 根据勾股定理的几何意义即可解答． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义可得： 正方形A，B的面积的和=最大正方形的面积=25． 故答案为：25． 13． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点作，且，连接，，根据得到，即可得到，然后得到当M、P、C三点共线时，最小为，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：过点作，且，连接，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即当M、P、C三点共线时，最小为， 这时， ∴， 故答案为：． 14．540 【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的运用，由勾股定理计算过了秒，飞机飞行的水平距离，再用速度路程时间解答即可． 【详解】解：飞机飞行的距离为：米， ∴飞行的速度为千米/时， 故答案为：540． 15．2.4 【分析】利用等积法求斜边上的高即可． 【详解】解：设斜边上的高为h，直角三角形ABC的面积可表示为，亦可表示为， ∴， 即3×4=5×h， 解得h=2.4． 【点睛】本题考查利用等积法求直角三角形斜边上的高．熟练掌握直角三角形的两种面积的表示方法是解题的关键． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理计算c的长； （2）利用勾股定理计算a的长． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， ． 17．(1) (2) (3) 【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题； 首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． 因为四边形是长方形， 所以． 设，则， 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （2）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得． 又因为， 所以． 因为交于点， 所以， 所以， 所以． 设，则． 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （3）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得， 所以． 又因为， 所以，所以， 所以． 又因为， 设，则， 所以． 在Rt中，，解得， 所以． 【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． 18．(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理及应用； （1）根据题目猜想结论即可； （2）作边上的高，垂足为，利用勾股定理解答即可； （3）设，则，利用勾股定理求出x的值，然后求出三角形的高长，再根据三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】（1）解：图②中，；图③中，， 故答案为：，； （2）解：如图①，作边上的高，垂足为． 设，则在和中，由勾股定理，得，整理，得． 因为，所以． 如图②，作边上的高，垂足为． 设，则在和中， 由勾股定理，得， 整理，得． 因为，所以． （3）解：如图①，设，则． 同（2）可得， 因为， 所以，解得， 所以，所以， 所以的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $