1.4利用三角形全等测距离 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

本讲义聚焦“利用三角形全等测距离”核心知识点，基于全等三角形对应边相等性质，系统梳理构造全等三角形（如延长线段使CD=AC、CE=BC构造SAS全等）将不可达距离转化为可测边的原理，结合确定目标、构造全等、测量替代边的关键步骤，渗透转化思想，衔接前期全等判定知识，形成从理论到应用的学习支架，含思维导图辅助理解。 资料特色为分层提分设计（30分至70分适用），按尺规作图、倍长中线、旋转模型分类习题，通过具体构造实例（如延长线段构造全等）培养几何直观与空间观念，模型化习题训练强化推理意识，将实际测量问题转化为全等模型体现模型意识，课中步骤清晰易教学，课后分类型习题助学生查漏补缺，适合中等生能力提升。

1.4利用三角形全等测距离 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 测距离原理 利用三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等。通过构造两个全等三角形，将无法直接测量的距离转化为可测量的对应边的长度。 2. 构造全等三角形的方法 · 操作步骤： 1. 在待测距离的两点 ( A )、( B ) 中，选择 ( A ) 点，在 ( AB ) 所在直线外任取一点 ( C )； 2. 连接 ( AC ) 并延长至 ( D )，使 ( CD = AC )； 3. 连接 ( BC ) 并延长至 ( E )，使 ( CE = BC )； 4. 连接 ( DE )，则 ( DE ) 的长度即为 ( AB ) 的距离。 · 理论依据：在和中， 由SAS（边角边）判定，因此 ( AB = DE )。 3. 关键步骤总结 1. 确定目标：明确需要测量的不可达距离（如 ( AB )）； 2. 构造全等：通过作对称点、延长线段等方式构造全等三角形（如）； 3. 测量替代边：测量全等三角形中与目标距离对应的已知边（如 ( DE )），即得目标距离。 4. 核心思想 转化思想：将实际问题转化为数学模型（三角形全等），利用几何性质解决现实中的测量难题。 型 习 练 题 结合尺规作图的全等问题 1．（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 2．如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    3．如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等． 4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点，CD＝AC，连接AD． (1)用尺规作∠ADE＝∠B，射线DE交线段AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若AB＝5，BD＝3，求AE的长． 5．人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 倍长中线模型 6．如图，已知为的中线，，的周长为，则 (1)的周长为多少？ (2)的取值范围是多少？（直接写出答案） 7．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 8．小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 9．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 10．问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 旋转模型 11．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 12．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 13．中，，以点A为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点．用等式表示线段与的数量关系，并加以证明． 14．如图，等边三角形的外部有一点P，且，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． （1）求证：． （2）若，，求P，C两点之间的距离． 15．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4利用三角形全等测距离 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 测距离原理 利用三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等。通过构造两个全等三角形，将无法直接测量的距离转化为可测量的对应边的长度。 2. 构造全等三角形的方法 · 操作步骤： 1. 在待测距离的两点 ( A )、( B ) 中，选择 ( A ) 点，在 ( AB ) 所在直线外任取一点 ( C )； 2. 连接 ( AC ) 并延长至 ( D )，使 ( CD = AC )； 3. 连接 ( BC ) 并延长至 ( E )，使 ( CE = BC )； 4. 连接 ( DE )，则 ( DE ) 的长度即为 ( AB ) 的距离。 · 理论依据：在和中， 由SAS（边角边）判定，因此 ( AB = DE )。 3. 关键步骤总结 1. 确定目标：明确需要测量的不可达距离（如 ( AB )）； 2. 构造全等：通过作对称点、延长线段等方式构造全等三角形（如）； 3. 测量替代边：测量全等三角形中与目标距离对应的已知边（如 ( DE )），即得目标距离。 4. 核心思想 转化思想：将实际问题转化为数学模型（三角形全等），利用几何性质解决现实中的测量难题。 型 习 练 题 结合尺规作图的全等问题 1．（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【答案】（1）或；（2）见详解 【分析】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论． （2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形性质得出对应角相等． 【详解】解：（1）当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； 当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； （2） 如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质． 2．如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）    【答案】见解析 【分析】利用证明，可得结论． 【详解】解：①利用刻度尺在、上分别截取， ②连接，利用刻度尺作出的中点F， ③作射线， 由作图可知： ，，， ∴， ∴， 则为的平分线．    【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答． 3．如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形即可． 【详解】解：满足条件的三角形有4个，如图所示：（只要画出一种即可） 【点睛】本题考查作图——应用与设计图纸，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点，CD＝AC，连接AD． (1)用尺规作∠ADE＝∠B，射线DE交线段AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若AB＝5，BD＝3，求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）利用作一个角等于已知角的作法，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得AC＝AB＝5．再由CD＝AC，可得CD＝AC＝AB＝5．再根据三角形的外角性质可得∠CDE＝∠BAD．可证得△ABD≌△DCE．即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示，∠ADE即为所作； （2）解：∵∠B＝∠C， ∴AC＝AB＝5． ∵CD＝AC， ∴CD＝AC＝AB＝5． ∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD， ∵∠ADE＝∠B， ∴∠CDE＝∠BAD． ∴△ABD≌△DCE． ∴CE＝BD＝3． ∴AE＝AC-CE＝5-3＝2． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【答案】（1）；（2）④． 【分析】（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 倍长中线模型 6．如图，已知为的中线，，的周长为，则 (1)的周长为多少？ (2)的取值范围是多少？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度、倍长中线模型以及三角形三边关系的应用，掌握相关结论即可； （1）由题意得，根据的周长，推出即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证明，得出，；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴； ∵的周长； ∴； ∴的周长； （2）解：延长至点，使得，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，； 在中，， ∴， ∴； 7．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 8．小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了倍长中线法证明三角形的全等，根据延长到点，使得，连接，得出，且结合是的中线，得，证明，再通过等边对等角以及角的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 9．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可求证． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵D是边的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 10．问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 【答案】(1)边角边 (2) (3)证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的判定方法即可求解； （2）运用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，可证，可得，再根据可证，由此即可求解． 【详解】（1）解：是的中线， ∴， ∵延长到，使，， ∴， ∴运用的是“边角边”判定定理证明， 故答案为：边角边． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． （3）证明：如图所示，延长至点，使得， ∵是中点，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 旋转模型 11．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 12．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）50° 【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得 ，即可求解． 【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合， ∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°， ∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC， ∴△BAE≌△CAD， ∴EB=DC； （2）∵△BAE≌△CAD， ∴∠BEA=∠ADC=115°， ∵∠DAE=50°，AD=AE， ∴ ， ∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°． 【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13．中，，以点A为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点．用等式表示线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【分析】连接，根据旋转的性质可得：，从而得到，可得，进而得到，则，再由直角三角形的性质，可得，再由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：线段与的数量关系是：． 证明：如图，连接， 根据题意得：， ， ，， ． ． ． ∵AF=AF，， ． ． ∴， ∵， ， ∴ ， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 14．如图，等边三角形的外部有一点P，且，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． （1）求证：． （2）若，，求P，C两点之间的距离． 【答案】（1）见解析（2）5 【分析】（1）由旋转的性质可知，对应边相等，旋转角相等，用“边角边”证明三角形全等即可 （2）连接，根据已知条件构造直角三角形，用勾股定理求得的距离 【详解】（1）由旋转的性质可知， （SAS） （2）连接 为等边三角形 , , 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键． 15．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 又，，， ； （2）证明：①， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $