精品解析：福建省晋江市第一中学2025-2026学年高二上学期第二阶段考试数学试题

晋江一中2025年秋季高二年第二阶段考试 数学试题 （满分150分 考试时间：120分钟） 一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，找到样本空间和抽到祖冲之事件的样本点，根据古典概率求解. 【详解】记祖冲之为，其余4位数学家为， 则从五位数学家中任意抽取2位,样本空间为， 其中抽到祖冲之为， 所以抽到祖冲之的概率为. 故选：A 2. 以为圆心，且与直线相切的圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】点到直线的距离 ，所以以为圆心，且与直线相切的圆的方程为 故选B. 3. 数列中，，（n为正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推式特征，得到为常数列可得答案. 【详解】因为，所以， 则有，得，故. 故选：A 4. 设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，则的值为（ ） A. 7 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】设和的夹角为，因为，所以，利用余弦定理可以求出. 【详解】由椭圆标准方程知，，, 当点P为椭圆的左、右顶点时（不妨令P为右顶点）， ， 则，故点P不为椭圆的左、右顶点， 设和的夹角为，因为， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 即，所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质、平面向量数量积公式及余弦定理.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题的解答就是综合考虑椭圆的定义、几何性质以及余弦定理解答的. 5. 已知，与分别为圆锥曲线和的离心率，则的值（ ） A. 一定是正值 B. 一定是零 C. 一定是负值 D. 符号不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率及关系式表达出，从而得到，求出答案. 【详解】∵a＞b＞0，∴，，， ∴, ∴ 故选：C. 6. 在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出. 【详解】由题意，平面，四边形为正方形， 如图，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，， 设，，则， 又，，所以，则， 由题意，四点共面，所以， 所以，解得， 所以，，所以， 所以，即， 所以， 所以， 又， 所以， 即， 所以， 所以， 所以截面的面积为. 故选：D 7. 设是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若则C的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式，结合点在双曲线上及给定等式化简计算即得. 【详解】令双曲线的焦点，设， 则，即有， ，同理， 而，故， 因此， 即，所以双曲线C的离心率. 故选：D 8. 设，数列中，， ,则 A. 当 B. 当 C. 当 D. 当 【答案】A 【解析】 【分析】 若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确. 【详解】若数列为常数列，则，由， 可设方程 选项A：时，，， ， 故此时不为常数列， ， 且， ，则， 故选项A正确； 选项B：时，，， 则该方程的解为， 即当时，数列为常数列，， 则，故选项B错误； 选项C：时，， 该方程的解为或， 即当或时，数列为常数列，或， 同样不满足，则选项C也错误； 选项D：时，， 该方程的解为， 同理可知，此时的常数列也不能使， 则选项D错误. 故选：A. 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解. 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意得，，，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：因为，①，所以②， 所以②-①得， 又因为，所以， 所以，且奇数项和偶数项均为公差为的等差数列，故AB正确； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，可知，不成立，故错误. 故选：ABC 10. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先求出半圆和椭圆的方程，从而得到，，得到离心率；C选项，数形结合得到AB长度的取值范围；D选项，设，则，设，则，从而得到的面积，由基本不等式求出最大值；B选项，表达出的周长等于，当时，的周长最大，但是，故B错误. 【详解】由题意知，半圆的方程为， 设椭圆方程为，则， 所以，故椭圆方程为， A选项，椭圆离心率，故A正确； C选项，当时，， 当时，，此时重合，不合要求， 又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B 所以线段长度的取值范围是，C正确； D选项，由题意得的面积，设，则， 所以， 设，则，所以， 故， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确， B选项，的周长等于， 则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误. 故选：ACD 11. 在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（ ） A. 存在使得平面 B. 存在使得 C. 当平面时，三棱锥与体积之和最大值为 D. 记与平面所成的角分别为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，当时，易证得，则要使平面EFG，只需即可，利用向量法即可得出结论；对于B，只需要即可，判断和是否相等，即可；对于C，因为，故求的最大值即可；对于D，利用等体积法求出到平面的距离，分别求出，进而可得. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设， 对于A，因为平面，平面， 所以，又因， 所以平面，又平面， 所以， 当时，，此时， 要使平面EFG，只需即可， ， 则， 则，即， 当时，， 故存在点E，F，G，使得平面EFG，故A正确； 对于B，， 则， 要使， 只需要即可， ， ， ， 则， 故， 因为，所以， 所以， 所以不存在点E，F，G，使得，故B错误； 对于C，因为平面EFG， 所以， ， 则， 则，所以， 要使最大，则，此时， 所以三棱锥与体积之和最大值为，故C正确； 对于D，由上可知，， 则， 因为， 所以到平面的距离满足， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应位置） 12. 双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点位置、渐近线和焦距确定双曲线参数，即可得. 【详解】由题设，若，则渐近线有，故，且， 所以，则，可得，故双曲线方程为. 故答案为： 13. 已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是____． 【答案】． 【解析】 【分析】 由于是递增数列，所以，代入通项公式，化简可得，对都成立，再根据函数的性质，即可求出结果. 【详解】∵是递增数列， ∴，∴， 可得，对都成立． ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了递增数列的应用以及数列的函数特性，属于中档题. 14. 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出所在的直线方程，得到碰撞时的坐标，可得母球球心运动的直线方程. 【详解】点，所在直线的方程为，如图所示 可知，两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限，设，两球碰撞时，球的球心坐标为，此时，则，解得，即，B两球碰撞时，球的球心坐标 所以母球的球心运动的直线方程为，即． 故答案为： 四､解答题（本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训. （1）已知该公司A，B两部门分别有2位领导，此次培训需要从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式可求解. 【小问1详解】 记部门的2名领导为，部门的2名领导为， 从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有： ，共12种， 这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：，共8种， 所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为. 【小问2详解】 记 “甲经过培训合格”， “甲第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以甲经过培训合格的概率为. 16. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式. （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1），. （2），. 【解析】 【分析】（1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可； （2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. 【小问2详解】 由上可知， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上，. 17. 已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点. （1）求的值； （2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的焦点即可列出式子求解； （2）设出直线的方程，与椭圆联立，利用韦达定理可表示出三角形的面积，即可求出最值. 【详解】解：（1）由题意：， ，解得即 （2）由（1）知，曲线，点， 设直线的方程为：， 联立得：， ，又，， 设， ，， ， 面积， 令，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 如图，在长方体中，，，E，F分别是CD，BC的中点． （1）求证：平面； （2）点P在平面上，若，求DP与所成角的余弦值． 【答案】（1） 证明：根据题意，建立空间直角坐标系，如图1所示， 则， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 所以，即， 所以平面， 又平面，所以平面. . （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先求得平面的法向量，利用向量垂直的坐标表示证得平面，进而证得平面； （2）在（1）的基础上，先证得是平面的法向量，再求得到平面的距离，又通过作图得到DP与所成角为，从而利用所得长度求得，即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，故， 又，所以是平面的一个法向量，即平面， 又因为，所以到平面的距离为， 过作平面且交平面于，则，，如图2， 易得是直角三角形，DP与所成角为与所成角，即， 所以，即DP与所成角的余弦值为. 19. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. （1）用表示点到点的距离； （2）设，，线段的中点在直线上，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，，理由如下： 已知，设，. ①若，则， 因为在矩形中，，， 所以，， 又不在曲线上，则此情况不成立； ②若，则的斜率， 因为在矩形中，，则，得， 所以直线为， 当时，点纵坐标，得， 所以，， 因为在矩形中，， 设，则， 所以，得到， 要使得点在上，则将代入， 得到，解得， 又，得，即. . 【解析】 【分析】（1）根据抛物线性质，即可求出点到点的距离； （2）根据题意得到点的坐标，即可得到线段的中点的坐标，从而得到直线方程，再联立抛物线和直线方程即可得到点的坐标，进而即可求出的面积； （3）设，分和两种情况讨论，通过在矩形中，，，当，求出点的坐标，并判断是否在上；当时，要使得点在上，设，并代入以上条件计算，看是否能求出的值，进而即可得出结论. 【小问1详解】 由曲线的焦点线，准线为，所以根据抛物线性质，点到点的距离. 【小问2详解】 当时，得，. 由，则，即，所以线段的中点为， 又，所以直线方程为， 联立，整理得，解得，或（舍去）. 所以的面积. . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题为抛物线中的综合问题，涉及求抛物线方程，抛物线中三角形面积与抛物线中的存在性问题.关键为将几何条件转化为相应的坐标等式，再结合联立，韦达定理等手段处理问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江一中2025年秋季高二年第二阶段考试 数学试题 （满分150分 考试时间：120分钟） 一､单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 以为圆心，且与直线相切的圆的方程为 A. B. C. D. 3. 数列中，，（n为正整数），则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，则的值为（ ） A. 7 B. 10 C. 12 D. 15 5. 已知，与分别为圆锥曲线和的离心率，则的值（ ） A. 一定是正值 B. 一定是零 C. 一定是负值 D. 符号不确定 6. 在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 设是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若则C的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 2 8. 设，数列中，， ,则 A. 当 B. 当 C. 当 D. 当 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 10. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 11. 在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点（均不与点重合），则下列说法正确的是（ ） A. 存在使得平面 B. 存在使得 C. 当平面时，三棱锥与体积之和最大值为 D. 记与平面所成的角分别为，则 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应位置） 12. 双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为______ 13. 已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是____． 14. 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为______． 四､解答题（本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训. （1）已知该公司A，B两部门分别有2位领导，此次培训需要从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率. 16. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式. （2）记，数列的前项和为，求. 17. 已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点. （1）求的值； （2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值. 18. 如图，在长方体中，，，E，F分别是CD，BC的中点． （1）求证：平面； （2）点P在平面上，若，求DP与所成角的余弦值． 19. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点. （1）用表示点到点的距离； （2）设，，线段的中点在直线上，求的面积； （3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $