广西壮族自治区来宾市第八中学2026-2027学年高二上学期10月质检数学试题

2025级高二10月质检（数学） (时长：120分钟，满分：150分) 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.(5分)己知集合M={xx2-3x+2=0}，V={x<2,x∈Z,则MnN=() A.{-1,0,1,2 B.{1,2} c.{2 D.{1} 2.(5分)2+51-（) i A.5+2i B.2+5i C.-5+2i D.-5-2i 3.(5分)样本数据5,8,9,4,12,14,18的上四分位数为() A.12 B.13 C.14 D.16 4(5分)设n受+co号5 ,则sina=() 22 A.V3 2 B.月 c.} D 5.(5分)设向量a=(-1,2),b=(2x,-1),若a=2乃，则x=() A.月 B寻 C.4 D.2 6.(5分)若函数f(x)=1og(-x2+4x+5)在区间(3-2，m+2)内单调递增，则实数m的取值范围为 () A B.[32] c.a 7.(5分)若x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y),f()=1且函数y=f(x)在R上单调，则f(x)≤2的解集为() A.[-2,2] B.[-2,0) c.[-1,] D.[0,2] 85分已如情国9：营景1(4>4>0)与双审线C:￡ b -=1(4>0,b>0)有相同的 焦点耳，F,点P是两曲线的一个公共点，且PE·PF=0,若A,2分别是两曲线C1,C的离心率， 则4e:+生的最小值是(） A.2 B.25 D.4 8 c. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9.(6分)下列说法正确的有() A.若a>b,则ac2>bc2 B老是总，测06 试卷第1页（共4页） C.若a>b,则2>2 D.若a>b,则a2>b2 10.(6分)己知直线1：x+1+2k-y=0和圆0：x2+y2=8,则() A.直线1过定点(-2,1) B.直线l与圆O有两个交点 C.存在直线1与直线：x-2y+2=0垂直 D.直线l被圆O截得的最短弦长为22 11.(6分)在直三棱柱ABC-ABC1中，AB=BC=AA=2,∠ABC=90°，E,F分别为棱AC和CC 的中点，D为棱AB上的动点，则() B D E A.BF⊥DE B.该三棱柱的体积为4 C.过A,B,E三点截该三棱柱的截面面积为√5 D,直线DB与平面ABBA所成角的正切值的最大值为号 三、填空题（共15分） 12.(5分)圆锥的侧面展开图中扇形中心角为子，底面周长为2，这个圆锥的侧面积是 13.《5分)椭圆+上=1m>16的焦距为2万，则m的值为 16 14.(5分)已知抛物线C:y2=8.x的焦点为F,P点为抛物线上任意一点，M为圆E:(x-6)2+y2=4上 任意一点，则2PM+MF的最小值为 四、解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知圆C:x2+y2-4x-6y=0. (1)求直线y=2x被圆截得弦长： (2)已知圆M过点(-4,0)且与圆C:x2+y2-4x-y=0相切于原点，求圆M的方程. 16.(15分)在△ABC内，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 bcosA-ccosB=(a-c)cos(A+C). 试卷第2页（共4页） (1)求角B的值： (2)若△ABC的面积为3√5，b=√13，求△ABC的周长. 17.(15分)对某高校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这 M名学生参加社区服务的次数，根据此数据做出了频数与频率得统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 [20,25) L [25,30) 2 0.05 合计 M A频率 组距 1015202530次数 (I)求表中卫，a的值，求学生参加社区服务次数的中位数； (2)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，则至少一人参加社区服务次数 在区间[25,30)内的概率 18.(本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,CD⊥AD, AD=CD=2BC=2,平面PAD1平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD D -C (I)求证：CDL PA; (2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值； (B)在棱PB上是香存在点M,使得DML平面PAB?若存在，求PM PB 的值：若不存在，说明理由. 试卷第3页（共4页） 1917分)已知描圆：若茶=1a>b~0,左，有顶点分别为P,0,上质点为无原点为0 △OPK的面积为√5，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点ML,O)且斜率不为0的直线1与椭 圆E交于不同的两点A,B. (1)求椭圆E的标准方程： (2)求△AOB面积的最大值： (3)直线PA与直线x=4交于点N,试问B,Q,N三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明 理由. 试卷第4页（共4页） 《2025级高二10月质检（数学）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 0 A D B C A BC ABC 题号 11 答案 ABD 1.D 【分析】先分别化简集合M与集合N,再根据交集的定义求解两集合的公共元素即可. 【详解】由x2-3x+2=0,得(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2,因此M=1,2},又 N={x<2,x∈Z={-l,0,},所以MnN= 2.A 【详解)-2+51.i2+50-2i,5-5+21. i 2 -1 3.C 【分析】根据百分位数的计算规则求解第75%分位数即上四分位数 【详解】将样本数据按从小到大顺序排列得到：4,5,8,9,12,14,18，可知样本容量n=7, 上四分位数对应第75%分位数，7×75%=5.25，因此上四分位数为排序后第6个数据，即14. 4.D 【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数基本关系和二倍角公式即可求出sn的值. 5 2 2 =1+sin&= 4sin= 4 故选：D 5.B 【分析】根据a=乃，可得a/b,再根据共线向量的坐标公式即可得解. 【详解】因为向量a=(-1,2),b=(2x,-1),a=乃，所以a/b, 所以4r-1=0,解得x= 4 故选：B. 6.c 【分析】由复合函数的单调性及对数的真数为正得不等式，解之可得. 【详解】y=-x2+4x+5=-(-2)2+9, 答案第1页（共11页） [3m-2≥2 由题意-0u+2-2少：9>0，解得专sm<2。 3l-2<m+2 故选：C 7.A 【分析】根据条件先分析出f(x)的奇偶性和单调性，然后根据条件将2转化为f(α)(a为实数)，再根 据单调性和奇偶性解不等式求出解集 【详解】令x=y=0,所以f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0, 令y=-x,所以f(x+(仁x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x)且f(x)的定义域为R关于原点对称， 所以f(x)是奇函数： 又因为（①）=1>0=f(O)且∫(x)在R上单调，所以f(x)在R上单调递增： 又因为f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2,所以-f(2)=f(-2)=-2, 所以不等式f(x)≤2等价于f(-2)≤f(x)≤f(2), 又因为f(x)在R上单调递增，所以x∈[-2,2]， 故选：A. 【点睛】本题考查抽象函数的综合应用，其中涉及到抽象函数的单调性和奇偶性判断、根据单调性解不 等式，对学生的分析与转化问题的能力要求较高，难度较难. 8.B 【分析】根据焦点三角形面积相等，即可求得，e2之间的等量关系，再用均值不等式即可求得结果。 【详解】因为椭圆和双曲线有相同的交点，且∠P耳=90°， 则可得btm45°= an45°，解得4=4，则G-c2=c2-G, 11 整理得4+6=2x,则+店2， 阿+草报)智爱)隔智受 当且仅当4。 时取得最小值。 4 2 故选：B. 答案第2页（共11页） 【点睛】本题考查椭圆和双曲线中焦点三角形的面积涉及均值不等式求最小值，属综合困难题， 9.BC 【分析】根据不等式的基本性质和举反例法一一判断即可， 【详解】解：对于A,若c=0,则ac2=bc2,故A错； 对干B,若号>2，则c0,则e>0:则导c名，化简得ab:收B对： 对于C,若a>b,则根据指数函数y=2在R上单调递增得2>2，故C对； 对于D,若a>b,取a=-1,b=-2,则2=1<b2=4,故D错： 故选：BC 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题. 10.ABC 【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B:利用两直线的垂直 关系与斜率的关系判断选项C:利用弦长公式可判断选项D. 【详解】对A,由-y+2k+1=0可得，k(x+2)-y+1=0, 令x+2=0,即x=-2,此时y=1,所以直线1恒过定点(-2,1)，A正确； 对B,因为定点(-2,1)到圆心的距离为√4+1=√5<22， 所以定点(-2,1)在圆内，所以直线1与圆0相交，B正确： 对C,因为直线，：x-2y+2=0的斜率为号，所以直线1的斜率为-2，即k=-2, 此时直线1与直线垂直，满足题意，C正确： 对D,因为直线1恒过定点A(-2,1),圆心到直线I的最大距离为OA上5， 此时直线1被圆O截得的弦长最短为2√8-5-2√3，D错误； 故选：ABC 11.ABD 【分析】利用题设建系，对于A,通过空间向量证明BF⊥平面AEB即得BF⊥DE;对于B,利用直棱 柱体积公式计算即得；对于C,先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除C；对于D,设 点Dt,0,2),利用空间向量的夹角公式计算得出关于t的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值 的最大值 【详解】 答案第3页（共11页） 2 B D C A 如图建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),F(0,2,1),E(1,1,0),A(2,0,2),B(0,0,2) 对于A,BF=(0,2,1),EB=(-1,-1,2),EA=1,-1,2), 因BF.E4=(0,2,1)1,-1,2)=-2+2=0, BF.EB=(0,2,1-1,-1,2)=-2+2=0, 可得BF⊥EA,BF⊥EB,, 因EA⌒EB,=E,且两直线在平面AEB内，则有BF⊥平面AEB, 又D为棱AB上的动点，故BF⊥DE,即A正确： 对于B,由题意，该三棱柱的体积为V=】×2x2x2=4,故B正确； 2 D A 对于C,如图，设经过A,B,E三点的截面a交BC于点G,连接EG,BG, 因AB,//AB,AB,C平面ABC,ABC平面ABC,则AB∥平面ABC, 又AB,Ca,a⌒平面ABC=EG,故得AB,/1EG,即截面为梯形EGBA, 因4E=V22+(W2=6,B,G=V2+12=V5, 设梯形8G84的高为h,则V6-F+√5-？=1，解得h=√5. 则sa号2x5.5故c错说 答案第4页（共11页） B D B 对于D,如图，因AA⊥平面ABC,BCc平面ABC,则AA⊥BC, 又BC⊥AB,AB⌒AA=A,且两直线在平面内，故得BC⊥平面ABBA, 故可取平面ABBA的法向量为=(0，l,0), 又D为棱AB上的动点，可设Dt,0,2),t∈[0,2]则DE=1-t,1,-2), 1 设直线DE与平面ABB,A所成角为B,则sin0cos(DE,F t-1)2+5’ 因t∈[0,2引，故当且仅当t=1时，(-2+5取得最小值为5，此时sm6取得最大值为5 因6∈0，)，而正弦函数和正切函数在 0 上均为增函数， 5 故此时tan&取得最大值为 故D正确。 W52 2， 故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题 解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明；利用线面平行的性质作出截面 求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解 12.3π 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为1，扇形圆心角为a,则2r=2亚×1，故1=3， 3 则s--×2×3=3元 2 23 故答案为：3π. 13.23 【分析】利用椭圆标准方程和焦距的定义即可列式求解 【详解】因为>16，椭圆的焦距为2√7， 所以m-16=7,解得m=23. 答案第5页（共11页） 故答案为：23. 14.46 【分析】设存在定点C,0,使得点M在圆五上运动时，均有C叶M,结合两点间距离公式，可 确定t的值，从而有2PM+M=2(PM+MC)≥2PC,再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质， 求得|PC的最小值，即可得解. 【详解】由题意知，焦点F(2,0), 设存在定点C,O),使得点M在圆E上运动时，均有MC=M, 设M(x,),则(x-6)+y2=4, c=w,知c-jr-c2+y, 联立两式，消去y可得(40-8t)x+4t2-100=0, 令40-8t=0,则t=5,满足上式， 所以C(5,0), 所以2PM+MF=2PM+2MC=2(PM+MC)≥2PC, 当且仅当P、M、C,三点共线时，等号成立， 设P(a,b),则b2=&a 所以PC=Va-5)}2+b2=V2-10a+25+8a=√F-2a+25 =V(a-12+24≥26， 当且仅当a=1时，等号成立， 所以2IPM|+|MF|≥2|PC≥4√6， 即2PM+|MF|的最小值为4√6 故答案为：4√6. 答案第6页（共11页） 【点睛】本思的难点在于在x轴上找到点C,使得MC上M,从而 2PM+M=2PM+2MC=2(PM+MC）≥2PC,利用三点共线即可完成，属于难题. 15.)16V5 (2)(x+2)2+(y+3)=13 【分析】(1)求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； (2)利用待定系数法和相切可求圆的方程。 【详解】(1)由x2+y2-4x-6y=0可得(x-2)+(y-3)=13,圆心为(2,3)，半径为r=V13, 圆心C(23)到直线y=2x的距离为d-2×2-5 √5 5 所以线=2红技风被长为2不-3号-c (2)设(x-a)+(y-b)=R(R>0), (-4-a)'+(0-b)3=R2 0-a+(0-b}2=R2,解得a=-2,R=4+b: 则 因为圆M与圆C:x2+y2-4x-6y=0相切于原点，且圆M过点(-4,0)， 所以R+13=V(2-a+(3-b,V4++3=16+(3-b2, 两边平方整理可得4-3b=13(4+b2),平方可求b=-3, 代入可得R=√13，所以圆M的方程为(x+2)+(y+3)=13 16.①B-写 (2)7+13 【分析】()由正弦定理和三角恒等变换得到cos8分，求出角8： (2)由余弦定理和面积公式得到方程，求出a+c,进而求出周长。 【详解】(1)由cos(A+C)=-cosB,得bcos4-ccosB=(c-ad)cosB .由正弦定理，得sinBcosA-sinCcosB=(sinC-sinA)cosB. .sinAcosB cosAsinB 2sinCcosB. .sin(A+B)=2sinCcosB. 又A+B+C=π， 答案第7页（共11页） .sin(A+B)=sinC. 又0<C<π， .cosB=2 1 又B∈(0，π)， B=π Γ3 (2)由(1)知B=亚 .b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac1 又s=acsinB=5 c,故 4 2ac=3v5, 4 .ac=12,② 又b=V3, ∴.由①②，得am2+c2-12=13,故2+c2=25, :(a+c)2=a2+c2+2ac=25+24=49, 故a+c=7,周长为7+√3 17.(1)p=0.075,a=0.125,中位数为17： .7 【分析】(1)根据频率分布表，频率的概念，中位数的概念，方程思想即可求解： (2)根据古典概型的概率公式即可求解。 【详解】(1D样本容量M三025=40，m=3了 ∴.n= 25=0.625,a=0625 40 5 0.125, ∴p=1-0.25-0.625-0.05=0.075, 易知中位数落在第二组中，设中位数为t, 则0.25+(t-15)×0.125=0.5, 解得t=17, p=0.075,a=0.125,中位数为17： (2)样本中[20,25)有3人，[25,30)有2人， 从这5人中任选2人共有C=10个结果， 答案第8页（共11页） 而至少一人参加社区服务次数在区间[25,30)内包含C-C=7个结果， …所求的概率为 10 18.(1) 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, 且CD⊥AD,CDC平面ABCD,可得CD⊥平面PAD, 因为PAc平面PAD,所以CD⊥PA. Q5 3 (3) 设PM=PB=(0,2,-),∈[0,1]， 且DP=(1,0,1),则DM=DP+PM=(1,22,1-2), 若DM1平面B,则D,可得号之，方程无解， 所以不存在点M,使得DM⊥平面PAB. 【分析】(1)根据面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD,即可得结果； (2)建系标点，分别求平面APB与平面PBC法向量，利用空间向量求面面夹角； (3)设PM=PB,分析可知DMl,列式求解即可判断. 【详解】(1)略 (2)取AD中点O,连接OP,OB, 因为PA=PD,则PO⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,POC平面PAD, 可得PO⊥平面ABCD, 由OA,OBC平面ABCD,可得PO⊥OA,PO LOB, 因为CD⊥AD,BC∥AD,AD=2BC,则BC∥OD,BC=OD, 可知四边形OBCD是平行四边形，则OB⊥AD, 如图，以O为坐标原点，OA,OB,OP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系O-x2, 2 01 A B 则O(0,0,0),A1,0,0),B(0,2,0),C(-1,2,0),D(-10,0),P(0,0,1) 答案第9页（共11页） 可得AP=（-1,0,1),PB=(0,2,-1),CB=(1,0,0), ii.AP=-x+2=0 设平面APB的法向量为=(x,y,z),则 ii.PB=2y-z=0 令y=1,则x=z=2,可得i=(2,1,2): m.CB=a=0 设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),则 m.PB=2b-c=0 令b=1,则a=0,c=2,可得m=(0,1,2): im5√5 则cosi,m= m3×√53 所以平面APB与平面PBC夹角的余弦值为 3 (3)略 19.(1) 43 (2) 2 (3)共线，证明： 易知椭圆E的左、右顶点分别为P(-2,0),Q(2,0),直线P4方程为：y=,(x+2), x1+2 它与直线x=4交于点N,则N4 （+2 ,由于ke,kw都存在，且 6-0 kgw-当0当+2。：为。-3理=6+2到-3（飞-2） x2-24-2x2-2x+2(x1+2)(x3-2） -6t 男+3动-35w少323+7是 (x+2)(x2-2)(x+2)(x2-2)(31+2)(x2-2) 故ke=kgw,于是B,O,N三点共线， K B 答案第10页（共11页） 【分析】(1)根据条件列ab,c关系式求解： (2)设直线方程x=少+1，与椭圆联立，得面积表达式，换元利用对勾函数单调性求最值； 3)设直线PA方程为：y十2x+2,求出W4 通过证明kg-kgw=0求解. x1+2 =5 【详解】(1)设椭圆的半焦距为C,由题意可得： 2 1a=2c a2=b2+c2 解得a=2,b=5,c=1,所以椭圆方程为二+上 =1. 43 (2)设直线1的方程为x=y+1,A(,),B(x2,为)， [x=y+1 -6t 由三+女=1整理得(3x+4+6-9=0,易知4>0， 4+%=3+4 -9 43 = 3t2+4 ,6NP+1 S.M--3g+广-4y-+ 6m6 令m=FIm≥1.则3.as3m+m+ 1, 设f(m)=3m+二，由对勾函数性质易知函数f(m)在区间山，+o)单调递增，知f(m)m=∫()=4， 即当=1，即t=0时，面积取到最大值号 (3)略 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系，第三问证明三点共线注意斜率的应用及韦达定理 的代入计算. 答案第11页（共11页）