第06课 圆环的面积（导学案）五年级数学寒假自学课（青岛五四制）

第06课 圆环的面积 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）理解圆环的意义，识别圆环的外圆、内圆和环宽，掌握"同心圆"特征。 （2）推导并掌握圆环面积公式S=π(R2−r2)（R为外圆半径，r为内圆半径），能正确计算圆环面积。 （3）运用公式解决实际问题（如环形铁片、零件面积计算）。 2.重难点 重点：理解圆环的意义及"同心圆"特征，准确识别外圆、内圆和环宽；推导并应用圆环面积公式S=π(R2−r2)S=π. 难点：理解"环宽"与半径的关系（环宽=R−r），解决"已知外圆直径和环宽求内圆半径"等变式问题；正确计算R2−r2（区分(R−r)2与R2−r2。 模块二 预习引导 一、复习旧知，夯实基础 1.回忆圆的面积计算公式： S=πr2，其中r表示______，π通常取______。 2.计算下面圆的面积（单位：cm）： 半径为5cm的圆；直径为8cm的圆：。 二、观察生活，初识圆环 1.找一找： 生活中哪些物体的表面是圆环形状？（例如：光盘、胶带卷、井盖边缘等），试着描述它们的共同特征：______。 2.画一画： 在纸上以同一点为圆心，分别画一个半径为4cm的圆和一个半径为2cm的圆，观察这两个圆之间的部分是______图形。 三、思考问题，初探方法 1.想一想： 你画的"圆环"面积可以怎样计算？它与外圆、内圆的面积有什么关系？（试着用公式表示：圆环面积=外圆面积-内圆面积）。 2.试一试： 如果外圆半径是R，内圆半径是r，结合圆的面积公式，圆环面积的计算公式可以表示为：______。 四、提出疑问，带着问题进课堂 在预习过程中，你遇到了哪些困惑？（例如："如果只知道外圆直径和环宽，怎样求内圆半径？""计算圆环面积时，R2−r2与(R−r)2有什么区别？"）请记录下来，课堂上与老师和同学交流。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．圆的半径由3cm增加到4cm，圆的面积增加了（　　）cm2。 A．3.14 B．12.56 C．21.98 D．9.42 2． 一个圆的半径由2厘米增加到3厘米，它的面积增加了(　　)平方厘米。 A．9π B．5π C．21π 3．如图是一个钟面，分针长8厘米，时针长4厘米，分针走一圈比时针走一圈扫过的面积多（　　）平方厘米。 A．25.12 B．150.72 C．20.24 4．环形铁片的外半径是4dm ，内直径是6dm ，它的面积是（　　）dm2。 A．12.56 B．62.8 C．15.7 D．21.98 5．一个圆形养鱼池半径10米，中间有一个圆形小岛，直径是4米，如果要求这个养鱼池的水域面积是多少平方米？正确的列式为（　　） A．3.14×（10－2）² B．3.14×（10²－4²） C．3.14×（20－4）² D．3.14×（10²－2²） 6．圆的半径由3分米增加到5分米，圆的面积增加了（　　）平方分米。 A．2π B．4π C．16π 7．一个环形，内圆半径是3分米，外圆半径是5分米，这个环形的面积多少？列式正确的是（　　）。 A．3.14×(5×2－3×2) ， 3.14×52－3.14×32 B．3.14×(5×2－3×2) ， 3.14×(52－32) C．3.14÷52－3.14×32 ，3.14×(52－32) 8．一个圆形花坛的半径是3米，扩建后半径增加了1米，面积增加了（　　）平方米。 A．6.28 B．21.98 C．3.14 D．50.24 二、填空题 9． 一个环形，外圆半径是5厘米，内圆半径是2厘米，这个环形的面积是　 　平方厘米。 10．君君画了两个同心圆，半径分别是3厘米和4厘米，这两个圆的面积相差　 　。 11．草地上有一只羊，把它用3米长的绳子拴在木桩上，它能吃到草的面积是　 　平方米。如果拴羊的绳子再加长1米，羊可以多吃到　 　平方米的草。 12．数学配套光盘的形状是一个圆环，王老师测量出它的内圆直径是2厘米，外圆直径是12厘米，光盘的面积是　 　平方厘米。 13．一张光盘内圆直径是2厘米，外圆直径是12厘米，这张光盘的面积是　 　平方厘米. 14．一个圆的直径是6厘米,现在这个圆的直径增加到10厘米,则这个圆的面积增加了　 　平方厘米。 15．一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积是　 　平方厘米。 16．一个圆形花坛的直径是6m，给这个花坛围护栏需要　 　米栅栏；现在沿花坛的外围铺一条宽1m的水泥路，水泥路的面积是　 　m²。 三、解决问题 17．如图，圆形水池的直径是20米，在水池的周围有一条宽10米的环形水泥路。 （1）这条水泥路的面积是多少平方米？ （2）如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，那么需要几把椅子？ 18．一个圆形花坛的半径为6米，要在花坛周围铺一条2米宽的石子路，并且在这条石子路的外围围上篱笆。石子路的面积是多少平方米？石子路外围的篱笆长多少米？ 19．一个圆形池塘的半径是25米，在它的周围铺一条环形水泥路，路宽3米。水泥路面的面积是多少平方米？ 20．一个直径为20厘米的圆纸片，在它的正中心剪掉一个半径为6厘米的圆，剩下部分的面积是多少平方厘米？ 21．在一个半径是3米的圆形水池周围修一条宽1米的石子路，这条石子路的面积是多少平方米?(π取3.14) 22．文化广场的喷水池直径是20米，在它的周围修一条4米宽的环形路。这条环形路的面积是多少平方米？ 23．有一个直径为40米的圆形鱼池，在它的周围修一条宽度为1米的石子路，石子路的面积是多少平方米？ 24．一个圆形鱼池周长是100.48米，中间有一个圆形小岛，半径是6米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06课 圆环的面积 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）理解圆环的意义，识别圆环的外圆、内圆和环宽，掌握"同心圆"特征。 （2）推导并掌握圆环面积公式S=π(R2−r2)（R为外圆半径，r为内圆半径），能正确计算圆环面积。 （3）运用公式解决实际问题（如环形铁片、零件面积计算）。 2.重难点 重点：理解圆环的意义及"同心圆"特征，准确识别外圆、内圆和环宽；推导并应用圆环面积公式S=π(R2−r2)S=π. 难点：理解"环宽"与半径的关系（环宽=R−r），解决"已知外圆直径和环宽求内圆半径"等变式问题；正确计算R2−r2（区分(R−r)2与R2−r2。 模块二 预习引导 一、复习旧知，夯实基础 1.回忆圆的面积计算公式： S=πr2，其中r表示______，π通常取______。 2.计算下面圆的面积（单位：cm）： 半径为5cm的圆；直径为8cm的圆：。 二、观察生活，初识圆环 1.找一找： 生活中哪些物体的表面是圆环形状？（例如：光盘、胶带卷、井盖边缘等），试着描述它们的共同特征：______。 2.画一画： 在纸上以同一点为圆心，分别画一个半径为4cm的圆和一个半径为2cm的圆，观察这两个圆之间的部分是______图形。 三、思考问题，初探方法 1.想一想： 你画的"圆环"面积可以怎样计算？它与外圆、内圆的面积有什么关系？（试着用公式表示：圆环面积=外圆面积-内圆面积）。 2.试一试： 如果外圆半径是R，内圆半径是r，结合圆的面积公式，圆环面积的计算公式可以表示为：______。 四、提出疑问，带着问题进课堂 在预习过程中，你遇到了哪些困惑？（例如："如果只知道外圆直径和环宽，怎样求内圆半径？""计算圆环面积时，R2−r2与(R−r)2有什么区别？"）请记录下来，课堂上与老师和同学交流。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．圆的半径由3cm增加到4cm，圆的面积增加了（　　）cm2。 A．3.14 B．12.56 C．21.98 D．9.42 【答案】C 【解析】解：3.14×（42-32） =3.14×（16-9） =3.14×7 =21.98（平方厘米） 故答案为：C。 【分析】圆增加的面积=环形面积=π×（R2-r2）。 2． 一个圆的半径由2厘米增加到3厘米，它的面积增加了(　　)平方厘米。 A．9π B．5π C．21π 【答案】B 【解析】π×32－π×22 =9π－4π =5π（平方厘米） 故答案为：B。 【分析】圆的面积S=πr2，要想求面积增加了多少，就要用增加之后的圆的面积减去原来圆的面积，利用圆的面积公式计算即可。 3．如图是一个钟面，分针长8厘米，时针长4厘米，分针走一圈比时针走一圈扫过的面积多（　　）平方厘米。 A．25.12 B．150.72 C．20.24 【答案】B 【解析】解：3.14×（82－42） ＝3.14×（64－16） ＝3.14×48 ＝150.72（平方厘米）。 故答案为：B。 【分析】分针走一圈比时针走一圈多扫过的面积=圆环的面积=π×（分针长度2-时针长度2）。 4．环形铁片的外半径是4dm ，内直径是6dm ，它的面积是（　　）dm2。 A．12.56 B．62.8 C．15.7 D．21.98 【答案】D 【解析】解：6÷2=3（dm） 3.14×（42-32） =3.14×（16-9） =3.14×7 =21.98（dm2） 故答案为：D。 【分析】环形铁片的面积=π×（R2-r2）。 5．一个圆形养鱼池半径10米，中间有一个圆形小岛，直径是4米，如果要求这个养鱼池的水域面积是多少平方米？正确的列式为（　　） A．3.14×（10－2）² B．3.14×（10²－4²） C．3.14×（20－4）² D．3.14×（10²－2²） 【答案】D 【解析】解：4÷2=2（米） 这个养鱼池的水域面积是：3.14×（102－22） 。 故答案为：D。 【分析】这个养鱼池的水域面积=π×（R2-r2）。 6．圆的半径由3分米增加到5分米，圆的面积增加了（　　）平方分米。 A．2π B．4π C．16π 【答案】C 【解析】解：圆的面积增加了：π×（52-32）=π×（25-9）=16π。 故答案为：C。 【分析】圆的面积增加的部分=圆环的面积=π（R2-r2），据此代入数据解答即可。 7．一个环形，内圆半径是3分米，外圆半径是5分米，这个环形的面积多少？列式正确的是（　　）。 A．3.14×(5×2－3×2) ， 3.14×52－3.14×32 B．3.14×(5×2－3×2) ， 3.14×(52－32) C．3.14÷52－3.14×32 ，3.14×(52－32) 【答案】C 【解析】环形的面积为外圆的面积减去内圆的面积，即52×3.14－32×3.14＝3.14×(52－32)， 故选：C 8．一个圆形花坛的半径是3米，扩建后半径增加了1米，面积增加了（　　）平方米。 A．6.28 B．21.98 C．3.14 D．50.24 【答案】B 【解析】3+1=4（米） 3.14×（42-32） =3.14×（16-9） =3.14×7 =21.98（平方米） 故答案为：B。 【分析】此题主要考查了圆环面积的应用，将一个圆形花坛的半径扩大1米，要求面积增加了多少平方米，就是求圆环的面积，应用公式：S=π（R2-r2），据此列式解答。 二、填空题 9． 一个环形，外圆半径是5厘米，内圆半径是2厘米，这个环形的面积是　 　平方厘米。 【答案】65.94 【解析】解：3.14×(52-22) =3.14×(25-4) =3.14×21 =65.94(平方厘米)； 故答案为：65.94。 【分析】圆环面积=大圆面积-小圆面积=π×(大圆半径2-小圆半径2)；据此解答。 10．君君画了两个同心圆，半径分别是3厘米和4厘米，这两个圆的面积相差　 　。 【答案】21.98平方厘米 【解析】解： 3.14×（42-32） =3.14×（16-9） =3.14×7 =21.98（平方厘米） 故答案为：21.98平方厘米。 【分析】这两个圆相差的面积=π×（R2-r2）。 11．草地上有一只羊，把它用3米长的绳子拴在木桩上，它能吃到草的面积是　 　平方米。如果拴羊的绳子再加长1米，羊可以多吃到　 　平方米的草。 【答案】28.26；21.98 【解析】解：3.14×32 =3.14×9 =28.26（平方米） 3＋1=4（米） 3.14×（42-32） =3.14×（16-9） =3.14×7 =21.98（平方米）。 故答案为：28.26；21.98。 【分析】它能吃到草的面积=π×半径2；羊可以多吃到的面积=π×（R2-r2） ；其中，R=r＋1米。 12．数学配套光盘的形状是一个圆环，王老师测量出它的内圆直径是2厘米，外圆直径是12厘米，光盘的面积是　 　平方厘米。 【答案】109.9 【解析】12÷2=6（厘米）， 2÷2=1（厘米）， 3.14×（62-12） =3.14×（36-1） =3.14×35 =109.9（平方厘米） 故答案为：109.9 。 【分析】此题主要考查了圆环的面积，先分别求出外圆和内圆的半径 ，然后应用公式：S=π（R2-r2），据此列式解答。 13．一张光盘内圆直径是2厘米，外圆直径是12厘米，这张光盘的面积是　 　平方厘米. 【答案】109.9 【解析】解：3.14×[（12÷2）2-（2÷2）2]=109.9（平方厘米），所以这张光盘的面积是109.9平方厘米。 故答案为：109.9。 【分析】光盘刚好是一个圆环，圆环的面积=（大圆的半径2-小圆的半径2）×π，据此代入数据作答即可。 14．一个圆的直径是6厘米,现在这个圆的直径增加到10厘米,则这个圆的面积增加了　 　平方厘米。 【答案】50.24 【解析】解：6÷2=3（厘米），10÷2=5（厘米）， 3.14×（5²-3²） =3.14×（25-9） =3.14×16 =50.24（平方厘米） 故答案为：50.24。 【分析】面积增加的部分是大圆面积减去小圆的面积，根据公式计算，S=π（R²-r²）。 15．一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积是　 　平方厘米。 【答案】9π 【解析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积＝S＝S1－S2＝25π－16π＝9π，所以圆环的面积是9π。 【分析】该题主要考察对圆环面积的计算的掌握，计算圆环的面积时应该注意，一定要先计算出两个圆的半径，然后再面积相减。 16．一个圆形花坛的直径是6m，给这个花坛围护栏需要　 　米栅栏；现在沿花坛的外围铺一条宽1m的水泥路，水泥路的面积是　 　m²。 【答案】18.84；21.98 【解析】解：6×3.14=18.84（米） 6÷2=3（米） 3＋1=4（米） 3.14×（42-32） =3.14×（16-9） =3.14×7 =21.98（平方米）。 故答案为：18.84；21.98。 【分析】需要栅栏的长度=圆形花坛的周长=π×直径；水泥路的面积=π×（R2-r2） 。 三、解决问题 17．如图，圆形水池的直径是20米，在水池的周围有一条宽10米的环形水泥路。 （1）这条水泥路的面积是多少平方米？ （2）如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，那么需要几把椅子？ 【答案】（1）解：20÷2=10（米） 10+10=20（米） π×（202-102） =3.14×300 =942（平方米） 答： 这条水泥路的面积是942平方米。 （2）解：2×π×20=125.6（米） 125.6÷31.4=4（把） 答： 那么需要4把椅子。 【解析】【分析】根据给出的水池的直径和水泥路的宽度，先求出大圆和小圆的半径，根据圆环的面积公式S=π（R2-r2）计算出水泥路的面积，大圆的周长就是水泥路外沿的长度，用圆的周长除以间隔的长度就是需要的椅子的把数。 18．一个圆形花坛的半径为6米，要在花坛周围铺一条2米宽的石子路，并且在这条石子路的外围围上篱笆。石子路的面积是多少平方米？石子路外围的篱笆长多少米？ 【答案】87.92平方米；50.24米 19．一个圆形池塘的半径是25米，在它的周围铺一条环形水泥路，路宽3米。水泥路面的面积是多少平方米？ 【答案】解：25＋3=28（米） 3.14×282－3.14×252 ＝3.14×784－3.14×625 ＝3.14×（784－625） ＝3.14×159 ＝499.26（平方米） 答：水泥路面的面积是499.26平方米。 【解析】【分析】池塘加上水泥路的半径=池塘的半径+水泥路的宽，所以池塘加上水泥路的面积=池塘加上水泥路的半径2×π，池塘的面积=池塘的半径2×π，那么水泥路面的面积=池塘加上水泥路的面积-池塘的面积，据此代入数值作答即可。 20．一个直径为20厘米的圆纸片，在它的正中心剪掉一个半径为6厘米的圆，剩下部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：20÷2=10（厘米） 3.14×102-3.14×62 =3.14×100-3.14×36 =3.14×（100-36） =3.14×64 =200.96（平方厘米） 答：剩下部分的面积是200.96平方厘米。 【解析】【分析】剩下部分的面积=π×（R2-r2）；其中，半径=直径÷2。 21．在一个半径是3米的圆形水池周围修一条宽1米的石子路，这条石子路的面积是多少平方米?(π取3.14) 【答案】解：3+1=4（米） 3.14×（42-32） =3.14×（16-9） =3.14×7 =21.98（平方米） 答：这条石子路的面积是21.98平方米。 【解析】【分析】圆环的面积公式：S=π（R2-r2），先计算出外圆的半径，然后根据圆环面积公式计算石子路的面积。 22．文化广场的喷水池直径是20米，在它的周围修一条4米宽的环形路。这条环形路的面积是多少平方米？ 【答案】解： = = =301.44（平方米） 答：这条环形路的面积是301.44平方米。 【解析】【分析】环形路的面积=3.14×（外圆半径的平方-内圆半径的平方）。 23．有一个直径为40米的圆形鱼池，在它的周围修一条宽度为1米的石子路，石子路的面积是多少平方米？ 【答案】解：（40+1+1）÷2 =42÷2 =21（米） 40÷2=20（米） 3.14×（212-202） =3.14×（441-400） =3.14×41 =128.74（平方米） 答：石子路的面积是128.74平方米。 【解析】【分析】根据题意可知，这条石子路是一条圆环，先分别求出外圆和内圆的半径，然后应用公式：S=π（R2-r2），据此列式解答。 24．一个圆形鱼池周长是100.48米，中间有一个圆形小岛，半径是6米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？ 【答案】解：100.48÷3.14÷2 =32÷2 =16（米） 3.14×（162-62） =3.14×（256-36） =3.14×220 =690.8（平方米） 答：这个养鱼池的水域面积是690.8平方米。 【解析】【分析】这个养鱼池的水域面积=π×（R2-r2）；其中，R=圆形鱼池的周长÷π÷2。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $