第09课 组合图形面积的巧算（导学案）四年级数学寒假自学课（青岛五四制）

第09课 组合图形面积的巧算 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察和分析组合图形的构成特点，理解组合图形面积计算的"分割-转化"思想，能准确识别组合图形中的基本图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形），掌握组合图形面积巧算的基本方法。 （2）能灵活运用"分割法"和"添补法"将组合图形转化为已学过的基本图形，正确选择面积公式计算组合图形的面积，提高综合运用几何知识解决复杂问题的能力。 （3）经历"观察图形-分解转化-选择方法-计算验证"的解题过程，培养几何直观能力、空间想象能力和逻辑推理能力，初步形成"化繁为简"的数学思维方式。 （4）感受组合图形在生活中的广泛应用，体验用不同策略解决问题的乐趣，培养多角度思考问题的习惯和数学应用意识。 2.重难点 重点：掌握组合图形面积计算的"分割法"和"添补法"，能正确分解组合图形并计算面积。 难点：根据组合图形的特点选择最优转化方法，处理图形中隐含的底、高或边长条件，解决含重叠部分的组合图形面积问题。 模块二 预习引导 一、知识回顾 1.基本图形面积公式： 长方形：S=ab（a为长，b为宽） 正方形：S=a²（a为边长） 平行四边形：S=ah（a为底，h为高） 三角形：S=ah÷2（a为底，h为高） 梯形：S=（a+b）h÷2（a为上底，b为下底，h为高） 2.图形转化思想： 将未知图形转化为已知图形的"转化法"（如平行四边形转化为长方形，三角形转化为平行四边形等）。 二、组合图形的认识与构成 1.定义： 由两个或两个以上基本图形组合而成的不规则图形（如房屋侧面图、机器零件图、花坛平面图等）。 2.构成方式： 拼接型：基本图形无重叠地拼接在一起（如"工"字形由3个长方形组成） 重叠型：基本图形部分重叠（如两个三角形交叉重叠形成的图形） 嵌套型：一个图形包含另一个图形（如正方形内画一个最大的圆） 三、组合图形面积巧算方法 1.方法一：分割法（"化整为零"） 概念： 将组合图形分割成几个已学过的基本图形（如长方形、三角形、梯形等），分别计算各部分面积后求和。 步骤： 确定分割方案：根据图形特征，用虚线将组合图形分割成若干个基本图形（尽量使分割后的图形有已知数据或易求数据） 标注数据：在分割后的图形上标出已知的底、高、边长等数据（注意挖掘隐含条件，如公共边、等长线段） 分别计算：运用对应公式计算每个基本图形的面积 求和得总面积：将各部分面积相加 示例：计算"L"形图形面积（长10cm、宽8cm的长方形右上角剪去一个长4cm、宽3cm的小长方形） 分割方案：分割成一个大长方形和一个小长方形（或一个大长方形减去一个小长方形） 计算：S大=10×8=80cm²，S小=4×3=12cm²，组合图形面积=80-12=68cm² 方法二：添补法（"补全减空"） 概念：将组合图形补成一个完整的基本图形，用补全后的图形面积减去添补部分的面积。 步骤： 确定补全方案：将不规则图形补成规则图形（如长方形、梯形等） 计算补全后图形面积：用基本图形面积公式计算 计算添补部分面积：确定添补的图形形状并计算面积 求差得总面积：补全图形面积-添补部分面积 示例：计算梯形缺角图形面积（原梯形上底6cm、下底10cm、高5cm，右上角缺一个底2cm、高2cm的直角三角形） 补全方案：补成完整梯形 计算：S梯形=（6+10）×5÷2=40cm²，S添补三角形=2×2÷2=2cm²，组合图形面积=40-2=38cm² 四、典型应用实例分析 1.类型一：简单拼接型 实例：一个组合图形由一个三角形和一个平行四边形组成。三角形的底是8分米，高是5分米；平行四边形的底是8分米，高是6分米。求组合图形的面积。 分析过程： 分割为三角形和平行四边形→S三角形=8×5÷2=20dm²→S平行四边形=8×6=48dm²→组合图形面积=20+48=68dm² 答：组合图形的面积是68平方分米。 2.类型二：添补计算型 实例：一块菜地的形状如图（描述：一个长方形缺了一个角，长方形长15米、宽10米，缺口是一个底3米、高4米的直角三角形），求这块菜地的面积。 分析过程： 补全为长方形→S长方形=15×10=150m²→S缺口三角形=3×4÷2=6m²→菜地面积=150-6=144m² 答：这块菜地的面积是144平方米。 3.类型三：含重叠部分型 实例：两个完全相同的直角三角形（底6cm，高4cm），将它们的直角顶点重合拼成一个新图形，重叠部分是一个底2cm、高1cm的小三角形。求拼成的组合图形面积。 分析过程： 先求两个三角形总面积：2×（6×4÷2）=24cm²→减去重叠部分面积：2×1÷2=1cm²→组合图形面积=24-1=23cm² 答：拼成的组合图形面积是23平方厘米。 4.类型四：综合实际应用 实例：一个指示牌的形状是由一个正方形和一个三角形组成的组合图形。正方形边长50厘米，三角形的底等于正方形的边长，高是30厘米。如果每平方分米指示牌需要用油漆0.2千克，刷这个指示牌共需要油漆多少千克？ 分析过程： 先算正方形面积：50×50=2500cm²→三角形面积：50×30÷2=750cm²→组合图形面积=2500+750=3250cm²=32.5dm²→油漆用量：32.5×0.2=6.5千克 答：刷这个指示牌共需要油漆6.5千克。 五、解题技巧总结 1.优选分割方案： 分割时尽量使分出的图形种类少、数量少，且每个图形都有可直接使用的数据 2.挖掘隐含条件： 注意图形中的公共边、对边相等、邻边之和等隐含数据（如"楼梯"形图形的总高度=各台阶高度之和） 3.单位统一原则： 计算前确保所有长度单位统一（如厘米、分米、米），面积单位也要对应（cm²、dm²、m²） 4.检验计算结果： 反向检验：用不同的分割或添补方法计算同一图形，验证结果是否一致 合理性检验：结合生活实际判断面积大小是否合理（如房间面积不可能为几平方厘米） 5.特殊图形巧算： 对称图形：利用对称性只算一半面积再乘2 等积变形：通过平移、旋转将不规则部分转化为规则图形 六、预习小任务 1.动手操作： (1)找一找生活中的组合图形（如房屋侧面、黑板报图案、地砖纹样），尝试用直尺测量必要数据，画出图形并标注尺寸 (2）准备一张不规则图形纸片，尝试用"分割法"和"添补法"两种方法计算其面积，比较哪种方法更简便 2.填空： （1）计算组合图形面积常用的方法有（ ）和（ ），其中（ ）是将图形分成几个基本图形再求和，（ ）是补成完整图形再减去添补部分。 （2）一个组合图形由一个上底3cm、下底5cm、高2cm的梯形和一个底4cm、高3cm的三角形组成，它的总面积是（ ）cm²。 （3）一个长方形长12m，宽8m，在内部挖去一个边长5m的正方形，剩余部分面积是（ ）m²。 3.判断对错： （1）任何组合图形都只能用一种方法计算面积（ ） （2）用分割法计算组合图形面积时，分割的图形越多越好（ ） （3）两个组合图形的形状不同，面积一定不相等（ ） 4.解决问题： （1）学校要在操场旁建一个"U"形花坛（如图），外口长20米，宽15米，内口长12米，宽8米。这个花坛的占地面积是多少平方米？ （2）一块梯形的广告牌，上底8米，下底12米，高4米。广告牌的左上角有一个边长2米的正方形灯箱。现在要给广告牌的非灯箱部分刷油漆，每平方米需要油漆0.5千克，共需要多少千克油漆？ 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面方格图中阴影部分的面积是(　　)平方厘米。(每个小方格的边长为1cm) A．13 B．12 C．10 D．17 【答案】A 【解析】解：1×1×9+1×1÷2×8 =9+4 =13（平方厘米） 故答案为：A。 【分析】阴影部分的面积=9个边长1厘米的正方形的面积+8个底和高都是1厘米的三角形的面积，正方形的面积=边长×边长，三角形的面积=底×高÷2，据此计算。 2．如图，每个小方格的边长为1厘米，方格图中所绘图形的面积是(　　)平方厘米。 A．17 B．25 C．26 D．34 【答案】A 【解析】（2+6）×2÷2+6×3÷2 =8+9 =17（平方厘米） 故答案为：A。 【分析】组合图形的面积=梯形面积+三角形的面积，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，三角形的面积=底×高÷2，据此计算。 3．如图，在由两个正方形拼成的图形上画三角形(阴影部分)，阴影部分的面积与其他三个不相等的是(　　)。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解： A ．阴影部分面积＝小正方形的边长×大正方形的边长÷2； B ．阴影部分面积＝小正方形的边长×大正方形的边长÷2； C ．阴影部分面积＝小正方形的边长×小正方形的边长÷2； D ．阴影部分面积＝小正方形的边长×(小正方形的边长+大正方形的边长）÷2； 所以阴影部分面积，D选项中的阴影部分的面积和其他三个不相等。 故选：D 。 【分析】根据三角形的面积公式： S = ah ÷2，等底等高的三角形的面积相等，据此解答。 4．如图，用8个完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形，每个小长方形的面积是（　　）cm2。 A．96 B．75 C．50 D．64 【答案】B 【解析】解：小长方形的宽：20÷4=5（cm） 小长方形的长：5×3=15（cm） 小长方形的面积：15×5=75（cm2） 故答案为：B。 【分析】根据图意分别求出小长方形的长和宽，再根据长方形的面积=长×宽，计算即可。 5．甲、乙两幅图中阴影部分相比较，下面的说法正确的是(　　)。 A．面积相等，周长相等 B．面积不相等，周长不相等 C．面积不相等，周长相等 D．面积相等，周长不相等 【答案】D 【解析】解：甲、乙两幅图中阴影部分的面积相等，周长不相等 故答案为：D。 【分析】观察两幅图形，甲和乙中阴影部分的面积都是正方形的面积减去圆的面积；甲中阴影部分的周长就是圆的周长，而乙中阴影部分的周长是圆的周长加上正方形边长的2倍，所以周长不相等，据此解答即可。 6．图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。连接BE交AD于P，再连接PC。则图中阴影部分的面积是(　　)平方厘米。 A．6.36 B．3.18 C．2.12 D．1.59 【答案】B 【解析】解：如图，连接AE，BD。 因为AD∥BC， 则：， 又AB∥ED， 则：， 所以，（平方厘米） 故答案为：B 【分析】让BC边趋近AD边，直到和AD边重合，此时，P与A重合，PE是ADEF的对角线，所以，阴影部分的面积是ADEF面积的一半，等于3.18平方厘米。 7．下图中，涂色部分面积最大的是（ ） ​​ A．图1 B．图2 C．图3 【答案】A 【解析】解：图1的面积是8个正方形的面积，图2、3都是7个正方形的面积，所以图1的面积最大。 故答案为：A。 【分析】数出每个图形的面积包含几个小正方形的面积即可确定涂色部分面积最大的图形。 8． 如图，已知正方形ABCD 的边长为 10 cm，四边形 EFGH 的面积是 9 cm2，则涂色部分的面积是(　　)cm2。 A．28 B．32 C．41 D．50 【答案】B 【解析】解：首先，正方形ABCD的边长为10cm，所以正方形的面积为。 正方形ABCD的一半面积（即）减去两倍四边形EFGH的面积（即），得到涂色部分的面积为。 故答案为：B 【分析】本题考查了几何图形的面积计算，尤其是通过将几何问题简化为更基本的图形（如三角形、正方形）来解决问题的能力。题目给出的信息包括一个正方形和四边形的面积，要求求解涂色部分的面积。关键在于理解正方形与四边形之间的关系，特别是通过三角形面积相等的原理来解决问题。 二、判断题 9．求组合图形的面积，就是求几个简单图形的面积和。（　　） 【答案】正确 【解析】解：求组合图形的面积，就是求几个简单图形的面积和，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】由几个简单的图形组合在一起就是组合图形，求组合图形的面积，就是求几个简单图形的面积和。 10．任何一个梯形都可以分成两个等高的三角形。（　　） 【答案】正确 【解析】根据梯形的定义可知，有一组对边平行的四边形叫平行四边形。因为当梯形分成两个三角形时是以梯形的上底和下底为三角形的一条底边，又因为梯形的上下底是一组平行线，所以它们之间的距离是相等的，所以任何一个梯形都可以分成两个等高的三角形的说法是正确的。 故答案为：正确。 【分析】根据梯形的定义可知，有一组对边平行的四边形叫平行四边形；因为当梯形分成两个三角形时是以梯形的上底和下底为三角形的一条底边，又因为梯形的上下底是一组平行线，所以它们之间的距离是相等的，由此判断即可。 11．在梯形 中，阴影①的面积与阴影②的面积相等。（　　） 【答案】正确 【解析】解：图中阴影①的面积与阴影②的面积相等。 故答案为：正确。 【分析】图中阴影①和下面白色三角形与阴影②和下面白色三角形等底等高，所以它们的面积相等，都去掉下面白色三角形，剩下的面积也相等，所以阴影①的面积与阴影②的面积相等。 12．如下图，大正方形的边长是2厘米，小正方形的边长是1厘米，则阴影部分的面积是2平方厘米。（ ） 【答案】正确 【解析】2×2+1×1-（2+1）×2÷2=4+1-3=2（平方厘米），本题对. 故答案为：正确. 【分析】阴影面积=大正方形面积-小正方形面积-空白三角形面积，据此解答. 13．用8个大小一样的正方形无论拼成什么图形，它们的面积都相等。（　　） 【答案】正确 【解析】解：用8个大小一样的正方形无论拼成什么图形，它们的面积都相等。 故答案为：正确。 【分析】用8个大小一样的正方形无论拼成什么图形，都是这8个正方形的面积，所以它们的面积都相等。 14．面积相等的图形，形状一定相同．（　　） 【答案】错误 【解析】解：面积相等的图形，形状不一定相同。 故答案为：错误。 【分析】例如平行四边形的面积=2×8=16平方米，三角形的面积=4×8÷2=16平方米，它们的面积相等，但是它们的形状不同。 15． 左图中，A图与B图的周长不相等，面积也不相等。（　　） 【答案】错误 【解析】A图与B图的周长相等，面积不相等，原题说法错误. 故答案为：错误. 【分析】根据题意，A图的周长包括一条长和一条宽的长度之和及中间曲线的长度，B图的周长也包括一条长和一条宽的长度之和及中间曲线的长度，长方形的对边相等，所以周长相等，图形B的面积大于图形A的面积，据此解答. 16．任何两个三角形都可以拼成一个四边形。（　　） 【答案】错误 【解析】如图所示， 上面的两个边长不等的等腰三角形只能组成五边形，不能组成一个四边形． 故答案为：错误。 【分析】三条边都不等，角不互补的三角形是不可能组成一个四边形的，据此判断。 三、填空题 17．下图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，其中几个三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是　 　平方厘米。 【答案】4 【解析】如图，设AC与DE相交于点F， 连接AE。 平行四边形ABED的面积：16+8=24(平方厘米) 三角形ADE与平行四边形ABED等底等高，则三角形ADE的面积是： 24÷2=12(平方厘米) 三角形ADC和三角形ADE等底等高，则三角形ADC的面积是12平方厘米； 那么三角形CDF的面积：12-8=4(平方厘米) 所以，阴影部分的面积是4平方厘米。 故答案为：4. 【分析】设AC与DE相交于点F，连接AE。先求出平行四边形ABED的面积，观察图形可知，三角形ADE与平行四边形ABED等底等高，得出三角形ADE的面积是平行四边形面积的一半；从图中可知，三角形ADC和三角形ADE等底等高，则三角形ADC的面积等于三角形ADE的面积，再减去三角形ADF的面积，即是阴影部分的面积. 18．如下所示，在直角三角形ABC里面裁剪一个正方形CDEF，剩下两个三角形，已知AE=3cm，BE=4cm，则图中阴影部分的面积为　 　。 【答案】6 cm2 【解析】解：如下图，三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，与三角形EFB组成一个直角三角形，两直角边分别是4厘米、3厘米， 其面积是： ×4×3=6（平方厘米） 故答案为：6 cm2 【分析】题目要求在直角三角形ABC中裁剪一个正方形CDEF后，求阴影部分的面积。已知AE=3cm，BE=4cm。通过几何变换（如旋转）可将阴影部分的面积转化为已知直角三角形的面积，从而简化计算。 19．两个同样大的正方形，如果把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上使它们部分重叠（如图），已知正方形的边长是5厘米，则重叠部分的面积是　 　平方厘米。 【答案】6.25 【解析】解：5×5÷4 =25÷4 ＝6.25（平方厘米） 重叠部分的面积是6.25平方厘米。 故答案为：6.25。 【分析】通过割补法，可以知道重叠部分的面积是正方形面积的，所以，正方形的边长×边长÷4=重叠部分的面积，据此可解。 20．奇思用电脑绘制了一个组合图形（如图所示），在边长为20cm的正方形中画一个最大的半圆，请问阴影部分面积是　 　cm2，周长是　 　cm。 【答案】243；91.4 【解析】解：20÷2＝10（cm） = ＝400﹣157 ＝243（cm2） ＝60+31.4 ＝91.4（cm） 答：阴影部分面积是243cm2，周长是91.4cm。 故答案为：243；91.4 【分析】根据图形可知，阴影部分面积=边长为20厘米的正方形-半个半径为（20÷2）厘米的圆，代入数据求出阴影部分的面积；阴影部分的周长=3条正方形的边长+半个半径为（20÷2）的周长，代入数据即可求解。 21．如图，每个小方格的面积是1平方厘米，方格图中所绘图案的面积是　 　平方厘米。 【答案】18 【解析】解：（3+5）×4÷2-3×2÷2+5×2÷2 =16-3+5 =18（平方厘米） 故答案为：18。 【分析】如图，，图形的面积=梯形的面积-右边三角形的面积+左边三角形的面积，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，三角形的面积=底×高÷2，据此解答。 22．如图，正方形ABCD 的边长是8厘米，正方形 BEFG 的边长是6厘米，阴影部分的面积是　 　平方厘米。 【答案】18 【解析】解：8×8+6×6=100（平方厘米） （8+6）×8÷2+6×6÷2+8×（8-6）÷2 =56+18+8 =82（平方厘米） 100-82=18（平方厘米） 故答案为：18。 【分析】阴影部分的面积=2个正方形的面积之和-3个空白三角形的面积，正方形的面积=边长×边长，三角形的面积=底×高÷2，据此解答。 23．如图中正六边形的面积为24，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影部分的面积是　 　。 【答案】5 【解析】解： 在格点图中，每个小三角形的面积是，可以数出阴影外面的部分19，那么阴影部分的面积是。 故答案为：5 【分析】将正六边形分割成24个小三角形，由正六边形面积得出每个小三角形面积为1， 数出阴影外小三角形个数为19个，算出其面积为19 ，用正六边形面积减去阴影外面积，得到阴影部分面积为5 24．有一个边长为9 千米的正方形林场，为了让树木更好地成长，在林场的四个角各取一块正方形区域种植矮植株植物，中间种植高植株植物，如图所示。该林场种植高植株植物的面积是　 　公顷，矮植株植物的面积是　 　公顷。 【答案】4500；3600 【解析】解：3×9=27（平方千米），（9-3）×3=18（平方千米），27+18=45（平方千米）=4500（公顷），所以该林场种植高植株植物的面积是4500公顷；9×9=81（平方千米），81-45=36（平方千米）=3600（公顷），所以矮植株植物的面积是3600公顷。 故答案为：4500；3600。 【分析】从图中可以看出，该林场种植高植株植物的面积=阴影部分的面积=横着的面积+上下两个部分的面积之和，其中横着的面积=正方形林场的边长×阴影部分的宽，上下两个部分的面积之和=（正方形林场的边长-阴影部分的宽）×阴影部分的宽；正方形的面积=边长×边长，所以矮植株植物的面积=正方形的面积-高植株植物的面积。 25．七巧板由《周髀算经》中正方形的分割术演变而成，如图，将一副七巧板拼摆成天鹅，涂色部分的天鹅头颈面积为3cm2，则这副七巧板的边长为　 　cm。 【答案】4 【解析】解：设这副七巧板的边长为a厘米，则它的总面积是a2平方厘米，假设涂色部分是由三个小三角形拼成的，则每个面积是平方厘米。 3×=3 =1 a2=16 a=4 故答案为：4。 【分析】 本题需要根据七巧板中涂色部分的面积推导原正方形的边长。七巧板由边长为a的正方形分割而成，各块面积与边长相关。涂色部分（天鹅头颈）的面积为3cm2 ，需确定该部分对应七巧板中的哪几块，并通过面积关系建立方程求解a 。 26．如图，平行四边形ABCD的面积是60平方厘米，梯形EBCD的下底EB的长度是三角形ADE的底AE的1.5倍，阴影部分的面积是　 　平方厘米。 【答案】12 【解析】解：EB=1.5AE CD=(1+1.5)AE=2.5AE 60÷（2.5+1.5+1） =60÷5 =12（平方厘米） 故答案为：12。 【分析】阴影部分的面积=AE×高÷2，梯形EBCD的的面积=（CD+EB）×高÷2，由于EB=1.5AE，则CD=(1+1.5)AE=2.5AE，且三角形和梯形的高是一样的，所以可以将三角形的面积看作1份，而梯形的面积为（2.5+1.5）份，平行四边形的面积总共为（1+2.5+1.5）份，又已知平行四边形ABCD的面积，用平行四边形的面积除以总份数，求出每一份的面积也就是阴影部分三角形的面积。 四、解决问题 27．周末，李峰和爸妈到湿地公园玩。 （1）他们从家坐出租车到湿地公园，出租车共行驶了6.2千米。他们需要付多少元车费？ 出租车收费标准 里程 3千米及以内 超过3千米的部分 收费 10元 l.5元/千米 不足1千米的部分按照1千米计算 （2）他们发现湿地公园内有一个设施正在翻新，工人要给这个设施的一面墙刷油漆（如图），刷油漆的面积是多少平方米？ 【答案】（1）6.2千米≈7千米 （7－3）×1.5＋10 ＝4×1.5＋10 ＝6＋10 ＝16（元） 答：他们需要付16元车费。 （2）2.5×1.8÷2＋2.5×1.5 ＝4.5÷2＋3.75 ＝2.25＋3.75 ＝6（平方米） 答：刷油漆的面积是6平方米。 【解析】【分析】（1）根据题意我们可以知道：6.2千米超过了3千米，把6.2千米看作7千米，用7千米-3千米，先计算出超过3千米的千米数，再用超过3千米的千米数×超过3千米每千米的收费1.5元，就可以计算出超过3千米应付的车费，再加上3千米以内的收费10元即可作答； （2）通过观察我们可以发现该设施是由一个底为2.5米、高为1.8米的三角形和一个长为2.5米、宽为1.5米的长方形组合而成的，因此三角形的面积加上长方形的面积就是该设施的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，代入数值计算即可。 28．随着科学技术的发展进步，城市建设也融入了许多先进、智能的元素。郑州市地铁在部分站点设置了投影导向，能更加醒目地向大家传递信息。请根据图中的数据算一算，B出口的投影导向图的面积是多少？ 【答案】解：10×9=90(平方分米) 16×5÷2 =80÷2 =40(平方分米) 90+40=130(平方分米) 答：B出口的投影导向图的面积是130平方分米。 【解析】【分析】看图可知，投影导向图可以分成一个长方形和一个三角形，根据长方形的面积=长×宽，三角形的面积=(底×高)÷2，分别求出其面积，两者面积加起来即可求出投影导向图的面积。 29．一块长方形的草坪(见图中阴影部分)，长是宽的倍，它的四周围的总面积是平方米的米宽的小路，求草坪的总面积是多少平方米？ 【答案】解：34-1×1×4=30（平方米） 30÷（2+2×2）=5（平方米） 5÷1=5（米） 5×2=10（米） 10×5=50（平方米） 答：草坪的面积为50平方米。 【解析】【分析】从整个图形减去四个角上边长1米的正方形，那么剩下的四个宽是1米，又因为长是宽的2倍，即可求出原来长方形的宽，再求出长，即可求出草坪的面积。 30．实验学校“我是种菜小能手”劳动基地菜园的形状如图。 （1）这块菜园的面积是多少平方米？ （2）如果每棵白菜占地约0.2平方米，那么这块菜园可以收多少棵白菜？ 【答案】解：（1） 56－36＝20（米） （22＋34）×20÷2＋36×22 ＝56×20÷2＋36×22 ＝1120÷2＋792 ＝560＋792 ＝1352（平方米） 答：这块菜园的面积是1352平方米。 （2）1352÷0.2＝6760（棵） 答：这块菜园可以收6760棵白菜。 【解析】【分析】（1）此题主要考查了组合图形的面积计算，观察图可知，这块菜园可以分割为一个上底是22米、下底是34米、高是（56－36）米的梯形与长为36米、宽为22米的长方形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，然后将面积相加即可； （2）根据题意可知，用这块菜地的面积÷每棵白菜占地的面积=这块菜园可以收多少棵白菜，据此列式解答。 31．下图由边长分别为4厘米，8厘米，6厘米的三个正方形组成，阴影部分的面积是多少平方厘米？(请写出主要解答过程) 【答案】解：4×4+(8+6)×8÷2 =16+14×8÷2 =16+56 =72(cm2) 72-(4+8)×4÷2 =72-12×4÷2 =72-24 =48(cm2) 答：阴影部分的面积是48平方厘米。 【解析】【分析】如下图，阴影部分的面积=红色三角形的面积+边长4厘米正方形的面积-蓝色三角形的面积，三角形的面积=底×高÷2，正方形的面积=边长×边长。 32．从一块正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是平方米．问锯下的木条面积是多少平方米？ 【答案】解：根据题意，画出示意图（a），则剩下的木块为图（b），将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图（c） AB为长，AD为宽，AB-AD=，图（c）中心的小正方形FJLC的边长为，则大正方形AEHK的面积为： 所以AK长为． 即，长宽， 已知长宽，所以AB， 于是锯去部分的木条的面积为： (平方米) 答：锯下的木条面积是平方米。 【解析】【分析】根据题意，画出示意图（a），则剩下的木块为图（b），将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图（c） AB为长，AD为宽，有长与宽的差为，所以图（c）中心的小正方形边长为，由此可以算出大正方形AEHK的面积，进而求出AK长为．所以长宽，又因为长宽，所以AB，然后根据长方形的面积公式即可求解. 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09课 组合图形面积的巧算 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过观察和分析组合图形的构成特点，理解组合图形面积计算的"分割-转化"思想，能准确识别组合图形中的基本图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形），掌握组合图形面积巧算的基本方法。 （2）能灵活运用"分割法"和"添补法"将组合图形转化为已学过的基本图形，正确选择面积公式计算组合图形的面积，提高综合运用几何知识解决复杂问题的能力。 （3）经历"观察图形-分解转化-选择方法-计算验证"的解题过程，培养几何直观能力、空间想象能力和逻辑推理能力，初步形成"化繁为简"的数学思维方式。 （4）感受组合图形在生活中的广泛应用，体验用不同策略解决问题的乐趣，培养多角度思考问题的习惯和数学应用意识。 2.重难点 重点：掌握组合图形面积计算的"分割法"和"添补法"，能正确分解组合图形并计算面积。 难点：根据组合图形的特点选择最优转化方法，处理图形中隐含的底、高或边长条件，解决含重叠部分的组合图形面积问题。 模块二 预习引导 一、知识回顾 1.基本图形面积公式： 长方形：S=ab（a为长，b为宽） 正方形：S=a²（a为边长） 平行四边形：S=ah（a为底，h为高） 三角形：S=ah÷2（a为底，h为高） 梯形：S=（a+b）h÷2（a为上底，b为下底，h为高） 2.图形转化思想： 将未知图形转化为已知图形的"转化法"（如平行四边形转化为长方形，三角形转化为平行四边形等）。 二、组合图形的认识与构成 1.定义： 由两个或两个以上基本图形组合而成的不规则图形（如房屋侧面图、机器零件图、花坛平面图等）。 2.构成方式： 拼接型：基本图形无重叠地拼接在一起（如"工"字形由3个长方形组成） 重叠型：基本图形部分重叠（如两个三角形交叉重叠形成的图形） 嵌套型：一个图形包含另一个图形（如正方形内画一个最大的圆） 三、组合图形面积巧算方法 1.方法一：分割法（"化整为零"） 概念： 将组合图形分割成几个已学过的基本图形（如长方形、三角形、梯形等），分别计算各部分面积后求和。 步骤： 确定分割方案：根据图形特征，用虚线将组合图形分割成若干个基本图形（尽量使分割后的图形有已知数据或易求数据） 标注数据：在分割后的图形上标出已知的底、高、边长等数据（注意挖掘隐含条件，如公共边、等长线段） 分别计算：运用对应公式计算每个基本图形的面积 求和得总面积：将各部分面积相加 示例：计算"L"形图形面积（长10cm、宽8cm的长方形右上角剪去一个长4cm、宽3cm的小长方形） 分割方案：分割成一个大长方形和一个小长方形（或一个大长方形减去一个小长方形） 计算：S大=10×8=80cm²，S小=4×3=12cm²，组合图形面积=80-12=68cm² 方法二：添补法（"补全减空"） 概念：将组合图形补成一个完整的基本图形，用补全后的图形面积减去添补部分的面积。 步骤： 确定补全方案：将不规则图形补成规则图形（如长方形、梯形等） 计算补全后图形面积：用基本图形面积公式计算 计算添补部分面积：确定添补的图形形状并计算面积 求差得总面积：补全图形面积-添补部分面积 示例：计算梯形缺角图形面积（原梯形上底6cm、下底10cm、高5cm，右上角缺一个底2cm、高2cm的直角三角形） 补全方案：补成完整梯形 计算：S梯形=（6+10）×5÷2=40cm²，S添补三角形=2×2÷2=2cm²，组合图形面积=40-2=38cm² 四、典型应用实例分析 1.类型一：简单拼接型 实例：一个组合图形由一个三角形和一个平行四边形组成。三角形的底是8分米，高是5分米；平行四边形的底是8分米，高是6分米。求组合图形的面积。 分析过程： 分割为三角形和平行四边形→S三角形=8×5÷2=20dm²→S平行四边形=8×6=48dm²→组合图形面积=20+48=68dm² 答：组合图形的面积是68平方分米。 2.类型二：添补计算型 实例：一块菜地的形状如图（描述：一个长方形缺了一个角，长方形长15米、宽10米，缺口是一个底3米、高4米的直角三角形），求这块菜地的面积。 分析过程： 补全为长方形→S长方形=15×10=150m²→S缺口三角形=3×4÷2=6m²→菜地面积=150-6=144m² 答：这块菜地的面积是144平方米。 3.类型三：含重叠部分型 实例：两个完全相同的直角三角形（底6cm，高4cm），将它们的直角顶点重合拼成一个新图形，重叠部分是一个底2cm、高1cm的小三角形。求拼成的组合图形面积。 分析过程： 先求两个三角形总面积：2×（6×4÷2）=24cm²→减去重叠部分面积：2×1÷2=1cm²→组合图形面积=24-1=23cm² 答：拼成的组合图形面积是23平方厘米。 4.类型四：综合实际应用 实例：一个指示牌的形状是由一个正方形和一个三角形组成的组合图形。正方形边长50厘米，三角形的底等于正方形的边长，高是30厘米。如果每平方分米指示牌需要用油漆0.2千克，刷这个指示牌共需要油漆多少千克？ 分析过程： 先算正方形面积：50×50=2500cm²→三角形面积：50×30÷2=750cm²→组合图形面积=2500+750=3250cm²=32.5dm²→油漆用量：32.5×0.2=6.5千克 答：刷这个指示牌共需要油漆6.5千克。 五、解题技巧总结 1.优选分割方案： 分割时尽量使分出的图形种类少、数量少，且每个图形都有可直接使用的数据 2.挖掘隐含条件： 注意图形中的公共边、对边相等、邻边之和等隐含数据（如"楼梯"形图形的总高度=各台阶高度之和） 3.单位统一原则： 计算前确保所有长度单位统一（如厘米、分米、米），面积单位也要对应（cm²、dm²、m²） 4.检验计算结果： 反向检验：用不同的分割或添补方法计算同一图形，验证结果是否一致 合理性检验：结合生活实际判断面积大小是否合理（如房间面积不可能为几平方厘米） 5.特殊图形巧算： 对称图形：利用对称性只算一半面积再乘2 等积变形：通过平移、旋转将不规则部分转化为规则图形 六、预习小任务 1.动手操作： (1)找一找生活中的组合图形（如房屋侧面、黑板报图案、地砖纹样），尝试用直尺测量必要数据，画出图形并标注尺寸 (2）准备一张不规则图形纸片，尝试用"分割法"和"添补法"两种方法计算其面积，比较哪种方法更简便 2.填空： （1）计算组合图形面积常用的方法有（ ）和（ ），其中（ ）是将图形分成几个基本图形再求和，（ ）是补成完整图形再减去添补部分。 （2）一个组合图形由一个上底3cm、下底5cm、高2cm的梯形和一个底4cm、高3cm的三角形组成，它的总面积是（ ）cm²。 （3）一个长方形长12m，宽8m，在内部挖去一个边长5m的正方形，剩余部分面积是（ ）m²。 3.判断对错： （1）任何组合图形都只能用一种方法计算面积（ ） （2）用分割法计算组合图形面积时，分割的图形越多越好（ ） （3）两个组合图形的形状不同，面积一定不相等（ ） 4.解决问题： （1）学校要在操场旁建一个"U"形花坛（如图），外口长20米，宽15米，内口长12米，宽8米。这个花坛的占地面积是多少平方米？ （2）一块梯形的广告牌，上底8米，下底12米，高4米。广告牌的左上角有一个边长2米的正方形灯箱。现在要给广告牌的非灯箱部分刷油漆，每平方米需要油漆0.5千克，共需要多少千克油漆？ 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面方格图中阴影部分的面积是(　　)平方厘米。(每个小方格的边长为1cm) A．13 B．12 C．10 D．17 2．如图，每个小方格的边长为1厘米，方格图中所绘图形的面积是(　　)平方厘米。 A．17 B．25 C．26 D．34 3．如图，在由两个正方形拼成的图形上画三角形(阴影部分)，阴影部分的面积与其他三个不相等的是(　　)。 A． B． C． D． 4．如图，用8个完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形，每个小长方形的面积是（　　）cm2。 A．96 B．75 C．50 D．64 5．甲、乙两幅图中阴影部分相比较，下面的说法正确的是(　　)。 A．面积相等，周长相等 B．面积不相等，周长不相等 C．面积不相等，周长相等 D．面积相等，周长不相等 6．图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。连接BE交AD于P，再连接PC。则图中阴影部分的面积是(　　)平方厘米。 A．6.36 B．3.18 C．2.12 D．1.59 7．下图中，涂色部分面积最大的是（ ） ​​ A．图1 B．图2 C．图3 8． 如图，已知正方形ABCD 的边长为 10 cm，四边形 EFGH 的面积是 9 cm2，则涂色部分的面积是(　　)cm2。 A．28 B．32 C．41 D．50 二、判断题 9．求组合图形的面积，就是求几个简单图形的面积和。（　　） 10．任何一个梯形都可以分成两个等高的三角形。（　　） 11．在梯形 中，阴影①的面积与阴影②的面积相等。（　　） 12．如下图，大正方形的边长是2厘米，小正方形的边长是1厘米，则阴影部分的面积是2平方厘米。（ ） 13．用8个大小一样的正方形无论拼成什么图形，它们的面积都相等。（　　） 14．面积相等的图形，形状一定相同．（　　） 15． 左图中，A图与B图的周长不相等，面积也不相等。（　　） 16．任何两个三角形都可以拼成一个四边形。（　　） 三、填空题 17．下图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，其中几个三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是　 　平方厘米。 18．如下所示，在直角三角形ABC里面裁剪一个正方形CDEF，剩下两个三角形，已知AE=3cm，BE=4cm，则图中阴影部分的面积为　 　。 19．两个同样大的正方形，如果把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上使它们部分重叠（如图），已知正方形的边长是5厘米，则重叠部分的面积是　 　平方厘米。 20．奇思用电脑绘制了一个组合图形（如图所示），在边长为20cm的正方形中画一个最大的半圆，请问阴影部分面积是　 　cm2，周长是　 　cm。 21．如图，每个小方格的面积是1平方厘米，方格图中所绘图案的面积是　 　平方厘米。 22．如图，正方形ABCD 的边长是8厘米，正方形 BEFG 的边长是6厘米，阴影部分的面积是　 　平方厘米。 23．如图中正六边形的面积为24，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影部分的面积是　 　。 24．有一个边长为9 千米的正方形林场，为了让树木更好地成长，在林场的四个角各取一块正方形区域种植矮植株植物，中间种植高植株植物，如图所示。该林场种植高植株植物的面积是　 　公顷，矮植株植物的面积是　 　公顷。 25．七巧板由《周髀算经》中正方形的分割术演变而成，如图，将一副七巧板拼摆成天鹅，涂色部分的天鹅头颈面积为3cm2，则这副七巧板的边长为　 　cm。 26．如图，平行四边形ABCD的面积是60平方厘米，梯形EBCD的下底EB的长度是三角形ADE的底AE的1.5倍，阴影部分的面积是　 　平方厘米。 四、解决问题 27．周末，李峰和爸妈到湿地公园玩。 （1）他们从家坐出租车到湿地公园，出租车共行驶了6.2千米。他们需要付多少元车费？ 出租车收费标准 里程 3千米及以内 超过3千米的部分 收费 10元 l.5元/千米 不足1千米的部分按照1千米计算 （2）他们发现湿地公园内有一个设施正在翻新，工人要给这个设施的一面墙刷油漆（如图），刷油漆的面积是多少平方米？ 28．随着科学技术的发展进步，城市建设也融入了许多先进、智能的元素。郑州市地铁在部分站点设置了投影导向，能更加醒目地向大家传递信息。请根据图中的数据算一算，B出口的投影导向图的面积是多少？ 29．一块长方形的草坪(见图中阴影部分)，长是宽的倍，它的四周围的总面积是平方米的米宽的小路，求草坪的总面积是多少平方米？ 30．实验学校“我是种菜小能手”劳动基地菜园的形状如图。 （1）这块菜园的面积是多少平方米？ （2）如果每棵白菜占地约0.2平方米，那么这块菜园可以收多少棵白菜？ 31．下图由边长分别为4厘米，8厘米，6厘米的三个正方形组成，阴影部分的面积是多少平方厘米？(请写出主要解答过程) 32．从一块正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是平方米．问锯下的木条面积是多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $