专题05 期末复习之一元一次方程含参问题（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义以“一元一次方程含参问题”为核心，通过考情分析表格系统梳理5大考点，结合错题警示和题型分层（基础、提升、培优）构建知识脉络，突出解的个数判定、与几何综合等重难点，体现数学眼光中的抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如同类项结合求参数培养运算能力，提升题型如线段中点问题发展推理意识，培优题型如绝对值综合题强化模型意识。例题与变式题配套避坑攻略，助力不同层次学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题05 一元一次方程含参问题 期末考点 复习目标 考察形式 1.含参方程解的个数判定(与) 1.掌握型方程解的个数判定方法； 2.区分唯一解、无解、无数解的条件 1.基础易错点，多为选择/填空(1题)； 2.常结合方程化简考察，难度中等 2.含参方程的解满足特定条件(数值、正负、整数等) 1.能通过方程表示解，结合条件求参数； 2.提升分类讨论意识 1.基础题(选择/填空)：解为具体值、正负性； 2.提升题(解答)：整数解、解的关系，6-8分 3.含参方程与整式/几何结合 1.结合同类项、线段/角性质列方程； 2.建立数学与几何的关联 1.提升题(解答)：与线段中点、角平分线结合； 2.情境化命题，偶见创新题 4.含参跨学科/情境化应用 1.跨学科(物理/生物)建模； 2.提取生活/科技情境中的数量关系 1.培优题(解答压轴)：4-6分； 2.情境新颖，突出素养导向 5.含参方程与绝对值综合 1.利用绝对值非负性分析解的存在性； 2.综合运用方程与绝对值知识 1.培优题(选择/解答压轴)； 2.难度较高，区分度强 【题型1】含参方程解的个数判定 1.易错点总结 忽略未知数系数的特殊情况，直接按求解； 混淆“无解”与“无数解”的条件(中，时的分类判断错误)。 2.避坑攻略 先将方程化简为的标准形式，明确未知数系数和常数项； 严格分类讨论：①方程有唯一解；②且方程有无数解；③且方程无解。 【例题1】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程无解，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；方程无解的条件是化简后x的系数为零且常数项不为零，进而问题可求解． 【详解】解：原方程为 两边同乘12得：， 即， 化简得， 移项得， 由于方程无解，故且， 解得； 故答案为：． 【变式题1-1】.（24-25七年级上·全国·随堂练习）对于方程，王强同学是这样解的： 方程两边同时加上3，得． 方程两边同时除以x，得． 所以此方程无解． 王强的解题过程是否正确？如果正确，指出每一步的理由；如果不正确，请加以改正． 【答案】王强的解题过程不正确．改正见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤判断并计算即可得解，熟练掌握计算过程是解此题的关键． 【详解】解：王强的解题过程不正确． 改正：， 方程的两边都减去，得， 所以． 方程的两边都加上3，得， 即． 【变式题1-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 将方程化为标准形式，根据无解的条件且，求解的值． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 合并同类项得， ∴方程化为标准形式，其中，． ∵方程无解需满足且， ∴，解得， 此时，满足条件． ∴的值为3． 故选：A 【变式题1-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解是，其中a，m，k为常数．是否存在m的值使得关于y的方程无解？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在m的值使得关于y的方程无解，m的值为 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 整理关于y的方程，得，若无解，则；解关于x的方程，得，根据则和即可求出m的值． 【详解】解：将关于y的方程整理， 得， ∵关于y的方程无解， ∴， ∴， 解方程， 得x， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在m的值使得关于y的方程无解，m的值为． 【基础题型】 【题型2】含参方程与同类项结合求参数 1.期末考点总结 考察“同类项定义”(相同字母的指数相同)与“一元一次方程概念”(未知数次数为1)； 常以“方程是一元一次方程”为情境命题。 2.解题攻略 先化简方程，合并同类项，明确未知数及其次数； 根据“一元一次方程”条件：①未知数最高次数为1；②未知数系数，列方程； 求解参数后，验证系数是否不为0(排除无效解)。 【例题2】.（25-26七年级上·河南周口·月考）若与是同类项，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是根据同类项的含义求解代数式的值，根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，从而列出方程求解 m 和 n 的值，进一步可求解． 【详解】解：因为 与 是同类项， 所以的指数相等，即 ， 解得：； 而的指数相等，即 ， 解得：． 因此 ． 故答案为： 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东潍坊·期中）已知多项式的次数是5，单项式与多项式中的四次项是同类项，则的值是（   ） A．7 B．4 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，以及根据同类项的定义求字母的值． 根据多项式次数定义，最高次项次数为5，可求m；根据同类项定义，相同字母指数相同，可求n，然后代入计算即可． 【详解】解：∵多项式次数为5，且项的次数最高， ∴， ∴． ∵单项式与多项式中的四次项是同类项， ∴的指数相同，即， ∴． ∴． 故选A． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）如图是某手机的摄像头的大致示意图，在长为，宽为的长方形中，三个半径为的大圆是摄像头，右侧的小圆为照明灯且面积是一个大圆面积的． (1)用含、、的代数式表示阴影部分的面积； (2)若关于、的单项式与是同类项，，求阴影部分的面积．（取3） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，同类项，正确列出代数式，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． （1）用长方形的面积减去4个圆的面积，列出代数式即可； （2）根据同类项的定义，求出、、的值，代入（1）中的代数式求值即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为． （2）解：∵单项式与是同类项， ∴，，． 阴影部分的面积为． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·期中）若单项式与是同类项，化简求值： 【答案】， 【分析】本题考查了同类项的定义，整式的化简求值，理解同类项的定义是解题的关键．先根据同类项定义求出和的值，再化简整式，最后代入求值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ， ， ， 将代入得： 原式， ， ． 【提升题型】 【题型3】含参方程的解为具体值或特定关系求参数 1.期末考点总结 核心考察“方程的解的定义”； 覆盖解为具体值、与已知数成相反数/倍数关系，期末高频。 2.解题攻略 核心步骤：①用参数分别表示两个方程的解； ②根据两解关系建立参数方程； ③求解参数； 注意：避免化简解时计算错误，验证原方程系数。 【例题3】.（25-26七年级上·安徽淮北·期中）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同解方程，先解方程 得到 的值，再代入方程 求解 ． 【详解】∵ 方程 ， ∴ 展开得 ， ∴ 移项得 ， ∴ ， ∵ 两方程解相同， ∴ 将 代入 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故 的值为 ， 故选 C． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·河南驻马店·月考）已知关于的方程与的解互为相反数． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程，绝对值和平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先将第一个方程解出之后，根据两方程的解互为相反数即得到第二个方程的解，代入即可求解； （2）由绝对值和平方的非负性求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：解方程 ， 由条件可知是关于的方程 的解， ， 解得； （2）解：， 即， ， ， 【变式题3-2】.（25-26七年级上·宁夏银川·月考）（1）如果关于x，y的多项式与多项式的差与x的取值无关，求的值； （2）若关于x的方程的解为整数，求所有满足条件的整数a的和． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题主要考查整式的加减运算及一元一次方程的解法，熟练掌握整式的加减运算及一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先得出两个多项式的差，然后再根据“取值与x无关”可进行求解； （2）先得出方程的解，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由题意得： ； ∵与x的取值无关， ∴， 解得， ∴； （2）解方程得：， ∵方程的解为整数， ∴或或或， 即或1或3或7， ∴它们的和为． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西榆林·月考）已知关于的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于的方程的解比方程的解小2，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解与代数式求值，解题关键是通过代入已知解或求解方程，利用等式关系计算未知量； （1）把代入原方程，求出的值，再代入代数式计算． （2）分别解两个方程，用含的式子表示解，根据“解的大小关系”列等式，求出． 【详解】（1）解：将代入方程中， 得：， 解得：， 将代入中，得：． （2）解方程，得：， 解方程，得：， 根据题意可知：， 解得：． 【题型4】含参方程与线段长度结合求参数 1.期末考点总结 考察“线段中点/分点性质”与“含参方程”的综合； 情境化命题(如线段折叠、动点分线段)，突出几何与代数融合。 2.解题攻略 画线段示意图，标注已知长度和参数表示的线段(如设线段)； 利用“中点线段相等”“分点比例关系”列含参方程； 解方程后检验参数是否使线段长度为正(舍去负解，符合几何实际)。 【例题4】.（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上有两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点，表示的数分别是，4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的2倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿，两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折4次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】(1)2， (2)0或 (3) 【分析】本题考查了数轴上两点距离及一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质． （1）设折痕与数轴的交点表示的数为，根据折痕与数轴的交点是与5对应点的中点可得方程，解方程即可求得空一，进而按照（1）的折叠方式，中点为2，两点之间的距离为11，则左边数到中点的距离为5.5个单位，可得方程，解方程即可求得空二； （2）要分点在之间和点左侧两种情况解答； （3）连续对折4次后，每两条相邻折痕间的距离为，即可解得答案． 【详解】（1）解：设折痕与数轴的交点表示的数为， 则，解得， 设左边点表示的数为， 则，解得， 故答案为：2，； （2）解：设点表示的数为， ，点离点较近，只有两种情况： ①点在线段上时，， 解得：， ②当点在点的左边数轴上时，， 解得：， 故点表示的数为：0或； （3）解：对折4次后，每两条相邻折痕间的距离为， 最左端的折痕与数轴的交点表示的数为． 【变式题4-2】.（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）在综合实践课上，有如图①所示的长方形白纸条（单位：厘米）若干张；小聪用m张这样的白纸条，按图②所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为6厘米；小明用n张同样的白纸条，按图③所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为4厘米． (1)当时，求的长． (2)请用n的代数式表示的长． (3)现有图①所示长方形白纸条共100张，你能找到合适的分配方案把白纸条分给小聪和小明，使他俩按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗？若能，请通过计算给出分配方案，若不能，请说明理由．（注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张） 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意计算求解即可． （2）根据题意计算求解即可． （3）设小聪应分配到x张长方形白纸条，则小明应分配到 张长方形白纸条，根据等量关系，列出关于x的一元一次方程，解出方程即是所求． 【详解】（1）解：（厘米）； （2）解：根据题意得： 厘米． （3）解：不能，理由如下： 设小聪应分配到x张长方形白纸条，则小明应分配到张长方形白纸条，根据题意得： ， 解得：， ∵图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张， ∴没有合适的分配方案． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·重庆·期中）如图，点C是线段上一点，且，点M和点N分别是线段和线段中点 (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为6 (2)线段的长为28 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的中点，理解题意是解题的关键． （1）根据可得，由的长度可求得的长，再由线段中点的定义可求得和的长，进而即可求解； （2）设，则，根据题意得，再根据可得，即可求出，进而可求出、的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴ ， ∵N是中点， ∴， ∵M是中点， ∴． ∴ ； （2）解：设， ∵N是中点， ∴， 根据题意得，， ∴ ， ∵， ∴ 解得， ∴， 由（1）得， ， ∵M是中点， ∴， ∴ ． 【题型5】含参方程与角度计算结合求参数 1.期末考点总结 考察“余角/补角定义”“角平分线性质”与含参方程的综合； 常以角度折叠、和差问题为情境。 2.解题攻略 用参数表示相关角(如角平分线分角为2倍关系，设，则)； 根据余角(和为)、补角(和为)或折叠性质列方程； 验证角度为正且符合实际(如小于，无负角度)。 【例题5】.（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，设这个角的度数为，根据两角互余，两角互补的性质分别表示这个角的余角和补角，根据题意列方程求解即可，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得， 答：这个角的度数为． 【变式题5-1】.（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知一个锐角的补角比它的余角的4倍小，求这个锐角的余角和补角的度数． 【答案】这个角的余角的度数为，补角的度数为． 【分析】本题考查了余角与补角，解一元一次方程，根据余角的和等于，补角的和等于，正确列方程求解是解题的关键． 设这个锐角为x度，表示出余角，补角，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个锐角为x度，则它的余角为度，补角为度，由题意得： ， 解得：． 所以，这个角的余角的度数为，补角的度数为． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据相生角的定义求得，再根据计算即可； （2）先根据旋转的性质得，再分别求出和，再根据相生角的定义即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当边在的上方时，设；当边在的下方时，设；分别根据相生角的定义的角的和差列方程计算． 【详解】（1）解：∵是的相生角，， ∴， ∵， ∴； （2）解：不是，理由如下： ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴不是的相生角； （3）解：分以下两种情况讨论： 当边在的上方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 当边在的下方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，旋转过程中是的相生角时旋转角的度数为或． 【培优题型】 【题型6】含参方程与绝对值综合问题 1.期末考点总结 考察“绝对值的非负性”与“方程解的存在性”； 综合度高，需结合绝对值性质和含参方程解法。 2.解题攻略 利用“”转化方程：如，分和两种情况； 分别解含参方程，结合“唯一解”“无解”条件列不等式； 求参数范围时，兼顾绝对值非负性和方程系数不为0。 【例题6】.（25-26七年级上·广东揭阳·月考）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解绝对值方程． （1）仿照题干作答即可； （2）对于形如的方程，等价于或，因此，解方程，只需解与即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是__________； (2)如果，那么的值是__________； (3)满足整数有__________个． 【答案】(1) (2)8或 (3)6 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解绝对值方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）根据题意可得表示的是数轴上表示数a的点到表示数3的点的距离为5，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵表示的是数轴上表示数a的点到原点的距离为5， ∴a的值为； （2）解：∵表示的是数轴上表示数a的点到表示数3的点的距离为5， ∴或； （3）解：由题意得，表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点的距离，表示的是数轴上表示数a的点到表示数3的点的距离， ∵表示数的点到表示数3的点的距离为， ∴当时，， ∴满足题意的整数a的值有，共6个． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，已知数轴上两点A、B．点C为数轴上的动点，其表示的数为x． (1)数轴上点A与点B之间的距离是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C表示的数x的值为______； (2)点D也是数轴上的一个动点，已知点C的运动速度为每秒2个单位长度，动点C、D同时分别从点A、B出发开始运动． ①若点C、D相向而行，在表示数的点相遇，求点D的运动速度； ②若点D的运动速度是每秒4个单位长度，C、D两点同时向左匀速运动，则当C、D两点之间的距离为2时，两点运动了多长时间？ (3)若动点C从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，第二次向右运动2个单位长度，第三次向左运动3个单位长度，…，按此规律不断在数轴上做往复运动，当点C运动了n次时，直接用含n的代数式表示出点C所表示的有理数． 【答案】(1)4，1 (2)①点D的运动速度3个单位/秒；②两点运动了1秒或3秒的时间； (3)当n是奇数时，C表示的有理数是；当n是偶数时，C表示的有理数是． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，数轴上的动点问题， （1）根据两点之间的距离求出，再根据题意可得，即可得出答案； （2）①先求出C点从A点运动到的时间，设D速度为v，时D表示的数为，进而得出方程，求出解；②时，C表示的数为，D表示的数为，即可得出方程，再求出解； （3）根据规律可得：每运动两次，向右移动一个单位长度，此时点C表示的有理数为，再分两种情况：当n是偶数时，当n是奇数时讨论得出答案． 【详解】（1）解：数轴上点A与点B之间的距离是； 因为点C到点A，B的距离相等， 所以． 故答案为：4，1； （2）解：①设时，C点从A点运动到， 所以时C表示的数为， 故， 解得：， 设D速度为v，时D表示的数为， 则， 解得：个单位 答：点D的运动速度3个单位； ②根据题意，时，C表示的数为，D表示的数为， 当C、D两点之间的距离为2时， 则， 解得：或， 答：两点运动了或的时间； （3）解：动点C从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，第二次向右运动2个单位长度，第三次向左运动3个单位长度，第四次向右运动4个单位长度，，由此规律在数轴上运动，可得：每运动两次，向右移动一个单位长度，此时点C表示的有理数为， 当n是偶数时，表示点C向右移动个单位长度，所以C表示的有理数是． 当n是奇数时，表示点C向右移动个单位长度，同时又向左移动n个单位长度，此时，C表示的有理数是． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置（如图1所示），它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）． 如图3所示，在数轴的原点处放置了一台粒子加速器，点22处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹．带电粒子位于数轴上点，不带电粒子位于数轴上点．分别为对应点的值，满足为关于的三次三项式． (1)______，______； (2)两粒子在数轴上同时开始运动，从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．设为粒子的运动时间，为两粒子第一次相遇的时刻，分别为时刻时，在数轴上所对应的点． ①求的值． ②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值；如果会变化，请说明理由． (3)当与的距离为2时，求的值． 【答案】(1)10， (2)①；②的值不会发生变化，定值为54，理由见详解 (3)当为8或10或11或58或60时，与的距离为2 【分析】本题主要考查了动点问题、一元一次方程的应用、列代数式及多项式的定义等知识点，难点在于题目篇幅大，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据多项式的定义确定的值即可； （2）①根据追及问题列一元一次方程求解即可；②先根据分别得到表示的数为，表示的数为，进而表示出，，即可解答； （3）根据题意分情况表示出，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵为关于的三次三项式， ∴， ∴； 故答案为10，； （2）解：①由于不带电，所以经过加速器不变速，根据题意，得， 解得； ②不会发生变化，理由如下： 由①可知：，当两粒子第一次相遇时，此时点，表示的数为， ∴表示的数为，表示的数为， ∴，， ∴； （3）解：，表示的数为10，， 从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，表示的数为，经过到挡板，此时，被弹回后经过22秒到达点，当时，表示的数为，到达点时速度变为每秒5个单位长度的速度，当时，表示的数为， 从点以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴经过秒到达挡板， ∴当时，表示的数为，被弹回，即时，表示的数为， ①当时，， 解得：或； ②当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； ③当时，， 解得：（舍弃）； ④当时，， 解得：或； 综上，当为8或10或11或58或60时，与的距离为2． 【题型7】新定义含参一元一次方程问题（培优） 1.期末考点总结 考察新定义解读与含参方程转化； 涵盖新运算、新数对、新关联方程，解答题高频。 2.解题攻略 核心：解读新定义（如“和谐方程”“A@B=2A−B”），转化为含参等式； 步骤：①解已知方程或化简新运算；②结合条件列参数方程；③求解参数； 注意：不漏定义关键条件，验证参数使方程为一元一次（系数≠0）。 【例题7】.（25-26七年级上·全国·期中）已知b是最小的正整数，且a，b，c满足． (1)填空： ， ， ； (2)定义：在数轴上A，B两点之间的距离记作，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，点P在点A与点C之间运动时（即时），满足，求出x的值； (3)在（1），（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设后，B，C两点之间的距离记作．若的值始终保持不变，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题考查绝对值与平方的非负性，数轴上两点之间的距离，一元一次方程，整式的加减无关型，掌握知识点是解题的关键． （1）求出，，，即可解答； （2）分类讨论：①当点P在点A和点B之间时，②当点P在点B和点C之间时，逐个分析求解即可； （3）先求出，，，由的值不变，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴，， 解得， ∵b是最小的正整数， ∴， 则 故答案为：． （2）①当点P在点A和点B之间时， ， ， ； ②当点P在点B和点C之间时， ， ， 值的为或； （3）由题意知后，A，B，C对应的数分别为，，， ，， ， 的值不变， ， 【变式题7-1】.（25-26七年级上·重庆·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先求解方程，然后利用“和谐方程”的定义得到方程的解，将解代入方程即可求得的值； （2）根据“和谐方程”的定义可表示出另一个方程的解，再根据“和谐方程”的两个解的差为，列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 关于的方程与方程是“和谐方程”， 方程的解是， 把代入方程得：， ； （2）解：“和谐方程”的两个解的和为，其中方程的一个解为， 另一个方程的解为， 又“和谐方程”的两个解的差为， ，即， 或， 或． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山西吕梁·期中）对于两个整式A和B，我们定义一种新运算“@”：．例如：若，，则．根据以上定义，解答下列问题： (1)若，求． (2)若（其中k为常数），且的运算结果不含x的一次项，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及解一元一次方程， （1）根据新定义运算进行整式的加减运算求解即可； （2）根据新定义运算，以及整式加减运算进行化简，然后求解解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 因为运算结果不含x的一次项，则x的一次项系数为零，即， 解得 所以，k的值为． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏淮安·期中）定义：使等式的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为． (1)下列数对：①，②，③是“共生数对”的有______（填序号）； (2)若是“共生数对”，则______“共生数对”（填“是”或“不是”）； (3)若是“共生数对”，且关于x的方程的解为，求的值． 【答案】(1)②③ (2)是 (3) 【分析】本题考查有理数的运算、一元一次方程的解，理解题意是解答的关键． （1）根据题中定义判断即可； （2）根据题中定义求解即可； （3）根据定义得到，再根据方程的解满足方程得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①，∵，， ∴，故数对不是“共生数对”； ②，∵，， ∴，故数对是“共生数对”； ③，∵，， ∴，故数对是“共生数对”； 故答案为：②③； （2）解：∵是“共生数对”， ∴，则， ∴数对是“共生数对”， 故答案为：是； （3）解：∵是“共生数对”， ∴， ∵关于x的方程的解为， ∴，即， ∴， ∴． 【题型8】探究式含参问题(开放型) 1.期末考点总结 考察“开放思维”与“逻辑推理能力”； 无固定答案，需设计参数使方程满足特定性质(如有正整数解、无解)。 2.解题攻略 明确探究目标(如“求使方程有正整数解的值”)； 解含参方程得，根据目标列条件（且为整数且为整数）； 列举符合条件的值（如、、），验证并说明理由。 【例题8】.（24-25八年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组．首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数，得出a为整数，为正整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程去分母，得， ∴， ∵分式方程的解为正整数， ∴a为整数，且，即， ∵， ∴，， ∴所有满足条件的整数a的值的和为：． 故答案为：． 【变式题8-1】.（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先解原方程得到，根据原方程的解为正整数得到是正整数，则或或或，据此求出a的值即可得到答案． 【详解】解： 去括号得： 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的一元一次方程解为正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或或或， 故选：B． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·重庆·期中）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过解方程得到关于的表达式，再根据为正整数确定的取值． 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·北京昌平·期中）对于数轴上三个不同的点，，，给出如下定义：在线段，，中，若其中有两条线段相等，则称三点是“均衡点”． (1)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是3， 三点___________（填“是”或“不是”）“均衡点”； ②点表示的数是，且，，三点是“均衡点”，则___________； (2)点表示的数是，点表示的数是，线段（为正整数），线段，若，三点是“均衡点”，且关于的一元一次方程的解为整数，求的最小值． 【答案】(1)①不是；②或2或5； (2)n的最小值为． 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， （1）①根据两点之间的距离判断即可； ②分情况，讨论，，三点的位置，利用两点之间的距离列方程解答； （2）根据定义，分情况，根据三点的位置列方程解答． 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是3， ∴， ∵， ∴三点不是“均衡点”； 故答案为：不是； ②∵点表示的数是，且，，三点是“均衡点”，点表示的数是1，点表示的数是3， ∴分情况讨论： 当点B，C，M顺次时，，即，得； 当点C，B，M顺次时，，即，得； 当点B，M，C顺次时，，即，得； 综上，m的值为或2或5； （2）解：∵，三点是“均衡点”， ∴分情况讨论： ①当点，顺次时，即时， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵为正整数，方程的解为整数， ∴或， 当时，符合题意； ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，即； 当时，符合题意， ∴，即； ②当点，顺次时，即时， ∵线段（为正整数），线段， ∴，即， ∵关于的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵为正整数，方程的解为整数， ∴或或， ∴当时，符合题意； ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，即； 当时，符合题意，此时； 当时，符合题意，此时； ③当点，，顺次时，即时， ∵线段（为正整数），线段， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵为正整数，方程的解为整数， ∴时，符合题意， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，即； ④当点E，F，D顺次时，即时， ∵线段（为正整数），线段， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵为正整数，方程的解为整数， ∴当时，符合题意， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，即； 当时，符合题意，此时； 当时，符合题意，此时； ⑤当点F，D，E顺次时，即时， ∵线段（为正整数），线段， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵为正整数，方程的解为整数， ∴当时，符合题意， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，即； ⑥当点F，E，D顺次时，即时， ∵线段（为正整数），线段， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为整数， ∴， ∵为正整数，方程的解为整数， ∴当时，符合题意， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，即； 当时，符合题意，此时； 综上，n的最小值为． 同步练习 一、单选题 1．已知和是同类项，则m的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的基本概念，解题关键是抓住相同字母的指数必须相等．根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，因此，只需比较两个单项式中相同字母的指数即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴和中，x的指数相等，即， ∴． 故选：C． 二、填空题 2．关于的一元一次方程与的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，先求解方程，得到的值，再将其代入方程，求解． 【详解】解：解方程，得． 将代入方程，得，解得． 故答案为： 3．已知与是同类项，则 【答案】 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴； 故答案为：． 4．当 时，关于的方程无解． 【答案】/等于2 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 由方程无解的条件确定出 a 的值即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．已知关于x的方程的解为正整数，且当时，恰好使取得最小值，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程求解，绝对值的性质等，掌握分情况讨论是解题的关键． 先根据方程求解出，根据方程的解为正整数确定可能的取值，由于为整数，可得出或，将代入，即可求解． 【详解】解： ， ， 方程的解为正整数， 且为的正整数倍， 且为整数， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：，则，随着的减小，会增大，且为整数时，不是的倍数（舍去）； 即：或， 当时，， 当时，， 故答案为：． 三、解答题 6．已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，余角的定义，根据题意列出方程是解题的关键． 设的度数为，则的度数为，根据余角的定义可得，解方程即可解答． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意得， 解得， 故的度数为． 7．关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，则关于x的方程的解为，再把代入方程中，求出m的值即可得到答案． 【详解】解：解方程得， ∵关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数， ∴关于x的方程的解为 把代入方程得， 解得． 8．当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．分别解两个方程求得方程的解，然后根据关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，即可列方程求得m的值． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， 根据题意得：， 解得：． 故当m为时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2． 9．如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查新定义“m的后移方程”的定义、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，理解“m的后移方程”是解题的关键． （1）先分别求解两个方程，再计算解的差，判断是否为正整数即可解答； （2）根据两个方程的解满足差值2，得到关于n的方程求解即可； （3）根据两个方程的解满足差值4，得到b与c的关系，然后再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， 方程可得：， ∵，即两方程解的差值为正整数， ∴方程是的“m的后移方程”． 故答案为：是． （2）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”， ∴，解得：． （3）解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”， ∴，整理得：， ∴． 10．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． 【答案】(1)或5 (2)7 (3)或7． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义与化简，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义和代数意义． （1）直接根据数轴上两点之间的距离的意义计算即可； （2）根据a的范围化简绝对值，再计算即可； （3）分，，三种情况，去绝对值，得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：表示数轴上a与2的距离为3， ∴这样的a值为或5， 故答案为：或5； （2）解：∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴ ， 故答案为：； （3）解：， 当时， ， 解得：； 当时， ，不符合题意； 当时， ， 解得：； 综上：a的值为或7． 11．如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 【答案】(1)120 (2)20或60 (3)①80；②16，40，64． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离、等分点、翻折问题等知识点，理解题意、掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）分点C靠近A和点C靠近B两种情况求解即可． （3）①先求得折叠点表示的数为，设与原点重合的点表示的数为x，然后根据题意列方程求解即可；②由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为100 ∴， ∴点A，B之间的距离是120． （2）解：∵，点C在数轴上且是线段的三等分点， ∴当点C靠近A时，， ∵点A表示的数为， ∴点C所对应的数为； 当点C靠近B时，， ∵点B表示的数为100， ∴点C所对应的数为． ∴点C所对应的数为20或60． （3）解：①∵将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合， ∴折叠点为的中点，其表示的数为， 设与原点重合的点表示的数为x，则，解得：， ∴与原点重合的点表示的数为80； ②∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， a.如图：当从A到B三条纸条的长度为24，24，72， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； b.如图：当从A到B三条纸条的长度为24， 72，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； c.如图：当从A到B三条纸条的长度为72，24，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是． 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 12．如图，在数轴上，点表示的数是最大的负整数，点在点的右侧，在数轴上方以点为圆心，长为半径的半圆弧与数轴相交于另一点，且． (1)填空：点表示的数为__________，点表示的数为__________； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点逆时针每秒旋转）运动到点后停止．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点顺时针每秒旋转）运动到点后停止．点和点同时出发，设运动时间为秒． ）当点和点都在线段上时，若，求的值； ）当点在半圆弧上时，连接，，为半圆弧上一点，连接，且，射线为的角平分线．试探究：是否存在的值，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)（）或；（），，， 【分析】（）根据题意求出点表示的数，进而根据两点距离公式求出点表示的数； （）（）分两种情况：①当点在点左侧，点在点右侧 时；当点都在点左侧时， 根据题意列出方程解答即可；（）分四种情况：①当点在上，点在弧上，在左侧时；②当点在上，点在弧上，在右侧时；③当点在弧，点在弧上，在右侧时；④当点在弧，点在弧上，在左侧时，分别画出图形，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，角平分线的定义，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点表示的数是最大的负整数， ∴点表示的数是， ∵， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：（）①当点在点左侧，点在点右侧 时， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， 解得； ②当点都在点左侧时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当时，的值为或； （）由题知， ∴点从到的时间为秒，点从到的时间为秒， 点从到的时间为秒， ①当点在上，点在弧上，在左侧时，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得； ②当点在上，点在弧上，在右侧时，如图， 此时， ∴， ∴， 即， 解得； ③当点在弧，点在弧上，在右侧时， 此时，， ∴， 同理可得， ∵平分， ∴， 即， 解得； ④当点在弧，点在弧上，在左侧时，如图， 此时， ∴， 同理可得， ∵平分， ∴， 即， 解得； 综上所述，的值为，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程含参问题 期末考点 复习目标 考察形式 1.含参方程解的个数判定(与) 1.掌握型方程解的个数判定方法； 2.区分唯一解、无解、无数解的条件 1.基础易错点，多为选择/填空(1题)； 2.常结合方程化简考察，难度中等 2.含参方程的解满足特定条件(数值、正负、整数等) 1.能通过方程表示解，结合条件求参数； 2.提升分类讨论意识 1.基础题(选择/填空)：解为具体值、正负性； 2.提升题(解答)：整数解、解的关系，6-8分 3.含参方程与整式/几何结合 1.结合同类项、线段/角性质列方程； 2.建立数学与几何的关联 1.提升题(解答)：与线段中点、角平分线结合； 2.情境化命题，偶见创新题 4.含参跨学科/情境化应用 1.跨学科(物理/生物)建模； 2.提取生活/科技情境中的数量关系 1.培优题(解答压轴)：4-6分； 2.情境新颖，突出素养导向 5.含参方程与绝对值综合 1.利用绝对值非负性分析解的存在性； 2.综合运用方程与绝对值知识 1.培优题(选择/解答压轴)； 2.难度较高，区分度强 【题型1】含参方程解的个数判定 1.易错点总结 忽略未知数系数的特殊情况，直接按求解； 混淆“无解”与“无数解”的条件(中，时的分类判断错误)。 2.避坑攻略 先将方程化简为的标准形式，明确未知数系数和常数项； 严格分类讨论：①方程有唯一解；②且方程有无数解；③且方程无解。 【例题1】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程无解，则a的值为 ． 【变式题1-1】.（24-25七年级上·全国·随堂练习）对于方程，王强同学是这样解的： 方程两边同时加上3，得． 方程两边同时除以x，得． 所以此方程无解． 王强的解题过程是否正确？如果正确，指出每一步的理由；如果不正确，请加以改正． 【变式题1-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 【变式题1-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解是，其中a，m，k为常数．是否存在m的值使得关于y的方程无解？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【基础题型】 【题型2】含参方程与同类项结合求参数 1.期末考点总结 考察“同类项定义”(相同字母的指数相同)与“一元一次方程概念”(未知数次数为1)； 常以“方程是一元一次方程”为情境命题。 2.解题攻略 先化简方程，合并同类项，明确未知数及其次数； 根据“一元一次方程”条件：①未知数最高次数为1；②未知数系数，列方程； 求解参数后，验证系数是否不为0(排除无效解)。 【例题2】.（25-26七年级上·河南周口·月考）若与是同类项，则 ． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·山东潍坊·期中）已知多项式的次数是5，单项式与多项式中的四次项是同类项，则的值是（   ） A．7 B．4 C．0 D．-1 【变式题2-2】.（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）如图是某手机的摄像头的大致示意图，在长为，宽为的长方形中，三个半径为的大圆是摄像头，右侧的小圆为照明灯且面积是一个大圆面积的． (1)用含、、的代数式表示阴影部分的面积； (2)若关于、的单项式与是同类项，，求阴影部分的面积．（取3） 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·期中）若单项式与是同类项，化简求值： 【提升题型】 【题型3】含参方程的解为具体值或特定关系求参数 1.期末考点总结 核心考察“方程的解的定义”； 覆盖解为具体值、与已知数成相反数/倍数关系，期末高频。 2.解题攻略 核心步骤：①用参数分别表示两个方程的解； ②根据两解关系建立参数方程； ③求解参数； 注意：避免化简解时计算错误，验证原方程系数。 【例题3】.（25-26七年级上·安徽淮北·期中）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·河南驻马店·月考）已知关于的方程与的解互为相反数． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·宁夏银川·月考）（1）如果关于x，y的多项式与多项式的差与x的取值无关，求的值； （2）若关于x的方程的解为整数，求所有满足条件的整数a的和． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西榆林·月考）已知关于的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于的方程的解比方程的解小2，求的值． 【题型4】含参方程与线段长度结合求参数 1.期末考点总结 考察“线段中点/分点性质”与“含参方程”的综合； 情境化命题(如线段折叠、动点分线段)，突出几何与代数融合。 2.解题攻略 画线段示意图，标注已知长度和参数表示的线段(如设线段)； 利用“中点线段相等”“分点比例关系”列含参方程； 解方程后检验参数是否使线段长度为正(舍去负解，符合几何实际)。 【例题4】.（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【变式题4-1】.（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上有两点之间的距离为11，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点，表示的数分别是，4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的2倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿，两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折4次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． 【变式题4-2】.（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）在综合实践课上，有如图①所示的长方形白纸条（单位：厘米）若干张；小聪用m张这样的白纸条，按图②所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为6厘米；小明用n张同样的白纸条，按图③所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为4厘米． (1)当时，求的长． (2)请用n的代数式表示的长． (3)现有图①所示长方形白纸条共100张，你能找到合适的分配方案把白纸条分给小聪和小明，使他俩按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗？若能，请通过计算给出分配方案，若不能，请说明理由．（注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张） 【变式题4-3】.（25-26七年级上·重庆·期中）如图，点C是线段上一点，且，点M和点N分别是线段和线段中点 (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【题型5】含参方程与角度计算结合求参数 1.期末考点总结 考察“余角/补角定义”“角平分线性质”与含参方程的综合； 常以角度折叠、和差问题为情境。 2.解题攻略 用参数表示相关角(如角平分线分角为2倍关系，设，则)； 根据余角(和为)、补角(和为)或折叠性质列方程； 验证角度为正且符合实际(如小于，无负角度)。 【例题5】.（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． 【变式题5-1】.（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知一个锐角的补角比它的余角的4倍小，求这个锐角的余角和补角的度数． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【培优题型】 【题型6】含参方程与绝对值综合问题 1.期末考点总结 考察“绝对值的非负性”与“方程解的存在性”； 综合度高，需结合绝对值性质和含参方程解法。 2.解题攻略 利用“”转化方程：如，分和两种情况； 分别解含参方程，结合“唯一解”“无解”条件列不等式； 求参数范围时，兼顾绝对值非负性和方程系数不为0。 【例题6】.（25-26七年级上·广东揭阳·月考）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是__________； (2)如果，那么的值是__________； (3)满足整数有__________个． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，已知数轴上两点A、B．点C为数轴上的动点，其表示的数为x． (1)数轴上点A与点B之间的距离是______；若点C到点A、B的距离相等，则点C表示的数x的值为______； (2)点D也是数轴上的一个动点，已知点C的运动速度为每秒2个单位长度，动点C、D同时分别从点A、B出发开始运动． ①若点C、D相向而行，在表示数的点相遇，求点D的运动速度； ②若点D的运动速度是每秒4个单位长度，C、D两点同时向左匀速运动，则当C、D两点之间的距离为2时，两点运动了多长时间？ (3)若动点C从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，第二次向右运动2个单位长度，第三次向左运动3个单位长度，…，按此规律不断在数轴上做往复运动，当点C运动了n次时，直接用含n的代数式表示出点C所表示的有理数． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置（如图1所示），它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）． 如图3所示，在数轴的原点处放置了一台粒子加速器，点22处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹．带电粒子位于数轴上点，不带电粒子位于数轴上点．分别为对应点的值，满足为关于的三次三项式． (1)______，______； (2)两粒子在数轴上同时开始运动，从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．设为粒子的运动时间，为两粒子第一次相遇的时刻，分别为时刻时，在数轴上所对应的点． ①求的值． ②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值；如果会变化，请说明理由． (3)当与的距离为2时，求的值． 【题型7】新定义含参一元一次方程问题（培优） 1.期末考点总结 考察新定义解读与含参方程转化； 涵盖新运算、新数对、新关联方程，解答题高频。 2.解题攻略 核心：解读新定义（如“和谐方程”“A@B=2A−B”），转化为含参等式； 步骤：①解已知方程或化简新运算；②结合条件列参数方程；③求解参数； 注意：不漏定义关键条件，验证参数使方程为一元一次（系数≠0）。 【例题7】.（25-26七年级上·全国·期中）已知b是最小的正整数，且a，b，c满足． (1)填空： ， ， ； (2)定义：在数轴上A，B两点之间的距离记作，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，点P在点A与点C之间运动时（即时），满足，求出x的值； (3)在（1），（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设后，B，C两点之间的距离记作．若的值始终保持不变，求m的值． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·重庆·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山西吕梁·期中）对于两个整式A和B，我们定义一种新运算“@”：．例如：若，，则．根据以上定义，解答下列问题： (1)若，求． (2)若（其中k为常数），且的运算结果不含x的一次项，求k的值． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏淮安·期中）定义：使等式的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为． (1)下列数对：①，②，③是“共生数对”的有______（填序号）； (2)若是“共生数对”，则______“共生数对”（填“是”或“不是”）； (3)若是“共生数对”，且关于x的方程的解为，求的值． 【题型8】探究式含参问题(开放型) 1.期末考点总结 考察“开放思维”与“逻辑推理能力”； 无固定答案，需设计参数使方程满足特定性质(如有正整数解、无解)。 2.解题攻略 明确探究目标(如“求使方程有正整数解的值”)； 解含参方程得，根据目标列条件（且为整数且为整数）； 列举符合条件的值（如、、），验证并说明理由。 【例题8】.（24-25八年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 【变式题8-1】.（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【变式题8-2】.（25-26七年级上·重庆·期中）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·北京昌平·期中）对于数轴上三个不同的点，，，给出如下定义：在线段，，中，若其中有两条线段相等，则称三点是“均衡点”． (1)点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是3， 三点___________（填“是”或“不是”）“均衡点”； ②点表示的数是，且，，三点是“均衡点”，则___________； (2)点表示的数是，点表示的数是，线段（为正整数），线段，若，三点是“均衡点”，且关于的一元一次方程的解为整数，求的最小值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知和是同类项，则m的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 二、填空题 2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）关于的一元一次方程与的解相同，则的值为 ． 3．（25-26七年级上·上海·期中）已知与是同类项，则 4．（24-25八年级下·上海崇明·期末）当 时，关于的方程无解． 5．（25-26七年级上·重庆·期中）已知关于x的方程的解为正整数，且当时，恰好使取得最小值，则满足条件的整数a的值为 ． 三、解答题 6．（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 7．（25-26七年级上·吉林松原·期中）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 8．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）当m为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大2？ 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 10．（25-26七年级上·广东汕头·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 举例：数轴上表示2和5两点间的距离是3；表示和5两点间的距离是7； 一般地，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离可表示为； 运用： (1)若，则a的值为________； (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则________． (3)若代数式，求a的值． 11．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 12．（25-26七年级上·四川成都·月考）如图，在数轴上，点表示的数是最大的负整数，点在点的右侧，在数轴上方以点为圆心，长为半径的半圆弧与数轴相交于另一点，且． (1)填空：点表示的数为__________，点表示的数为__________； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点逆时针每秒旋转）运动到点后停止．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点顺时针每秒旋转）运动到点后停止．点和点同时出发，设运动时间为秒． ）当点和点都在线段上时，若，求的值； ）当点在半圆弧上时，连接，，为半圆弧上一点，连接，且，射线为的角平分线．试探究：是否存在的值，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $