专项突破08 几何体的展开与折叠（期末复习-知识回顾+11个重难点培优题型+真题演练 共37题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精讲练

该初中数学讲义以“几何体的展开与折叠”为核心，通过知识框架图系统梳理立体图形分类、点线面体关系及展开图、三视图等内容，用分类表格呈现常见立体图形特征，清晰展现从立体到平面的转化逻辑，突出正方体展开图识别、相对面判断等重难点的内在联系。 讲义亮点在于11个重难点培优题型的分层设计，如题型2“几何体展开图的认识”通过修改展开图拼长方体的实践操作，培养几何直观与空间观念，题型6“正方体相对两面上的字”引导学生通过展开图推理相对面位置，发展推理意识。真题演练结合制作纸盒等实际问题，帮助不同层次学生提升应用能力，为教师精准教学提供有效支持。

专项突破08 几何体的展开与折叠 （知识回顾+11个重难点培优题型+真题演练 共37题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：生活中的立体图形 1 知识点梳理02：从立体图形到平面图形 2 重点难点 培优讲练 2 题型1 从不同方向看几何体 2 题型2 几何体展开图的认识 4 题型3 由展开图计算几何体的表面积 5 题型4 由展开图计算几何体的体积 6 题型5 正方体几种展开图的识别 7 题型6 正方体相对两面上的字 9 题型7 含图案的正方体的展开图 11 题型8 求展开图上两点折叠后的距离 11 题型9 补一个面使图形围成正方体 12 题型10 用七巧板拼图形 12 题型11 截一个几何体 13 期末真题 实战演练 14 知识点梳理01：生活中的立体图形 1.立体图形定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等. 2.常见的立体图形及分类： 3.点、线、面、体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体. 知识点梳理02：从立体图形到平面图形 1.简单立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 【易错点拨】 (1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形． (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图． 2.从不同方向看 从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图． 题型1 从不同方向看几何体 【精讲】（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一些相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数，解答下列问题． (1)______，______，______． (2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？请写出计算过程． (3)当，时，在图1中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【变式】（25-26七年级上·陕西西安·期中）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________ （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 题型2 几何体展开图的认识 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）七年级数学活动课上，“探究小组”利用一个长为，宽为的长方形纸板制作长方体纸盒，如图是纸盒的平面展开图．请结合图形解决下列问题： (1)小组成员发现，他们剪开后的平面展开图无法拼成长方体，请你帮助他们直接在图中修改，使修改后的平面展开图可以拼成长方体纸盒．若有多余面，则把多余面涂黑；若还缺少，请直接在图中补全． (2)修改后的平面展开图，拼成长方体纸盒的体积为_______，表面积为_______（用含的代数式表示）； (3)当时，制作一个这样的长方体纸盒后，纸板还剩多少？ 【变式】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）小明在学习了“从立体图形到平面图形”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了________条棱； (2)现在小明想将图2重新粘贴到图1中，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将图2粘贴到图1中的什么位置？请你帮助小明在图1上补全； (3)已知这个长方体纸盒的高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 题型3 由展开图计算几何体的表面积 【精讲】（25-26七年级上·山东济南·期中）【情境】数学活动课上，王老师开展了“制作长方体纸盒”的实践活动，王老师给每个小组分别发了一张边长为的正方形纸板． 【知识准备】 (1)如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有___________（只填写序号）； 【操作】 (2)①如图1，制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小的边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为___________； ②如图2，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小的边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，则该长方体纸盒的体积为___________； ③当，时，制作的无盖长方体纸盒的体积是有盖长方体纸盒的体积的多少倍？ 【探究】 (3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为___________． 【变式】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形且边长为，高为． (1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)若1平方米硬纸板价格为5元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗） 题型4 由展开图计算几何体的体积 【精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 【变式】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合与实践：制作一个无盖的长方体纸盒．七年级“探究小组”计划利用一张边长为的正方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒，按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒． 【特例探究】（1）若剪去的小正方形的边长为，求长方体纸盒的容积； 【一般探究】（2）若剪去的小正方形的边长为，求长方体纸盒的容积（用含x的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）“探究小组”把剪去的小正方形的边长x的值按整数值依次增大，计算出对应的长方体纸盒的容积V的变化情况，并绘制折线统计图（如图2），请根据统计图写出两条结论． 题型5 正方体几种展开图的识别 24．（25-26七年级上·广东深圳·期中）【问题情境】某综合实践小组开展“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是___________；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为___________cm（用含，的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为___________； 【问题进阶】 （3）若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的外围周长最小为___________cm． 【变式】（25-26七年级上·全国·期中）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 题型6 正方体相对两面上的字 【精讲】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：含有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面A在长方体的上面，那么下面是______； (2)从右面看是面C，从上面看是面E，那么前面是______； (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【变式】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合实践 问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．      操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒? (2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是哪个字? (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为 的小正方形，用含x 的代数式表示这个纸盒的高以及底面积，当小正方形边长为时，求纸盒的容积． 题型7 含图案的正方体的展开图 28．（18-19七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示的正方体的表面展开图是（    ） A． B． C． D． 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）将图甲围成图乙的正方体，则在面 中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 题型8 求展开图上两点折叠后的距离 【精讲】（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 题型9 补一个面使图形围成正方体 【精讲】24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 【变式】（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1，图2均为的正方形网格，请你在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使得其与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，要求2种方法得到的展开图不完全重合． 题型10 用七巧板拼图形 【精讲】（2025九年级·湖南·学业考试）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为 【变式】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 题型11 截一个几何体 【精讲】25-26七年级上·河南郑州·期中）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______（填所有可能的序号）； ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形． (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带有多长？ 【变式】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】 一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】 由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】 用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 1．（25-26七年级上·山西晋中·期中）小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）一些完全相同的小正方体搭成一个几何体，从正面和左面看到的平面图形都如图所示，小正方体的块数最少为（    ）块． A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从正面看到的形状图与从左面看到的形状图相同的是 A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个面A，B，C上分别填上适当的数，使得A，B，C的数字与其对面数字互为相反数，则B上数字为（   ） A． B．0 C． D．3 5．（21-22七年级上·辽宁丹东·期末）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广东河源·月考）下列图形是正方体展开图的个数为 个． 7．（25-26七年级上·四川成都·月考）一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是 ． 8．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒．如图，长方形中，，，小郑沿将长方形分成两部分，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是 ． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）一个正方体的相对的表面上所标的数的和都相等，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是 ． 10．（24-25七年级上·山西临汾·期末）在课题学习中，老师要求用长为12cm，宽为8cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．某同学在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．若盒子底面的四边形是长方形，且，则这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积是 ． 11．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请分别画出从正面、左面看到的这个几何体的图形． 12．（20-21七年级上·陕西西安·期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，分别画出从正面、左面和上面看这个几何体得到的形状图． 13．（25-26七年级上·全国·期末）在平整的桌面上，由若干个大小相同的棱长为的小立方块搭成一个几何体，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．    (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体的表面(不包括底面)喷上红色的漆，求需要喷漆的面积是多少？ 14．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出这个几何体从三个方向看的形状图； (2)如果把这个几何体的表面（不含底面）喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需______克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破08 几何体的展开与折叠 （知识回顾+11个重难点培优题型+真题演练 共37题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：生活中的立体图形 1 知识点梳理02：从立体图形到平面图形 2 重点难点 培优讲练 2 题型1 从不同方向看几何体 2 题型2 几何体展开图的认识 5 题型3 由展开图计算几何体的表面积 7 题型4 由展开图计算几何体的体积 10 题型5 正方体几种展开图的识别 11 题型6 正方体相对两面上的字 14 题型7 含图案的正方体的展开图 17 题型8 求展开图上两点折叠后的距离 18 题型9 补一个面使图形围成正方体 18 题型10 用七巧板拼图形 20 题型11 截一个几何体 21 期末真题 实战演练 23 知识点梳理01：生活中的立体图形 1.立体图形定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等. 2.常见的立体图形及分类： 3.点、线、面、体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体. 知识点梳理02：从立体图形到平面图形 1.简单立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 【易错点拨】 (1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形． (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图． 2.从不同方向看 从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图． 题型1 从不同方向看几何体 【精讲】（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一些相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数，解答下列问题． (1)______，______，______． (2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？请写出计算过程． (3)当，时，在图1中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)1，1，3 (2)最多由11个小立方块，最少由9个小立方块，过程见解析 (3)见详解 【思路引导】（1）从正面看，第二列小立方块的个数为1，第3列小立方块的个数为3，据此可确定d、e、f的值； （2）从正面看，每一列上的小立方块个数是相应列中正方形数字中的最大数字，故可得第一列小立方块的个数最多为，最少为，那么加上其他两列小立方块的个数即可得到这个几何体的搭成情况； （3）从上面看，该几何体有3排，从前往后第三排最多有3层，第二排最多有1层，第一排有2层，因此从左面看，第1列能看到3个正方形，第2 列能看到1个正方形，第3列能看到2个正方形，由此可画出从左面看到的形状图. 【规范解答】（1）解：根据从正面看和从上面看到的形状可知，，； 故答案为：1，1，3； （2）解：第一列小立方块的个数最多为个，最少为个， 这个几何体最多由个小立方块搭成， 最少由个小立方块搭成； （3）解：从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2， 如图： 【考点剖析】本题考查了由不同方向看简单组合体，解题的关键是发挥空间想象能力． 【变式】（25-26七年级上·陕西西安·期中）（1）下面图形分别是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出这些几何体的名称． 图1：_________；图2：_________；图3：_________ （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】（1）圆柱；三棱柱；圆锥；（2）见解析 【思路引导】本题考查了几何体的展开图、从不同方向看几何体． （1）根据几何体的展开图特征即可得出答案； （2）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，据此可画出图形． 【规范解答】解：（1）由立体图形的展开图可知，图1是圆柱，图2是三棱柱，图3是圆锥， 故答案为：圆柱；三棱柱；圆锥； （2）由题意可得，这个几何体从正面看有3列，每列小正方形的数目为1、2、1，从左面看有2列每列小正方形的数目是2、1，如图： 题型2 几何体展开图的认识 【精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）七年级数学活动课上，“探究小组”利用一个长为，宽为的长方形纸板制作长方体纸盒，如图是纸盒的平面展开图．请结合图形解决下列问题： (1)小组成员发现，他们剪开后的平面展开图无法拼成长方体，请你帮助他们直接在图中修改，使修改后的平面展开图可以拼成长方体纸盒．若有多余面，则把多余面涂黑；若还缺少，请直接在图中补全． (2)修改后的平面展开图，拼成长方体纸盒的体积为_______，表面积为_______（用含的代数式表示）； (3)当时，制作一个这样的长方体纸盒后，纸板还剩多少？ 【答案】(1)见解析； (2)，； (3) ． 【思路引导】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）根据长方体体积、表面积的计算方法进行计算即可； （3）求出长方体的表面积，再进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由长方体表面展开图的特征可知，有多余的面，将图中涂阴影部分的面去掉即可； （2）解：将修改后的展开图折叠成的几何体是长为，宽为 ，高为 的长方体， 所以长方体的体积为，表面积为， 故答案为：，； （3）解：当，时，纸盒的表面积为， 纸板还剩， 答：纸板还剩． 【变式】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）小明在学习了“从立体图形到平面图形”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了________条棱； (2)现在小明想将图2重新粘贴到图1中，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将图2粘贴到图1中的什么位置？请你帮助小明在图1上补全； (3)已知这个长方体纸盒的高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)这个长方体纸盒的体积为立方厘米 【思路引导】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况； （3）设底面边长为，根据棱长的和是，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【规范解答】（1）解：由图可得，小明共剪开了8条棱， 故答案为：8； （2）解：如图，粘贴的位置有四种情况如下： （3）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长， ∵长方体纸盒所有棱长的和是，长方体纸盒高为， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为：立方厘米． 题型3 由展开图计算几何体的表面积 【精讲】（25-26七年级上·山东济南·期中）【情境】数学活动课上，王老师开展了“制作长方体纸盒”的实践活动，王老师给每个小组分别发了一张边长为的正方形纸板． 【知识准备】 (1)如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有___________（只填写序号）； 【操作】 (2)①如图1，制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小的边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为___________； ②如图2，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小的边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，则该长方体纸盒的体积为___________； ③当，时，制作的无盖长方体纸盒的体积是有盖长方体纸盒的体积的多少倍？ 【探究】 (3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为___________． 【答案】(1)①⑤⑥ (2)①；②36；③2倍 (3)58 【思路引导】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体、长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据图1可折成的盒子的底面是边长为的正方形即可；②分别求出所折成的长方体的长、宽、高，再根据长方体体积的计算方法进行计算即可；③先求出无盖长方体的体积，再进行求解即可； （3）根据“没有剪开的棱越短越好，展开图的周长越大”画出相应的图形，再进行计算即可． 【规范解答】（1）解：根据正方体的表面展开图的特征可知，①⑤⑥可以折成正方体， 故答案为：①⑤⑥； （2）解：①图1所折成的盒子的底面是边长为的正方形， ∴长方体纸盒的底面面积为， 故答案为：； ②由题意可知，所作出的长方体的长为，宽为，高为， ∴体积为， 故答案为：； ③当，时，无盖长方体的体积为 ， 已知有盖长方体体积为， ∴， ∴无盖长方体纸盒的体积是有盖长方体纸盒的体积的2倍； （3）解：要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，如图所示，其展开图的周长最大， 所以最大周长为，， 故答案为：58． 【变式】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形且边长为，高为． (1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)若1平方米硬纸板价格为5元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗） 【答案】(1)290平方厘米 (2)元 【思路引导】本题考查了几何体的表面积，正确的计算长方体的表面积是解题的关键． （1）根据长方体表面积公式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得， （平方厘米）； 答：制作这样的包装盒需要290平方厘米的硬纸板 （2）1平方米平方厘米， （元）， 答：制作10个这的包装盒需花费元． 题型4 由展开图计算几何体的体积 【精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： (1)图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的底面周长为多少厘米？ (2)图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为多少立方厘米？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查几何图形，求立体图形的体积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长求解即可； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【规范解答】（1）解：根据题意，得：该长方体纸盒的底面小正方形的边长为， ∴该长方体纸盒的底面周长为； （2）解：根据题意，得裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：． ∴长方体纸盒的体积为． 【变式】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）综合与实践：制作一个无盖的长方体纸盒．七年级“探究小组”计划利用一张边长为的正方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒，按照如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒． 【特例探究】（1）若剪去的小正方形的边长为，求长方体纸盒的容积； 【一般探究】（2）若剪去的小正方形的边长为，求长方体纸盒的容积（用含x的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）“探究小组”把剪去的小正方形的边长x的值按整数值依次增大，计算出对应的长方体纸盒的容积V的变化情况，并绘制折线统计图（如图2），请根据统计图写出两条结论． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【思路引导】本题考查了由展开图求体积及统计图信息，比较简单． （1）直接根据容积公式并将值代入计算即可； （2）直接根据容积公式并将值代入化简即可； （3）根据统计图从最大值和增减性即可得出答案． 【规范解答】解：（1）当剪去的小正方形的边长为时，长方体纸盒的容积为． （2）当剪去的小正方形的边长为时，长方体纸盒的容积为． （3）根据折线统计图，得当时，长方体的容积V的值最大；当时，随着x值的增大，长方体的容积V的值越来越小． 题型5 正方体几种展开图的识别 24．（25-26七年级上·广东深圳·期中）【问题情境】某综合实践小组开展“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是___________；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为___________cm（用含，的式子表示）； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为___________； 【问题进阶】 （3）若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的外围周长最小为___________cm． 【答案】（1）①③④（2）①；②294（3）50 【思路引导】本题考查平面展开图折叠成几何体，熟练掌握长方体表面积公式、体积公式，有一定的空间想象能力是解题的关键． （1）根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可； （2）①图所折成的盒子的底面是边长为的正方形，计算正方形的周长即可； ②分别求出所折成的长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式进行计算求解即可； （3）根据边长最短的都剪、边长最长的不剪，据此进行计算求解即可． 【规范解答】（1）解：根据正方体的表面展开图的特征可知，①③④可以折成无盖的正方体， 故答案为：①③④； （2）①图所折成的盒子的底面是边长为的正方形， 因此长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：； ②根据题意得，该长方体纸盒的长为、宽为、高为， 则长方体纸盒的体积为：， 故答案为：； （3）如图所示：        则长方体表面展开图的外围周长最小为：， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·全国·期中）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的 经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如图，是云落的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是 ； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①见解析；② 【思路引导】本题考查正方体的表面展开图、正方体相对两面上的字． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可；②直接根据体积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）解：由正方体表面展开图的“相间、Z字形是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）解：①在边长为的正方形的四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒的示意图如下： ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高是， 所以体积为． 题型6 正方体相对两面上的字 【精讲】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：含有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面A在长方体的上面，那么下面是______； (2)从右面看是面C，从上面看是面E，那么前面是______； (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，即“相间、端是对面”进行判断即可； （2）根据各个面之间的相邻、相对关系进行判断即可； （3）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由长方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“”与“”是对面，如果面在长方体的上面，那么下面是， 故答案为：； （2）解：从右面看是面，从上面看是面，那么前面是， 故答案为：； （3）解：由题意得，长方体的长为、宽为，D面的宽为， 所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． 【变式】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段练习）综合实践 问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．      操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒? (2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是哪个字? (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为 的小正方形，用含x 的代数式表示这个纸盒的高以及底面积，当小正方形边长为时，求纸盒的容积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①见解析；②这个盒子的高为；底面积为； 【思路引导】本题主要考查了展开图折叠成几何体，列代数式，有理数混合运算的应用，每一个面都有唯一的一个对面的展开图才能折叠成正方体，解答本题的关键是读懂题意． （1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题； （2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答； （3）①根据题意，画出图形即可；②根据折叠成的纸盒高为小正方形的边长即可即可解答，此时底面的正方形边长为，即可表示底面积；根据长方体体积计算公式，即可解答． 【规范解答】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体； B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体； C．可以折叠成无盖正方体； D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体． 故选：C． （2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”； （3）解：①如图； ②设剪去的小正方形的边长为，则这个盒子的高为；底面积为； 当小正方形边长为时，纸盒的容积为： ． 题型7 含图案的正方体的展开图 28．（18-19七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示的正方体的表面展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了几何体的展开图，熟知正方体展开图的各种情形是解题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图求解即可． 【规范解答】解：根据正方体的平面展开图的特征，B选项折叠后“菱形”和“圆”是相对面且在上面和下面；C选项折叠后“五角星”在正前面时，“圆”在下面，D选项折叠后，当“菱形”和“圆”在左侧和右侧且相对．在正面时，“正方形”在上面，“圆”在右侧面，故选项B、C、D均不合题意， ∴是该正方体的展开图的是A选项． 故选：A． 【变式】（2025七年级上·全国·专题练习）将图甲围成图乙的正方体，则在面 中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面 ．（填序号） 【答案】④ 【思路引导】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【规范解答】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 题型8 求展开图上两点折叠后的距离 【精讲】（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 【答案】3 【思路引导】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【规范解答】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【考点剖析】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 题型9 补一个面使图形围成正方体 【精讲】24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有 种． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【规范解答】解：如图所示： 故答案为：． 【变式】（22-23七年级上·陕西西安·期中）图1，图2均为的正方形网格，请你在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使得其与图中的4个阴影正方形一起构成正方体表面展开图，要求2种方法得到的展开图不完全重合． 【答案】见解析 【思路引导】根据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【规范解答】解：如图， 【考点剖析】本题考查了几何体的展开图：掌握常见几何体的侧面展开图（圆柱的侧面展开图是长方形；圆锥的侧面展开图是扇形；正方体的侧面展开图是长方形；三棱柱的侧面展开图是长方形）是解决问题的关键． 题型10 用七巧板拼图形 【精讲】（2025九年级·湖南·学业考试）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【思路引导】本题考查正方形的性质与面积计算，以及七巧板中各部分图形的面积关系．先求出大正方形的面积，再根据七巧板的组成及各部分面积关系，求出阴影部分正方形的面积． 【规范解答】解：∵ 大正方形边长为， ∴ 大正方形面积为． 七巧板中，阴影部分正方形的面积是大正方形面积的， ∴ 阴影部分面积为． 故答案为：． 【变式】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】25 【思路引导】本题考查了有理数混合运算的应用，由七巧板的制作过程可知，阴影部分是用平行四边形和一个小正方形拼成的，所以面积是正方形面积的． 【规范解答】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：25． 题型11 截一个几何体 【精讲】25-26七年级上·河南郑州·期中）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______（填所有可能的序号）； ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形． (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带有多长？ 【答案】(1)六棱柱，； (2)①②③； (3)所需丝带 【思路引导】本题考查了六棱柱的识别、截面形状、棱长等，关键是熟练掌握六棱柱的几何特征； （1）根据六棱柱的特点填写； （2）根据六棱柱的面数确定截面最多的边数，排除不可能的形状； （3）根据棱长及数量求解． 【规范解答】（1）解：六棱柱； (个底面+个侧面) （2）解：六棱柱截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形(①)、七边形(②)、八边形(③)． 因为面数为，最多截出八边形，不可能截出九边形， 故答案为：①②③； （3）解：棱长总和 ． 【变式】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】 一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】 由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】 用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 【答案】(1) (2) (3)④⑤⑥⑦ 【思路引导】本题主要考查几何体，棱柱的性质，熟练掌握棱柱的性质是解题的关键． （1）根据棱柱的性质即可得到答案； （2）根据表格中的数据找到规律即可； （3）根据题意，当截面是三角形时，分情况分析所分出的两个几何体的顶点总个数即可． 【规范解答】（1）解：根据棱柱的性质可知，六棱柱有个面，个顶点，条棱， 故答案为：； （2）解：由表格可知，三棱柱剪开棱的条数为 四棱柱剪开棱的条数为 五棱柱剪开棱的条数为 棱柱剪开棱的条数为：， 把代入，得 故答案为：； （3）解：①不过顶点，所分出的两个几何体的顶点总个数为：（个）； ②过一个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ③过两个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ④过三个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； 综上所述，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是④⑤⑥⑦． 故答案为：④⑤⑥⑦． 1．（25-26七年级上·山西晋中·期中）小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【规范解答】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）一些完全相同的小正方体搭成一个几何体，从正面和左面看到的平面图形都如图所示，小正方体的块数最少为（    ）块． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查了已知从不同方向看几何体，求最多或最少的小立方块的个数，旨在考查学生的空间想象能力；根据正面和左面看到的平面图形，可知从“正面”看，最上层只能有 1 个正方体，中下两层各需能看到 2 个正方体；从“左面”看也有同样的层数与个数要求（上 1、下两层各 2），从而得出小正方体最少的块数． 【规范解答】解：从“正面”看，最上层只能有 1 个正方体，中下两层各需能看到 2 个正方体；从“左面”看也有同样的层数与个数要求（上 1、下两层各 2）； 为同时满足这两个要求，每一层所需的小正方体数分别为： 第三层（顶层）1 个；第二层 2 个； 第一层 2 个． 这样一共摆 1 + 2 + 2 = 5 个小正方体即可满足条件，且不可能再少； 故选：A． 3．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从正面看到的形状图与从左面看到的形状图相同的是 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查从不同方向看几何体，分别画出各选项中，从正面和从左面看到的形状图进行判断即可． 【规范解答】 解：A、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，不符合题意； B、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，不符合题意； C、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，符合题意； D、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个面A，B，C上分别填上适当的数，使得A，B，C的数字与其对面数字互为相反数，则B上数字为（   ） A． B．0 C． D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查正方体的展开图，相反数．依据正方体展开图的性质确定出相对面，然后依据相反数的定义计算，即可得到答案． 【规范解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， B与数字3是相对面， 相对面数字互为相反数， B上数字为， 故选：A． 5．（21-22七年级上·辽宁丹东·期末）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】通过分析正方体展开图中带点面的位置关系，判断折叠成正方体后各面的相邻情况，从而选出正确选项．本题主要考查了正方体的展开图与折叠，熟练掌握正方体展开图中面的相对与相邻关系是解题的关键． 【规范解答】解：折叠成正方体后，带空心点的面应与一个带实心点的面相邻，且与另一个带实心点的面相对，故A、B错误； 折叠成正方体后，三个空白面中，必有两个面是相对的，故C错误； 只有D选项符合． 故选：D． 6．（25-26七年级上·广东河源·月考）下列图形是正方体展开图的个数为 个． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方体的展开图，根据正方体的展开图的特征判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【规范解答】解：一、三、四图能折叠成正方体，二图不能折叠成正方体， ∴是正方体展开图的有个， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·四川成都·月考）一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解决问题的关键．由正方体表面展开图的特征判断出对面，邻面，进而得出答案． 【规范解答】解：由前两个正方体所标注的数据可知， “1”的邻面有“2”，“3”，“4”，“5”， ∴“1”的对面是“6”， 再由第一个和第三个正方体所标注的数据可知， “5”的对面是“2”， 则“3”的对面是“4”， 则由第一个和第三个正方体数据的位置可知， “？”所表示的数“1”． 故答案为：1． 8．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学实践课上，探究将一块长方形纸板制成一个有盖的长方体纸盒．如图，长方形中，，，小郑沿将长方形分成两部分，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒，该纸盒的体积是 ． 【答案】48 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的实际应用，图形的折叠与剪拼，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系是解题的关键． 设，则，根据，，列出方程，即可求解． 【规范解答】解：设，则， ∵，， ∴， 解得：， 即，， ∴该纸盒的体积是． 故答案为：48． 9．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）一个正方体的相对的表面上所标的数的和都相等，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键． 根据正方体表面展开图的特征判定相对的面，再根据相反数的意义求解即可． 【规范解答】解：依题意可知，x与是相对面，y与x是相对面，与2是相对面， 相对的表面上所标的数的和都相等， ，， 解得，， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·山西临汾·期末）在课题学习中，老师要求用长为12cm，宽为8cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．某同学在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．若盒子底面的四边形是长方形，且，则这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积是 ． 【答案】48 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用和立体图形展开图，设，再根据展开图列出方程求出长方体的棱长即可． 【规范解答】解：设，根据题意列方程得， ， 解得，， 则，长方体的高为， 这位同学所折成的无盖长方体纸盒的容积是， 故答案为：48． 11．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请分别画出从正面、左面看到的这个几何体的图形． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查从不同方向看几何体，分别画出从正面、左面看到的这个几何体的图形即可． 【规范解答】解：如图所示． 12．（20-21七年级上·陕西西安·期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，分别画出从正面、左面和上面看这个几何体得到的形状图． 【答案】图见解析 【思路引导】本题考查从不同方看几何体，分别画出从前面，左面和上面看到的图形即可． 【规范解答】解：由题意，画图如下： 13．（25-26七年级上·全国·期末）在平整的桌面上，由若干个大小相同的棱长为的小立方块搭成一个几何体，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．    (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体的表面(不包括底面)喷上红色的漆，求需要喷漆的面积是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查从不同方向看几何体、求几何体的表面积， （1）根据从上面看到的几何体的形状，画出从正面和左面看到的形状即可作图； （2）根据立体图形的表面个数及正方形的面积公式求解． 【规范解答】（1）如图所示：    （2）解：需要喷漆的面积是． 答：需要喷漆的面积是． 14．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出这个几何体从三个方向看的形状图； (2)如果把这个几何体的表面（不含底面）喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需______克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)256 (3)4 【思路引导】本题主要考查了从不同方向看几何体、几何体表面积计算以及添加小正方体的问题，熟练掌握几何体表面积的计算方法是解题的关键． （1）需根据几何体的形状，分别从正面、左面、上面观察，确定每行每列小正方形的个数来绘制图形． （2）先计算出几何体表面（不含底面）的正方形面的个数，再结合每个正方形的面积求出表面积，最后根据每平方厘米用漆量求出总用漆量． （3）在保持从上面看和从左面看到的图形不变的前提下，分析每个位置可添加的小正方体个数，进而求出最多可添加的总数． 【规范解答】（1）解：形状图如图所示； （2）解：这个几何体的表面有38个正方形，去掉底面上的6个，32个面需要喷上红色的漆． ∴表面积为． （克）， ∴共需256克漆． 故答案为：256． （3）解：如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可以再添加个． 故答案为：4． 15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题考查几何体的点、棱、面，有理数的四则运算，一元一次方程的应用等知识，理解多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系并灵活运用． （1）根据正方形的顶点数、面数和棱数直接求解即可； （2）法一：根据多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系求得足球的总块数，进而可求解； 法二：根据一个顶点处有1个五边形求解即可； （3）设该足球表面共有个顶点，根据题意列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：图1的正方体面数，顶点数，棱数， 故答案为：8，12； （2）解：法1： ， 五边形块数 六边形块数（块）； 法2：（块）； （3）解：设该足球表面共有个顶点． ， 解得， ∴八边形块数：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $