专题04 期末复习之数轴与绝对值综合应用（考情分析+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级上册期末易错点重难点培优专题复习

该初中数学讲义通过考情分析表格系统梳理了数轴与绝对值的知识体系，将数轴三要素、两点距离、动点问题等6个核心考点按“基础概念-综合应用”递进组织，并用错题警示模块分题型归纳易错点，如数轴三要素遗漏、绝对值非负性误用等，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与“避坑攻略”指导，基础题型如数轴表示与距离计算夯实基础，提升题型如含字母绝对值化简培养推理意识，培优题型如多动点相遇问题发展创新意识。每个题型配有例题与变式题，如数轴隐藏原点问题引导学生用数学思维分析，助力分层提升，教师可据此实施精准教学，学生自主复习时能明确薄弱点。

专题04 数轴与绝对值综合应用 期末考点 复习目标 考察形式 1.数轴三要素与数的表示 1.掌握数轴原点、正方向、单位长度三要素； 2.能准确在数轴上表示有理数（含分数、负数）； 3.理解数与数轴点的一一对应关系 基础题（选择/填空1题）：判断数轴正误、标数 2.数轴上两点距离 1.掌握两点距离公式； 2.能直接计算数轴上已知点的距离 基础/中档题（选择/填空/解答小题） 3.数轴动点问题 1.掌握动点平移规律“左减右加”； 2.能解决单动点、双动点的位置与距离问题 中档/压轴题（解答题1-2题） 4.绝对值定义与非负性 1.理解绝对值的代数意义（）； 2.掌握“非负项和为0则每项均为0” 基础/中档题（选择/填空/解答小题） 5.绝对值几何意义 1.理解表示与的距离； 2.能解决简单绝对值最值问题 中档/压轴题（选择/解答） 6.数轴与绝对值综合应用 1.能结合数轴分析绝对值化简、最值； 2.解决情境化、跨学科类综合问题 1.压轴题（解答最后1题）； 2.融合情境/探究 【题型1】数轴概念辨析与表示 1.易错点总结 遗漏数轴三要素（原点、正方向、单位长度），尤其忽略“单位长度统一”； 负数、分数在数轴上标位错误（如将标在左侧，分数标在整数间隔外）； 混淆“数轴上的点”与“有理数”（误认为数轴上所有点都表示有理数）。 2.避坑攻略 画数轴时“三要素缺一不可”，单位长度需均匀分布，正方向用箭头标注； 标数前先确定原点位置，负数从原点向左、正数向右，分数/小数标在对应整数间隔的等分点； 牢记“数轴上的点对应实数，有理数只是其中一部分”，避免概念混淆。 【例题1】.（25-26七年级上·广东广州·期中）在数轴上表示所给各数3，0，，2，，并按从小到大的顺序排列． 【变式题1-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【变式题1-2】.（25-26七年级上·宁夏固原·月考）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【题型2】绝对值非负性应用误区 1.易错点总结 忽略绝对值的非负本质，出现“”这类错误列式； 多个非负项相加为0时，漏解“每项均为0”（如，只求或只求）； 混淆“非负性”与“正数”（误认为，忽略时)。 2.避坑攻略 牢记核心性质：任意实数的绝对值均为非负()，不存在绝对值为负数的情况； 遇“”形式，直接套用“每项均为0”(因非负项相加只能得0或正数)； 判断绝对值符号时，先验证字母是否为0，再分正负讨论。 【例题2】.（25-26六年级上·上海普陀·月考）如果，下列成立的是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式题2-1】.（25-26七年级上·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则a必为负数 B．绝对值不大于3的整数有6个，分别是，， C．若，则，反之，若，则 D．任意有理数的绝对值都是非负数 【变式题2-2】.（25-26七年级上·甘肃·期末）已知，则的值是（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山西吕梁·期中）已知a，b都是有理数，若，则a，b的值分别为（    ） A．1，3 B．，3 C．1， D．， 【基础题型】 【题型3】数轴上两点距离的基础计算 1.期末考点总结 两点距离公式的直接应用； 数轴上“左减右加”规律与距离的关联。 2.解题攻略 核心公式：数轴上点与点的距离为； 简化技巧：若，距离可直接表示为(“右减左”)，无需绝对值符号； 步骤：先确定两点对应的数，再代入公式计算，避免混淆左右位置。 【例题3】.（25-26七年级上·江西南昌·月考）数轴上表示数的点到原点的距离是 ． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·海南海口·期中）已知数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为，则点B表示的数为（    ） A． B．7 C．或1 D．7或 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知点在数轴原点的右侧，到原点的距离等于，将点向左平移个单位长度后得到点． (1)请写出点和点表示的数，并在数轴上标出点和点； (2)求点到原点的距离； (3)如果数轴上点到点和点的距离相等，请写出点所表示的数． 【提升题型】 【题型4】绝对值与相反数的综合判断 1.期末考点总结 相反数的定义(符号不同、绝对值相等)； 绝对值与相反数的关联(与的绝对值相等)。 2.解题攻略 核心关联：若与互为相反数，则且； 判断技巧：先求数的绝对值，再看符号是否相反(0的相反数是自身)； 易错提醒：不要混淆“相反数”与“绝对值相等的数”(绝对值相等的数可能相等或互为相反数)。 【例题4】.（25-26七年级上·福建莆田·期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和3 B．和 C．和 D．和 【变式题4-1】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）下列语句正确的个数是（ ） ①负数没有绝对值；②如果a是正数，那么一定是负数；③正数的相反数一定是负数；④不存在既不是正数，也不是负数的数；⑤非负数就是正数和零 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式题4-2】.（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）下列说法中正确的有（　）个 与的平方差是 必与互为相反数 绝对值相等的两数一定相等 已知、为正整数，则多项式的次数是 是负分数 A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2025七年级上·河北·专题练习）已知数m，n表示的点在数轴上的位置如图所示，括号内分别表示m，n的相反数，的位置． (1)在括号内填空； (2)若数m与其相反数相距24个单位长度， ①求m的值； ②若数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，求n的值． 【题型5】数轴上动点的单方向运动问题 1.期末考点总结 动点平移规律“左减右加”； 动点位置与距离的动态计算。 2.解题攻略 设动点初始位置为，运动方向：向右运动个单位后位置为，向左运动个单位后位置为； 步骤：①确定初始位置；②根据运动方向和距离列代数式；③结合问题求位置或距离； 关键：标注运动方向，避免“左加右减”的反向错误。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是 （用含有t的代数式表示）． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）在数轴上，点分别表示数，且．记 (1)求的值； (2)如图，点分别从两点同时出发，都沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点C从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度，运动时间为4秒，分别写出点P、点Q、点C所表示的数． 【题型6】含字母的绝对值化简 1.期末考点总结 绝对值的代数意义； 根据字母取值范围化简含绝对值的代数式。 2.解题攻略 第一步：判断字母的正负性或取值范围(通过数轴、已知条件确定)； 第二步：根据正负性去绝对值符号(正数/非负数保留原式，负数变为相反数)； 第三步：合并同类项，化简结果； 【例题6】.（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知三个有理数a，b，c在数轴上的对应的位置如下图所示，且a、c互为相反数，则化简后的结果是 ． 【变式题6-1】.（15-16七年级上·江苏无锡·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【变式题6-2】.（25-26六年级上·上海普陀·月考）如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 【培优题型】 【题型7】数轴上多动点的相遇与追及问题(培优题型) 1.期末考点总结 分类讨论思想、方程思想的应用； 多动点运动过程中位置关系的分析。 2.解题攻略 设运动时间为(单位：秒/个单位时间)，分别表示出每个动点的位置(用的代数式)； 相遇问题：两动点位置相等，列方程求解； 追及问题：两动点距离为0或固定值，结合距离公式列方程； 关键：分情况讨论运动方向(同向、异向)，避免漏解。 【例题7】.（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【变式题7-1】.（25-26七年级上·山西·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点、点表示的数分别为，且，则两点之间的距离可表示为，若，则两点之间的距离可表示为；线段的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为__________；点表示的数为__________． (2)求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·四川泸州·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且． (1) ， ， ； (2)若点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动．点P与点Q同时出发，经过多少秒后，点P与点Q距离为2； (3)在（2）的条件下，当点P与点Q相遇后，两点都立即掉头，速度不变，此时点N开始从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，当时，P、Q、N停止运动，请直接写出点P从A点出发到停止运动所用的总时长． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·山东滨州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， 求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？此时点P位于数轴上哪个位置？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？此时点P位于数轴上哪个位置？ 【题型8】绝对值几何意义的最值问题(培优题型) 1.期末考点总结 的几何意义(与的距离)； 形如()的最小值求解。 2.解题攻略 核心规律：表示数轴上到的距离； 最值结论：()的最小值为，当且仅当时取得最小值； 解题步骤：①将式子转化为“距离和”；②在数轴上找到对应点；③确定最小值的取值范围和结果。 【例题8】.（25-26七年级上·四川眉山·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点A到点B的距离记为，即．且、满足 ，根据以上条件完成下列各题： (1) ， ． (2)若数轴上有一点C，且C点到A点的距离是5，则C 点表示的数为 ． (3)代数式的最小值是 ． (4)点Q从A点以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动，同时点P从B点以3个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，但点P到达点A处立刻返回不改变原来的速度沿着数轴的正方向运动，设点Q运动的时间为，在此过程中是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·四川泸州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·安徽宿州·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现： 定义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上所对应的点到原点的距离． 如：表示在数轴上所对应的点到原点0的距离，于是可以看作，即．那么可看成数轴上表示2和表示1的两点间的距离，即；而，即可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离，即． 根据上面的发现，姗姗进行了探索： 将看成数轴上表示x与表示3的两点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的两点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：表示到表示3和表示的两点距离之和，当取3与之间（包括3和）的某个数时，有最小值，其最小值为表示3与表示的两点在数轴的距离．请你借助数轴，解决下列问题： (1)可看成数轴上表示_______和表示______的两点间的距离； (2)若，求x的值； (3)当的最小值为4时，求最小整数x的值； (4)若的最小值为3，求a的值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．10 2．（25-26七年级上·全国·期中）数轴上点A表示，点B表示1，线段AB的长度是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·福建三明·月考）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（       ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·陕西延安·月考）如图，已知数轴上每相邻两个点之间的距离为1个单位长度（例如点与点之间的距离为3个单位长度）．若数轴上点与点表示的数之和为0，则点表示的数是（   ） A．－1 B． C．0 D． 5．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·期中）若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为 ． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知a为有理数，则的最小值为 ． 8．（25-26七年级上·四川成都·期中）在数轴上与2距离为5个单位的点所表示的数是 ． 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在数轴上点A表示，点B表示a，A、B两点之间相距12个单位长度，则 ． 三、解答题 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在数轴上表示下列各数，，0，，．并把它们用“＜”连接． 11．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知一条直线上有四个点A，B，C，D，其中，，．请在给定的直线上确定一点作为原点，建立数轴，并写出这四个点所表示的数． 13．（25-26七年级上·河南郑州·月考）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． (1)数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 15．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数轴与绝对值综合应用 期末考点 复习目标 考察形式 1.数轴三要素与数的表示 1.掌握数轴原点、正方向、单位长度三要素； 2.能准确在数轴上表示有理数（含分数、负数）； 3.理解数与数轴点的一一对应关系 基础题（选择/填空1题）：判断数轴正误、标数 2.数轴上两点距离 1.掌握两点距离公式； 2.能直接计算数轴上已知点的距离 基础/中档题（选择/填空/解答小题） 3.数轴动点问题 1.掌握动点平移规律“左减右加”； 2.能解决单动点、双动点的位置与距离问题 中档/压轴题（解答题1-2题） 4.绝对值定义与非负性 1.理解绝对值的代数意义（）； 2.掌握“非负项和为0则每项均为0” 基础/中档题（选择/填空/解答小题） 5.绝对值几何意义 1.理解表示与的距离； 2.能解决简单绝对值最值问题 中档/压轴题（选择/解答） 6.数轴与绝对值综合应用 1.能结合数轴分析绝对值化简、最值； 2.解决情境化、跨学科类综合问题 1.压轴题（解答最后1题）； 2.融合情境/探究 【题型1】数轴概念辨析与表示 1.易错点总结 遗漏数轴三要素（原点、正方向、单位长度），尤其忽略“单位长度统一”； 负数、分数在数轴上标位错误（如将标在左侧，分数标在整数间隔外）； 混淆“数轴上的点”与“有理数”（误认为数轴上所有点都表示有理数）。 2.避坑攻略 画数轴时“三要素缺一不可”，单位长度需均匀分布，正方向用箭头标注； 标数前先确定原点位置，负数从原点向左、正数向右，分数/小数标在对应整数间隔的等分点； 牢记“数轴上的点对应实数，有理数只是其中一部分”，避免概念混淆。 【例题1】.（25-26七年级上·广东广州·期中）在数轴上表示所给各数3，0，，2，，并按从小到大的顺序排列． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先在数轴上表示出各数，再根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示如下所示： 则． 【变式题1-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，直接利用数轴的性质分别分析得出答案即可． 【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，说法正确，故选项A不合题意； B、在数轴上表示3和的两个点之间的距离是，说法正确，故选项B不合题意； C、数轴上存在可以表示的点，故原说法正确，选项C不合题意； D、可以表示正数，因此数轴上表示的点不一定在原点的左边，说法错误，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·宁夏固原·月考）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可． 【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线， 选项A的数轴单位长度不统一，因此选项A不正确，不符合题意； 选项B的数轴无原点因，此选项B不正确，不符合题意； 选项C符合数轴的意义，正确，符合题意； 选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 【题型2】绝对值非负性应用误区 1.易错点总结 忽略绝对值的非负本质，出现“”这类错误列式； 多个非负项相加为0时，漏解“每项均为0”（如，只求或只求）； 混淆“非负性”与“正数”（误认为，忽略时)。 2.避坑攻略 牢记核心性质：任意实数的绝对值均为非负()，不存在绝对值为负数的情况； 遇“”形式，直接套用“每项均为0”(因非负项相加只能得0或正数)； 判断绝对值符号时，先验证字母是否为0，再分正负讨论。 【例题2】.（25-26六年级上·上海普陀·月考）如果，下列成立的是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则a必为负数 B．绝对值不大于3的整数有6个，分别是，， C．若，则，反之，若，则 D．任意有理数的绝对值都是非负数 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、若，则，不一定为负数，故A选项不符合题意； B、绝对值不大于3的整数包括，，和0，共7个，故B选项不符合题意； C、若，则正确；但反之若，则，故C选项不符合题意； D、任意有理数的绝对值都是非负数，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·甘肃·期末）已知，则的值是（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值．根据绝对值的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 即一定是非正数． 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山西吕梁·期中）已知a，b都是有理数，若，则a，b的值分别为（    ） A．1，3 B．，3 C．1， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，根据平方项和绝对值项均非负，且它们的和为零，则每一项必须为零，由此计算即可得解，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得：，， 故选：C． 【基础题型】 【题型3】数轴上两点距离的基础计算 1.期末考点总结 两点距离公式的直接应用； 数轴上“左减右加”规律与距离的关联。 2.解题攻略 核心公式：数轴上点与点的距离为； 简化技巧：若，距离可直接表示为(“右减左”)，无需绝对值符号； 步骤：先确定两点对应的数，再代入公式计算，避免混淆左右位置。 【例题3】.（25-26七年级上·江西南昌·月考）数轴上表示数的点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义．数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：表示数的点到原点的距离为， 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·海南海口·期中）已知数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为，则点B表示的数为（    ） A． B．7 C．或1 D．7或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，熟练掌握数轴上两点间的距离右边的数左边的数，是解题的关键．根据数轴上两点距离公式计算即可，注意分两种情况讨论． 【详解】解：数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为， 当点A在点B的左侧时，则点B表示的数为， 当点A在点B的右侧时，则点B表示的数为． 故选：C． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是 ． 【答案】18或27 【分析】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【详解】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知点在数轴原点的右侧，到原点的距离等于，将点向左平移个单位长度后得到点． (1)请写出点和点表示的数，并在数轴上标出点和点； (2)求点到原点的距离； (3)如果数轴上点到点和点的距离相等，请写出点所表示的数． 【答案】(1)图见解析，点表示的数是，点表示的数是 (2) (3) 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，绝对值的几何意义，线段中点，掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． （1）根据题干在数轴上标出点和点即可； （2）点到原点的距离即求点表示的数的绝对值； （3）由题意可知为中点，由中点公式即可得出． 【详解】（1）解：∵点在数轴原点的右侧，到原点的距离等于， ∴点表示的数是， ∵将点向左平移个单位长度后得到点， ∴点表示的数是； （2）∵点到原点的距离即为这个点表示的数的绝对值， ∴点到原点的距离为； （3）∵数轴上点到点和点的距离相等， ∴点表示的数是． 【提升题型】 【题型4】绝对值与相反数的综合判断 1.期末考点总结 相反数的定义(符号不同、绝对值相等)； 绝对值与相反数的关联(与的绝对值相等)。 2.解题攻略 核心关联：若与互为相反数，则且； 判断技巧：先求数的绝对值，再看符号是否相反(0的相反数是自身)； 易错提醒：不要混淆“相反数”与“绝对值相等的数”(绝对值相等的数可能相等或互为相反数)。 【例题4】.（25-26七年级上·福建莆田·期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和3 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等、符号不同的两个数互为相反数，把各组的数化简后，利用相反数的定义进行判断即可. 【详解】选项A：，3与3相等，和不为0，不互为相反数； 选项B：，，两数相等，和不为0，不互为相反数； 选项C：与，数值不同，和不为0，不互为相反数； 选项D：，，7与符号不同，和为0，互为相反数． 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）下列语句正确的个数是（ ） ①负数没有绝对值；②如果a是正数，那么一定是负数；③正数的相反数一定是负数；④不存在既不是正数，也不是负数的数；⑤非负数就是正数和零 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、相反数、正负数的定义. 根据绝对值、相反数、正负数的定义逐一判断各语句正误． 【详解】解：① ∵绝对值表示数到原点的距离，总是非负，负数也有绝对值（如），∴①错误； ② ∵a是正数，则表示其相反数，必为负数，∴②正确； ③ ∵正数的相反数必为负数，∴③正确； ④ ∵零既不是正数也不是负数，∴④错误； ⑤ ∵非负数指大于或等于零的数，即正数和零，∴⑤正确； 综上，正确语句为②、③、⑤，共3个． 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）下列说法中正确的有（　）个 与的平方差是 必与互为相反数 绝对值相等的两数一定相等 已知、为正整数，则多项式的次数是 是负分数 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，相反数定义，有理数概念，多项式定义等知识，根据列代数式，相反数定义，绝对值意义，有理数概念，多项式定义等知识逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 与的平方差是，原说法错误，不符合题意； 必与互为相反数，原说法正确，符合题意； 绝对值相等的两数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意； 已知、为正整数，则多项式的次数是，原说法错误，不符合题意； 不是有理数，不属于负分数，原说法错误，不符合题意； 综上，仅正确，正确个数为， 故选：． 【变式题4-3】.（2025七年级上·河北·专题练习）已知数m，n表示的点在数轴上的位置如图所示，括号内分别表示m，n的相反数，的位置． (1)在括号内填空； (2)若数m与其相反数相距24个单位长度， ①求m的值； ②若数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，求n的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，相反数，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，结合数轴，即可作答； （2）根据数m与其相反数相距24个单位长度，且，得出， ②由得，因为数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，且结合数轴得在点的左边，列式计算得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： （2）①数m与其相反数相距24个单位长度， ∴， 又， ∴． 答：m的值为； ②由得， ∵数n表示的点与数m的相反数表示的点相距4个单位长度，且结合数轴得在点的左边， ∴． 答：n的值为8． 【题型5】数轴上动点的单方向运动问题 1.期末考点总结 动点平移规律“左减右加”； 动点位置与距离的动态计算。 2.解题攻略 设动点初始位置为，运动方向：向右运动个单位后位置为，向左运动个单位后位置为； 步骤：①确定初始位置；②根据运动方向和距离列代数式；③结合问题求位置或距离； 关键：标注运动方向，避免“左加右减”的反向错误。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是 （用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出距离，分从A到B点和从B点返回两种情况解答，利用距离除以速度等于时间求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4． (1)点表示的数为______； (2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒． ①当为何值时，、两点相遇？ ②当点表示的数为2时，求、两点间的距离． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可． 【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4， 点表示的数为， 故答案为：5． （2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动， 点表示的数为， 点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动， 点表示的数为， 点、在数轴上表示的数分别是，1， 当、相遇时，有， 解得， 故当时，、两点相遇； ②由①可知，当点表示的数为2时，即， 解得， 此时点表示的数为， 点表示的数为5， 点、两点间的距离， 故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·山东临沂·阶段练习）在数轴上，点分别表示数，且．记 (1)求的值； (2)如图，点分别从两点同时出发，都沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点C从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度，运动时间为4秒，分别写出点P、点Q、点C所表示的数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上点的表示． （1）根据非负数的性质求出、的值，利用两点间的距离公式求出； （2）根据路程速度时间分别用含的式子分别写出点、点、点所表示的数． 【详解】（1）解：， ，， ，， ； （2）解：点，分别从，两点同时出发，都沿数轴向右运动，点的速度是每秒4个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，点从原点出发沿数轴向右运动，速度是每秒3个单位长度， 运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 【题型6】含字母的绝对值化简 1.期末考点总结 绝对值的代数意义； 根据字母取值范围化简含绝对值的代数式。 2.解题攻略 第一步：判断字母的正负性或取值范围(通过数轴、已知条件确定)； 第二步：根据正负性去绝对值符号(正数/非负数保留原式，负数变为相反数)； 第三步：合并同类项，化简结果； 【例题6】.（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知三个有理数a，b，c在数轴上的对应的位置如下图所示，且a、c互为相反数，则化简后的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，整式的加减运算，在数轴上表示有理数，利用数轴判断式子的正负性，化简绝对值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由，得，，则，再化简绝对值，即可作答． 【详解】解：观察数轴得， ∴，， ∵a、c互为相反数， ∴， 故答案为：． 【变式题6-1】.（15-16七年级上·江苏无锡·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)＜；＜；＞ (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义、有理数的加减运算及合并同类项，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义、有理数的加减运算及合并同类项是解题的关键； （1）由数轴可知，则有，然后问题可求解； （2）根据（1）中结论及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，则有， ∴； 故答案为＜；＜；＞； （2）解：由（1）可得： ． 【变式题6-2】.（25-26六年级上·上海普陀·月考）如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的计算公式，根据当一个代数式的绝对值等于它的相反数时，该代数式为非正数，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴； 故选：C． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）式子的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性这一性质．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴A、B、C选项不符题意，D选项符合题意， 故选：D． 【培优题型】 【题型7】数轴上多动点的相遇与追及问题(培优题型) 1.期末考点总结 分类讨论思想、方程思想的应用； 多动点运动过程中位置关系的分析。 2.解题攻略 设运动时间为(单位：秒/个单位时间)，分别表示出每个动点的位置(用的代数式)； 相遇问题：两动点位置相等，列方程求解； 追及问题：两动点距离为0或固定值，结合距离公式列方程； 关键：分情况讨论运动方向(同向、异向)，避免漏解。 【例题7】.（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据数轴上两点之间的距离，计算求解即可； （2）由题意知，运动过程中，P点表示的数为，Q点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可； 由题意可知，之间的距离为分为：当P不超过Q时，当P超过Q时，分别计算求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点A表示的数为6， 则 点B在原点左边， 数轴上点B所表示的数为； 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点P运动t秒的长度为， P所表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； 当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·山西·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点、点表示的数分别为，且，则两点之间的距离可表示为，若，则两点之间的距离可表示为；线段的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为__________；点表示的数为__________． (2)求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 【答案】(1)①，；②； (2) (3)当为或时，，此时的中点表示的数分别为和 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）①根据题意解答即可得到答案；②根据题意列出代数式即可； （）当两点相遇时，两点表示的数相等，列方程求解即可； （）秒后，点表示的数，点表示的数为，然后分两种情况求解：①当点在点右侧时；②当点在点左侧时，根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为，点表示的数为， ∴两点间的距离，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； ②由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， ，两点相遇时，， 解得， ∴此时相遇点所表示的数为：； （3）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， 分两种情况：①当点在点右侧时，， ∵， ∴， 解得， 此时点表示的数，点表示的数为， ∴此时的中点表示的数为； ②当点在点左侧时，， ∵， ∴， 解得， 此时点表示的数，点表示的数为， ∴此时的中点表示的数为； 综上，当为或时，，此时的中点表示的数分别为和． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·四川泸州·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且． (1) ， ， ； (2)若点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动．点P与点Q同时出发，经过多少秒后，点P与点Q距离为2； (3)在（2）的条件下，当点P与点Q相遇后，两点都立即掉头，速度不变，此时点N开始从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，当时，P、Q、N停止运动，请直接写出点P从A点出发到停止运动所用的总时长． 【答案】(1)，2，8； (2)4秒或秒； (3)． 【分析】本题考查非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用： （1）根据非负性，进行求解即可； （2）求出点表示的数，利用两点间的距离列出方程进行求解即可； （3）求出相遇时点表示的数和所用时间，设从相遇开始，经过秒，，列出方程求出的值，进而求出总时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴； 故答案为：，2，8； （2）设运动t秒，则点表示的数为，点表示的数为， 当点P与点Q距离为2时，， 解得或； （3）由（2）可知，当相遇时，， 解得， 此时表示的数为， 设从相遇开始，经过秒，，此时点表示的数为，点表示，点表示的数为， 当第一次达到时，P、Q、N停止运动，此时点在点的右侧， ∴，， ∴，解得， ∴点P从A点出发到停止运动所用的总时长为． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·山东滨州·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发， 求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？此时点P位于数轴上哪个位置？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？此时点P位于数轴上哪个位置？ 【答案】(1)，； (2)①当点运动秒时，点与点相遇，此时点P位于数轴上处；②当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度，此时点P位于数轴上0处；当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度，此时点P位于数轴上处 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，一元一次方程的应用，列代数式，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可先求出点表示的数为，由点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，得点运动秒的长度为，即可表示出点； （2）①先分别表示出点所表示的数为：，点所表示的数为：，根据点P与点Q相遇，进行列式计算，即可作答． ②理解题意，因为点P与点Q间的距离为8个单位长度，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点， ， 则， 数轴上点表示的数为； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 点运动秒的长度为， 点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：∵动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为秒． ∴点所表示的数为：，点所表示的数为：， ①设点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 即当点运动秒时，点与点相遇； ∴此时点所表示的数为：； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， ∵点所表示的数为：，点Q所表示的数为：， 则， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点所表示的数为：；或当时，点所表示的数为：； 【题型8】绝对值几何意义的最值问题(培优题型) 1.期末考点总结 的几何意义(与的距离)； 形如()的最小值求解。 2.解题攻略 核心规律：表示数轴上到的距离； 最值结论：()的最小值为，当且仅当时取得最小值； 解题步骤：①将式子转化为“距离和”；②在数轴上找到对应点；③确定最小值的取值范围和结果。 【例题8】.（25-26七年级上·四川眉山·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点A到点B的距离记为，即．且、满足 ，根据以上条件完成下列各题： (1) ， ． (2)若数轴上有一点C，且C点到A点的距离是5，则C 点表示的数为 ． (3)代数式的最小值是 ． (4)点Q从A点以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动，同时点P从B点以3个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，但点P到达点A处立刻返回不改变原来的速度沿着数轴的正方向运动，设点Q运动的时间为，在此过程中是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或3 (3)5 (4)存在， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）根据绝对值的非负性作答即可； （2）根据两点间的距离公式计算即可； （3）分三种情况计算即可； （4）分点P到达点A处前、点P到达点A处后，分别分P、Q相遇前后两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：∵点A表示的数是，C点到A点的距离是5， ∴C点表示的数为或， 故答案为：或3； （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，代数式的最小值是5， 故答案为：5； （4）解：， 点P到达点A处前： P、Q相遇前：，解得； P、Q相遇后：，解得； 点P到达点A处时，， 点P到达点A处后： P、Q相遇前：，解得； P、Q相遇后：，解得； 综上所述，存在使得点，． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·四川泸州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 【答案】（1）或1；（2）；（3）或5；（4） 【分析】本题考查了绝对值以及绝对值方程，掌握绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据绝对值求解即可； （2）根据绝对值几何意义求解即可； （3）由（2）可知，的最小值为，则当时，或，再分别求解即可； （4）根据绝对值几何意义求解即可；． 【详解】解：（1）当时，， 解得：或1， 故答案为：或1； （2）表示到4和的距离和， 当时，有最小值，最小值， 故答案为：6； （3）由（2）可知，的最小值为， 则当时，在左侧或的右侧，即或， 当时，，解得：； 当时，，解得：， 故答案为：或5； （4）表示到、2、5的距离和， 则当时，距离和最小为， 即的最小值为8， 故答案为：8． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 【答案】（1），或；（2）当时，的值最小，最小值为5；（3）12 【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及化简绝对值： （1）直接利用距离公式列方程求解； （2）利用数轴上两点距离和的最小值原理，当点位于两点之间时和最小； （3）通过绝对值的几何意义得出当时，最小，当时，最小，再分别求解之后比较即可． 【详解】解：（1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为， ∴或， ∴或， 故答案为：，或；． （2）表示点到的距离，表示点到的距离． ∴表示点到和的距离之和． 当点在和之间时，距离之和最小，最小值为到的距离，即． ∴当时，的值最小，最小值为． （3）， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 所以，当时，取最小值为． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·安徽宿州·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现： 定义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上所对应的点到原点的距离． 如：表示在数轴上所对应的点到原点0的距离，于是可以看作，即．那么可看成数轴上表示2和表示1的两点间的距离，即；而，即可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离，即． 根据上面的发现，姗姗进行了探索： 将看成数轴上表示x与表示3的两点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的两点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：表示到表示3和表示的两点距离之和，当取3与之间（包括3和）的某个数时，有最小值，其最小值为表示3与表示的两点在数轴的距离．请你借助数轴，解决下列问题： (1)可看成数轴上表示_______和表示______的两点间的距离； (2)若，求x的值； (3)当的最小值为4时，求最小整数x的值； (4)若的最小值为3，求a的值． 【答案】(1)2， (2)x的值为或5 (3)x的最小整数值是 (4)或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的几何意义，将绝对值表达式转化为两个数在数轴上对应点间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，表示x到2的距离为3，从而求出x的值； （3）根据绝对值的几何意义，表示x到1和的距离之和，当x在和1之间时，距离之和最小，为4，从而求出最小整数x的值； （4）根据绝对值的几何意义，表示x到和的距离之和，当x在和之间时，距离之和最小，为3，从而求出a的值． 【详解】（1）解：可看成数轴上表示2和表示的两点间的距离； 故答案为：2，． （2）解：∵可看成数轴上表示x的点到表示2的点的距离为3， ∴x的值为或5． （3）解：∵表示x到表示1和表示的两点之间的距离之和，且最小值为4， ∴x为数轴上表示1与两点之间（包括1和）的某个点． ∴x的最小整数值是． （4）解：表示数轴上到与到-1两点之间的距离之和， 当介于与-1之间时，的值最小，其最小值为表示与表示-1的两点在数轴上的距离． 的最小值为3， ∴与的距离为3， ∴或， 解得或． 同步练习 一、单选题 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的知识，数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和． 【详解】解：∵ 点M到原点的距离是5， ∴点M表示的数是5或． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·期中）数轴上点A表示，点B表示1，线段AB的长度是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点距离公式，掌握知识点是解题的关键． 根据数轴上两点距离公式，距离等于两点坐标差的绝对值，即可解答． 【详解】解：∵点A表示，点B表示1， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级上·福建三明·月考）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断实数的大小与绝对值关系，解题的关键是根据数轴上点的位置，准确判断各数的正负、大小以及到原点的距离，易错点在于观察点位置不仔细（如误判b为正数），以及对绝对值几何意义（表示点到原点的距离）的理解偏差．首先观察数轴上点的位置，确定它们的大致数值范围及正负性，然后逐一分析四个选项是否正确． 【详解】选项A、在的左边，∴，选项A错误，不符合题意； 选项B、在的左边，∴，选项B错误，不符合题意； 选项C、在的左边，在的右边，到的距离大于到的距离，∴，选项C错误，不符合题意； 选项D、，都在的左边，到的距离小于到的距离，∴，选项D正确，符合题意； 故选D． 4．（25-26七年级上·陕西延安·月考）如图，已知数轴上每相邻两个点之间的距离为1个单位长度（例如点与点之间的距离为3个单位长度）．若数轴上点与点表示的数之和为0，则点表示的数是（   ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数， 先求出，再根据题意可得，进而求出，然后根据点P的位置得出答案． 【详解】解：设原点为O，根据题意可知， 所以． 因为点M与点N表示的数之和为0， 所以， 所以． 因为点P在原点的左侧， 所以点P表示的数是． 故选：B． 5．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是 ， ∴原点对应 的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·全国·期中）若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值定义、数轴上两点之间距离等知识，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，求出的值，再由数轴上两点之间距离表示分类计算所有组合的距离，比较大小即可得最大距离． 【详解】解： ，， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 点和点两点间的最大距离为， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知a为有理数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，，从而确定表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 故最小值为3． 故答案为：3． 8．（25-26七年级上·四川成都·期中）在数轴上与2距离为5个单位的点所表示的数是 ． 【答案】和7 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据数轴上两点距离的定义，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：由题意得，在数轴上与2距离为5个单位的点所表示的数是或， 故答案为：和7． 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在数轴上点A表示，点B表示a，A、B两点之间相距12个单位长度，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式． 根据数轴上两点间的距离公式，分点在点的左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】解：当点在点的左侧时，； 当点在点的右侧时，； 故答案为：或． 三、解答题 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在数轴上表示下列各数，，0，，．并把它们用“＜”连接． 【答案】图见解析， 【分析】知识点：数轴表示数、绝对值/相反数化简、数的大小比较．方法：先化简各数，再在数轴上标注，根据数轴左小右大比较．关键：正确化简符号（如、）．易错点：符号化简错误；数轴上数的位置标错． 化简各数：、；在数轴上标注0、2、3、；按数轴从左到右顺序用“<”连接：． 【详解】解：、； 如图所示： ． 11．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知一条直线上有四个点A，B，C，D，其中，，．请在给定的直线上确定一点作为原点，建立数轴，并写出这四个点所表示的数． 【答案】数轴见解析，四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，， 【分析】本题考查在直线上建立数轴，熟练掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）是解题的关键．根据给定的线段长度和方向，在直线上建立数轴，并确定A，B，C，D所表示的数． 【详解】解：如图，以点C为原点，向右方向为正方向，长为1个单位长度建立数轴， 四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，，． 13．（25-26七年级上·河南郑州·月考）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 【答案】(1)①4；②，1或 (2)或1 (3)①1；②5；③4 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）①数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 当，即， 所以或， 解得或， 故答案为：1或； （2）若代数式的最小值是3， 即， 所以或， 解得或， 故答案为：或1； （3）①当有最小值是， 故答案为：1； ②当时，有最小值，最小值为， 故答案为：5； ③当时，有最小值，最小值为， 故答案为：4． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． (1)数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 【答案】(1)，8； (2)①；②2秒或4秒 【分析】知识点：非负数性质、数轴动点问题（相遇/距离）．方法：利用非负数和为0求数，用“路程差=速度差×时间”解动点问题．关键：分相遇前/后讨论距离问题．易错点：忽略距离问题的两种情况． （1）求A、B表示的数：由，得，． （2）动点问题： ① 算初始距离（12）、速度差（4），得相遇时间（3秒），再算P移动后的数． ② 分相遇前、相遇后，分别算时间． 【详解】（1）由，得，，故： 点A表示的数是，点B表示的数是8． 故答案为：，8． （2）① 求相遇时点P对应的数 初始距离：，速度差：，相遇时间：秒． 点P移动的距离：，对应数：． ② 求相距4个单位的时间 分两种情况： 相遇前：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒； 相遇后：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒． 故点P出发2秒或4秒后，与Q相距4个单位． 15．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $