精品解析：福建省厦门第六中学2026届高三上学期第二次模拟考试数学试题

厦门六中2025届高三第二次模拟 数 学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设全集是实数集，，，则等于 （　　） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. 且 B. C. D. 10. 关于函数，下列描述正确的有（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 若则 D. 有且仅有两个零点 11. 已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心是 B. C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 函数在上有5个零点，则的取值范围为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知是第三象限角，则______. 13. 若函数存在极值点，则实数a的取值范围为________． 14. 已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数，. （1）求函数的单调递增区间； （2）求时，函数的值域. 16. 在中，角的对边分别为．已知． （1）若，，求； （2）若，求的值. 17. 已知函数． （1）若在定义域上单调递增，求实数的最小值； （2）当时， ①判断曲线是否为中心对称图形，若是，求出函数的对称中心，若不是，说明理由； ②解不等式． 18. 已知函数. （Ⅰ）若，讨论函数的单调性； （Ⅱ）若，证明：. 19. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中． （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）已知函数，求曲线的曲率的最大值； （3）已知函数，若曲率为0时x的最小值分别为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门六中2025届高三第二次模拟 数 学 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设全集是实数集，，，则等于 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据集合的交集的运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由得，进而根据充分不必要条件求解即可. 【详解】若则， 若，只有当时才可推出，则， 故是的充要条件. 故选：C. 3. 已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径，表示出圆锥母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，解得， 由圆锥的侧面积为，得，即，所以. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数及正弦函数的单调性，借助媒介数比较大小. 【详解】依题意， 所以. 故选：A 5. 函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合已知及奇函数性质求得函数的周期为6，然后利用周期性代入对数函数求解即可. 【详解】由题意，函数是R上的奇函数，所以，所以， 又，所以， 所以，因此函数为周期函数，周期， 所以. 故选：C 6. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得. 【详解】，，则， 作出函数的图象，可知是上的增函数. 又，是奇函数. 不等式可化为， 所以，则，即，解得， 不等式的解集是. 故选：B. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合正弦定理得：，再利用平方和公式，结合三角函数的符号求的值. 【详解】因为，， 由正弦定理得：. 由余弦定理可得：，即， 所以， 所以， 又，， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为对任意的，当时时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围． 【详解】， 所以得. 进而， 故， 由于对任意的，当时， 恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在单调递减， 所以其中，解得. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A；利用特值法判断BC；利用不等式的性质及对数的性质判断D. 【详解】∵，且，∴， ∴且，故A正确； 取，则，故B错误； 取，则，故C错误； ∵且，，∴，∴， ∴，故D正确. 故选：AD. 10. 关于函数，下列描述正确的有（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 若则 D. 有且仅有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项． 【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象， 再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位， 最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图， 由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确； ，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图， 如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误， 与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心是 B. C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 函数在上有5个零点，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象求得函数解析式，再根据正弦型函数的图象与性质逐项判断即可. 【详解】由题图可知，，所以，所以， 由，得， 由，解得，所以． 对于A，令，则，,故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，函数变换后的解析式为，因为，即为函数，故C正确； 对于D，因为，得，令，则， 由正弦函数图象可知，，解得，故D错误． 故选：BC 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知是第三象限角，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦的差角公式先计算，结合诱导公式及同角三角函数的平方关系再利用正弦的和角公式计算即可. 【详解】因为， 且为第三象限角，所以， 所以 . 故答案为： 13. 若函数存在极值点，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据题意知方程有两个不等的实根，可得出，从而得解. 【详解】因为，可得， 因为函数存在极值点，所以有两不等实根， 则，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___. 【答案】-3 【解析】 【分析】分别求出两函数的导函数，由切线斜率为1求得切点坐标，写出曲线在切点处的切线方程，把的切点代入，可得b与a的关系式，再由导数求最值即可 【详解】解: 令，得，切点为， 令，得，切点为. 切线方程为代入，可得则 令，则,当时，，当时， ∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴即b的最大值为-3. 故答案为：-3. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数，. （1）求函数的单调递增区间； （2）求时，函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令即可得出答案； （2）由得，由此即可求出答案． 【详解】解：； （1）令，得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由得， ∴， 从而函数的值域为． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题． 16. 在中，角的对边分别为．已知． （1）若，，求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知边角等式通过正弦定理转化为三角函数等式，约去共同因子后得到角B的正切值，从而确定角B的具体大小；接着根据已知的两边和其中一边的对角，运用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程计算求值. （2）根据边长比例和正弦定理得到角的正弦值比例关系，结合三角形内角和消去角C，将等式展开并化简得到角A的正切值；然后利用两角差的正切公式，代入已知的角B的正切值，直接计算得到所求正切值；或采用余弦定理先求出第三边，再求角A的三角函数值，最后用两角差公式得到结果. 【小问1详解】 由及正弦定理得，． 因为，所以， 则，即． 因为，所以， 根据余弦定理得， 即，解得或 (舍去)，故． 【小问2详解】 方法一：由和正弦定理，得， 即． ，即， 则得． 所以． 方法二：根据余弦定理得， 则，， 则角A是锐角，故， 则， 所以． 17. 已知函数． （1）若在定义域上单调递增，求实数的最小值； （2）当时， ①判断曲线是否为中心对称图形，若是，求出函数的对称中心，若不是，说明理由； ②解不等式． 【答案】（1）． （2）①是，对称中心为；②． 【解析】 【分析】（1）求导，分析可得在上恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解； （2）①根据题意计算的值，结合中心对称的定义分析证明；②结合函数的对称性整理可得，在结合单调性列式求解，注意函数的定义域. 【小问1详解】 ，其中， 因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立， 又， 又，当且仅当时等号成立，故的最小值为， 所以，得到， 所以，即，所以a的最小值． 【小问2详解】 ①当时，，其中 ， ， 所以， 故曲线为中心对称图形，函数的对称中心为． ②不等式可化为，即， 由第一问可知时，在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 18. 已知函数. （Ⅰ）若，讨论函数的单调性； （Ⅱ）若，证明：. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导，由，得或，讨论两者大小关系确定的正负得单调性即可；（Ⅱ）证，等价为整理得，构造函数，求导确定其最小值即可证明 【详解】（Ⅰ）依题意，，. 令，则或. 当时，，由得，由得； 当时，； 当且，即时，由得， 由得或； 当，即时，由得， 由得或. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增. （Ⅱ）要证：. 即证：， 即证：， 即证：. 令. . 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即. 故当时，. 【点睛】本题考查导数与函数的单调性、最值，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题 19. 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中． （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）已知函数，求曲线的曲率的最大值； （3）已知函数，若曲率为0时x的最小值分别为，求证：． 【答案】（1）1 （2） （3） 由可得， 记，则； 同理由可得， 记，则， 若曲率为0时，即，可得， 化简可得； 令，则，由可得， 则当时，，此时单调递增，且； 当时，，此时单调递减，且； 则的图象如下图所示： 又，结合的图象可得有两解， 设这两解分别为，且， 又， 因为最小，因此， 由，可设， 故， 化简可得，则， 要证，即证， 即，也即， 即证， 令，则， 所以在在区间上单调递增， 故，故. 【解析】 【分析】（1）根据平均曲率的定义，代入计算可得结果； （2）对函数求导，代入曲率计算公式并化简变形利用基本不等式可求得曲线的曲率的最大值为； （3）根据曲率为0可求得，利用导数判断出函数的单调性，可知的两解分别为，且，令可得，对整理变形并构造函数可得出证明. 【小问1详解】 易知单位圆上圆心角为的圆弧， 根据定义可得平均曲率 【小问2详解】 由可得， 又可得； 所以， 易知，当且仅当时，即时等号成立； 所以， 即曲线的曲率的最大值为. 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明不等式时，利用双变量消元技巧找出的关系式，再通过构造函数并利用导函数判断出其单调性，并求得其最值即可证明得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $