精品解析：重庆市渝东九校2025-2026学年高二上学期期中联合性诊断测试数学试题

渝东九校联盟高2027届（高二上）期中联合性诊断测试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 预测难度系数：0.43 命审题学校：梁平一中 涪陵高中 长寿一中 命审题人：温学靖 刘小波 陈艳勤 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号等信息填写在答题卡上. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C. 【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， 解得或. 故选：B 3. 关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ） A. 共线的单位向量都相等 B. 不相等的两个空间向量的模必不相等 C. 相反向量指方向相反的两个向量 D. 任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 4. 若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，结合离心率可求渐近线方程. 【详解】由题意知，所以， 所以的渐近线方程为，即为， 故选：A． 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 7. 已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可； 【详解】 由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 8. 公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线.他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角､直角､钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角､直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆､抛物线和双曲线.如图，四面体中，两两垂直，，，点为底面内的一个动点. ①若，则点的轨迹是椭圆的一部分； ②若，则点的轨迹是抛物线的一部分； ③若，则点的轨迹是双曲线的一部分. 以上几个命题中，真命题的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据梅内克缪斯理论，求出圆锥顶角为锐角，直角还是钝角，进而判断轨迹类型即可. 【详解】对于①：两两垂直，平面， 平面， 点在以为轴的圆锥面上， ， 设圆锥顶角为，则， 所以顶角为锐角，即点的轨迹是椭圆的一部分，故①正确； 对于②：当时，点在以为轴的圆锥面上， ，故， 此时圆锥顶角，为直角， 所以的轨迹是抛物线的一部分，故②正确； 对于③：当时，点在以为轴的圆锥面上， ， ， 所以顶角为钝角，即点的轨迹是双曲线的一部分，故③正确； 综上，真命题的个数为， 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 在轴上的截距为 C. 与坐标轴围成的三角形的面积为 D. 直线到的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；利用截距的定义可判断B选项；求出直线与坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式可判断C选项；利用平行线间的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为直线的方程为，且， 故点在直线上 ，A对； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得，所以在轴上的截距为，B错； 对于C选项，在直线方程中，令，可得， 故直线与坐标轴围成的三角形的面积为，C对； 对于D选项，直线的方程可化为，则直线与直线平行， 所以，直线到的距离为，D错. 故选：AC. 10. 圆和圆的交点为、，则有（ ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将两圆作差，可得出公共弦所在直线的方程，可判断A选项；分析可知，垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；利用几何法求出公共弦的长，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，将两圆方程作差可得， 所以，公共弦所在的直线方程为，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，，则， 又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段， ，所以，直线的方程为，即， 故线段的中垂线方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为， 所以，，C错； 对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对. 故选：ABD. 11. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面所成最大角为 C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：当点为中点时，利用向量证明即可；对于B：当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C：当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D：先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于选项A：当点为中点时， ， 所以，故A正确； 对于选项B：当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于选项C：当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例， 此时，故C正确； 对于选项D：若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则， 则点的轨迹由圆弧构成， 且其所在圆的半径依次为，，圆心角依次为， 圆弧的长分别为， 故点的轨迹的长为，故D正确； 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的长轴长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程结合长轴长定义进行求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在纵轴上 所以，因此椭圆的长轴长为， 故答案为： 13. 已知正方体的棱长为是的三等分点（靠近点），则______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出与，即可得解. 【详解】 以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，故，， 因此. 故答案为： 14. 双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求得的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值. 【详解】由题意可得，设， 由双曲线的定义可得， ， ， 则的周长为， 当且仅当共线，取得最小值，且为， 由题意可得，即， 则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两点和直线方程. （1）判断直线与直线的位置关系； （2）求线段的垂直平分线的方程. 【答案】（1）平行; （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜率相等，截距不相等来判断两直线平行即可； （2）利用垂直关系求中垂线的斜率，即可由点斜式求中垂线方程. 【小问1详解】 因为； 所以直线的方程为：，即， 又因为直线，两直线的斜率都为，且截距不相等， 所以直线与直线平行； 【小问2详解】 由线段中点坐标为，根据垂直关系可得中垂线斜率， 所以中垂线方程为，即. 16. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法来证明线向量与法向量共线，即可得线面垂直； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面， 所以如图建系， 可得， 则， 设平面法向量， ，令，则，所以， 则可得，所以，故直线平面PCD； 【小问2详解】 由题，， 设BM与平面PCB夹角为，设平面PBC法向量 ，令，则，所以， 则， 故与平面夹角正弦值为. 17. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，（ii）或 【解析】 【分析】（1）将圆化为标准方程，求圆心到直线距离，结合弦长公式求半径，进而求出的值. （2）（i）将直线方程整理为含参数的形式，解方程组确定直线所过的定点坐标. （ii）分切线斜率存在与不存在两种情况，利用“圆心到直线的距离等于半径”求解切线方程. 【小问1详解】 的标准方程为，故圆心为， ，故， 故 【小问2详解】 （i）直线方程可化， 故， ∴直线过定点. （ii）， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得， 故方程为， 综上所述切线方程为：或. 18. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，，，所以. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，， ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 19. 已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆的方程； （2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再结合双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，从而可得，即可求解； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论：当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，再与椭圆联立及结合韦达定理，从而可求得，即得以为直径的圆经过定点；当直线的斜率不存在时，可得圆的方程为，也过原点，从而可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，所以，即. 因为双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以， 所以.所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 若直线的斜率存在，故设直线的方程为， 由，消去，得， 所以设， 则， 所以. 所以.① 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离， 整理得，② 将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点； 若直线斜率不存在，故其切线为，在这先讨论， 则，可得，， 所以可得此时以为直径的圆为， 即，显然也过原点； 同理可得当时也过原点； 综上可知，以为直径的圆过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝东九校联盟高2027届（高二上）期中联合性诊断测试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 预测难度系数：0.43 命审题学校：梁平一中 涪陵高中 长寿一中 命审题人：温学靖 刘小波 陈艳勤 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号等信息填写在答题卡上. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 3. 关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ） A. 共线的单位向量都相等 B. 不相等的两个空间向量的模必不相等 C. 相反向量指方向相反的两个向量 D. 任意两个空间向量一定共面 4. 若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了圆锥曲线.他用垂直于母线平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角､直角､钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角､直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆､抛物线和双曲线.如图，四面体中，两两垂直，，，点为底面内的一个动点. ①若，则点的轨迹是椭圆的一部分； ②若，则点的轨迹是抛物线的一部分； ③若，则点的轨迹是双曲线的一部分. 以上几个命题中，真命题的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 点在直线上 B. 在轴上的截距为 C. 与坐标轴围成的三角形的面积为 D. 直线到的距离为 10. 圆和圆的交点为、，则有（ ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面所成的最大角为 C. 若不共面，则四面体体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的长轴长为___________. 13. 已知正方体的棱长为是的三等分点（靠近点），则______. 14. 双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知两点和直线的方程. （1）判断直线与直线的位置关系； （2）求线段的垂直平分线的方程. 16. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）直线， （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求过点且与圆相切的直线方程. 18. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，双曲线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆的方程； （2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，那么以为直径的圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $