精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高二上学期月考二数学试卷

河南省实验中学2025—2026学年高二年级上期月考二 数学 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 抛物线准线方程为（   ） A B. C. D. 2. 已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 3或 4. 设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，直线，P为上的动点.过点作的切线，切点分别为A，B，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 108 D. 117 8. 椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 设，则周长的最小值为4 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 若，则直线的斜率为或 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ） A. 直线与所成角余弦值为 B. 点F到直线的距离为1 C. 平面 D. 点到平面的距离为 11. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，为的左顶点，过且斜率存在的直线与的左支分别交于，两点，设，分别为，的内切圆的圆心，且，则下列说法正确的是（ ） A. 渐近线方程为 B. 直线轴 C. 双曲线的方程为 D. 的最小值为 三、填空题 12. 给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直； ②直线方向向量为，平面的法向量为，则； ③平面的法向量分别为，，则； ④平面经过三点，向量是平面的法向量，则. 其中真命题是________．（把你认为是正确命题的序号都填上） 13. 已知边长为4的菱形中，，为边的中点，将沿对角线翻折，在翻折过程中，记直线与所成的角为.当平面平面时，___________. 14. 已知圆，直线.当直线l被圆C截得弦长取得最小值时，直线l的方程为__________. 三、解答题 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且. （1）求到面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长． 18. 图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． （1）求的标准方程； （2）若，求直线的斜截式方程； （3）若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025—2026学年高二年级上期月考二 数学 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题 1. 抛物线的准线方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得准线方程. 【详解】由题意可知：抛物线的标准方程为， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以准线方程为. 故选：D. 2. 已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆心C关于x轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值. 【详解】圆，圆心，半径为， 则圆心关于x轴的对称点为， 则， 当且仅当三点共线时取得最小值， 结合图像可知. 故选：C 3. 圆与圆的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】 求出公共弦所在直线，再求与两坐标轴的交点，即可得出面积表达式，根据面积关系求解. 【详解】圆的标准方程为 两圆相交，必有，且， 将两圆方程相减可得， 当时，，当时，，所以直线与坐标轴的交点为与，所围图形面积，解得或，经检验，符合条件. 故选：D 【点睛】此题考查通过两圆的公共弦所在直线与坐标轴围成的面积问题求参数的值，需要注意考虑公共弦所在直线不是简单地将两圆方程相减，还需考虑两圆的位置关系. 4. 设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解. 【详解】解：设动点，则， 则，，， 直线与直线的斜率之积为定值， ，化简可得，， 故点的轨迹方程为. 故选：C. 5. 已知，直线，P为上的动点.过点作的切线，切点分别为A，B，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为， 即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：A. 6. 已知是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，，由内切圆半径表示出面积，再由余弦定理表示出，得出面积，即可得出关于的方程，求出离心率. 【详解】根据椭圆的定义可知，， 设内切圆半径为，则． 又因为，由余弦定理得 即，即， 则， 可得， 所以，得， 则，所以椭圆的离心率为． 故选：D. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 7. 已知实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 108 D. 117 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为动点到，两点距离之和，再结合直线的对称问题，即可解决距离和的最小值. 【详解】∵ ∴该式表示直线l：上一点到，两点距离之和的最小值． 易知P，Q两点在l的同一侧， 设点P关于l对称点， 则，解得，∴， 故． 故选：A. 8. 椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，椭圆上存在点，使得，而，故根据，可转化为含的不等式 即可求解. 【详解】由题意，椭圆上存在点，使得， 而，， 显然，所以即可， 得，解得. 故选C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率，属于难题. 二、多选题 9. 已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 设，则周长的最小值为4 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 若，则直线的斜率为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的定义表示出，即可判断A；利用抛物线的定义和几何关系结合图形可判断B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；联立直线与抛物线，然后由条件和根与系数的关系即可判定D. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以，则，所以抛物线， 易知直线的斜率不为零，设其方程为， 联立，设，整理可得：， 易知，可得， ， 所以的最小值为，故A正确； 如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，， 根据抛物线的定义可得， 所以周长为, 由图可知，当与点等高时，有最小值， 最小值为到准线的距离，其值为， 所以，所以周长的最小值是，故B错误； 如图，取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为， 因为，是梯形的中位线， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 因为，，解得， ，解得， ，因此D正确； 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 点F到直线的距离为1 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离、判断线面垂直以及点到面的距离. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则， 且E，F，G分别为棱，，的中点，可知， 可得， 对于选项A：因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：因为在方向上的投影向量的模长为，且， 点F到直线的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，可得， 且，平面，所以平面，故C正确； 对于选项D：因为平面的法向量可以为， 点到平面的距离为，故D错误； 故选：BC. 11. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，为的左顶点，过且斜率存在的直线与的左支分别交于，两点，设，分别为，的内切圆的圆心，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的渐近线方程为 B. 直线轴 C. 双曲线的方程为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据离心率以及双曲线的性质可求出双曲线的渐近线方程；对于B，根据这一性质以及线段之间的关系即可证明；对于C，根据这一条件以及离心率即可求出的值，从而求出双曲线方程；求出，再利用基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，因为离心率，，所以， 化简得：，所以，所以双曲线的渐近线方程为，A错误； 对于B，过点作，因为是内切圆的圆心， 所以，因为， 所以，所以，所以①. 又②，①②联立解得，所以重合，轴，B正确； 对于C，根据题意可知，，由选项B知， 所以化简得，所以，又，解得， 从而，所以双曲线的方程为，C正确. 对于D，由选项B同理得轴，于是， 由分别平分，得 ，即， 由，得， 因此，而点，则， 那么根据基本不等式的性质，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直； ②直线的方向向量为，平面的法向量为，则； ③平面的法向量分别为，，则； ④平面经过三点，向量是平面的法向量，则. 其中真命题是________．（把你认为是正确命题的序号都填上） 【答案】①④ 【解析】 【分析】由空间向量数量积的坐标表示，逐个判断即可， 【详解】解析　对于①，因为，，所以，所以与垂直，①正确； 对于②，，，所以，所以， 所以或，②错误； 对于③，因为，，显然两向量不共线，所以不成立，③错误； 对于④，因为点， 所以，，向量是平面α的法向量， 所以即则，④正确． 综上，真命题的序号是①④. 故答案为：①④ 13. 已知边长为4的菱形中，，为边的中点，将沿对角线翻折，在翻折过程中，记直线与所成的角为.当平面平面时，___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，取的中点，可求得，，再根据菱形的性质和面面垂直的性质得出平面，进而，从而建立空间直角坐标系，求得，再利用空间向量的夹角公式求出异面直线与所成的角的余弦值，最后利用同角三角函数关系即可求出. 【详解】解：由题可知，边长为4的菱形中，，取的中点， 则为等边三角形，，， 则，又平面平面，平面， 平面，故， 则分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， ， ， ， 而直线与所成角，，故， ， . 故答案为：. 14. 已知圆，直线.当直线l被圆C截得弦长取得最小值时，直线l的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再根据当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，求出直线的斜率，进而可得出答案. 【详解】由直线， 得， 令，解得， 即直线过定点， 圆得圆心，半径， 当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值， ，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 三、解答题 15. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）先设出点Q和点P的坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点P的坐标代入圆C的方程，从而得到点Q的轨迹方程. 【小问1详解】 因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且. （1）求到面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质及判定证，利用等体积法求点面距； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 连接，由底面，底面，则， 又，，面，则面， 由面，则， 而面，即，故，故， 若到面的距离为，而，即， 又，故. 小问2详解】 由题意，可构建如下图的空间直角坐标系，显然面的一个法向量为， 且，则， 若是面一个法向量，则，令，则， 则，即平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值. 【小问1详解】 由题可知：，即，可得， 因为点在椭圆上，则， 联立方程，解得， 所以椭圆. 【小问2详解】 由题可知，，故直线的斜率， 且直线与椭圆必相交，设点， 联立直线与椭圆方程，消去y得， 根据韦达定理：，， 所以. 18. 图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，且 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. 【小问2详解】 翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 19. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． （1）求的标准方程； （2）若，求直线的斜截式方程； （3）若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由条件得到，利用两点式斜率公式求得，结合求出，即可得解； （2）利用点差法求直线的方程即可； （3）设直线，与双曲线方程联立，根据条件得，再通过计算得或，最后进行检验可得出定点. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为，则，由题意， 当时，过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程，得，解得；又，则， 又，所以，结合，得， 解得或， 所以，所以双曲线标准方程为； 【小问2详解】 易知直线的斜率存在，设， 则，作差可得， 所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即. 【小问3详解】 由，，三点不共线，故设直线， 联立，得， 则，，， 因为，则，所以，则， 因，， 所以， 即， 即， 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $