第七单元 命题与证明题型 总结讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学第七单元命题与证明题型总结讲义，通过题型分类框架系统梳理知识体系，涵盖平行公理及推论、平行线性质与判定、命题与定理、反证法、拐点模型等核心知识点，以例题带变式的结构呈现知识逻辑，突出概念与方法的内在联系。 讲义亮点在于情境化例题设计与分层练习结合，如以可折叠衣架问题理解平行公理，通过射线旋转的拐点模型题培养推理意识和几何直观。例题详解思路，变式题巩固方法，课后练习覆盖基础与综合，助力不同层次学生提升，为教师提供精准教学支持。

第七单元 命题与证明题型总结讲义 【题型一】平行公理及推论 【例1】（2025春•襄城县期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【解答】解：当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB， 根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上． 故选：C． 【变式1】（2025•冷水滩区校级开学）三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【变式2】（2025•溧阳市校级模拟）如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【变式3】（2025春•滨海新区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离 D．同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 【题型二】平行线的性质 【例1】（2025秋•蒙城县期中）如图，直线a∥b，直线c⊥d，若∠1＝a，则∠2＝（　　） A．α+90° B．α﹣90° C．180°﹣α D．2α﹣180° 【分析】利用平行线的性质算出∠3，用补角、余角、对顶角推算出∠2的度数． 【解答】解：如下图 ∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠3＝α（两直线平行，同位角相等）， ∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣α， ∵直线c⊥d， ∴∠5＝90°， ∴∠2＝∠6＝90°﹣∠4＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°， 则∠2的度数α﹣90°， 故选：B． 【变式1】（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，∠1＝130°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．60° C．130° D．50° 【变式2】（2024秋•钟山区期末）如图，a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（　　） A．42° B．48° C．72° D．132° 【变式3】（2025•湖南一模）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．110° B．100° C．80° D．70° 【题型三】平行线的判定与性质 【例1】（2025秋•昭平县期中）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为点D，F，且∠1＝∠2． （1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADG＝40°，求∠2的度数． 【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同条直线的两直线平行由BD⊥AC，EF⊥AC，得到EF∥BD，根据平行线的性质得∠CBD＝∠2，由于∠1＝∠2，则∠CBD＝∠1，然后根据内错角相等，两直线平行可判断DG∥BC； （2）根据垂直的定义、平角的定义求出∠1＝50°，据此求解即可． 【解答】解：（1）DG∥BC，理由如下： ∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴EF∥BD， ∴∠CBD＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠CBD＝∠1， ∴DG∥BC； （2）∵BD⊥AC， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ADG＝40°， ∴∠1＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠1＝50°． 【变式1】（2025春•莆田期中）如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试猜想AB与CD之间有怎样的位置关系？并说明理由，请你将下列证明过程补充完整． 结论：AB∥CD． 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， AD ∥BC （　 　 ）， ∴∠C ＝∠ （两直线平行，同位角相等）． 又∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠A ＝∠ （等量代换）， ∴AB∥CD（　 　 ）． 【变式2】（2025秋•北林区校级期中）如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，AD平分∠BAC．求证：∠E＝∠1． 【变式3】（2025秋•淮上区期中）如图，∠1+∠2＝180°，CE∥BG． （1）求证：AB∥CD； （2）求证：∠3＝∠B． 【题型四】命题与定理 【例1】（2025秋•昭平县期中）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．若|a|＝|b|，则a＝b C．如果ab＞0，则a＞0，b＞0 D．同位角相等 【分析】由绝对值的性质，对顶角相等，有理数的乘法法则，同位角的定义，即可判断． 【解答】解：A、此命题是真命题，故A符合题意； B、若|a|＝|b|，则a＝±b，故B不符合题意； C、有可能a＜0，b＜0，故C不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1】（2024秋•莲池区期末）下列命题是真命题的是（　　） A．9的平方根是3 B．是小于2的无理数 C．三角形的内角和是180° D．数据﹣2，0，3，3的平均数是1.5 【变式2】（2025秋•广州月考）下列命题的逆命题为假命题的是（　　） A．在三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 【变式3】（2025秋•蒙城县期中）下列命题中，真命题是（　　） A．同角的余角相等 B．同位角相等 C．一个正数的平方根总是正数 D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角 【题型五】反证法 【例1】（2025•湖南模拟）用反证法证明“如果a＞b＞0，则”是真命题时，应假设（　　） A． B． C．a＜b D．a≤b 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可． 【解答】解：反证法证明“若a＞b＞0，则”时，假设， 故选：B． 【变式1】（2024秋•衡阳期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确顺序的序号为（　　） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 【变式2】（2025春•兴庆区校级期中）下列说法错误的是（　　） A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15 【变式3】（2025春•海曙区期末）用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（　　） A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60° 【题型六】拐点模型（铅笔头模型、猪蹄模型） 【例1】（2025秋•北林区校级期中）如图，已知直线AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点G在直线AB，CD内部，且∠AEG＝30°，∠CFG＝45°． （1）求∠EGF的度数． （2）如图2，射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，交直线CD于点P，设运动时间为t秒（0＜t＜30）．当t＝21时，试探究EP与GF的位置关系，并说明理由． （3）在（2）中，射线FG绕点F同时以每秒10°的速度顺时针旋转得到射线FQ．当FQ∥EP时，请直接写出t的值． 【分析】（1）过点G作HG∥AB，根据平行线的性质可得∠EGH＝∠AEG＝30°，∠HGF＝∠CFG＝45°，进而即可求解； （2）根据t＝21得出∠GEP＝21×5°＝105°，进而求得∠AEP＝30°+105°＝135°，∠CPE＝45°根据∠GFC＝45°，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，当射线FG绕点F旋转小于180°时，当射线FG绕点F旋转大于180°时，分别讨论，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，过点G作HG∥AB ∵AB∥CD， ∴GH∥CD， ∵∠AEG＝30°，∠CFG＝45°． ∴∠EGH＝∠AEG＝30°，∠HGF＝∠CFG＝45°， ∴∠EGF＝30°+45°＝75°； （2）EP∥GF，理由如下， ∵射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，t＝21， ∴∠GEP＝21×5°＝105°， ∴∠AEP＝30°+105°＝135°， ∴∠BEP＝45， ∵AB∥CD， ∴∠CPE＝∠BEP＝45°， 又∵∠GFC＝45°， ∴EP∥GF； （3）如图所示，当射线FG绕点F旋转小于180°时， ∵∠GFQ＝10t°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°， ∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝（45+10t）°， ∵AB∥CD， ∴∠AEP＝∠EPD， 又∵EP∥FQ， ∴∠EPF+∠CFQ＝180°， ∴30+5t+45+10t＝180， 解得：t＝7， 如图所示，当射线FG绕点F旋转大于180°时， ∵∠GFQ＝10t°＞180°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°， ∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝360°﹣（45+10t）°＝（315﹣10t）°， ∵AB∥CD，EP∥FQ， ∴∠AEP+∠CPE＝180°，∠EPC＝∠PFQ， 又∠CFQ+∠PFQ＝180°， ∴∠CFQ＝∠AEP， ∴30+5t＝315﹣10t， 解得：t＝19， 综上可知，t的值为7或19． 【变式1】（2024秋•介休市期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板． （1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数； （2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数； （3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 【变式2】（2025秋•海淀区校级期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 【变式3】（2024秋•衡阳校级期末）旅发大会期间，衡阳市对湘江两岸的灯光进行了提质改造，让城市夜景焕然一新．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射营造氛围．若灯A转动的速度是每秒3°，灯B转动的速度是每秒1°，假定湘江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2． （1）填空：∠BAN＝　 　 ． （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，设转动时间为t秒，则在灯B射线首次到达BQ之前，请直接写出所有符合题意的t值．（图2仅起到举例作用，不代表C具体位置） 【课后练习】 1．（2025春•怀宁县期末）下列结论正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．不相交的两条直线必平行 2．（2025•本溪一模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，∠3＝76°，∠2＝27°，则∠1的度数是（　　） A．76° B．63° C．49° D．23° 3．（2024秋•高新区期末）如图，AB∥CD，若∠1＝52°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　） A．68° B．60° C．52° D．48° 4．（2025秋•昭平县期中）探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 5．（2025春•麻章区校级期中）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝125°，∠2＝85°，求∠3的度数． 6．（2025秋•铜梁区校级期中）如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE．点F在线段BD上，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC． （1）求证：∠ADE＝∠DEF； （2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠1的度数． 7．（2024秋•驻马店校级期末）如图所示，l∥m，长方形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α的度数为（　　） A．65° B．20° C．25° D．35° 8．（2025春•洪山区期中）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝65°，则∠4的度数为（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 9．（2025秋•五华区校级期中）如图，AB∥CD，AE与CD相交于点O，∠A＝45°，∠C＝∠E．则∠C的度数为（　　） A．45° B．30° C．22.5° D．15° 10．（2025秋•蜀山区校级期中）填写证明过程中的推理或根据： 如图所示，已知：∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB．求证：CD⊥AB． 证明：∵FG⊥AB， ∴∠5＝90°．（　 　 ） ∵∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC．（　 　 ） ∴　∠1＝∠3　 ．（　 　 ） 又∵∠1＝∠2， ∠2＝∠3．（　 　 ） ∴CD∥FG ．（　 　 ） ∴∠4＝∠5＝90°．（　 　 ） ∴CD⊥AB． 11．（2025春•扬州期末）完成下面的推理说明： 已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD． 求证：AB∥CD． 证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（ 　 　 ）． ∵BE∥CF （已知）， ∴∠1＝∠2（ 　 　 ）． ∴∠BCD（等量代换）． ∴∠ABC＝∠BCD（ 　 　 ）． ∴AB∥CD（ 　 　 ）． 12．（2025秋•南关区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证：∠A＝∠F． 证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（ 　 　 ）， ∴∠2＝∠3（ 　 　 ）． ∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）． ∴∠4＝　 （两直线平行，同位角相等）． ∵∠C＝∠D（已知）， ∴　 　 ＝∠C（等量代换）． ∴DF∥AC（ 　 　 ）． ∴∠A＝∠F（ 　 　 ）． 13．（2025秋•南关区校级期中）【问题感知】： （1）如图1，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝　 （角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴　 ＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 【问题探索】： （2）如图2，直线AB，CD被直线AC所截，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，连接EF，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC； 【衍生拓展】： （3）如图3，将（2）中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，连接ME，若∠CMA＝3∠MEF＝57°，求∠AME的度数． 14．（2025秋•昆明期中）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE． （1）求证：DE∥BC； （2）若∠A＝75°，∠AED＝40°，求∠DEB的度数． 15．（2024秋•濉溪县期末）补全下列推理过程： 如图，已知AB∥CE，∠A＝∠E，试说明：∠CGD＝∠FHB． 解：∵AB∥CE（已知） ∴∠A＝∠ADC（ 　 　 ） ∵∠A＝∠E（已知） ∴∠E＝∠ADC（ 　 　 ） ∴AD∥EF（ 　 　 ）， ∴∠CGD＝∠GHE（ 　 ） ∵∠FHB＝∠GHE（ 　 　 ） ∴∠CGD＝∠FHB． 16．（2025春•龙南市期末）如图，已知∠DFB＝125°，∠ACB＝55°． （1）求证：AC∥DE； （2）若∠D＝∠A，∠ACD＝120°，求∠B的度数． 17．（2025春•莱西市期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 18．（2025春•浔阳区校级期中）请补全推理过程，并填写依据． 已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．请说明：∠A＝∠F． 解：∵∠1+∠2＝180°（已知）． ∴BD∥CE（　 　 ）． ∴∠C＝∠ABD（　 　 ）． 又∵∠C＝∠D（已知）． ∴∠D＝　 （等量代换）． ∴AC∥DF （　 　 ）． ∴∠A＝∠F（　 　 ）． 19．（2024秋•界首市期末）下列命题中，为假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．三角形的内角和为180° D．三角形任意两边之和大于第三边 20．（2025秋•宁德期中）毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机：为什么不是有理数？阅读下列证明过程，并完成相应问题． 证明：设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，即，两边平方，得①． ∴p2含有因数3， 设p＝3m（m为正整数），则p2＝9m2， ∴②， ∴q2含有因数3， ∴q含有因数3， 这样p，q有公因数3，不互质，这与假设p，q互质矛盾． ∴不是有理数． （1）将上面的证明过程补充完整． ① ；② ； （2）类比上述的证明过程，推理说明不是有理数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 命题与证明题型总结讲义 【题型一】平行公理及推论 【例1】（2025春•襄城县期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【解答】解：当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB， 根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上． 故选：C． 【变式1】（2025•冷水滩区校级开学）三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【分析】根据平行公理的推论直接得出结论． 【解答】解：∵a∥b，b∥c， ∴a∥c， ∴a与c平行， 故选：B． 【变式2】（2025•溧阳市校级模拟）如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断． 【解答】解：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是：垂线段最短． 故选：C． 【变式3】（2025春•滨海新区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离 D．同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 【分析】利用平行公理、点到直线的距离、平行线的定义分别对四个选项进行判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：根据平行公理、点到直线的距离、平行线的定义逐项分析判断如下： A、平面内经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项错误； B、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项错误； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选项错误； D、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，正确； 故选：D． 【题型二】平行线的性质 【例1】（2025秋•蒙城县期中）如图，直线a∥b，直线c⊥d，若∠1＝a，则∠2＝（　　） A．α+90° B．α﹣90° C．180°﹣α D．2α﹣180° 【分析】利用平行线的性质算出∠3，用补角、余角、对顶角推算出∠2的度数． 【解答】解：如下图 ∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠3＝α（两直线平行，同位角相等）， ∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣α， ∵直线c⊥d， ∴∠5＝90°， ∴∠2＝∠6＝90°﹣∠4＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°， 则∠2的度数α﹣90°， 故选：B． 【变式1】（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，∠1＝130°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．60° C．130° D．50° 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠1+∠2＝180°． 又∵∠1＝130°， ∴∠2＝50°． 故选：D． 【变式2】（2024秋•钟山区期末）如图，a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（　　） A．42° B．48° C．72° D．132° 【分析】先利用对顶角相等求得∠3的度数，根据两直线平行同旁内角互补，即可求解． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝48°， ∴∠3＝∠1＝48°（对顶角相等）， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣48°＝132°， 故选：D． 【变式3】（2025•湖南一模）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．110° B．100° C．80° D．70° 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝70°， ∴∠3＝∠1＝70°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°． 故选：A． 【题型三】平行线的判定与性质 【例1】（2025秋•昭平县期中）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为点D，F，且∠1＝∠2． （1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由； （2）若∠ADG＝40°，求∠2的度数． 【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同条直线的两直线平行由BD⊥AC，EF⊥AC，得到EF∥BD，根据平行线的性质得∠CBD＝∠2，由于∠1＝∠2，则∠CBD＝∠1，然后根据内错角相等，两直线平行可判断DG∥BC； （2）根据垂直的定义、平角的定义求出∠1＝50°，据此求解即可． 【解答】解：（1）DG∥BC，理由如下： ∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴EF∥BD， ∴∠CBD＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠CBD＝∠1， ∴DG∥BC； （2）∵BD⊥AC， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ADG＝40°， ∴∠1＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠1＝50°． 【变式1】（2025春•莆田期中）如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试猜想AB与CD之间有怎样的位置关系？并说明理由，请你将下列证明过程补充完整． 结论：AB∥CD． 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）， AD ∥BC （　同旁内角互补，两直线平行　 ）， ∴∠C ＝∠EDA （两直线平行，同位角相等）． 又∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠A ＝∠EDA （等量代换）， ∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　 ）． 【分析】根据平行线的判定与性质进行判断即可． 【解答】猜想：AB∥CD． 证明： ∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1与∠2是直线AD与直线BC被直线AB（或DC延长线）所截得到的同旁内角， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠C＝∠EDA（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠A＝∠EDA（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：AD，BC，同旁内角互补，两直线平行； C，EDA； A，EDA； 内错角相等，两直线平行． 【变式2】（2025秋•北林区校级期中）如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，AD平分∠BAC．求证：∠E＝∠1． 【分析】由AD垂直于BC，EF垂直于BC，得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到AD与EF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，等量代换即可得证． 【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义），即∠ADC＝∠EFC＝90°， ∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）． ∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∠E＝∠CAD（两直线平行，同位角相等）． 又∵AD平分∠BAC（已知）， ∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）． ∴∠1＝∠E（等量代换）． 【变式3】（2025秋•淮上区期中）如图，∠1+∠2＝180°，CE∥BG． （1）求证：AB∥CD； （2）求证：∠3＝∠B． 【分析】（1）根据平角的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵∠2+∠CDE＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠CDE＝∠1， ∴AB∥CD； （2）∵CE∥BG， ∴∠B＝∠CEA， ∵AB∥CD， ∴∠CEA＝∠3， ∴∠3＝∠B． 【题型四】命题与定理 【例1】（2025秋•昭平县期中）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．若|a|＝|b|，则a＝b C．如果ab＞0，则a＞0，b＞0 D．同位角相等 【分析】由绝对值的性质，对顶角相等，有理数的乘法法则，同位角的定义，即可判断． 【解答】解：A、此命题是真命题，故A符合题意； B、若|a|＝|b|，则a＝±b，故B不符合题意； C、有可能a＜0，b＜0，故C不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1】（2024秋•莲池区期末）下列命题是真命题的是（　　） A．9的平方根是3 B．是小于2的无理数 C．三角形的内角和是180° D．数据﹣2，0，3，3的平均数是1.5 【分析】根据及平方根、无理数的大小估算、三角形内角和定理，平均数的定义逐一判断即可． 【解答】解：根据真假命题，涉及平方根、无理数的大小估算、三角形内角和定理，平均数逐项分析判断如下： A、9的平方根是±3，原命题是假命题，不符合题意； B、，即是大于2的无理数，原命题是假命题，不符合题意； C、三角形的内角和是180°，原命题是真命题，符合题意； D、数据﹣2，0，3，3的平均数是，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025秋•广州月考）下列命题的逆命题为假命题的是（　　） A．在三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 【分析】根据逆命题的概念，分别写出各个命题的逆命题，依次判断，即可求解， 【解答】解：A、逆命题为：在三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意， B、逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意， C、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意， D、逆命题为：两条直角边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意， 故选：C． 【变式3】（2025秋•蒙城县期中）下列命题中，真命题是（　　） A．同角的余角相等 B．同位角相等 C．一个正数的平方根总是正数 D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角 【分析】选项A是余角的性质，正确；选项B缺少两直线平行的条件，错误；选项C忽略负平方根，错误；选项D相等的角不一定是对顶角，错误． 【解答】解：根据真假命题的判断及各选项相关知识点逐项分析判断如下： A、同角的余角相等，正确，故A为真命题，符合题意； B、同位角相等需两直线平行，否则不一定相等，故B为假命题，不符合题意； C、正数的平方根有正负两个，不总是正数，故C为假命题，不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），故D为假命题，不符合题意； 故选：A． 【题型五】反证法 【例1】（2025•湖南模拟）用反证法证明“如果a＞b＞0，则”是真命题时，应假设（　　） A． B． C．a＜b D．a≤b 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可． 【解答】解：反证法证明“若a＞b＞0，则”时，假设， 故选：B． 【变式1】（2024秋•衡阳期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确顺序的序号为（　　） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 【分析】根据反证法的一般步骤解答，判断即可． 【解答】解：反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： 假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°； 则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立； 所以一个三角形中不能有两个直角， 故选：D． 【变式2】（2025春•兴庆区校级期中）下列说法错误的是（　　） A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15 【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可． 【解答】解：A、用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意； B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意； C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意； D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（2025春•海曙区期末）用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（　　） A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60° 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定． 【解答】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A＝60°，∠A＜60°三种情况，因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°． 故选：D． 【题型六】拐点模型（铅笔头模型、猪蹄模型） 【例1】（2025秋•北林区校级期中）如图，已知直线AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点G在直线AB，CD内部，且∠AEG＝30°，∠CFG＝45°． （1）求∠EGF的度数． （2）如图2，射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，交直线CD于点P，设运动时间为t秒（0＜t＜30）．当t＝21时，试探究EP与GF的位置关系，并说明理由． （3）在（2）中，射线FG绕点F同时以每秒10°的速度顺时针旋转得到射线FQ．当FQ∥EP时，请直接写出t的值． 【分析】（1）过点G作HG∥AB，根据平行线的性质可得∠EGH＝∠AEG＝30°，∠HGF＝∠CFG＝45°，进而即可求解； （2）根据t＝21得出∠GEP＝21×5°＝105°，进而求得∠AEP＝30°+105°＝135°，∠CPE＝45°根据∠GFC＝45°，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，当射线FG绕点F旋转小于180°时，当射线FG绕点F旋转大于180°时，分别讨论，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，过点G作HG∥AB ∵AB∥CD， ∴GH∥CD， ∵∠AEG＝30°，∠CFG＝45°． ∴∠EGH＝∠AEG＝30°，∠HGF＝∠CFG＝45°， ∴∠EGF＝30°+45°＝75°； （2）EP∥GF，理由如下， ∵射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，t＝21， ∴∠GEP＝21×5°＝105°， ∴∠AEP＝30°+105°＝135°， ∴∠BEP＝45， ∵AB∥CD， ∴∠CPE＝∠BEP＝45°， 又∵∠GFC＝45°， ∴EP∥GF； （3）如图所示，当射线FG绕点F旋转小于180°时， ∵∠GFQ＝10t°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°， ∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝（45+10t）°， ∵AB∥CD， ∴∠AEP＝∠EPD， 又∵EP∥FQ， ∴∠EPF+∠CFQ＝180°， ∴30+5t+45+10t＝180， 解得：t＝7， 如图所示，当射线FG绕点F旋转大于180°时， ∵∠GFQ＝10t°＞180°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°， ∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝360°﹣（45+10t）°＝（315﹣10t）°， ∵AB∥CD，EP∥FQ， ∴∠AEP+∠CPE＝180°，∠EPC＝∠PFQ， 又∠CFQ+∠PFQ＝180°， ∴∠CFQ＝∠AEP， ∴30+5t＝315﹣10t， 解得：t＝19， 综上可知，t的值为7或19． 【变式1】（2024秋•介休市期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板． （1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数； （2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数； （3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）． 【分析】（1）根据平行线的性质可知∠1＝∠EGD＝27°，依据∠2+∠FGE+∠EGB＝180°，∠FGE＝45°，可求出∠2的度数； （2）根据角平分线定义和平行线性质得到EHG＝180°﹣90°﹣45°＝45°即可； （3）分三种情形：①如图3﹣1中，当点F在直线CD的上方时，②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°，③当点F在直线AB的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）如图1中， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EGB＝27°， ∵∠2+∠FGE+∠EGB＝180°，∠FGE＝45°， ∴∠2+45°+27°＝180°， 解得∠2＝108°． （2）∵AB∥CD， ∴∠CEG+∠AGE＝180°， 又∵∠FEG+FGE＝90°， ∴∠CEF+∠FGH＝90°， ∵HE平分∠CEF，HG平分∠AGF， ∴∠HEF+∠HGF＝45°， ∴EHG＝180°﹣90°﹣45°＝45°． （3）①如图3﹣1中，当点F在直线CD的上方时，过点F作MN∥AB． ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD∥AB， ∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE， ∵∠NFG﹣∠NFE＝∠GFE＝90°， ∴∠AGF﹣∠CEF＝90°． ②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°． ③当点F在直线AB的下方时，过点F作MN∥AB． ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD∥AB， ∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE， ∵∠NFE﹣GFN＝∠GFE＝90°， ∴∠CEF﹣∠AGF＝90°． 综上所述，①当点F在直线CD的上方时，∠AGF﹣∠CEF＝90°．②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°．③当点F在直线AB的下方时，∠CEF﹣∠AGF＝90°． 【变式2】（2025秋•海淀区校级期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 【分析】根据平行线的判定和性质进行解答，即可． 【解答】解：∵△EGF，△MPN是直角三角形， ∴∠EGF＝∠MPN＝90°， ∵∠GPM＝180°﹣∠MPN＝180°﹣90°＝90°， ∴∠GPM＝∠EGF， ∴GE∥MP， ∴①正确； ∵∠GEF＝60°，∠EGF＝90°， ∴∠EFG＝30°， ∵∠EFG+∠EFN＝180°， ∴∠EFN＝150°； ∴②正确； 过点G作AB∥JK， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥JK， ∴∠KGN＝∠MNP＝45°，∠AEG＝∠EGK， ∵∠EGF＝90°＝∠EGK+∠KGN， ∴∠EGK＝45°， ∴∠AEG＝45°， ∵∠GEF＝60°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°； ∴③错误； ∵∠MNP＝45°，∠MPN＝90°， ∴∠PMN＝180°﹣∠MNP﹣∠MPN＝180°﹣90°﹣45°＝45°； ∵∠AEG＝45°， ∴∠AEG+∠PMN＝45°+45°＝90°＝∠GPM； ∴④正确； 综上所述，正确的为：①②④； 故选：C． 【变式3】（2024秋•衡阳校级期末）旅发大会期间，衡阳市对湘江两岸的灯光进行了提质改造，让城市夜景焕然一新．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射营造氛围．若灯A转动的速度是每秒3°，灯B转动的速度是每秒1°，假定湘江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2． （1）填空：∠BAN＝　72°　 ． （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，设转动时间为t秒，则在灯B射线首次到达BQ之前，请直接写出所有符合题意的t值．（图2仅起到举例作用，不代表C具体位置） 【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，即可得到∠BAN的度数； （2）首先求出灯A射线旋转到AB的时间为108°÷3°＝36（秒），设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜36时，当36＜t＜150时，根据题意列方程求解即可； （3）分两种情形，根据平行线的性质，构建方程解决问题即可． 【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2， ∴， 故答案为：72°； （2）由条件可知射线BP第一次旋转至BQ的时间为180°÷1＝180（秒）， ∵灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动， ∴180﹣30＝150（秒）， ∵∠BAN＝72°， ∴∠BAM＝180°﹣∠BAN＝108°， ∴灯A射线旋转到AB的时间为108°÷3°＝36（秒）， ∴设A灯转动t（0＜t＜150）秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜t＜36时，如图1， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD＝∠BDA， 由条件可知∠CAM＝∠BDA， ∴∠CAM＝∠PBD， ∴3t＝1×（30+t）， 解得：t＝15； ②当36＜t＜150时，如图2， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD+∠BDA＝180°， ∴∠CAN＝∠BDA， ∴∠PBD+∠CAN＝180°， ∴1×（30+t）+（3t﹣180）＝180， 解得：t＝82.5， 综上所述，A灯旋转15秒或82.5秒时．两灯的光束互相平行． （3）如图3，当点C在AB右边时，过点C作CD∥QP， ∴∠CBP＝∠BCD， ∵PQ∥MN， ∴∠DCA＝∠CAN， ∴∠BCA＝∠BCD+∠DCA＝∠CBP+∠CAN， 设灯A射线转动时间为t秒，则∠CBP＝t，∠CAM＝3t， ∴∠CAN＝180°﹣3t， ∴t+180°﹣3t＝120°， 解得t＝30； 如图4中，当点C在AB左边时， 同理可得，∠QBC+∠CAM＝∠BCA＝120°， 设灯A射线转动时间为t秒，则∠CBP＝t，∠CAM＝360°﹣3t， ∴180°﹣t+360°﹣3t＝120°， 解得t＝105， 综上所述，所有符合题意的t值为30或105． 【课后练习】 1．（2025春•怀宁县期末）下列结论正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．不相交的两条直线必平行 【分析】根据平行线公理可得到A的正误；根据平行线的推论可得到B的正误；根据平行线的性质定理可得到C的正误；根据平行线的定义可得到D的正误． 【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误； B、平行于同一条直线的两直线平行，故此选项正确； C、两条直线被第三条直线所截，只有被截线互相平行时，才同位角相等，故此选项错误； D、同一平面内，不相交的两条直线必定平行，故此选项错误． 故选：B． 2．（2025•本溪一模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，∠3＝76°，∠2＝27°，则∠1的度数是（　　） A．76° B．63° C．49° D．23° 【分析】根据平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∵AB∥CE，∠3＝76°， ∴∠ADC＝∠3＝76°， ∴∠1+∠2＝76°． 又∵∠2＝27°， ∴∠1＝76°﹣27°＝49°． 故选：C． 3．（2024秋•高新区期末）如图，AB∥CD，若∠1＝52°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　） A．68° B．60° C．52° D．48° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠2+∠DAB＝180°，即可求出∠DAB的度数，再根据平角的定义即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠2+∠DAB＝180°， ∵∠2＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∵∠1＝52°， ∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠DAB＝180°﹣52°﹣60°＝68°， 故选：A． 4．（2025秋•昭平县期中）探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 【分析】（1）根据平行线的性质即可解决问题； （2）根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据平行线的性质即可解决问题； （4）根据平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∠A+∠C＝∠AEC，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A＝∠AEF， ∴∠C＝∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEC； （2）∠A+∠C+∠AEC＝360°，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A+∠AEF＝180°， ∴∠C+∠CEF＝180°， ∴∠A+∠C+∠AEF+∠CEF＝360°， ∴∠A+∠C+∠AEC＝360°； （3）∠A＝∠C+∠E，理由如下： 如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DME． ∵∠DME＝∠C+∠E， ∴∠A＝∠C+∠E； （4）∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G，理由如下： 过点F作FH∥AB， 由（1）知， ∠A+∠EFH＝∠E，∠HFG+∠C＝∠G， ∴∠A+∠EFH+∠HFG+∠C＝∠E+∠G， ∴∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G． 5．（2025春•麻章区校级期中）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝125°，∠2＝85°，求∠3的度数． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：∵l4∥l1，且∠1＝125°， ∴∠3+∠4＝∠1＝125°． ∵∠2＝85°， ∴∠4＝∠2＝85°， ∴∠3＝125°﹣∠4＝125°﹣85°＝40°． 6．（2025秋•铜梁区校级期中）如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE．点F在线段BD上，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC． （1）求证：∠ADE＝∠DEF； （2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠1的度数． 【分析】（1）根据等量代换得到∠1＝∠DFE，根据”内错角相等，两直线平行“得到FE∥AC，进而得出∠ADE ＝∠DEF； （2）由根据平行线的性质得到∠DEB+∠ABC＝180°，再结合题中的条件得到∠DEF＝50°＝∠ADE，然后根据BD平分∠ABC和平行线的性质得到∠CBD ＝∠BDE＝35°，进而得到∠ADB＝∠ADE+∠EDB＝85°，最后根据平角的定义即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠2 ＝180°，∠DFE+∠2 ＝180°， ∴∠1＝∠DFE， ∴FE∥AC， ∴∠ADE＝∠DEF； （2）解：由 （1）得：FE∥AC， ∵DE∥BC， ∴∠DEB+∠ABC ＝ 180°， ∵∠ABC ＝ 70°， ∴∠DEB＝∠DEF+∠FEB＝110°， ∵∠DEF＝∠FEB﹣10°， ∴∠DEF+10°＝∠FEB， ∴∠DEF+∠DEF+10°＝110°， ∴∠DEF＝ 50°＝∠ADE， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝70°， ∴∠CBD＝∠ABD＝35°， ∵DE∥BC， ∴∠CBD ＝∠BDE＝35°， ∴∠ADB＝∠ADE+∠EDB＝85°， ∴∠1＝180°﹣∠ADB＝ 95°． 7．（2024秋•驻马店校级期末）如图所示，l∥m，长方形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α的度数为（　　） A．65° B．20° C．25° D．35° 【分析】过点C作CE∥m，先由平行线的性质得到∠DCE＝65°，∠BCE＝α，再由长形的性质得到∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝65°+α＝90°，解方程即可得解． 【解答】解：如图，过点C作CE∥m， ∵l∥m， ∴l∥m∥CE（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠DCE＝65°，∠BCE＝α， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝65°+α＝90°， ∴α＝25°，则∠α的度数为25°， 故选：C． 8．（2025春•洪山区期中）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝65°，则∠4的度数为（　　） A．50° B．65° C．115° D．130° 【分析】根据由题意可得AB∥CD，根据平行线的判定与性质，可得∠3＝∠5＝65°，又根据邻补角可得∠5+∠4＝180°，即可得出∠4的度数． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∴∠3＝∠5， 又∠1＝∠2＝∠3＝65°， ∴∠5＝65°， 又∠5+∠4＝180°， ∴∠4＝115°． 故答案为：C． 9．（2025秋•五华区校级期中）如图，AB∥CD，AE与CD相交于点O，∠A＝45°，∠C＝∠E．则∠C的度数为（　　） A．45° B．30° C．22.5° D．15° 【分析】先根据平行线的性质推出∠DOE＝45°，再利用三角形外角的性质结合∠C＝∠E，可得∠C+∠E＝2∠C＝45°，即可求解． 【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝45°， ∴∠DOE＝45°， ∵∠DOE是△OCE的外角，∠C＝∠E， ∴∠C+∠E＝2∠C＝45°， ∴∠C＝22.5°． 故选：C． 10．（2025秋•蜀山区校级期中）填写证明过程中的推理或根据： 如图所示，已知：∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB．求证：CD⊥AB． 证明：∵FG⊥AB， ∴∠5＝90°．（　垂直的定义　 ） ∵∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC．（　同位角相等，两直线平行　 ） ∴　∠1＝∠3　 ．（　两直线平行，内错角相等　 ） 又∵∠1＝∠2， ∠2＝∠3．（　等量代换　 ） ∴CD∥FG ．（　同位角相等，两直线平行　 ） ∴∠4＝∠5＝90°．（　两直线平行，同位角相等　 ） ∴CD⊥AB． 【分析】依据题意，根据题目提供信息，结合图形，由平行线的判定与性质逐个判断即可得解． 【解答】证明：∵FG⊥AB， ∴∠5＝90°．（垂直的定义） ∵∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC．（同位角相等，两直线平行） ∴∠1＝∠3．（两直线平行，内错角相等） 又∵∠1＝∠2， ∠2＝∠3．（等量代换） ∴CD∥FG．（同位角相等，两直线平行） ∴∠4＝∠5＝90°．（两直线平行，同位角相等） ∴CD⊥AB． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1＝∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换；CD∥FG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 11．（2025春•扬州期末）完成下面的推理说明： 已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD． 求证：AB∥CD． 证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（ 　角平分线的定义　 ）． ∵BE∥CF （已知）， ∴∠1＝∠2（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∴∠BCD（等量代换）． ∴∠ABC＝∠BCD（ 　等式的性质　 ）． ∴AB∥CD（ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠2，根据角平分线的定义可得∠ABC＝∠BCD，再根据平行线的判定即可得出AB∥CD． 【解答】证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（角平分线的定义） ∵BE∥CF （已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等 ）． ∴∠BCD（等量代换）． ∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质 ）． ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行 ）． 12．（2025秋•南关区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证：∠A＝∠F． 证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（ 　对顶角相等　 ）， ∴∠2＝∠3（ 　等量代换　 ）． ∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）． ∴∠4＝　∠D （两直线平行，同位角相等）． ∵∠C＝∠D（已知）， ∴　∠4　 ＝∠C（等量代换）． ∴DF∥AC（ 　内错角相等，两直线平行　 ）． ∴∠A＝∠F（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（对顶角相等）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠4＝∠D（两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠4＝∠C（等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：对顶角相等；等量代换；CE；∠D；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 13．（2025秋•南关区校级期中）【问题感知】： （1）如图1，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝　∠BAM （角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴　∠CMA ＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 【问题探索】： （2）如图2，直线AB，CD被直线AC所截，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，连接EF，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC； 【衍生拓展】： （3）如图3，将（2）中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，连接ME，若∠CMA＝3∠MEF＝57°，求∠AME的度数． 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可； （2）先证明AB∥CD，得出∠AEF＝∠EFD，在证明∠EFD＝∠C，根据平行线的判定得出结论即可； （3）根据角平分线定义得出∠BAM＝∠CMA＝57°，∠BAC＝2×57°＝114°，根据平行线的性质求出∠C＝180°﹣∠BAC＝66°，求出∠AEM＝66°﹣19°＝47°，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【解答】（1）证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝∠BAM（角平分线的定义）， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠CMA＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）， ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）， 故答案为：∠BAM，∠CMA． （2）证明：∵AM平分∠BAC， ∴∠CAM＝∠BAM， ∵∠CAM＝∠CMA， ∴∠BAM＝∠CMA（等量代换）， ∴AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠AEF＝∠C， ∴∠EFD＝∠C（等量代换）， ∴EF∥AC（同位角相等，两直线平行）； （3）解：∵∠CMA＝3∠MEF＝57°， ∴根据（2）可知：∠BAM＝∠CMA＝57°，∠MEF＝19°， ∴∠BAC＝2×57°＝114°， 根据探索可知：AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°， ∴∠AEF＝∠C＝66°， ∴∠AEM＝66°﹣19°＝47°， ∵AB∥CD， ∴∠AMC＝∠BAM＝57°，∠DME＝∠AEM＝47°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AME＝180°﹣∠AMC﹣∠DME＝180°﹣57°﹣47°＝76°． 14．（2025秋•昆明期中）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE． （1）求证：DE∥BC； （2）若∠A＝75°，∠AED＝40°，求∠DEB的度数． 【分析】（1）根据角平分线性质得到∠ABE＝∠CBE，根据DB＝DE，得到∠ABE＝∠DEB，求出∠CBE＝∠DEB，即可证出结论； （2）根据三角形内角和定理得到∠ADE＝65°，根据DE∥BC，得到∠ADE＝∠ABC＝65°，根据角平分线得到，推出∠CBE＝∠DEB，即可求出． 【解答】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵DB＝DE， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴∠CBE＝∠DEB， ∴DE∥BC； （2）∵∠A＝75°，∠AED＝40°， ∴∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠A＝65°， 由（1）知，DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝65°， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴， ∵∠CBE＝∠DEB， ∴∠DEB＝32.5°． 15．（2024秋•濉溪县期末）补全下列推理过程： 如图，已知AB∥CE，∠A＝∠E，试说明：∠CGD＝∠FHB． 解：∵AB∥CE（已知） ∴∠A＝∠ADC（ 　两直线平行，内错角相等　 ） ∵∠A＝∠E（已知） ∴∠E＝∠ADC（ 　等量代换　 ） ∴AD∥EF（ 　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠CGD＝∠GHE（ 　两直线平行，同位角相等　 ） ∵∠FHB＝∠GHE（ 　对顶角相等　 ） ∴∠CGD＝∠FHB． 【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠ADC，等量代换得到∠E＝∠ADC，即可证明AD∥EF得到∠CGD＝∠GHE，再由∠FHB＝∠GHE，即可证明∠CGD＝∠FHB． 【解答】解：∵AB∥CE（已知） ∴∠A＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠A＝∠E（已知）， ∴∠E＝∠ADC（等量代换）， ∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠CGD＝∠GHE（两直线平行，同位角相等）． ∵∠FHB＝∠GHE（对顶角相等）， ∴∠CGD＝∠FHB（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等． 16．（2025春•龙南市期末）如图，已知∠DFB＝125°，∠ACB＝55°． （1）求证：AC∥DE； （2）若∠D＝∠A，∠ACD＝120°，求∠B的度数． 【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先说明CD∥AB，再得出∠BCD的度数，再根据平行线的性质得出答案． 【解答】（1）∵∠CFE＝∠DFB＝125°，∠ACB＝55°， ∴∠ACB+∠CFE＝125°+55°＝180°， ∴AC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）； （2）∵AC∥DE， ∴∠A＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）． ∵∠A＝∠D， ∴∠D＝∠DEB（等量代换）， ∴CD∥AB． ∵∠ACB＝55°，∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝65°， ∴∠B＝∠BCD＝65°． 17．（2025春•莱西市期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案； （2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FAD＝∠AEC＝90°，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换）， ∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°， ∴∠BDC＝64°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC∠BDC＝32°（角平分线定义）， ∴∠2＝∠ADC＝32°（已证）， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°（垂直定义）， ∵AD∥CE（已证）， ∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°． 18．（2025春•浔阳区校级期中）请补全推理过程，并填写依据． 已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．请说明：∠A＝∠F． 解：∵∠1+∠2＝180°（已知）． ∴BD∥CE（　同旁内角互补，两直线平行　 ）． ∴∠C＝∠ABD（　两直线平行，同位角相等　 ）． 又∵∠C＝∠D（已知）． ∴∠D＝　∠ABD （等量代换）． ∴AC∥DF （　内错角相等，两直线平行　 ）． ∴∠A＝∠F（　两直线平行，内错角相等　 ）． 【分析】先证BD∥CE，得出∠C＝∠ABD，进而推出∠D＝∠ABD，即可证得AC∥DF，于是问题得证． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知）． ∴BD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠C＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠C＝∠D（已知）． ∴∠D＝∠ABD（等量代换）． ∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）． ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠ABD；DF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 19．（2024秋•界首市期末）下列命题中，为假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．三角形的内角和为180° D．三角形任意两边之和大于第三边 【分析】根据三角形的三边关系，三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、对顶角相等，原说法是真命题，故本选项不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原说法是假命题，故本选项符合题意； C、三角形的内角和为180°，原说法是真命题，故本选项不符合题意； D、三角形任意两边之和大于第三边，原说法是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 20．（2025秋•宁德期中）毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机：为什么不是有理数？阅读下列证明过程，并完成相应问题． 证明：设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，即，两边平方，得①． ∴p2含有因数3， 设p＝3m（m为正整数），则p2＝9m2， ∴②， ∴q2含有因数3， ∴q含有因数3， 这样p，q有公因数3，不互质，这与假设p，q互质矛盾． ∴不是有理数． （1）将上面的证明过程补充完整． ①p2＝3q2 ；②q2＝3m2 ； （2）类比上述的证明过程，推理说明不是有理数． 【分析】（1）根据题意补全证明过程，即可求解． （2）用类比的思想，仿照证明“为什么不是有理数”来证明． 【解答】（1）解：补全证明过程：设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，即，两边平方，得①p2＝3q2． ∴p2含有因数3， 设p＝3m（m为正整数），则p2＝9m2， ∴②q2＝3m2， ∴q2含有因数3， ∴q含有因数3， 这样p，q有公因数3，不互质，这与假设p，q互质矛盾． ∴不是有理数； 故答案为：①p2＝3q2，②q2＝3m2； （2）证明：设是有理数，那么存在两个互质的正整数a，b，使得，即． 两边立方，得a3＝3b3． ∴a3是3的倍数． ∵3是质数， ∴a是3的倍数． 设a＝3n（n为正整数），则a3＝27n3． 代入a3＝3b3中，得27n3＝3b3，即b3＝9n3． ∴b3是3的倍数． ∵3是质数， ∴b是3的倍数．这样a，b有公因数3，不互质， 这与假设a，b互质矛盾． ∴不是有理数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $