专题11 平行线重难点题型归纳（十二大高频题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题11 平行线重难点题型归纳 【题型1 平行线的证明】.......................................................1 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】........................................6 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】.........................................10 【题型4 平行线性质的实际应用】...............................................15 【题型5 平行线的判定】......................................................19 【题型6 利用平行线的判定与性质的综合】.......................................26 【题型7 命题的判定】........................................................34 【题型8 作辅助线求角度】....................................................36 【题型1 利用平行线性质求角度】 1．如图，直线，直线分别与直线，交于点E和F，平分，交直线于点P．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故选C． 2．如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用两直线平行，同旁内角互补求出的度数． 【详解】解： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：C． 3．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，，再根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 4．如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角及平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据方位角和平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：根据两直线平行，同旁内角互补得， ， 故选：C． 5．如图，，直线与直线，分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，先根据对顶角相等得，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：B． 6．如图，已知，垂直于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线及垂线的性质；两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 7．如图，是的平分线，且，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直线平行的性质，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等，再结合角分线即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，，点E在的延长线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质． 先根据平角的定义求出的度数，再由平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：点在的延长线上，， ， ， ． 故选：C． 9．如图， ，E，F为直线上两点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握定理的内容是解题的关键. 根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义求出，最后根据两直线平行，内错角相等求出结果. 【详解】解：∵， ∴，又， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10．如图，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同位角相等”，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A ． 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 1．如图，将一块含角的直角三角板斜边的两个顶点分别放在直尺的两条边上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键． 直接利用平行线的性质以及含角的直角三角板的特征进而得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 由题意得， 直尺两边平行， ． 故选：A 2．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由题意得，，则，，然后代入即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴，， ∴， 故选：． 3．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．先由平行线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于，邻补角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．根据平行线的性质，平角等于对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，，．故①②④正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故③正确； 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 5．如图，将一把直尺与含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是    （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，先根据平行线的性质得，再根据平角的定义得，进而可得的度数． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，已知直线，含角的三角板ABC的顶点A落在直线上，顶点B落在直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的计算，先结合三角板的性质得，再运算出，根据两直线平行，内错角相等得，即可作答． 【详解】解：如图： ∵含角的三角板ABC的顶点A落在直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 1．如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是合理的利用折叠的两个角相等；由图形可得，可得，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为折痕， ∴， 即， 解得． 故选：A． 2．如图，有一个长方形纸条，，，如图，将长方形沿折叠，与交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图中，延长到.利用翻折变换和平行线的性质再求出可得结论． 【详解】解：如图中，延长到． 由翻折变换的性质可知， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．如图，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，交于点E，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出，折叠得到，即可得出结论． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵折叠， ∴； 故选B． 4．如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据平行线的性质得出，再根据折叠性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由折叠性质可得，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 故选：A． 5.如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查长方形中的翻折问题，平行线的性质，解题的关键是掌握长方形的性质和翻折的性质． 由四边形是长方形，可得，又，故，根据将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，即得，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．将长方形纸带按如图所示折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，再根据平角的性质即可解答． 【详解】解：如图，根据题意：， ∴， 根据折叠有：， ∴． 故选：C． 7．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折叠得到，平行线的性质，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵长方形纸片的对边平行， ∴， ∴； 故选B． 【题型4 平行线性质的实际应用】 1．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得，可求出，由可得，进而求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 3．如图，在水平地面上放一个平面镜，且，在边上有一点，从点处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，由，则，，然后通过物理知识可得反射角等于入射角，即有，从而求出度数，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 由物理知识可得反射角等于入射角， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质及垂线的定义是解题的关键；过点B作，则有，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵与始终平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 6．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据题意作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， ∴第二次需要向左拐，故A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， 第二次需要向右拐，故C错误；D正确． 故选：D． 【题型5 平行线的判定】 1．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 2．如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意； 故选：D． 3．如图，工人师傅在施工时，需在同一平面内弯制一根变形管道ABCD，使其拐，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．AB与CD相交 【答案】A 【分析】利用平行线的判定定理来判断与是否平行，再分析其他选项． 【详解】解：∵， ∴． A、根据“同旁内角互补，两直线平行”，∴，A选项符合题意； B、题中没有任何条件能表明，B选项不符合题意； C、题中没有任何条件能表明，C选项不符合题意； D、由前面得出，∴与不相交，D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是“同旁内角互补，两直线平行”来判断直线是否平行． 4．如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析． 【详解】解：A、∵， ∴，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项不符合题意； C、∵， ∴，本选项不符合题意； D、∵， ∴，本选项符合题意． 故选：D． 5．如图，已知：，，那么直线与的位置关系如何？并说明理由． 答：__________． 理由：（已知）， _____（_____）． （已知）， （等量代换）． _____（______）． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，由可得出，由已知条件了可得出，进而可得出． 【详解】解：答： 理由：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 6．如图，是的高，点G在上，，垂足是点F，点E在上，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了根据平行线的判定与性质的证明，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用高的意义得出，再证明，然后利用平行线的性质得出，结合，可得，从而可得出结论成立． 【详解】证明：∵是的高， ∴， ∵点G在上，，垂足是点F， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 7．如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点 （1）根据题意得到，进而证明； （2）根据题意，进而得到，进而证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴，即， ∵， ∴， ∴． 8．如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． （1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论； （2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论． 【详解】（1）证明： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ． 9．如图，点在直线上，是上一点，连接平分平分． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合角平分线定义得到，即可证明； （2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 【题型6 利用平行线的判定与性质的综合】 1．如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 2．如图，已知F，E分别是射线，上的点．连接，，，其中平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键． （1）由平分，可得，由，可得，进而可得． （2）由，，可得，由，可得，由平分，可得，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的度数为． 3．如图，，． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定（内错角相等、同位角相等判定两直线平行）与性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）．解题思想与方法：转化思想，将角的相等关系转化为直线的平行关系，再将平行关系转化为角的数量关系；方程思想，通过设未知数，利用角的数量关系列方程求解．解题关键：熟练运用平行线的判定定理和性质定理，准确找到角之间的关联，建立方程求解角度．易错点：在运用平行线的判定和性质时，容易混淆角的位置关系（如内错角、同位角、同旁内角的识别），导致推理错误；设未知数时，角的比例关系对应错误，影响方程的建立． （1）要证明，先看已知角的关系．由，根据“内错角相等，两直线平行”，得出．再由，利用“两直线平行，内错角相等”，得到．又因为，通过等量代换得到，最后根据“同位角相等，两直线平行”，证明． （2）已知，可设，则．由（1）知，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知．又因为，所以列方程，求解得，进而得出． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ， ． （2）解：设． ， ． ， ， ， 解得， ∴． 4．如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质，由得到角相等关系，再结合已知，通过等量代换得出内错角相等，从而证明． （2）根据，利用平行线同旁内角互补求出，再由角平分线定义得出相关角的度数，结合，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 5．如图，，，，， (1)问直线与有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质定理，关键在于熟练运用平行线的判定定理和性质定理． （1）由题意推出，结合，推出，得到，根据“内错角相等，两直线平行”即可推出； （2）根据（1）推出的结论，推出，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到，根据角的和差关系从而求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 又， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 度数为． 6．如图，已知，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质． 根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，根据同旁内角互补，两直线平行，可证结论成立； 根据邻补角的定义可知，又因为，可以求出，根据，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，， ， 解得：， ， ． 7．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）结合邻补角定义求出，依据同位角相等，两直线平行即可得证； （2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （3）依据已知条件求得的度数，进而利用平行线的性质得出的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：； 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型7 命题的判定】 1．下列命题中是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．内错角相等 C．两直线平行，同旁内角相等 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，平行线的性质和对顶角的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和对顶角的性质判断各选项的真假． 【详解】解：A． 同位角相等需要两直线平行才成立，否则不一定成立，该项不符合题意； B．内错角相等需要两直线平行才成立，否则不一定成立，该项不符合题意； C．两直线平行时，同旁内角互补，而不是相等，该项不符合题意； D．对顶角总是相等，该项符合题意． 故选D． 2．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题的真假，反例的定义，解题的关键是掌握反例． 根据反例的定义，结合命题逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵ 当 时， ， ， ∴ ， 但， ∴ 该命题为假命题，该选项符合题意； B. 当时，且，命题成立，不符合题意； C. 当时，, ，，不满足条件，不符合题意； D.当时，且，命题成立，不符合题意； 故选：A． 3．下列命题是真命题的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．全等三角形的面积一定相等 C．形状相同的两个三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质，熟练掌握是解题关键． 根据全等三角形的定义和性质，判断各选项的正确性． 【详解】解：∵ 全等三角形大小形状完全相同， ∴ 全等三角形的面积一定相等，故B是真命题； A：两个等边三角形不一定全等，如边长分别为2和3的等边三角形，故为假命题； C：形状相同的三角形相似但不一定全等，故为假命题； D：面积相等的三角形不一定全等，如底和高不同的三角形，故为假命题； 故选：B． 4．下列命题中，是真命题的是（    ） A．所有实数都有平方根 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．无理数都是无限不循环小数 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、对顶角、无理数，根据因为负数没有实数平方根即可判断A；因为时与可能互为相反数即可判断B；因为相等的角不一定是对顶角即可判断C；根据无理数的定义是无限不循环小数即可判断D；从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、负实数没有平方根，故A是假命题； B、若，则或，故B是假命题； C、相等的不一定是对顶角，如两直线平行，同位角相等，故C是假命题； D、无理数都是无限不循环小数，故D是真命题； 故选：D． 【题型8 作辅助线求角度】 1．如图，玲玲在美术课上用丝线绣出了一个“2”，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对平行线的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键．过点C作，得出，根据平行线的性质推出，求出，即可求出选项． 【详解】解：过点C作， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线辅助线是解题的关键． 过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 平行线重难点题型归纳 【题型1 平行线的证明】.......................................................1 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】........................................3 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】.........................................5 【题型4 平行线性质的实际应用】...............................................6 【题型5 平行线的判定】.......................................................8 【题型6 利用平行线的判定与性质的综合】.......................................11 【题型7 命题的判定】........................................................13 【题型8 作辅助线求角度】....................................................13 【题型1 利用平行线性质求角度】 1．如图，直线，直线分别与直线，交于点E和F，平分，交直线于点P．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，直线与直线，分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，垂直于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的平分线，且，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，，点E在的延长线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图， ，E，F为直线上两点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 故选：B． 10．如图，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型2 利用平行线性质解决三角板问题】 1．如图，将一块含角的直角三角板斜边的两个顶点分别放在直尺的两条边上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，将一把直尺与含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是    （   ） A． B． C． D． 6．如图，已知直线，含角的三角板ABC的顶点A落在直线上，顶点B落在直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行线性质解决折叠问题】 1．如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一个长方形纸条，，，如图，将长方形沿折叠，与交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．如图，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，交于点E，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5.如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．将长方形纸带按如图所示折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【题型4 平行线性质的实际应用】 1．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在水平地面上放一个平面镜，且，在边上有一点，从点处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终为（   ） A． B． C． D． 5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 6．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【题型5 平行线的判定】 1．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，工人师傅在施工时，需在同一平面内弯制一根变形管道ABCD，使其拐，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．AB与CD相交 4．如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知：，，那么直线与的位置关系如何？并说明理由． 答：__________． 理由：（已知）， _____（_____）． （已知）， （等量代换）． _____（______）． 6．如图，是的高，点G在上，，垂足是点F，点E在上，连接，若．求证：． 7．如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 8．如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 9．如图，点在直线上，是上一点，连接平分平分． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【题型6 利用平行线的判定与性质的综合】 1．如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 2．如图，已知F，E分别是射线，上的点．连接，，，其中平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 3．如图，，． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 4．如图，点在线段上，点，在线段上，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 5．如图，，，，， (1)问直线与有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，求的度数． 6．如图，已知，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 7．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 【题型7 命题的判定】 1．下列命题中是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．内错角相等 C．两直线平行，同旁内角相等 D．对顶角相等 2．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 3．下列命题是真命题的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．全等三角形的面积一定相等 C．形状相同的两个三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等 4．下列命题中，是真命题的是（    ） A．所有实数都有平方根 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．无理数都是无限不循环小数 【题型8 作辅助线求角度】 1．如图，玲玲在美术课上用丝线绣出了一个“2”，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $