精品解析：辽宁省抚顺市新宾县2025-2026学年九年级上学期教学质量检测数学试卷（一）

辽宁省抚顺市新宾县2025-2026学年九年级上学期教学质量检测数学试卷（一） （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：120分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处．每小题3分，共30分） 1. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 6. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 7. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标之和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则m的值为（ ） A. 9 B. 4 C. 6 D. 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为_________． 12. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线表达式是______． 13. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 14. 一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，则__________． 15. 如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，则该点的坐标为________． 18. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求度数； （2）若,，求的长． 19. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 20. 如图，在某中学一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 21. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出y与x的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 22. 如图1，在中，，三个内角平分线交于点O，的外角的角平分线交的延长线于点F． 【问题初探】：（1）__________，__________： 【问题再探】：（2）如图2，过点作． （1）求证：； （2）若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，当时，请直接写出的度数． 23. 如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省抚顺市新宾县2025-2026学年九年级上学期教学质量检测数学试卷（一） （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：120分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处．每小题3分，共30分） 1. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键． 平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、一元一次方程，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，逐项进行分析． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、，含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项正确； D、是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，在平面直角坐标系中，一个点关于原点对称时，其横、纵坐标均互为相反数．据此即可得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：B． 5. 若是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 6. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项 B错误，不符合题意； 当时，，即该函数图象与轴交于点，故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 7. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有x个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得： ． 故选：D 8. 如图，将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，如图，连接，由旋转性质可知，，，，，则是等边三角形，是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出，，，，然后由勾股定理求出，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由旋转性质可知：，，，，， ∴等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴点的坐标为， 故选：． 9. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标之和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则m的值为（ ） A. 9 B. 4 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设二次函数图象上的“零和点”坐标为，则有，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，可知，计算求解即可． 【详解】解：设二次函数图象上的“零和点”坐标为， 将代入得，，即， ∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点”， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式．解题的关键掌握二次函数与二次方程之间的关系． 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②符合题意； ③对称轴为，当和时函数值相等，都小于0， ，故③不符合题意； ④当时，， ∴， 故④符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识点，熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解决此题的关键，根据已知条件“一元二次方程有两个相等的实数根”可知根的判别式，据此可以求得的值． 【详解】解：一元二方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为， 故答案为：． 13. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断． 【详解】解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 一副三角板如图摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图，即时，则__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查三角板，平行线的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握题意，可得，，根据，可得，则，即可． 详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，准确判断点的运动轨迹是解题关键．首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，当时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理解得此时的值，即可获得答案． 【详解】解：∵与均为等边三角形，且等边的边长为8， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：这里，，， ∵． 即， 【小问2详解】 解：， ， 或． ， 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，则该点的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，中心对称图形，解题关键是数形结合． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的定义作图即可； （3）求出某对对应点的中点坐标，即为旋转中心的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，点、， 、的中点坐标为，即， 旋转中心的坐标为， 故答案为：． 18. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若,，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵，,， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴在中，． 19. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为，拿4月份的销售量乘以等于6月份的销售量建立方程求解； （2）设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元，根据每件利润乘以数量得到总利润建立方程求解． 【小问1详解】 解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元． 20. 如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 【答案】（1） （2）小丽的判断是正确的，计算过程见解析 （3）张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功 【解析】 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性； （3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案． 【小问1详解】 抛物线顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 把代入，得． ； 【小问2详解】 把代入抛物线解析式 得． ， 此球不能投中，小丽的判断是正确的． 【小问3详解】 当时，， 解之，得或． ，． 答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出y与x的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）y与x的函数关系式为y=10x＋200； （2）当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大. （3）降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【解析】 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)， 由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300）， 将其代入y=kx+b 得 解得 ∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200； 【小问2详解】 解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910， 整理得 x2－20x＋91＝0， 解得：x1＝7, x2＝13； 当x＝7时，售价为100－7＝93（元）， 当x＝13时，售价为100－13＝87（元）， ∵优惠力度最大， ∴取x＝13， 答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大； 【小问3详解】 解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%， ∴100－60－x ≥ 60×50%, 解得：x≤10； 依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000， 整理得 x2－20x＋100＝0， 解得：x1＝x2＝10； ∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． 22. 如图1，在中，，三个内角平分线交于点O，的外角的角平分线交的延长线于点F． 【问题初探】：（1）__________，__________： 【问题再探】：（2）如图2，过点作． （1）求证：； （2）若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，当时，请直接写出的度数． 【答案】（1）， （2）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线的定义，平角定义，外角的性质，三角形内角和定理，角的和计算即可． （2）①延长交于点M，则， 证明，结合，得到，解答即可； ②根据旋转的性质，平行线的判定，分类解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵三个内角平分线交于点O， ∴平分， ∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 ①证明：延长交于点M， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：根据前面证明，得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， 如图所示： ∴， ∴， ∴； 如图所示，∵ ∴， 综上所述，的度数或． 【点睛】本题考查了角的平分线的定义，平角定义，外角的性质，三角形内角和定理，角的和计算，平行线的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为 （2）的最大值为 （3） 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，等腰直角三角形的定义等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后求得点B的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式； （2）由题意可知，此时，且点在点上方，据此得到的表达式，然后根据二次函数的性质即可求得最值； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，可知此时点纵坐标为3，则有，据此即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得， 解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得， 解得， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； 【小问3详解】 解：轴， 当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3， ，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $