精品解析：辽宁省抚顺市新宾县2024-2025学年九年级上学期教学质量检测数学试卷

2024～2025学年度第一学期教学质量检测（一） 九年级数学试卷 ※考生注意：1、考试时间120分钟，试卷满分120分 2、请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处．（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是 （ ） A. （ - 1， - 3） B. （ - 1，3） C. （1， - 3） D. （3，1） 【答案】A 【解析】 【分析】由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点对称的点的坐标是． 故选：A． 【点睛】题目考查了关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好关于原点对称点的坐标规律． 4. 下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：不是二次函数，故选项A不符合题意； ，不是二次函数，故选项B不符合题意； 是二次函数，故选项C符合题意； 是一次函数，故选项D不符合题意； 故选：C． 5. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键． 6. 将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”，求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位， 得到的抛物线为：． 故选：D． 7. 某超市进行促销活动，第一天营业额为万，第二、三两天营业额的增长率相同，第三天营业额为万，设每天增长率为，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每天增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每天增长率为， 由题意得，， 故选：． 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，等边对等角，根据旋转，得到，根据等边对等角，得到，根据三角形的内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转性质可知∶， ∵点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故选：B． 9. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点都在二次函数的图象上， ∴到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：B． 10. 将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算，由旋转的性质和平行线的性质与判定依次判断可求解． 【详解】解：由三角板可知，，，，， （1）当平分，则， ，故（1）错误； （2）若，且在的上方，则， ，故（2）错误； （3）若时，且在的下方时，则，故（3）错误； （4）若，且，则，故（4）正确， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．熟练掌握抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系，是解题的关键．抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系：抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有没有交点． 根据抛物线与x轴有一个交点，根的判别式等于0的性质解答即可． 【详解】二次函数的图象的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了_________． 【答案】3秒## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的最值与刹车距离的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】， 当时，是最大时间， 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B=AB=8， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°， 过点A1作于点D ∴ ∴×8×4=16， 又∵， ， ∴=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 15. 如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，，当的长最小时的长是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点E作交于点M，过点F作交的延长线于点N，延长交的延长线于点G，根据题意证明出，得到，，然后设，表示出，，然后利用勾股定理表示出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作交于点M，过点F作交的延长线于点N，延长交的延长线于点G， ∴， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴四边形，是矩形， ∴设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当的长最小时的长是3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 请选择合适的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解方程要求会熟练进行因式分解． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， , ∴或, ∴，； 【小问2详解】 解： ， ∴或， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根判别式： （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法解方程得到或，进而得到，则． 【小问1详解】 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴此方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或， ∵此方程有一个根大于0且小于1， ∴， ∴． 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点O的中心对称图形． （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出． （3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， 对于（1），作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可； 对于（2），将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接； 对于（3），连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可． 【小问1详解】 如图所示， 小问2详解】 如图所示， 【小问3详解】 如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是． 故答案：． 19. 晓丽家想建一个兔子饲养场，晓丽爸爸利用一个直角墙角和围栏围出矩形饲养场（靠墙两面不用围栏），点A、C均在墙面上，，两边墙都足够长，，所用围栏总长为，若矩形的面积为，求边的长． 【答案】边长为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设，根据长方形的面积公式列出关于x的一元二次方程，再求解舍去不合题意的数，即可得出答案． 【详解】解：设，则， 依题意，得， 即， 解得，． ∵， 即， 解得， ∴不合舍去，则． 答：边长为． 20. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；  （2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理. 21. 某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系（即前t个月的利润总和S 与t之间的函数关系），根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）此软件上市第几个月后开始盈利? （2）求累积利润S（万元）与销售时间t（月）间函数表达式； （3）第几个月公司的月利润为2.5万元? 【答案】（1）4个月后 （2） （3）第5个月 【解析】 【分析】此题考查了二次函数、一元二次方程实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）由图象可得，该种软件上市第4个月后开始盈利； （2）设利用待定系数法即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：由图象可得， 该种软件上市第 4个月后开始盈利； 【小问2详解】 设， ∵函数图象过点， ∴，得， ∴累积利润（万元）与时间（月）之间的 函数表达式是：； 【小问3详解】 由题意，当时，， 解得，，（舍去）， 即截止到5月末，公司累积利润达到2.5万元． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 23. 如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接，求的面积： （3）在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数对称轴，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线利用分割思想进行求解是解题的关键． （1）根据解析式为顶点式结合顶点坐标即可求出对应的函数解析式； （2）如图所示，过点D作于E，交于F，求出直线的解析式为，则，再根据进行求解即可； （3）如图所示，过点M作于H，交于N，设，则，同（2）得到，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于E，交于F， 令，则， ∴点C的坐标为； 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，则， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点M作于H，交于N， 设，则， ∴， 同（2）可得， ∵， ∴当时，最大，此时点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期教学质量检测（一） 九年级数学试卷 ※考生注意：1、考试时间120分钟，试卷满分120分 2、请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处．（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是 （ ） A. （ - 1， - 3） B. （ - 1，3） C. （1， - 3） D. （3，1） 4. 下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 6. 将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 某超市进行促销活动，第一天营业额为万，第二、三两天营业额的增长率相同，第三天营业额为万，设每天增长率为，则可列出的方程是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 9. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A B. C. D. 10. 将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为____. 12. 已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是______． 13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了_________． 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 15. 如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，，当的长最小时的长是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 请选择合适的方法解方程： （1） （2） 17. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点O中心对称图形． （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出． （3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______． 19. 晓丽家想建一个兔子饲养场，晓丽爸爸利用一个直角墙角和围栏围出矩形饲养场（靠墙两面不用围栏），点A、C均在墙面上，，两边墙都足够长，，所用围栏总长为，若矩形的面积为，求边的长． 20. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 21. 某公司开发一款与教育配套软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系（即前t个月的利润总和S 与t之间的函数关系），根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）此软件上市第几个月后开始盈利? （2）求累积利润S（万元）与销售时间t（月）间的函数表达式； （3）第几个月公司的月利润为2.5万元? 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接，求的面积： （3）在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $