精品解析：安徽省合肥市庐江县部分学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学 上册第十三~十七章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列数是正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正数的概念，熟知大于的数叫做正数是解题的关键．先将已知各数进行化简，然后根据正数的概念逐项判断即可． 【详解】解： A、既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； B、，属于负数，故本选项不符合题意； C、，属于正数，故本选项符合题意； D、 ，由于指数为奇数，故结果为负数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．根据各运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、，故B选项正确，符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有共5种，主要培养学生的辨析能力．根据“”对A进行判断；根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明． 【详解】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意； 由，利用可证明，所以B选项不符合题意； 由，利用可证明，所以C选项不符合题意； 由，符合，不能证明，所以D选项符合题意． 故选D． 4. 下列多项式与多项式相乘时，能运用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式适用于：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，符合平方差公式特点，能用平方差公式； B、不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； C、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； 故选：A． 5. 如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由图中大正方形的面积小正方形的面积图长方形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：图中，大正方形的面积小正方形的面积， 图中，长方形的面积， 根据面积相等，得， 故选：D． 6. 如图，，点B、C、D在同一条直线上，点E在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意找出图形中的角度关系是解题关键．根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，得到，再根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ， 故选：B． 7. 一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形形状的判定，因式分解的应用，解题的关键在于对已知关系式变形，推导出、、的关系．将已知关系式进行因式分解，得出，分或两种情况讨论，结合三角形边长关系排除不可能情况，从而确定三角形的形状． 【详解】解： ， ， 或 若，则， 这个三角形为等腰三角形； 若，则， ，， 为三角形边长，均大于， ，但此时，不满足三角形两边之和大于第三边，即， 该情况不成立， 综上，这个三角形一定是等腰三角形． 故选：A． 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，的周长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，．由线段垂直平分线的性质推出，，得到的周长为，结合的周长为，求出的长，进而可得到的长． 【详解】解：垂直平分线， ，， 的周长为， 的周长为， ， ． 故选：A． 9. 已知，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先将已知式子通过移项，幂的乘方逆运算进行变形，然后将相关值代入所求式子中即可得解． 【详解】解： ， ， ，，， ． 故选：B． 10. 如图所示的正方形方格中有颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（小正方形的边长为一步），棋子不能重叠，若移动后的颗棋子组成的图形是轴对称图形，则不同的移法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的特征是解题的关键．根据轴对称图形的特征画出所有可能结果即可解答． 【详解】解：移动后的轴对称图形如图所示，共有种方法． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11 计算：=____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式与单项式的乘法法则计算即可. 【详解】=. 故答案为. 【点睛】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 12. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．识别多项式中各项的公因式，并提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 13. 如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的应用，解题关键是能根据图形得到正确的数量关系并列式计算．设正方形的边长，进而表示出，再根据长方形面积为可得到，根据劳动实践基地的面积列式，利用完全平方公式、提公因式等将式子进行变形，最后将整体代入计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长，则， 长方形面积为． ， 劳动实践基地的面积为： ． 故答案为：． 14. 如图，在等边三角形中，为边上一点，延长到点，使，连接． （）若，则的度数是______．（用含的代数式表示） （）过点作于点，的延长线与的延长线交于点，则的度数是______． 【答案】 ①. ②. ##度 【解析】 【分析】（）由等边三角形的性质及已知得，即得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （）由等边三角形的性质及已知得，，即得，，进而得到，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （）∵是等边三角形，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 16 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并正确求解是解答的关键． 先去括号，然后合并同类项，再提取公因式和利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，与相交于点O，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，得到，，即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴，即． 18. 如图，某江滩公园有一块长为米、宽为米的长方形地块，角上有两个边长均为米的小正方形，现要将阴影部分绿化． （1）用含有，的代数式表示需要绿化部分的总面积（结果需要化简）． （2）若，，求需要绿化部分的总面积． 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，求代数式的值，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据“需要绿化部分的总面积长方形的面积个小正方形的面积”列式，然后利用多项式乘以多项式以及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得解； （2）将、值代入（1）中所求式子即可得出需要绿化部分的总面积． 【小问1详解】 解：由图可知，需要绿化部分的总面积： 平方米， 答：需要绿化部分的总面积为平方米． 【小问2详解】 解：当，时， 原式 （平方米）． 答：需要绿化部分的总面积为平方米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【发现】当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差． 【验证】（1）当两个不同的正整数为，时，，能被整除，请把与的积写成两个正整数的平方差的形式． 【探究】（2）设【发现】中两个正整数分别为，，请论证【发现】中的结论正确． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练应用完全平方公式． （1）根据题意直接列式即可． （2）由，，是正整数，得出一定能被整除；进而得到，结合，同为偶数或同为奇数，且，即可得证． 【详解】（1）解：． （2）证明： ． ，是正整数， 一定能被整除． 由上面的算式可知， ． 正整数，同为偶数或同为奇数，且， ，均为偶数， 与都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 20. 如图，，，，与相交于点． （1）求证：． （2）连接，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的判定，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可求证； （2）根据角平分线的判定定理即可求证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为，． 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴平分． 六、（本题满分12分） 21. 我们已经学习了用提公因式法、公式法等分解因式的方法，但有时多项式不能直接用上述的方法进行分解．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 【观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 小结：对项数较多的多项式无法直接分解因式时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止）． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分组，再进行因式分解，即可作答． （2）先进行分组，再进行因式分解，即可作答． （3）根据完全平方公式进行变形，得，再求出，．又因为的三边长a，b，c都是正整数，则运用三边关系求出，最后根据周长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴， ∴ ∴， ∴的周长是． 七、（本题满分12分） 22. 起源于中国折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折成的玫瑰花，折纸前两步的过程如下： 第一步，将长方形纸条沿折叠，点A落在点的位置上，与交于点F（如图2所示）． 第二步，将纸条沿折叠，点B、C分别落在直线的右侧点，的位置上，与相交于点M（如图3所示）． （1）若，猜想的形状，并说明理由． （2）若，求证：F为DM的中点． 【答案】（1）为等边三角形，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，以及平行线的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）由折叠可知，，则，再根据平行线的性质，得到，，即可判断出的形状； （2）根据平行线的性质和等角对等边的性质，得到，，从而得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：为等边三角形． 理由：由折叠可知，， ∴， ∴． 又∵， ∴，， ∴为等边三角形． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴F为的中点． 八、（本题满分14分） 23. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，图1可以得到． 请根据材料解答下列问题： （1）若，，则的值为______． （2）如图，将两个大小不同的等腰直角三角尺和的顶点O重合放置． （ⅰ）如图2，点A、O、C在同一直线上，若的面积为11，和的面积之和为28，求线段的长； （ⅱ）如图3，点B、C、D在同一直线上，连接，交的延长线于点F，在上取点E，使，若和的面积之和为52，的面积为10，直接写出线段的长． 【答案】（1）40 （2）（ⅰ）10；（ⅱ）8 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）（ⅰ）根据的面积，得到，再根据，得到，再利用完全平方公式，求出，即可得到线段的长； （ⅱ）根据和面积之和为52，得到，证明，从而推出，根据的面积为10，得到，再利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：（ⅰ）∵，的面积为11， ∴，即． ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， 由题意得， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴． （ⅱ）∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，． ∵和面积之和为52， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵的面积为10，， ∴，即， ∴， ∴， ． ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 上册第十三~十七章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列数是正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ） A B. C. D. 4. 下列多项式与多项式相乘时，能运用平方差公式进行计算是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，点B、C、D在同一条直线上，点E在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形的三边a，b，c满足关系式，则这个三角形一定是（ ） A 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，的周长为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的正方形方格中有颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（小正方形的边长为一步），棋子不能重叠，若移动后的颗棋子组成的图形是轴对称图形，则不同的移法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：=____________. 12. 分解因式：______． 13. 如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为______． 14. 如图，在等边三角形中，为边上一点，延长到点，使，连接． （）若，则的度数是______．（用含的代数式表示） （）过点作于点，的延长线与的延长线交于点，则的度数是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 化简：． 16. 分解因式：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，与相交于点O，，，．求证：． 18. 如图，某江滩公园有一块长为米、宽为米的长方形地块，角上有两个边长均为米的小正方形，现要将阴影部分绿化． （1）用含有，的代数式表示需要绿化部分的总面积（结果需要化简）． （2）若，，求需要绿化部分的总面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【发现】当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差． 【验证】（1）当两个不同的正整数为，时，，能被整除，请把与的积写成两个正整数的平方差的形式． 【探究】（2）设【发现】中两个正整数分别为，，请论证【发现】中的结论正确． 20. 如图，，，，与相交于点． （1）求证：． （2）连接，求证：平分． 六、（本题满分12分） 21. 我们已经学习了用提公因式法、公式法等分解因式的方法，但有时多项式不能直接用上述的方法进行分解．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 小结：对项数较多的多项式无法直接分解因式时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法（温馨提示：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止）． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． 七、（本题满分12分） 22. 起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折成的玫瑰花，折纸前两步的过程如下： 第一步，将长方形纸条沿折叠，点A落在点的位置上，与交于点F（如图2所示）． 第二步，将纸条沿折叠，点B、C分别落在直线的右侧点，的位置上，与相交于点M（如图3所示）． （1）若，猜想形状，并说明理由． （2）若，求证：F为DM的中点． 八、（本题满分14分） 23. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，图1可以得到． 请根据材料解答下列问题： （1）若，，则的值为______． （2）如图，将两个大小不同的等腰直角三角尺和的顶点O重合放置． （ⅰ）如图2，点A、O、C在同一直线上，若的面积为11，和的面积之和为28，求线段的长； （ⅱ）如图3，点B、C、D在同一直线上，连接，交的延长线于点F，在上取点E，使，若和的面积之和为52，的面积为10，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $