精品解析： 福建省厦门市思明区第九中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考卷

厦门市第九中学九年级 2025-2026学年第一学期期中考试卷数学 一．选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆内时，点到圆心的距离与半径的大小关系是解题关键． 【详解】解：∵的半径为3，点P在内， ∴， ∵选项中只有， ∴的长可能是2， 故选：D． 3. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键． 由旋转的性质可得旋转角为或，据此即可解答． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至，点的对应点是． ∴旋转角为或． 故选：B． 4. 如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同弧所对等圆周角相等求解即可． 【详解】∵所对应的弧为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5. 若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得． 故选：A． 6. 某厂家年到月份的鞋子产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从月份到月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设从月份到月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为， 由题意得，， 故选：． 7. 以为中心点的量角器与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点，若点对应读数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】量角器器与三角板只有一个公共点，得到与圆量角器相切与点，得到，进而求出的度数，利用平角的定义，即可求出的度数． 【详解】解：∵量角器与三角板只有一个公共点， ∴与圆量角器相切与点， ∴， ∴， ∵点对应读数为，即：， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查切线的定义和性质，角度的计算．正确的识图，确定三角形的边与量角器相切，是解题的关键． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可． 【详解】解：∵将△绕点逆时针旋转得到△， ∴ 故A不符合题意； ∴ ∴ 故B不符合题意； ∴ ∴ ∴ 故C不符合题意； ∵ ∴ 故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：C ． 10. 已知抛物线经过点中的两点，且当时，x的取值范围是，则下列判断正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由当时，x的取值范围是可知抛物线开口向下，对称轴为直线，即可判断A、B；由抛物线经过点，对称轴为直线可知抛物线必过点，再根据题意得出，即可判断C；由于图象经过点B，则，代入，即可求得，即可判断D． 【详解】解：当时，x的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ，， ，故A、B错误； 抛物线经过点， 抛物线必过点，不过， 抛物线经过点中的两点， 抛物线经过点A和B， 抛物线经过点，，且当时，x的取值范围是， ， ，故C错误； 抛物线经过点B， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：D． 二．填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为 故答案为：． 12. 二次函数的对称轴是直线_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，由二次函数的顶点式得出顶点坐标，进而即可求解，掌握二次函数的顶点式 是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一，只有即可） 【解析】 【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围． 【详解】解：一元二次方程化为x2+6x+9-c=0， ∵△=36-4（9-c）=4c≥0， 解上式得c≥0． 故答为5（答案不唯一，只有c≥0即可）． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.关键在于求出c的取值范围． 14. 如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理，先根据圆内接四边形的性质求得，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在圆内接四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 ______． x -1 m（m≠-1） y=ax2 c c y=bx2 c+3 d 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可知m=1，代入，将d用含c的式子表示出来即可 【详解】解：由二次函数的性质可得的对称轴为y轴， 故由表可得 故答案为：3 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 16. 如图，在中，，点分别为的中点，点为边上任意一点（不与重合），沿剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点旋转，恰好与①拼成四边形，则四边形周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出，，由三角形中位线定理得出，，由旋转的性质可得：，，，，证明四边形为平行四边形，得出四边形周长，当时，此时最小，求出的最小值即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线，， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形周长， 当时，此时最小，为等腰直角三角形，的最小值为， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三．解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先计算，得到方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ． 18. 如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 【答案】 解：法一：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 法二：连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，法一：通过证明，根据全等三角形的性质可求解；法二：通过证明四边形是平行四边形，进而问题可求证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 如图，在中，，． （1）求作：使得圆心落在边上，且经过、两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 是的切线，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且点C在上， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、切线的判定、线段垂直平分线的性质、圆周角定理等知识点，根据垂直平分线的性质确定圆心是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，以为半径画圆即可； （2）如图：连接，再证明，进而得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】（1） 解：， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，求代数式的值等知识． （1）计算，即可证明方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根的定义得到，变形为，化简，整体代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的方程一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点，且点在边上，点的对应点为点，连接，若． （1）求证：为等边三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是关键． （1）由旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等边对等角可得，即，从而证明结论； （2）过点D作于点H，则，由（1）可知、，求出，得到，由旋转的性质得到、，求出，则，即可得到，进而完成解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点H，则， ∵是等边三角形， ∴、， ∴， ∴， ∴ ∵是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点， ∴、， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2） 当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 24. 已知抛物线经过点． （1）若抛物线还经过点，求出该抛物线的解析式； （2）当时，若点在第一象限，且点为抛物线对称轴上一点，记原点为，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； （3）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）．当时，若是一个与无关的定值，求的值． 【答案】（1）该抛物线的解析式为； （2）点的坐标为； （3）的值为． 【解析】 【分析】（1）把和代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）由待定系数法可得抛物线的解析式为，从而可得对称轴的解析式，可得点的横坐标，对称轴交轴于点，作于点，可证明，对应边相等，可得，代入抛物线的解析式，结合点在第一象限，可得，即可得点的坐标； （3）由已知可得，从而可得，，由，可得，可得，由是一个与无关的定值，可得，即可得的值． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点为抛物线对称轴上一点， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 对称轴交轴于点，作于点，则，， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵点在上， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴， ∴． 即的值为． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质． 25. 如图，内接于，连接并延长交于点，． （1）如图1，设，连接，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，连接，设， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作，交的延长线于点， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由等边对等角以及三角形内角和定理可得，，再根据圆周角定理可得，然后再根据三角形外角的性质求解即可； （2）如图2，连接，设，由等边对等角以及圆周角定理可得、，即；再证明，然后利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据垂径定理以及等腰三角形的性质可得，即，最后证明并利用全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：连接，由（2）可得：，，即；由角平分线的定义可得，由圆周角定理可得，利用角的和差可得，则是等腰直角三角形，即；再结合已知条件可得，如图：连接，设，则半径，最后在运用勾股定理列方程求得a的值，进而求得圆的半径． 【小问1详解】 解：如图1∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接， 由（2）可得：，， ∴， ∵作的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图：连接，设，则半径， 在中，， ∴，解得：或（不合题意舍去）， ∴的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第九中学九年级 2025-2026学年第一学期期中考试卷数学 一．选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 6. 某厂家年到月份的鞋子产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 7. 以为中心点的量角器与直角三角板如图所示摆放，直角顶点在零刻度线所在直线上，且量角器与三角板只有一个公共点，若点对应读数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 10. 已知抛物线经过点中的两点，且当时，x的取值范围是，则下列判断正确的是（　　　） A. B. C. D. 二．填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为___________ 12. 二次函数的对称轴是直线_____． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）． 14. 如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则__________． 15. 对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 ______． x -1 m（m≠-1） y=ax2 c c y=bx2 c+3 d 16. 如图，在中，，点分别为的中点，点为边上任意一点（不与重合），沿剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点旋转，恰好与①拼成四边形，则四边形周长的最小值为________． 三．解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，，． （1）求作：使得圆心落在边上，且经过、两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线与的位置关系，并说明理由． 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求代数式的值． 22. 如图，是在平面内绕点顺时针旋转而成，点的对应点为点，且点在边上，点的对应点为点，连接，若． （1）求证：为等边三角形； （2）若，，求的长． 23. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 24. 已知抛物线经过点． （1）若抛物线还经过点，求出该抛物线的解析式； （2）当时，若点在第一象限，且点为抛物线对称轴上一点，记原点为，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； （3）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）．当时，若是一个与无关的定值，求的值． 25. 如图，内接于，连接并延长交于点，． （1）如图1，设，连接，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $