1.3探索三角形全等的条件（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

本讲义聚焦三角形全等的判定核心知识点，从全等三角形定义（完全重合、对应边角相等）出发，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS及直角三角形HL判定定理，每个定理含简记、几何语言及关键注意事项，形成从概念到应用的学习支架，配套分类型练习题。 资料融入思维导图构建知识脉络，练习题结合现实情境（如测池塘距离、工人师傅平分角）引导学生用数学眼光观察世界，通过规范几何语言表述和逻辑推理过程培养推理意识，分层设计助力课中分层教学，课后可针对性练习查漏补缺。

1.3探索三角形全等的条件 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 "边边边"（SSS）判定定理 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。 简记为：SSS(Side-Side-Side)。 几何语言：在和中，若，，，则（SSS）。 "边角边"（SAS）判定定理 如果一个三角形的两条边及其夹角与另一个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。 简记为：SAS(Side-Angle-Side)。 几何语言：在和中，若，，，则（SAS）。 注意：必须是两条边的夹角对应相等，而非其中一边的对角。 "角边角"（ASA）判定定理 如果一个三角形的两个角及其夹边与另一个三角形的两个角及其夹边对应相等，那么这两个三角形全等。 简记为：ASA(Angle-Side-Angle)。 几何语言：在和中，若，，，则（ASA）。 "角角边"（AAS）判定定理 如果一个三角形的两个角及其中一个角的对边与另一个三角形的两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。 简记为：AAS(Angle-Angle-Side)。 几何语言：在和中，若，，，则（AAS）。 直角三角形全等的"斜边、直角边"（HL）判定定理 对于两个直角三角形，如果斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。 简记为：HL。 几何语言：在和中，，若（斜边），（直角边），则（HL）。 注意：HL定理仅适用于直角三角形。 型 习 练 题 全等的性质和SSS综合 1．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在的边上，尺规作图痕迹显示的是（   ） A．作线段的垂直平分线 B．作的平分线 C．连接，则与不全等 D．作 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ） A．60° B．65° C． D． 全等的性质和ASA综合 6．如图，乡村公路是交通事故的易发生地段，而超速是引发这些事故的主要原因．在笔直的乡村道路上，相距的，两点的正上方分别安装了，两个测速摄像头，摄像头距离地面的高度相等，观测方向与竖直方向的夹角相同（即），汽车经过两个摄像头的测速点，的时间间隔为．若该段道路限速，则该汽车（    ） A．超速 B．超速 C．超速 D．没有超速 7．如图，，，若，，则的长是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点为边上一点，，连接，过点作于点，且平分，连接，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B． C． D． 全等的性质和SAS综合 11．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（    ） A． B． C． D． 12．如图，，，欲证 ，需补充条件（    ） A． B． C． D． 13．如图，已知且，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 14．如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 15．如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（    ） A．小于 B．小于 C．等于 D．与互补 添加条件使三角形全等 16．如图，在和中，，那么下列各条件中，不能使的是（   ） A． B． C． D． 17．如图所示，在和中，，，要想用“”证明，需补充的条件是（　　） A． B． C． D． 18．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 19．如图，在和中，，还需添加两个条件用“”能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 20．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 全等三角形的判定综合 21．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 22．如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 23．已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 24．如图，已知，再画出一个，使，，（即使两角和它们的夹边分别相等）． 25．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3探索三角形全等的条件 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 "边边边"（SSS）判定定理 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。 简记为：SSS(Side-Side-Side)。 几何语言：在和中，若，，，则（SSS）。 "边角边"（SAS）判定定理 如果一个三角形的两条边及其夹角与另一个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。 简记为：SAS(Side-Angle-Side)。 几何语言：在和中，若，，，则（SAS）。 注意：必须是两条边的夹角对应相等，而非其中一边的对角。 "角边角"（ASA）判定定理 如果一个三角形的两个角及其夹边与另一个三角形的两个角及其夹边对应相等，那么这两个三角形全等。 简记为：ASA(Angle-Side-Angle)。 几何语言：在和中，若，，，则（ASA）。 "角角边"（AAS）判定定理 如果一个三角形的两个角及其中一个角的对边与另一个三角形的两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。 简记为：AAS(Angle-Angle-Side)。 几何语言：在和中，若，，，则（AAS）。 直角三角形全等的"斜边、直角边"（HL）判定定理 对于两个直角三角形，如果斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。 简记为：HL。 几何语言：在和中，，若（斜边），（直角边），则（HL）。 注意：HL定理仅适用于直角三角形。 型 习 练 题 全等的性质和SSS综合 1．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图-作一个角等于已知角等知识．连接，由作图可得，根据“”证明，即可证明． 【详解】解：连接， 由作图可得． 在和中， ， ∴， ∴． 故选：C 2．如图，点在的边上，尺规作图痕迹显示的是（   ） A．作线段的垂直平分线 B．作的平分线 C．连接，则与不全等 D．作 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．根据作图得出，得出，得出即可． 【详解】解：如图，连接, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由三边相等得，即由判定三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴， 即即是的平分线． 故选：B． 4．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：、、、、．根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【详解】解：在和中， ， ， ， 就是的平分线． 故选：． 5．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ） A．60° B．65° C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证，得出，再根据三角形外角的性质求的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选A． 全等的性质和ASA综合 6．如图，乡村公路是交通事故的易发生地段，而超速是引发这些事故的主要原因．在笔直的乡村道路上，相距的，两点的正上方分别安装了，两个测速摄像头，摄像头距离地面的高度相等，观测方向与竖直方向的夹角相同（即），汽车经过两个摄像头的测速点，的时间间隔为．若该段道路限速，则该汽车（    ） A．超速 B．超速 C．超速 D．没有超速 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，求出，再求出汽车的速度，然后进行比较即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴汽车的速度为， ， ∵， ∴该汽车没有超速． 故选：D． 7．如图，，，若，，则的长是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 9．如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图得，由条件得，利用等式的性质得，结合可证；由三角形全等的性质得，则，代入数据计算即可． 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两角及对边对应相等，三角形全等是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ． 故选：B． 10．如图，在中，点为边上一点，，连接，过点作于点，且平分，连接，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，先证明，进而求得，即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∵平分， ∴，． 在和中 ∴． ∴． ∴． 故选：D 全等的性质和SAS综合 11．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可知两个三角形有两边对应相等，且这两边的夹角也相等，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 12．如图，，，欲证 ，需补充条件（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 已知两对边对应相等，需证，只需添加夹角对应相等，以此作答． 【详解】解：，，欲证，需添加夹角对应相等， ∵， ∴， ∴，即夹角对应相等， 故选：C． 13．如图，已知且，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定方法．由平行线的性质，得到，再证明，利用证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； 故选：C． 14．如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 要使，需要当时，计算得出． 【详解】解：，且 当时， 在和中， 、 ． 故选：B． 添加条件使三角形全等 15．如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（    ） A．小于 B．小于 C．等于 D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，所以，然后通过全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由网格可知，，，， ∴， ∴， 故选：． 16．如图，在和中，，那么下列各条件中，不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据以及每个选项的条件进行分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，，∴不能证明，故该选项符合题意； C、∵，，∴，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 17．如图所示，在和中，，，要想用“”证明，需补充的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用“”判定三角形全等．为了证明两个三角形全等，需要找到对应的边和角相等的条件，已知和，需要补充一个角的条件，使得可以应用边角边全等定理． 【详解】解：补充， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 故选：C． 18．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，，∴，故选项A不符合题意； B、∵，∴，故选项B不符合题意； C、∵，∴，故选项C不符合题意； D、∵，∴不能判定，故选项D符合题意； 故选：D． 19．如图，在和中，，还需添加两个条件用“”能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，根据，再结合添加的条件逐一判断即可． 【详解】解：A项，在和中，，添加，利用得到，故此项符合题意； B项，在和中，，添加，，不能得到三角形全等，故此项不符合题意； C项，在和中，，添加，，利用得到，利用得到两个三角形全等，故此项不符合题意； D项，在和中，，添加，，利用得到三角形全等，故此项不符合题意． 故选：A 20．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 全等三角形的判定综合 21．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得，根据得，进一步推出，再根据即可得证．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 22．如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 【答案】此图中有对全等三角形，分别是、、，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：此图中有对全等三角形，分别是、、，证明如下： ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ； 在和中， ， ． 23．已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 24．如图，已知，再画出一个，使，，（即使两角和它们的夹边分别相等）． 【答案】见解析 【分析】此题考查的是尺规作图，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解决此题的关键． 通过圆规截取等长线段，结合直尺画射线，利用判定弧的交点，从而得出与原角相等的角；再通过判定构造出全等三角形，实现按要求作图． 【详解】解：画法：1．用直尺画一条射线，以点为圆心，以的长度为半径 画弧，与射线交于点，此时； 2．用圆规以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、保持圆规半径r不变，以为圆心画弧，交于点．以为圆心，长为半径画弧，与之前以为圆心画的弧交于点．用直尺过和画射线，则， 3．同理，以B为圆心，任意长（如s）为半径画弧，分别交、于点、． 保持圆规半径s不变，以为圆心画弧，交于点． 以为圆心，长为半径画弧，与之前以为圆心画的弧交于点． 用直尺过和画射线，则， 4．射线与会相交于一点，这个交点就是． 此时，满足，，，依据“角边角”判定，， 25．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $