专题07 直角三角形的边角关系（知识必备+6大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）九年级数学上学期北师大版

该初中数学期末复习讲义以“直角三角形的边角关系”为核心，通过表格梳理核心考点、复习目标与考情规律，结合分层知识点系统呈现锐角三角函数定义、特殊角值、解直角三角形及实际应用等内容，清晰构建“概念-计算-应用”的知识脉络，突出基础考点与综合难点的内在联系。 讲义亮点在于“题型-变式-分层”的三阶练习设计，典例涵盖锐角三角函数定义辨析、特殊角计算及实际应用等，如结合无人机测量大楼高度的仰角俯角问题，引导学生用数学思维将实际情境转化为解直角三角形模型，培养应用意识。分层设置基础通关、重难突破与综合拓展练习，帮助不同层次学生巩固基础或提升能力，教师可据此实施精准复习教学，提升单元复习效率。

专题07 直角三角形的边角关系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数的定义与计算 明晰锐角三角函数的定义，理解三角函数值仅与锐角大小相关，与三角形边长无关。 高频基础考点：考查形式包括根据直角三角形边长求三角函数值、根据三角函数值求边长，或在正方形网格中构造直角三角形求锐角的三角函数值。 特殊角的三角函数值与代数式计算 熟记特殊角的三角函数值，能直接运用进行精确计算，同时理解互余两角的三角函数关系及同角三角函数的基本关系。 高频基础考点：直接考查30°、45°、60°角的三角函数值记忆，或结合实数运算进行化简求值。 解直角三角形的综合计算 掌握解直角三角形的依据与方法，明确解直角三角形的核心是利用“三边关系、两锐角关系、边角关系”，能根据已知条件灵活选择合适的关系求出所有未知元素。 中频核心考点：给出直角三角形的部分元素，求其余未知元素；或结合三角形高、角平分线等辅助线构造直角三角形求解。 实际应用问题 理解实际应用中的关键概念，准确区分并掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的定义，能将实际测量、工程建设等情境中的问题转化为解直角三角形的数学问题。 高频难点考点：结合仰角俯角、坡度坡角、方向角等实际场景命题。 知识点01 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90° （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即 （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即 （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点02 锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值． （2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 　　 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点03 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）比值关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 知识点04 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点05 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． 三角函数 30° 45° 60° （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点06 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； （3）边角之间的关系：，，（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点07 解直角三角形的应用 1.坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为： （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 2．仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 3．方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型一 锐角三角函数 【典例1-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念． 根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可． 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故选：C． 【典例1-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，勾股定理，求三角函数值，先根据算术平方根定义得出大正方形边长为，小正方形的边长为1．求出三角形的面积，根据三角形面积公式和勾股定理得出，求出，然后再根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：根据题意，大正方形边长为，小正方形的边长为1， ∴三角形的面积为：， 设三角形两直角边为、，则：． 根据勾股定理得：， 联立解得，（负值舍去） ∴． 故选：A． 【典例1-3】（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 【典例1-4】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 【典例1-5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例1-6】（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 【变式1-1】（23-24九年级上·贵州铜仁·月考）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（   ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握正弦函数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长， 故脚尖与脚后跟的高度差为， 故选：C． 【变式1-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式1-4】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 【变式1-5】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，点D在上，点E在上，过点E作交边于点F，连接并延长交的延长线于点G，，且，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查等角的余角相等，正切的定义，根据同角的余角相等得到，即可得到，然后根据正切的定义求出长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为4． 题型二 特殊三角形的三角函数 【典例2-1】（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 【典例2-2】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）求下列式子的值： 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的混合计算，掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键． 根据，代入原式计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，同角三角函数关系，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值以及同角三角函数关系进行计算即可． 【详解】解： 【变式2-2】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简等相关计算，根据相关运算法则计算各项再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式2-3】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊三角函数的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． （1）代入特殊角度的三角函数值，计算可得； （2）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： ．　 题型三 互余两角三角函数的关系 【典例3-1】（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【典例3-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 【变式3-1】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 题型四 解直角三角形 【典例4-1】（解直角三角形的相关计算）（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 【典例4-2】（解非直角三角形）（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【典例4-3】（构造直角三角形求不规则图形的边长或面积）（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【变式4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·月考）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 故树的高度为， 故选：C． 【变式4-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 题型五 解直角三角形的应用 【典例5-1】（方位角问题）（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，一艘海警船位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，接到一报警，一走私船正从灯塔P出发以40海里每小时的速度沿南偏东30°方向逃走，海警船立马沿正南方快速追击，于B点追上走私船，问海警船多长时间追上走私船，追击速度是多少？ 【答案】2小时；（海里/小时） 【分析】先计算海里，再计算（海里）， 从而得到时间为，（海里），求得海警船的运动路程，故海警船的追击速度为：（海里/小时）． 本题考查了方向角的应用，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴（海里）， ∵，， ∴， ∴（海里）， ∴，（海里）， ∴（海里）， ∴海警船的追击速度为：（海里/小时）． 【典例5-2】（仰角俯角问题）（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得， ， 答：大楼的高度约为． 【典例5-3】（坡度坡比问题）（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 【答案】人行天桥的桥面的长度为6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；作出辅助线，根据坡度比例，进行计算可得米，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意得：，米， ∵天桥两边的斜坡，的坡度均为， ∴, ∴米， ∵米， ∴米， ∴人行天桥的桥面的长度为6米． 【典例5-4】（跨学科问题）（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为 (2)导气管的长度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 【典例5-5】（与相似三角形综合）（25-26九年级上·广东揭阳·期末）阅读下列材料，回答问题． 任务：高速公路路面形变探测 问题背景 在高速公路上，由于地形地质条件复杂，加上车辆长期碾压等因素，路面容易出现下沉或隆起的情况．这不仅会影响行车的舒适性，还可能带来安全隐患．为了及时准确掌握公路路面的状态变化，道路养护部门引入了微型路面形变探测仪，经查阅资料得知，测得路面相较于基准位置下降或隆起超过3厘米时，道路养护部门就需要进行修复 素材1：设备原理 该探测仪的工作原理基于激光探测．如图①，探测仪发出光线，射向路面的白色反光涂层，经路面反射后，形成反射光线，其中光线与路面的夹角等于反射光线与路面的夹角，均为，且始终保持恒定．水平安装在道路旁特定支架上的信号收集端，负责捕捉反射光线，借此实现对路面情况的探测. 素材2：基准参数 如图①，在基准位置下测得，点和收集端与路面的垂直距离分别为8厘米和厘米，点与收集端端点的水平距离是厘米，且为厘米，为厘米. 素材3：形变探测 如图②，当公路路面发生下降或隆起时，反射光线在收集端上的落点会产生移动，记移动后的反射光线为，移动距离为，若路面下沉，点向右移动；若路面隆起，点向左移动（向右记为正、向左记为负）．通过的长度能够确定路面下沉或隆起的高度数值. (1)依据素材2所给的条件，求的值； (2)如图②，设路面下沉了厘米，的长度为厘米，请求出与的关系式，并求出在基准位置下，该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围； (3)当路面下沉或隆起幅度较大时，反射光线落点会超出收集端测量范围，导致无法测量．已知信号收集端可以通过拼接增加长度，为满足道路养护部门需求，即当路面相较于基准位置下降或隆起不超过3厘米时能正常测量，在保持入射光线落点和探测仪位置不变的情况下，应如何调整收集端的长度？ 【答案】(1) (2) (3)只需将信号收集端向右延伸2厘米即可满足道路养护部门需求 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用、相似三角形的应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作垂直路面于点，过作交的延长线于点，交的延长线于点，易证，进而可得，据此即可得解； （2）利用，从而可得，据此即可得解； （3）设将信号收集端向右延伸厘米，此时下沉3厘米时，反射光线落点恰好到延伸后的点处，此时反射光线与地面的交点为点，的中点为点，利用，据此即可得解． 【详解】（1）解：如图①，过点作垂直路面于点，过作交的延长线于点，交的延长线于点， 由题意得，，，，， 设，则， 由题意知， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴在中，； （2）解：如图②，过点作于点， 由题意可得，， 1， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围为； （3）解：由（2）得，该探测仪和收集端能够测量的路面下沉最大值为， 为满足道路养护部门需求，调整收集端的长度， 如图③， 设将信号收集端向右延伸厘米，此时下沉3厘米时，反射光线落点恰好到延伸后的点处，此时反射光线与地面的交点为点，的中点为点， ∵由题意易证得四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵由（1）得，， ∴， 解得， ∵由（2）得信号收集端在原长度不变的情况下可测得路面隆起3厘米， ∴只需将信号收集端向右延伸2厘米即可满足道路养护部门需求． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，已知斜坡的坡角为，米，米， 求楼和宣传牌的高度． 【答案】楼的高度为米，宣传牌的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，理解仰角、坡角的含义，作辅助线构造直角三角形是解题的关键；在中，利用正切函数关系可求得；在中，可求得的长；过点B作于G点，则四边形是矩形，则可求得的长，在中，利用三角函数可求出，由即可求解． 【详解】解：在中，米，， ∴， ∴米； 在中，米， ∴（米），由勾股定理得米； 如图，过点B作于G点，则四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米； 答：楼的高度为米，宣传牌的高度为米． 【变式5-2】（24-25九年级下·重庆大足·期末）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是对外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向．（参考数据：） (1)求两地之间的距离（结果保留一位小数）； (2)由于演习过程中的特殊任务，从点到点需要经过点或点，那么点到点的两条路径和哪一条线路最短？ 【答案】(1)两地之间的距离为海里． (2)线路最短，理由见解析． 【分析】本题考查的是与方向角相关的解直角三角形的应用； （1）如图，过作于，过作于，则四边形为矩形，可得，，再在中，在中结合锐角三角函数求解即可； （2）先求解，再分别求解线路和的长，再比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，则四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴（海里）． （2）解：由（1）得：，， ∴， ∴（海里）， （海里）， ∴线路最短． 【变式5-3】（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； （2）解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 【变式5-4】（24-25九年级上·河南郑州·期末）建筑工人在工作时，通常要用到梯子．梯子摆放的角度（如图）为到之间时，符合安全标准．一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为．（，，） (1)梯子摆放是否符合安全标准？请说明原因． (2)如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端滑动了多少米？ 【答案】(1)不符合安全标准，原因见解析 (2)梯子的底端滑动了米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，在中，得到，结合，，即可得到结论； （2）在中，求出长，得到即可． 【详解】（1）解：梯子摆放不符合安全标准，理由如下： 如图， 在中，，， （ ， ，， ， 梯子摆放不符合安全标准； （2）如图， 梯子下滑， ， ， 在中，， 答：梯子的底端滑动了米 题型六 三角函数综合题 【典例6】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，理解新定义是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，可得，即可求解； （2）由锐角三角函数可求，设，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】（1）证明：作于则， 四边形是正方形， 四边形是矩形． 四边形是正方形， ， ． 是等高底三角形． （2）解：作 于点， ，， ， ， ， ， 设， ，， ， 在 中，，， ， ， ， 设，，，则， 在中由勾股定理得：， 解得， ． 【变式6-1】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (1)______；______；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示点的坐标． (3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或见解析 【分析】（1）由点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，得，，得到 ，，解答即可． （2）延长交于点G，利用矩形的判定和性质，结合三角函数得，根据点的坐标的意义，描述即可． （3）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动， ∴，，， ∴， 故答案为：，． （2）解：延长交于点G， ∵矩形，， ∴， ∴矩形，矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点． （3）解：存在，理由如下： 根据问2证明，得，， ∴， 当时，得， ∴， 解得； 当时，得， ∴， 解得； 综上所述，当或时，结论成立． 【变式6-2】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图1所示，在等腰三角形中，，是边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接．    (1)当绕点逆时针旋转到如图2所示位置，求证：； (2)当绕点逆时针旋转到三点在一条直线上时，如图3． ①和还相等吗？___________（用“”或“”填空）； ②若，猜想的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析； (2)①；②结论：，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角函数，熟练掌握是解答本题的关键． （1）在图1中，可得，根据旋转可证，即可证明； （2）过点作于点，可得，，在直角中，，得到，通过得到，． 【详解】（1）证明：在图1中，， ， ， ，， ， ， 由旋转的性质，在图2中仍有，，， ， ， 在和中， ， （SAS）， ； （2）解：①；②结论：，证明如下： 如图过点作于点，   ，， ，， 在直角中，， ， ， ， 由（1）同理可证， ， ． 【变式6-3】（23-24九年级上·湖南张家界·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形；   B．矩形；        C．正方形；            D．菱形 (2)如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，将绕A点逆时针旋转得到，判断线段与线段的数量关系，并求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． 【答案】(1)C (2)①四边形是等补四边形，见解析；②；；③或者 【分析】本题考查了新定义，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，圆的内接四边形性质，勾股定理，分类思想； （1）根据定义，判断邻边是否相等，相等后，再判断对角是否互补即可． （2）①根据，得到；连接，根据四点共圆，正方形的性质，证明即可． ②根据旋转性质，得，得到，结合，得到，继而得到，，从而得到，证明，计算即可． ③根据，得到；根据四边形是“等补四边形”，只需分类得到一组相等邻边，计算即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵边长为a的正方形中，交于点F，交于点H． ∴，，， ∴； 连接，如图，则A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴． ，     ∴四边形是“等补四边形”； ②，理由如下： 根据旋转性质，得， ∴， ∵，， ∴，C，D，L三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的周长是． ③∵，，， ∴； ∵四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论：      情况1：，连接， 由题意知∶，，又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 情况2：， ∵， ∴， ∴，同情况1， 此时，； 情况3：，由②得的周长． 设，则， 则， ∴，即； 情况4：，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，则垂直平分， ∴， ∵，， ∴，     ∵，， ∴， ∴，     ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 【变式6-4】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在矩形中，，，把绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，过点B作于点E，交矩形的边于点F． (1)当时． ①________； ②连接，，求的面积； (2)当B，，D三点共线时，求的长； (3)若，直接写出的值． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)或． 【分析】（1）①根据题意可推出是等边三角形，由得，即可求解；②由①可知点落在的垂直平分线上，求出，，即可求解； （2）作，则，得出；根据，求得；根据，求得，即可求解； （3）分类讨论当点在时，和当点在边时两种情况，画出对应图形，作垂线构造直角三角形即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得：， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②由①可得：， ∴点落在的垂直平分线上，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示： 由题意得：， ∴， 作，则， ∴，即， 解得：； ∵， ∴， 又，即， 解得：； ∴； （3）解：当点在边时，作，如图所示： ∵； ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵，， ∴， ∴，点落在边上 ∴是等腰直角三角形， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在边时，作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键； 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据勾股定理，可得的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】如图： 由题知，，，， 由勾股定理，得， ． 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，施工队在斜坡上栽了两棵树，它们之间的水平距离为，斜坡的坡度为，则这两棵树之间的坡面的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度求出的长，再通过勾股定理即可求解，解题的关键是掌握解直角三角形的方法． 【详解】解：∵斜坡的坡度为， ∴，即， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，有一斜坡，坡顶离地面的高的长为，斜坡的坡度为，现有一辆小车从A点以的速度沿爬坡，则当爬到坡顶B处时，需要时间为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理， 利用斜坡的坡度为求出，再利用勾股定理求，进而求解即可． 【详解】解：∵，斜坡的坡度为，坡顶离地面的高的长为， ∴， ∴， ∴， ∵小车从A点以的速度沿爬坡 ∴当爬到坡顶B处时，需要时间为． 故答案为：20． 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，三角函数． 先计算零指数幂，三角函数，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】 ． 8．（24-25九年级上·山东烟台·期末）图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长． 【答案】点C到水平线l的距离的长为dm 【分析】 本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键．延长交于点，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， 在中，，， ，， ， ， ， ， 答：点到水平线的距离的长为． 9．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】白塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，延长交的延长线于点，则，，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：白塔的高度约为． 10．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 本题过点D作于G，于H，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； 【详解】解：如图，过点D作于G，于H， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 答：立柱的高度约为； 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）菱形的周长为，两个相邻的内角的度数之比为，则较长的对角线的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数的应用等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.证明，，，，求解，进一步结合三角函数求解即可. 【详解】解：如图所示： ∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为，,，，， ∴， ∵两邻角之比为，即， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴较长的对角线为. 故选：B． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题可先根据菱形的性质设出边长，再结合已知条件得出线段长度，最后利用三角函数的定义求解的值．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得， 在中，， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． (1)______ m，______（结果保留根号) ． (2)如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 【答案】(1)；1000 (2)53米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真审题得，，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合图形得，再在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，，， ， ， ， 故答案为：，1000； （2）解：由题意得， 在中，， 答：则灯塔的高度是53米． 5．（24-25九年级上·全国·期末）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可证得，继而得证； （2）由，在中可得，证明，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴在中，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，、、，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点在边且运动一周时，点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，根据是等腰直角三角形，可知点的运动轨迹与点的运动轨迹形状相同，且：1，得出周长比为，求出的周长即可解决问题． 【详解】解：是等腰直角三角形， ∴点的运动轨迹与点的运动轨迹形状相同， ， ∴点的轨迹图形与点的轨迹图形相似比为， ， ， 周长， ∴点的轨迹形成的封闭图形周长为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．根据矩形的性质可证，过点作于点，可证，得出比例式，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 过点作于点， ， ∴， ， ， ， ， ，且， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，以为边在第一象限内构造矩形，且．将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第26次旋转结束时，点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算，，过点C作于点E，后根据题意，确定点，确定循环周期，解答即可． 本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角函数的应用，旋转的性质，熟练掌握勾股定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴，， ∵以为边在第一象限内构造矩形，且． ∴， ∴ 过点C作于点E， ∴，, ∴，， ∴， ∴， ∵五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴，，，，以后开始循环， 循环周期为， ∵， 故点的坐标与相同， 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 【答案】/0.5 【分析】先利用因式分解法解方程可得到，，得出四边形为矩形，则，根据勾股定理求出，则，由折叠得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解： 得，． ， ，， 连接， ，， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形， ，， ， ∴， 由翻折，使点落在上的点D处， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 5．（24-25九年级上·重庆·期末）在平行四边形中，，，，对角线、交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在上处，点C落在处，交于点P，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过点O作于H，过点作于N，由勾股定理逆定理可求，由锐角三角函数可求，由旋转的性质可求，，，由直角三角形的性质平行线分线段成比例可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于H，过点作于N， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转， ∴，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)若，，求； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）根据等腰三角形的性质求出，结合，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可证明； （2）过点作于点，解直角三角形求出，根据相似三角形的性质求出，根据三角形外角性质及角的和差可得结论； （3）根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 7．（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】(1)A (2)①见解析；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． （2）解：①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质． （1）先求出，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质和相似三角形的性质计算即可； （2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：连接交于点O， ， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 直角三角形的边角关系（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数的定义与计算 明晰锐角三角函数的定义，理解三角函数值仅与锐角大小相关，与三角形边长无关。 高频基础考点：考查形式包括根据直角三角形边长求三角函数值、根据三角函数值求边长，或在正方形网格中构造直角三角形求锐角的三角函数值。 特殊角的三角函数值与代数式计算 熟记特殊角的三角函数值，能直接运用进行精确计算，同时理解互余两角的三角函数关系及同角三角函数的基本关系。 高频基础考点：直接考查30°、45°、60°角的三角函数值记忆，或结合实数运算进行化简求值。 解直角三角形的综合计算 掌握解直角三角形的依据与方法，明确解直角三角形的核心是利用“三边关系、两锐角关系、边角关系”，能根据已知条件灵活选择合适的关系求出所有未知元素。 中频核心考点：给出直角三角形的部分元素，求其余未知元素；或结合三角形高、角平分线等辅助线构造直角三角形求解。 实际应用问题 理解实际应用中的关键概念，准确区分并掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的定义，能将实际测量、工程建设等情境中的问题转化为解直角三角形的数学问题。 高频难点考点：结合仰角俯角、坡度坡角、方向角等实际场景命题。 知识点01 锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90° （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即 （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即 （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点02 锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值． （2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 　　 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点03 同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）比值关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 知识点04 互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点05 特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． 三角函数 30° 45° 60° （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点06 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； （3）边角之间的关系：，，（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点07 解直角三角形的应用 1.坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为： （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 2．仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 3．方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 题型一 锐角三角函数 【典例1-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【典例1-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 【典例1-3】（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-4】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例1-5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【典例1-6】（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值． 【变式1-1】（23-24九年级上·贵州铜仁·月考）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（   ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【变式1-4】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，点D在上，点E在上，过点E作交边于点F，连接并延长交的延长线于点G，，且，求的长． 题型二 特殊三角形的三角函数 【典例2-1】（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【典例2-2】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）求下列式子的值： 【变式2-1】（24-25九年级上·湖南常德·期末）计算： 【变式2-2】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 【变式2-3】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 题型三 互余两角三角函数的关系 【典例3-1】（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 题型四 解直角三角形 【典例4-1】（解直角三角形的相关计算）（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【典例4-2】（解非直角三角形）（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【典例4-3】（构造直角三角形求不规则图形的边长或面积）（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【变式4-1】（23-24九年级上·浙江杭州·月考）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 题型五 解直角三角形的应用 【典例5-1】（方位角问题）（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，一艘海警船位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，接到一报警，一走私船正从灯塔P出发以40海里每小时的速度沿南偏东30°方向逃走，海警船立马沿正南方快速追击，于B点追上走私船，问海警船多长时间追上走私船，追击速度是多少？ 【典例5-2】（仰角俯角问题）（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【典例5-3】（坡度坡比问题）（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 【典例5-4】（跨学科问题）（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【典例5-5】（与相似三角形综合）（25-26九年级上·广东揭阳·期末）阅读下列材料，回答问题． 任务：高速公路路面形变探测 问题背景 在高速公路上，由于地形地质条件复杂，加上车辆长期碾压等因素，路面容易出现下沉或隆起的情况．这不仅会影响行车的舒适性，还可能带来安全隐患．为了及时准确掌握公路路面的状态变化，道路养护部门引入了微型路面形变探测仪，经查阅资料得知，测得路面相较于基准位置下降或隆起超过3厘米时，道路养护部门就需要进行修复 素材1：设备原理 该探测仪的工作原理基于激光探测．如图①，探测仪发出光线，射向路面的白色反光涂层，经路面反射后，形成反射光线，其中光线与路面的夹角等于反射光线与路面的夹角，均为，且始终保持恒定．水平安装在道路旁特定支架上的信号收集端，负责捕捉反射光线，借此实现对路面情况的探测. 素材2：基准参数 如图①，在基准位置下测得，点和收集端与路面的垂直距离分别为8厘米和厘米，点与收集端端点的水平距离是厘米，且为厘米，为厘米. 素材3：形变探测 如图②，当公路路面发生下降或隆起时，反射光线在收集端上的落点会产生移动，记移动后的反射光线为，移动距离为，若路面下沉，点向右移动；若路面隆起，点向左移动（向右记为正、向左记为负）．通过的长度能够确定路面下沉或隆起的高度数值. (1)依据素材2所给的条件，求的值； (2)如图②，设路面下沉了厘米，的长度为厘米，请求出与的关系式，并求出在基准位置下，该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围； (3)当路面下沉或隆起幅度较大时，反射光线落点会超出收集端测量范围，导致无法测量．已知信号收集端可以通过拼接增加长度，为满足道路养护部门需求，即当路面相较于基准位置下降或隆起不超过3厘米时能正常测量，在保持入射光线落点和探测仪位置不变的情况下，应如何调整收集端的长度？ 【变式5-1】（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，已知斜坡的坡角为，米，米， 求楼和宣传牌的高度． 【变式5-2】（24-25九年级下·重庆大足·期末）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是对外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向．（参考数据：） (1)求两地之间的距离（结果保留一位小数）； (2)由于演习过程中的特殊任务，从点到点需要经过点或点，那么点到点的两条路径和哪一条线路最短？ 【变式5-3】（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【变式5-4】（24-25九年级上·河南郑州·期末）建筑工人在工作时，通常要用到梯子．梯子摆放的角度（如图）为到之间时，符合安全标准．一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为．（，，） (1)梯子摆放是否符合安全标准？请说明原因． (2)如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端滑动了多少米？ 题型六 三角函数综合题 【典例6】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 【变式6-1】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (1)______；______；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示点的坐标． (3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）如图1所示，在等腰三角形中，，是边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接．    (1)当绕点逆时针旋转到如图2所示位置，求证：； (2)当绕点逆时针旋转到三点在一条直线上时，如图3． ①和还相等吗？___________（用“”或“”填空）； ②若，猜想的数量关系，并加以证明． 【变式6-3】（23-24九年级上·湖南张家界·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形；   B．矩形；        C．正方形；            D．菱形 (2)如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，将绕A点逆时针旋转得到，判断线段与线段的数量关系，并求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． 【变式6-4】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在矩形中，，，把绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，过点B作于点E，交矩形的边于点F． (1)当时． ①________； ②连接，，求的面积； (2)当B，，D三点共线时，求的长； (3)若，直接写出的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，施工队在斜坡上栽了两棵树，它们之间的水平距离为，斜坡的坡度为，则这两棵树之间的坡面的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 6．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，有一斜坡，坡顶离地面的高的长为，斜坡的坡度为，现有一辆小车从A点以的速度沿爬坡，则当爬到坡顶B处时，需要时间为 ． 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 8．（24-25九年级上·山东烟台·期末）图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长． 9．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 10．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）菱形的周长为，两个相邻的内角的度数之比为，则较长的对角线的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． (1)______ m，______（结果保留根号) ． (2)如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 5．（24-25九年级上·全国·期末）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，、、，点是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点在边且运动一周时，点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，以为边在第一象限内构造矩形，且．将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第26次旋转结束时，点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 5．（24-25九年级上·重庆·期末）在平行四边形中，，，，对角线、交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在上处，点C落在处，交于点P，则的面积是 ． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)若，，求； (3)若，，求的长． 7．（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（   ） A．   B．   C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $