专题01 有理数重难点总结（寒假复习讲义）六年级数学新教材沪教版五四制

专题01 有理数重难点总结 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：有理数的概念 一.具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒：用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 二.正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 三、有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 四、有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点2：数轴的综合 一、数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 画数轴的步骤 (1) 画直线，取原点： 画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点 . (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头，则相反方向为负方向 . (3) 选取单位长度，标数： 选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 1、 2、3、… ；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 －1、 －2、 －3、… . 二、数轴上的点与有理数的关系 对应关系 有理数数轴上的点表示的数 . 三、利用数轴比较数的大小 1. 利用数轴比较有理数大小的法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 . 2. 比较有理数大小法则 正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数 . 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 知识点3：有理数相关计算 一. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 二. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 3. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 三. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 四. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 五. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 六.有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 【考点1】有理数的相关概念 【例1-1】（25-26六年级上·上海闵行·期中）如果米表示向东走千米，那么米表示（   ） A．向东走米 B．向西走米 C．向东走米 D．向西走米 【例1-2】（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【例1-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）在中，非负整数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例1-4】（25-26六年级上·上海青浦·期中）在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【变式1-2】（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果两个有理数的和为，那么下列说法不正确的是（    ） A．这两个数互为相反数 B．这两个数的绝对值相等 C．这两个数的商是 D．这两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等． 【变式1-3】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）的相反数是 ． 【变式1-4】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作 ． 【变式1-5】（24-25六年级上·上海虹口·期中）如果零上记作，那么零下可记作 ． 【变式1-6】（25-26六年级上·上海宝山·期中）在数轴上，到原点的距离等于2.7个单位长度的点表示的有理数是 ． 【变式1-7】（25-26六年级上·上海松江·期中）用数轴上的点表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序用“”连接：、、、． 【考点2】有理数数轴的综合应用 【例2-1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【例2-2】（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为 ． 【例2-3】（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图，已知点，（点在点的左边）分别表示数，，若数轴上表示数字的点到和的距离相等，则的值为 ． 【例2-4】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 【变式2-1】如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 【变式2-2】在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【变式2-3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【变式2-4】（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【变式2-5】（25-26六年级上·上海·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【考点3】有理数的计算 【例3-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）计算：． 【例3-2】（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【例3-3】（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【例3-4】（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【变式3-1】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 【变式3-2】（25-26六年级上·上海普陀·期中）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【变式3-3】（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3-4】（25-26六年级上·上海浦东新·月考）计算题： (1) (2) (3) (4) 【考点4】有理数的应用 【例4-1】（25-26六年级上·上海·月考）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 (1)日实际产量最多为______个，最少为______个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按元发工资，超额完成的部分每个按元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额． 【例4-2】（25-26六年级上·上海·期中）某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后的高度（单位：百米，规定上升为正，下降为负）为：，，，，． (1)当直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是多少百米？ (2)若直升机A每上升1百米消耗0.5升燃油，每下降1百米消耗0.3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ (3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前四次的高度为：，，，．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少百米？ 【例4-3】（25-26六年级上·上海嘉定·期中）某交警开车在一条东西大道上巡逻．某天早上他从岗亭出发，晚上停留在处，规定向东的方向为正，向西为负，当天行驶情况记录如下：（单位：千米） ，，，，，，，， (1)处在岗亭何方？距离岗亭多远？ (2)巡逻过程中，该交警离开岗亭的最远距离是多少千米？ (3)若小汽车行驶每千米耗油0.2升，这一天共耗油多少升？ 【例4-4】（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 【变式4-1】（25-26六年级上·上海·期中）今年的“国庆+中秋”的8天假期中，某风景区10月1日的旅游人数为6.25万人，后面的7天与10月1日相比，每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（万人） (1)10月4日的旅客人数为________万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多________万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为150万元，则假期八天的旅游总收入约为多少万元？ 【变式4-2】“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【变式4-3】在学习《整式》这一章时，我们见识了程序框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． 图1               图2                    图3                  图4 (1)①如图1，当输入数时，输出数________； ②如图2，第一个带？号的运算框内，应填________；第二个带？号运算框内，应填________； (2)①如图3，当输入数时，输出数________； ②如图4，当输出的值，则输入的值________； (3)为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费.请设计出一个“程序框图”，使得输入数为用水量，输出数为水费． 【变式4-4】（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海宝山·期中）已知四个有理数：、、、的相反数，其中最小的数是（    ） A． B． C． D．的相反数 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．绝对值相等的两个数一定相等 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 D．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 4．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 二、填空题 6．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 7．（25-26六年级上·上海·期中）数轴上的点A、点B所对应的数分别是和5.1，如果数轴上另有一点C，且点C与点A的距离等于点C与点B的距离，那么点C所对应的数是 ． 8．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）下列结论：①若，那么一定是；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③若，则；④若、互为相反数，则，其中正确的有 （填写序号）． 9．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 10．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 三、解答题 11．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 12．（25-26六年级上·上海普陀·期中）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 13．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 14．（25-26六年级上·上海虹口·期中）粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“”表示进库，“”表示出库） 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 进、出库的数量（吨） (1)这6天中，进库或出库粮食最多的是__________吨． (2)经过这6天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？请通过计算说明； (3)经过这6天，仓库管理员发现库里还有500吨，那么6天前库里存量多少吨？ (4)如果搬运1吨粮食的费用是20元，请问这六天的搬运费是多少钱？ 15．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数重难点总结 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：有理数的概念 一.具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒：用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 二.正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 三、有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 四、有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点2：数轴的综合 一、数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 画数轴的步骤 (1) 画直线，取原点： 画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点 . (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头，则相反方向为负方向 . (3) 选取单位长度，标数： 选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 1、 2、3、… ；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 －1、 －2、 －3、… . 二、数轴上的点与有理数的关系 对应关系 有理数数轴上的点表示的数 . 三、利用数轴比较数的大小 1. 利用数轴比较有理数大小的法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 . 2. 比较有理数大小法则 正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数 . 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 知识点3：有理数相关计算 一. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 二. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 3. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 三. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 四. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 五. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 六.有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 【考点1】有理数的相关概念 【例1-1】（25-26六年级上·上海闵行·期中）如果米表示向东走千米，那么米表示（   ） A．向东走米 B．向西走米 C．向东走米 D．向西走米 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负号表示相反方向的意义，即可求解． 【详解】解：米表示向东走千米， 米表示向西走米， 故选：B． 【例1-2】（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 【例1-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）在中，非负整数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查了非负整数的定义，明确既不是负数，又是整数的数是非负整数即可求解． 【详解】解：在中，非负整数有，共两个， 故选：C． 【例1-4】（25-26六年级上·上海青浦·期中）在，，，，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查有理数的定义，运用分类判断思想，根据有理数是整数、分数（含有限小数和无限循环小数）的定义逐一判断，关键是明确有理数与无理数的区别，易错点是混淆无限循环小数和无限不循环小数． 【详解】解： 是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； 是整数，是有理数； 无限不循环小数，是无理数； 所以有理数有个； 故选：C． 【变式1-1】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【答案】A 【知识点】有理数的定义、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查有理数的基本概念和性质，需准确理解有理数的定义和数轴表示方法； 选项A符合有理数的定义；选项B错误，因为绝对值大小与原数大小可能不一致；选项C错误，因为数轴上任意两点间有无数个有理数；选项D错误，因为所有有理数都可以用数轴上的点表示 【详解】A、∵ 有理数的定义是能写成分数形式 （、 为整数，）的数， ∴ A正确． B、∵ 取绝对值后，原数大小与绝对值大小不一定一致，例如 ，但 ， ∴ B错误． C、∵ 数轴上任意两点间都有无数个有理数， ∴ 与 之间有无数个有理数， ∴C错误． D、∵ 所有有理数都可以用数轴上的点表示， 是有理数， ∴ D错误． 故选：A． 【变式1-2】（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果两个有理数的和为，那么下列说法不正确的是（    ） A．这两个数互为相反数 B．这两个数的绝对值相等 C．这两个数的商是 D．这两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等． 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的概念以及绝对值的几何意义，解决本题的关键是熟练掌握相反数的概念． 两个有理数的和为0，则它们互为相反数，但互为相反数的两个数的商不一定为，因为当两个数都是0时，商没有定义，由此判断选项即可． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且， ∵ ∴，即a与b互为相反数， 对于选项A：，即a与b互为相反数，正确； 对于选项B：，绝对值相等，正确； 对于选项C：当时，； 但当时，，分母为零无意义，商不存在，不正确； 对于选项D：数轴上点到原点的距离即绝对值，则，则距离相等，正确． 故选：C． 【变式1-3】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）的相反数是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、化简多重符号 【分析】此题考查了化简多重符号，相反数，先化简多重符号，再求其相反数． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 【变式1-4】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，据此求解即可． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴表示向右移动3记作，则（←4）表示向左移动4记作． 故答案为：． 【变式1-5】（24-25六年级上·上海虹口·期中）如果零上记作，那么零下可记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数的表示方法，掌握以上知识是解答本题的关键． 先根据零上记作，再根据正数和负数的表示方法，即可表示出零下． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下可记作； 故答案为：． 【变式1-6】（25-26六年级上·上海宝山·期中）在数轴上，到原点的距离等于2.7个单位长度的点表示的有理数是 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解决本题的关键是不要漏掉解． 根据数轴上点的位置与距离的关系，到原点的距离等于2.7个单位长度的点有两个，分别位于原点的两侧，求解即可． 【详解】解：设该点表示的有理数为x， 则，解得或． 故答案为：． 【变式1-7】（25-26六年级上·上海松江·期中）用数轴上的点表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序用“”连接：、、、． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：，， 数轴表示如下所示： 则． 【考点2】有理数数轴的综合应用 【例2-1】（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 【例2-2】（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为 ． 【答案】0.6/ 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 【例2-3】（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图，已知点，（点在点的左边）分别表示数，，若数轴上表示数字的点到和的距离相等，则的值为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴与中点公式，运用方程思想，根据中点坐标公式列方程求解，关键是明确点是中点，易错点是中点公式运用错误；解题思路：由点到和距离相等，得是中点，利用中点公式列方程求． 【详解】解：由题意得是线段的中点，点表示数，点表示，点表示，根据中点坐标公式有： 解得 故答案为． 【例2-4】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 【答案】（1）见解析；（2）或． 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离． （1）用数轴上的点表示各数即可； （2）根据数轴上两点间的距离作答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度， 则点表示的数是或． 【变式2-1】如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上找原点 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，由B是的中点，若假设B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾，而b的绝对值最小，所以B靠近原点，从而即可得解． 【详解】解：∵B是的中点， ∴若B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾， ∴B不是原点， ∵而b的绝对值最小， ∴B是靠近原点， ∵c的绝对值最大， ∴C离原点最远， ∴原点在线段上，更靠近点B， 故选：B． 【变式2-2】在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【知识点】数轴上的规律探究、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 【变式2-3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上整点覆盖问题 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 【变式2-4】（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的方法． （1）根据正方形的边长，即可得到点第一次落在数轴上表示的数； （2）根据正方形的周长，即可得到点第五次落在数轴上表示的数； （3）根据题意求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，点与原点重合， ∴点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵正方形的边长为，点与原点重合，点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， ∴点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （3）解：由（2）知点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 此时，点在点的正上方，点所表示的数是，即， ∴以点、、三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 【变式2-5】（25-26六年级上·上海·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式，根据绝对值的意义，进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，以及两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和7之间时，的值最小，为和7之间距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：，即数轴上表示的点到表示2的点的距离为3， ∴或； 故答案为：或5； （3）解：当表示x的点在与5之间移动时，； （4）解：表示数轴上表示的点到表示的点以及到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点在与7之间移动时，的值最小，为． 【考点3】有理数的计算 【例3-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）计算：． 【答案】125 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【例3-2】（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查的是有理数的加减法混合运算．掌握有理数加减法的运算法则是解题的关键． 把小数变成分数，然后把正数合在一起计算，负数合在一起计算，最后再按减法法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【例3-3】（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，乘法运算律的应用，把原式化为，再利用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 【例3-4】（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先计算乘方和括号里面的，再计算乘法，最后计算加减即可得解． 【详解】解：， 原式， ， ， ． 【变式3-1】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数加减中的简便运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加减中的简便运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）同分母的先相加； （2）小数化为分数，同分母的先相加； （3）先化去绝对值，再加同分母的先相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式3-2】（25-26六年级上·上海普陀·期中）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除运算法则求解即可； （3）化简绝对值，然后根据有理数的加减运算法则求解即可； （4）先计算括号内的，再计算乘除，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3-3】（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)8 (3) (4)16 (5) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算、加减法及乘除运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则可进行求解； （2）把除法化为乘法，再按顺序计算可进行求解； （3）逆用有理数乘法分配律可进行求解； （4）根据有理数乘法分配律可进行求解； （5）先算乘方和绝对值，然后再进行有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【变式3-4】（25-26六年级上·上海浦东新·月考）计算题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2)37 (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算括号内部分，最后计算除法即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可； （3）把带分数化为假分数进行计算即可； （4）计算每个括号内部分后，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【考点4】有理数的应用 【例4-1】（25-26六年级上·上海·月考）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 (1)日实际产量最多为______个，最少为______个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按元发工资，超额完成的部分每个按元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额． 【答案】(1)， (2)元 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据正负数的实际意义，进行有理数的大小比较即可； （2）先计算每天的工资，再相加即可求解． 【详解】（1）解：增产记为正，减产记为负，， 日实际产量最多为：（个）， 日实际产量最少为：（个）． 故答案为：，； （2）解：由题意得，该厂这一周发放的工资总额为： （元）， 答：该厂这一周发放的工资总额为元． 【例4-2】（25-26六年级上·上海·期中）某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后的高度（单位：百米，规定上升为正，下降为负）为：，，，，． (1)当直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是多少百米？ (2)若直升机A每上升1百米消耗0.5升燃油，每下降1百米消耗0.3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ (3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前四次的高度为：，，，．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少百米？ 【答案】(1)3.6百米 (2)4.36升 (3)下降，下降0.6百米 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出所有数据的和，即可得出结果； （2）用上升总的耗油量加上下降总的耗油量进行求解即可； （3）用（1）中结果减去直升机B前四个的高度和，进行求解即可． 【详解】（1）解：（百米）； 答：直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是3.6百米； （2）（升）； 答：一共消耗4.36升燃油； （3）（百米）； 故直升机B的第5个动作是下降，下降0.6百米 【例4-3】（25-26六年级上·上海嘉定·期中）某交警开车在一条东西大道上巡逻．某天早上他从岗亭出发，晚上停留在处，规定向东的方向为正，向西为负，当天行驶情况记录如下：（单位：千米） ，，，，，，，， (1)处在岗亭何方？距离岗亭多远？ (2)巡逻过程中，该交警离开岗亭的最远距离是多少千米？ (3)若小汽车行驶每千米耗油0.2升，这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)A处在岗亭西边，距离岗亭千米． (2)巡逻过程中，该交警离开岗亭的最远距离是千米． (3)这一天共耗油升． 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键． （1）求出所有数据的和，进行判断即可． （2）求出每一次行驶后距离岗亭多远，进行比较即可． （3）求出总路程，再利用总路程乘以每千米的油耗，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： (千米)， A处在岗亭西边，距离岗亭千米． （2）第一次行驶后：，距离岗亭千米； 第二次行驶后：，距离岗亭2千米； 第三次行驶后：，距离岗亭9千米； 第四次行驶后：，距离岗亭6千米（西方）； 第五次行驶后：，回到岗亭； 第六次行驶后：，距离岗亭千米（西方）； 第七次行驶后：，距离岗亭千米（西方）； 第八次行驶后：，距离岗亭千米（西方）． 综上，该交警离开岗亭的最远距离是千米． （3）解：由题意得：（升）， 答：这一天共耗油升． 【例4-4】（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 【答案】(1)A、D (2)距出发地30米，在出发地的东面 (3)能 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】（1）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； （2）将行走记录数据相加，根据正负数的意义判断即可； （3）将行走记录数据的绝对值相加，求出总路程，再求出油的剩余量，比较从收工位置到B处耗油与余油量即可判断． 本题考查正负数的实际应用、正负数的加减法、绝对值的应用． 【详解】（1）解：若A为原点，，当时，， 同理D也可为原点， 若B为原点，则，即B不可能为原点， 同理C也不可能为原点， 故可能作为出发地（数轴的原点）的是A、D； 故答案为：A、D； （2）解：， 故收工时，距出发地30米，在出发地的东面； （3）解：检修走的总路程为， 总耗油（升）， 剩余油量（升）， 收工时，在A的东面30米D处，千米， 从D到B需耗油（升）， ∵， ∴检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站． 【变式4-1】（25-26六年级上·上海·期中）今年的“国庆+中秋”的8天假期中，某风景区10月1日的旅游人数为6.25万人，后面的7天与10月1日相比，每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（万人） (1)10月4日的旅客人数为________万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多________万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为150万元，则假期八天的旅游总收入约为多少万元？ 【答案】(1)5.95 (2)3 (3)7200 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数加减法运算，熟练掌握有理数加减法运算法则是解题的关键． （1）从表上可知，10月4日的旅客比10月1日少0.3万人，据此进行计算即可； （2）用最多的一天的人数减去最少的一天的人数即可； （3）先计算假期八天超过6.25万人的人数变化和，再总人数乘以150即可． 【详解】（1）解：由10月4日的旅客比10月1日少0.3万人可得： （万人）， 故答案为：5.95． （2）解：由最多的一天的人数减去最少的一天的人数可得： （万人）， 故答案为：3． （3）解：（万人）， （万元）， 即假期八天的旅游总收入约为7200万元． 【变式4-2】“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【知识点】算“24”点、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 【变式4-3】在学习《整式》这一章时，我们见识了程序框图：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． 图1               图2                    图3                  图4 (1)①如图1，当输入数时，输出数________； ②如图2，第一个带？号的运算框内，应填________；第二个带？号运算框内，应填________； (2)①如图3，当输入数时，输出数________； ②如图4，当输出的值，则输入的值________； (3)为鼓励节约用水，决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费.请设计出一个“程序框图”，使得输入数为用水量，输出数为水费． 【答案】(1)①；②， (2)①；②6或0 (3)见解析 【知识点】程序流程图与代数式求值、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了求代数式的值的应用． （1）①根据图形列出算式，即可求出答案； ②根据图形列出算式，即可求出答案； （2）①根据图形列出算式，即可求出答案； ②根据图形列出算式，即可求出答案； （3）根据图4画出即可． 【详解】（1）解：①当时，， 故答案为：； ②第一个运算框内填：；第二个运算框内填：， 故答案为：，； （2）解：①当时，，，， 故答案为：； ②分为两种情况：当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 故答案为：6或0； （3）解：因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费； 当每月用水量超过15吨时，超过部分以3元/吨的价格收费， 所以水费收缴分两种情况，和， 分别计算，所以可以设计如框图如图． ． 【变式4-4】（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 【答案】(1)2412072813 (2)见解析 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了进制，解题关键是理解数位的进制，准确进行计算求解； （1）根据题中的规则化二进制为十进制； （2）先把代码换算成二进制，再画二维码． 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0， 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 小丽同学的准考证号为：2412072813； （2）W 的暗码是23，对应的数值m为4，用二进制表示为； F的暗码是6，对应的数值m为21，用二进制表示为； L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为； M的暗码是13，对应的数值m为14，用二进制表示为； S的暗码是19，对应的数值m为8，用二进制表示为； 二维码如下图所示： 一、单选题 1．（25-26六年级上·上海宝山·期中）已知四个有理数：、、、的相反数，其中最小的数是（    ） A． B． C． D．的相反数 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的大小比较，相反数，绝对值．先求出和的相反数，再根据正数大于0，0大于负数比较即可． 【详解】解：∵ ，的相反数是， ∴， ∴有理数、、、的相反数，其中最小的数是． 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的意义，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键． 根据题意，第一天截取，第二天截取，第三天截取，依次类推即可． 【详解】解：第一天截取，则剩下； 第二天截取，则剩下； 第三天截取，则剩下； …… 由此可以得到第天截取， 第四天截取木棍总长度的． 故选：B． 3．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．绝对值相等的两个数一定相等 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 D．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查绝对值的几何意义和数轴概念，需注意相反数和负数的区别， 根据绝对值的定义和数轴的性质，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：对于A：∵绝对值相等的两个数可能互为相反数，如，但，∴A不符合题意， 对于B：∵绝对值等于它的相反数的数满足，即，时也成立，而0不是负数，∴B不符合题意， 对于C：∵数轴上离原点越远的点表示数的绝对值越大，但数本身可能为负，如离原点比3远，但，∴C不符合题意， 对于D：∵一个数的绝对值表示该数在数轴上对应点与原点的距离，∴绝对值越大，点离原点越远，∴D符合题意， 故选：D． 4．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题．先根据数据运算程序计算出前几次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：运算结果以1、8、4、2为周期，每4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同， 即为1， 故选：A． 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 【答案】A 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用每天的最高温度减去最低温度，然后相比即可得出答案． 【详解】解：第1天温差为：； 第2天温差为：； 第3天温差为：； 第4天温差为：； ∵， ∴第1天温差最大． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 【答案】6 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，绝对值的非负性，有理数乘法计算，根据绝对值的非负性可推出或，再分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， 又∵， ∴或， 当时，则或， ∴此时有4对整数对满足题意； 当时，则，且， ∴， ∴此时有2对整数对满足题意； 综上所述，一共有6对整数对满足题意， 故答案为：6． 7．（25-26六年级上·上海·期中）数轴上的点A、点B所对应的数分别是和5.1，如果数轴上另有一点C，且点C与点A的距离等于点C与点B的距离，那么点C所对应的数是 ． 【答案】0.95 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数与数轴，根据点C与点A、点B的距离相等，得到点C是的中点，进行求解即可． 【详解】解：由题意，点C是的中点， 故点表示的数为． 故答案为：0.95． 8．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）下列结论：①若，那么一定是；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③若，则；④若、互为相反数，则，其中正确的有 （填写序号）． 【答案】③ 【知识点】绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查的是绝对值的性质、有理数的乘法法则以及相反数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据绝对值的意义、有理数乘法法则、相反数的定义等知识，逐一分析每个结论的正确性． 【详解】结论①，若，则或，因此不一定是，故①错误； 结论②，若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，但若有一个因数为零，则乘积为零，不是负数，故②错误； 结论③，若，由绝对值的非负性可得，即，故③正确； 结论④，若、互为相反数，则，但当时，分式无意义，因此不一定成立，故④错误． 综上，正确的结论只有③． 故答案为：③． 9．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 10．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，……，这样纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式： 横式： 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可， 【详解】解：要解决这道题，我们结合算筹的摆法规则和图形来逐步分析： 1，明确算筹的数位与摆法规则 数位交替规则：个位为纵式，十位为横式，百位为纵式，千位为横式以此类推；零的表示：用空格表示；负数表示：在个位数上画斜线表示负数． 2，逐位解析的每一位 千位（横式）：图形为≡，对照横式表格，≡对应数字3，因此千位是3． 百位（纵式）：图形为，对照纵式表格，对应数字6，因此百位是6． 十位（横式）：图形为⊥，对照横式表格，⊥对应数字7，因此十位是 7．个位（纵式，带斜线）：图形为，对照纵式表格，对应数字2，且个位画斜线表示负数，因此个位2． 3，组合各位数字 将千位、百位、十位、个位的数字组合起来，得到这个数是． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加减中的简便运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）同分母的先相加； （2）小数化为分数，同分母的先相加； （3）先化去绝对值，再加同分母的先相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 12．（25-26六年级上·上海普陀·期中）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除运算法则求解即可； （3）化简绝对值，然后根据有理数的加减运算法则求解即可； （4）先计算括号内的，再计算乘除，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 13．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)8 (3) (4)16 (5) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算、加减法及乘除运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则可进行求解； （2）把除法化为乘法，再按顺序计算可进行求解； （3）逆用有理数乘法分配律可进行求解； （4）根据有理数乘法分配律可进行求解； （5）先算乘方和绝对值，然后再进行有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 14．（25-26六年级上·上海虹口·期中）粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“”表示进库，“”表示出库） 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 进、出库的数量（吨） (1)这6天中，进库或出库粮食最多的是__________吨． (2)经过这6天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？请通过计算说明； (3)经过这6天，仓库管理员发现库里还有500吨，那么6天前库里存量多少吨？ (4)如果搬运1吨粮食的费用是20元，请问这六天的搬运费是多少钱？ 【答案】(1)36 (2)粮库里的粮食增多了20吨 (3)480 (4)2800元 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算． （1）根据比较绝对值的大小即可得到答案； （2）根据有理数的加法进行计算即可得答案； （3）根据题意列出算式，可得答案； （4）将各数绝对值相加，乘以20即可． 【详解】（1）解：， ∴这6天中，进库或出库粮食最多的是吨， 故答案为：； （2）解：． ∴总变化量为20吨，表示粮食增多了20吨； （3）解：6天前库里存量（吨）， 答：6天前库里存粮480吨； （4）解： （元）． 答：这六天的搬运费是2800元． 15．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【知识点】程序流程图与代数式求值、求一个数的绝对值、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案． （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算． （3）观察计算条件，先将输入固定，得到输入，输入的输出值，再根据条件三，算出均输入时，输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $