专题05垂直平分线与角平分线的性质重难点题型专训（4个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05垂直平分线与角平分线的性质重难点题型专训 （4个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 作已知线段的垂直平分线 题型三 作垂线（尺规作图） 题型四 角平分线的性质定理 题型五 角平分线性质的实际应用 题型六 作角平分线（尺规作图） 拓展训练一 线段垂直平分线的性质及相关问题 拓展训练二 角平分线的性质及应用 知识点一：线段的轴对称性 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 【即时训练】 1．（2025·浙江湖州·二模）如图，在中，垂直平分．若，则的长是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25·八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 知识点二：线段垂直平分线的画法（尺规作图） 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 【即时训练】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（    ） A．A处             B．B处             C．C处             D．D处 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可． 【详解】由题意知，村庄P．Q连线的垂直平分线与公路的交点就是所求，即选在点B， 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键． 2．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若 则 的周长 ． 【答案】13 【分析】本题考查了作图—作已知线段的垂线，垂直平分线的性质，利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， 的周长． 故答案为：13． 知识点三：角的轴对称性 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论． 【详解】解： ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于E， ∵平分，， ∴， ∴点D到边的距离是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 知识点四：角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 【即时训练】 1．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图—作角的平分线，根据角平分线的作法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 符合要求的作图是D选项， 故选：D． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中， 用尺规作图法作出射线，交 于点D．若．点D到边的距离为6，则的长是 ．      【答案】18 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作角平分线等知识点，如图，过点D作于E，由尺规作图知，平分，根据角平分线的性质求出，根据题意求出，进而求出，熟练掌握角平分线的性质，尺规作角平分线是解决此题的关键． 【详解】如图，过点D作于E，      由尺规作图知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：18． 【经典例题一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）如图，在中，已知是的垂直平分线，，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．根据垂直平分线的性质，可知，进而可知，即可求出的周长． 【详解】解∶∵是的垂直平分线， ∴ ∴的周长为， ，， ∴的周长为． 1．2023八年级上·广西桂林·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（    ） A．14 B．18 C．20 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据三角形周长计算公式得到的值，再由线段垂直平分线的性质得到以及的长，进而求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的周长为22， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：A． 2．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质即可得到，求得的长，即可得到的周长． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵，， ∴的周长； 故选：B 3．（2023八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为，求解的周长时，先列式，再利用进行等量代换即可． 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为，即， 的周长为． 故答案为：． 4．（2023八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，的垂直平分线交于，交于，求的周长． 【答案】23 【分析】本题考查垂直平分线的性质； 根据线段的垂直平分线的性质，，进而可求得的周长 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴ ∴的周长为： 【经典例题二 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作线段垂直平分线．根据作图方法和步骤，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是4， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）尺规作图：作线段的中垂线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图，应用与设计作图，要熟悉垂直平分线的作法．分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、，作直线即为的中垂线； 【详解】解：如图所示： 直线即为所求． 1．（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（   ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线， 故①成立；②成立；③不成立；④成立． 故选：C． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论． 【详解】由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，根据作图可知垂直平分，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，最后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为：， 故答案为：9． 4．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． (1)在边上找到一点E，使它到两点A、B的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）作出线段的垂直平分线交于点E，则点E即为所求； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长公式进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为所求； （2）垂直平分， ， 的周长． 【经典例题三 作垂线（尺规作图）】 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线 【答案】A 【分析】本题考查作图-基本作图，三角形的角平分线，垂直平分线，三角形的中线等知识，根据作图痕迹判断出线段是的中线即可． 【详解】解：由作图可知点D是边的中点，故线段是的中线． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段，用尺规作出它的垂直平分线，并标出线段的中点O． 【答案】见详解 【分析】本题考查了作垂直平分线，分别以点为圆心，以大于的长度为半径画弧，交于点，作直线，与的交点即为点O． 【详解】解：如图所示，直线即为所求： 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点．若的周长为，则的长为（    ） A．14 B．12 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，则，再结合的周长，得出，即可求解． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ， 的周长为， ， ， ， 故选：D 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高． 故选：D． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若的周长为18，的长为3，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，，根据的周长为18，推出，即可求出的周长． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，． 的周长为18， ， 的周长为． 故答案为：． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是河岸外一点．现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才使所用的水管最短？（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】画图见解析 【分析】本题考查的是垂线段最短，作已知直线的垂线；如图，过作直线的垂线，为垂足，从而可得结论． 【详解】解：如图， 从河岸上的处开口，使所用的水管最短． 【经典例题四 角平分线的性质定理】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等这一性质，利用已知线段长度求出相关线段的长度．根据角平分线的性质，可知角平分线上的点到角两边的距离相等，即由和的长度求出的长度，进而得到的长度． 【详解】解：∵ 是的平分线，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵ ∴ ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，交于点D．若，，求的面积． 【答案】40 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，由于平分，所以点到距离相等， 即为边上的高，等于，由此可求面积． 【详解】解：过点作于点，即为边上的高，如图所示， ∵， ∴， 平分， ， 的面积为． 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，点O在的平分线上，连接，作于点D．若，，则的面积是（   ） A．48 B．36 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点O作于点H，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点H， ∵点O在的平分线上， ∴平分， ∵，，，， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式．过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，，平分， ， ， ． 故答案为：6． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线．在外取一点E，使得，，并且线段与线段相交于点K．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，证明，运用角平分线的性质得，则，再证明，即可作答． 【详解】解：分别过作，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题五 角平分线性质的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键． 由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 【例2】（2023九年级下·重庆·开学考试）如图，已知． (1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）； (2)若的周长为，面积为，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作的角平分线的交点，即为所求； （2）根据（1）的结论，设点到的距离为，则，解方程求解即可． 【详解】（1）如图，点即为所求， （2）设点到的距离为， 由（1）可知点到、、的距离相等 则 解得： 点到的距离为 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， 油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选：B． 2．（2023七年级下·浙江温州·期末）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处． 综上，可选择的点有四处． 故选：D． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 【经典例题六 作角平分线（尺规作图）】 【例1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，D为直线上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使等于P点到的距离（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，因为，且在边上求作一点P，使等于P点到的距离，所以作的角平分线交上一点，即点P，运用角平分线上的点到角的两边距离相等，得等于P点到的距离，即可作答． 【详解】解：依题意，在边上求作一点P，使等于P点到的距离，如图所示： 1．（2025·宁夏银川·二模）如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-复杂作图、平行线的判定与性质，由作图过程可知，，则，根据平行线的性质可得根据O是边AB的中点，，可得点M为AC的中点，即，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，， 故A选项正确，不符合题意； ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 是边的中点， ∴， 又， ∴， ， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，根据角平分线的性质，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴，故A正确； ∵， ∴，故B正确； ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴，故D正确； 由题意无法证明，故C不一定正确． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若点D到的距离为6，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．利用角平分线的性质定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分，，，点到的距离为， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，根据角平分线的作法作出的角平分线，交于，由角平分线的性质可知点到田埂和田埂的距离相等，故点即为所求，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【拓展训练一 线段垂直平分线的性质及相关问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再根据题意得到，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是13， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作线段、作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质． （1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于D，再分别以、D为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线交于E，最后连接，即可． （2）先证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：所作图形如图： （2）证明：由作图知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据作图可知垂直平分线段，进而得到，，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， 的周长， ， 的周长 故选：B 3．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线性质得出、是解此题的关键． 根据线段垂直平分线性质得出，，求出即可． 【详解】解：∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故答案为：32． 4．（22-23八年级上·全国·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长及的度数； (2)分别连接，若的周长为，求的长． 【答案】(1)的长是，的度数是 (2)的长是 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用线段垂直平分线的性质和数形结合的思想解答． （1）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和可以解答本题； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长及（1）中的长可以解答本题． 【详解】（1）解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． ∴，，，， ∴，，， ∴，， 即的长是，的度数是； （2）解：如图， 由题意可得，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ， ∴， ∴， 即的长是． 【拓展训练二 角平分线的性质及应用】 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，且和交于点P，连接． (1)①；②是的角平分线；③；④；正确的是_____． (2)求证：． 【答案】(1)①②④ (2)证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质． （1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；由可知，过点P作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，④正确；现有已知条件无法得出； （2）由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出． 【详解】（1）解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 过点P作，，， ∵、分别是与的角平分线， ∴是的角平分线，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故④正确； 没有条件得出，故③不正确． 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④； （2）证明：在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得，， ∵， ∴． 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查垂线段的性质，角平分线的性质定理．由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值， 平分，， ， 的最小值为4， 故选A． 2．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线交于点D．若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的尺规作图以及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．先在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据作图可知平分，进而求出的度数． 【详解】在中，，， 所以． 由作图可知，平分， 所以， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查角平分线的性质，作于点H，于点F，由角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，，进而可得，即可求出的面积． 【详解】解：如图，作于点H，于点F， 平分平分， ，， ， ， 故答案为：8． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，垂直平分，为线段上的一点．若，则的长可能为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长可能为3． 故选：A． 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ） A．三角形的三条中线的交点处 B．三角形的三条角平分线的交点处 C．三角形的三条垂直平分线的交点处 D．三角形的三条高线的交点处 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，根据线段垂直平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且交易中心到到三个种植区的距离相等， ∴这个交易中心应建在三角形的三条垂直平分线的交点处． 故选：C． 3．（2025·北京西城·一模）下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） A．点P与点C关于直线l对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键． 根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解． 【详解】解：根据作图可得，依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点C在线段的垂直平分线上． 故选：D ． 4．(2023八年级下·广西桂林·期末）如图的两个角平分线与交与点P，且分别垂直于三角形三条边，下列说法不正确的是（   ） A． B．的面积相等 C．平分 D．的面积等于它的周长与乘积的一半 【答案】B 【分析】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形的面积，根据题意，一一判断即可． 【详解】∵的两个角平分线与交与点P，且分别垂直于三角形三条边， ∴,平分, 故A，C正确，不符合题意； 根据题意，得， ， 故D正确，不符合题意； ∵不能确定， 故不能确定的面积相等，错误，符合题意， 故选B． 5．(2023八年级上·福建漳州·期末）尺规作图：过直线l外一点P作直线l的平行线．下面是四位同学的作图痕迹，其中作图正确的同学的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本作图，利用内错角相等，两直线平行可判断甲同学和丁同学作法正确；利用同位角相等，两直线平行可判断乙同学的作法正确． 【详解】解：利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断甲同学的作图正确； 利用平行线的判定方法可判断乙同学和丁同学的作图正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 6．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，中，，过点作的平行线，与的平分线相交于点，的角平分线与相交于点，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要运用了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质以及角的计算，掌握以上知识点是解本题的关键． 根据角平分线的定义，三角形内角和定理求出，设，则，，根据平行线的性质得选项A正确；因为，所以，又，则，根据等量代换得到，故选项B正确；同理利用等量代换可得，故选项C正确；因为，，故选项D不正确． 【详解】解：在中，， ， 平分，平分， ， ， 在中，， 设， ， ， ， ， 故选项A正确，不符合题意； ， ， ， ， 在中， ， ， 又， ， 故选项B正确，不符合题意； ， 又， ， 故选项C正确，不符合题意； ， ， 故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 7．（2025·安徽淮北·三模）如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，过点E作于点F，首先得出，得到，等量代换得到，即可判断A；结合即可得到，即可判断D；根据同角的余角相等得到，等量代换得到，然后根据角平分线的性质定理得到，，即可得到，进而判断C；首先得到，证明出，得到，然后等量代换得到，即可判断B； 【详解】解：如图所示，过点E作于点F ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴平分，故A正确； 又∵ ∴，故D正确； ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴，故C正确； ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴，故B错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，是边的垂直平分线，，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形周长定义，是解决问题的关键．根据线段垂直平分线性质得到，得到，即可得到的周长为13． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴, ∵， ∴的周长：． 故选D． 9．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，连接，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短，则，最小，此时点P与点E重合， 所以的最小值即为的长，为4． 即的最小值为4． 故选：B． 10．(2023八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可判断，根据三角形的外角性质判断，根据全等三角形的性质判断，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分平分， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确，符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， 错误，不符合题意； 平分平分， ， 正确，符合题意； 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； 故选：C． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知的周长是，，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，由题意可得，再由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分和，于D，且， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， 故答案为：． 13．(2023八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查垂直平分线性质，三角形内角和定理，角度计算，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意利用垂直平分线性质可得，再利用三角形内角和定理可得，继而得到本题答案． 【详解】解：在中，，， ， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点 由作图过程可知，为的平分线， ， ， ， 的面积是 故答案为： 15．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在长方形中，射线和直线的交点落在边上．根据尺规作图的痕迹，直接写出的度数： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意得平分，是线段的垂直平分线，则，，，即可作答． 【详解】解：结合作图过程得平分，是线段的垂直平分线， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了简单作图垂直平分线，线段垂直平分线的性质．熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作垂直平分线的方法进行操作即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后等量代换的周长等于的长． 【详解】（1）解：如图： （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 17．（23-24八年级上·河南安阳·期中）用尺规按下列要求作图： (1)作出的角平分线，交于． (2)作出的边的垂直平分线，交于，交于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，角平分线和线段垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握基本尺规作图的步骤． （1）利用角平分线的作法进行作图即可； （2）利用线段垂直平分线的作法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，角平分线即为所求； （2）解：如图所示，垂直平分线即为所求． 18．（24-25七年级下·广东茂名·期末）如图，已知中，，是的垂直平分线，E为线段上一点，延长至点F，使得，连接，延长交于点 (1)与全等吗？为什么？ (2)垂直于吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理得到，求得，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 是的垂直平分线， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ， ， ， ． 19．（24-25七年级下·江西九江·期末）【知识生成】 我们在第一章已经学习了完全平方公式，，请结合完全平方公式解决以下问题： 【直接运用】 （1）若，则_____； 【转化应用】 （2）如图，已直角三角形和直角三角形中，，连接，点E是的垂直平分线与的交点，连接． ①试说明：； ②设，且．已知，求． 【答案】（1）11 （2）①详见解析；②9 【分析】本题考查完全平方公式，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握利用完全平方公式变形求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）①用证明即可； ②由，得，，再根据，得出，又因，求得，然后根据求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：11； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的垂直平分线与的交点， ∴， 在与中， ， ∴， ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 20．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）校园一隅的轮廓如图所示，其中，表示围墙．学校园丁希望在图示的区域内挑选一点P来种植树木，要求点P到三个墙角A，B，C的距离相等． (1)请在图中确定满足条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接BP，若，试说明平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键． （1）作线段的垂直平分线的交点即为所求； （2）由（1）可知，再结合、可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：点P即为所求． （2）解：如图：， 由（1）可知， ∵、， ∴， ∴，即平分． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05垂直平分线与角平分线的性质重难点题型专训 （4个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 作已知线段的垂直平分线 题型三 作垂线（尺规作图） 题型四 角平分线的性质定理 题型五 角平分线性质的实际应用 题型六 作角平分线（尺规作图） 拓展训练一 线段垂直平分线的性质及相关问题 拓展训练二 角平分线的性质及应用 知识点一：线段的轴对称性 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 【即时训练】 1．（2025·浙江湖州·二模）如图，在中，垂直平分．若，则的长是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 2．（24-25·八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 知识点二：线段垂直平分线的画法（尺规作图） 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 【即时训练】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（    ） A．A处             B．B处             C．C处             D．D处 2．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若 则 的周长 ． 知识点三：角的轴对称性 1角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴； 2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 3.角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点四：角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 【即时训练】 1．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中， 用尺规作图法作出射线，交 于点D．若．点D到边的距离为6，则的长是 ．      【经典例题一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【例2】（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）如图，在中，已知是的垂直平分线，，，求的周长． 1．2023八年级上·广西桂林·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（    ） A．14 B．18 C．20 D．26 2．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2023八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 4．（2023八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，的垂直平分线交于，交于，求的周长． 【经典例题二 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）尺规作图：作线段的中垂线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 1．（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（   ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④ 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，某同学用尺规作图的方法在上作出、点，若，，则的周长为 ． 4．（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）如图，在中，． (1)在边上找到一点E，使它到两点A、B的距离相等．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的周长． 【经典例题三 作垂线（尺规作图）】 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线 【例2】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段，用尺规作出它的垂直平分线，并标出线段的中点O． 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点．若的周长为，则的长为（    ） A．14 B．12 C．7 D．6 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，交于点E，连接，若的周长为18，的长为3，则的周长为 ． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是河岸外一点．现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才使所用的水管最短？（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 【经典例题四 角平分线的性质定理】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，的平分线AD交BC于点D，于点E，若，，则DE的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，交于点D．若，，求的面积． 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，点O在的平分线上，连接，作于点D．若，，则的面积是（   ） A．48 B．36 C．24 D．20 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于点D，若，，则的面积为 ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线．在外取一点E，使得，，并且线段与线段相交于点K．求证：． 【经典例题五 角平分线性质的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【例2】（2023九年级下·重庆·开学考试）如图，已知． (1)请用尺规作图．在内部找一点，使得点到、、的距离相等，（不写作图步骤，保留作图痕迹）； (2)若的周长为，面积为，求点到的距离． 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．（2023七年级下·浙江温州·期末）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【经典例题六 作角平分线（尺规作图）】 【例1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，D为直线上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使等于P点到的距离（保留作图痕迹，不写作法） 1．（2025·宁夏银川·二模）如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若点D到的距离为6，则的长为 ． 4．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展训练一 线段垂直平分线的性质及相关问题】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，． (1)尺规作图：在 上截取 ，在上取一点E，使点E到点C，D的距离相等； (2)连接，求证：． 1．（24-25八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，．若，的周长为18，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．25 D．30 3．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，则的长为 ． 4．（22-23八年级上·全国·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长及的度数； (2)分别连接，若的周长为，求的长． 【拓展训练二 角平分线的性质及应用】 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，且和交于点P，连接． (1)①；②是的角平分线；③；④；正确的是_____． (2)求证：． 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 2．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线交于点D．若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，垂直平分，为线段上的一点．若，则的长可能为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ） A．三角形的三条中线的交点处 B．三角形的三条角平分线的交点处 C．三角形的三条垂直平分线的交点处 D．三角形的三条高线的交点处 3．（2025·北京西城·一模）下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） A．点P与点C关于直线l对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 4．(2023八年级下·广西桂林·期末）如图的两个角平分线与交与点P，且分别垂直于三角形三条边，下列说法不正确的是（   ） A． B．的面积相等 C．平分 D．的面积等于它的周长与乘积的一半 5．(2023八年级上·福建漳州·期末）尺规作图：过直线l外一点P作直线l的平行线．下面是四位同学的作图痕迹，其中作图正确的同学的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，中，，过点作的平行线，与的平分线相交于点，的角平分线与相交于点，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽淮北·三模）如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，是边的垂直平分线，，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 9．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．(2023八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为 ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知的周长是，，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 13．(2023八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 14．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 15．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在长方形中，射线和直线的交点落在边上．根据尺规作图的痕迹，直接写出的度数： ． 16．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 17．（23-24八年级上·河南安阳·期中）用尺规按下列要求作图： (1)作出的角平分线，交于． (2)作出的边的垂直平分线，交于，交于． 18．（24-25七年级下·广东茂名·期末）如图，已知中，，是的垂直平分线，E为线段上一点，延长至点F，使得，连接，延长交于点 (1)与全等吗？为什么？ (2)垂直于吗？为什么？ 19．（24-25七年级下·江西九江·期末）【知识生成】 我们在第一章已经学习了完全平方公式，，请结合完全平方公式解决以下问题： 【直接运用】 （1）若，则_____； 【转化应用】 （2）如图，已直角三角形和直角三角形中，，连接，点E是的垂直平分线与的交点，连接． ①试说明：； ②设，且．已知，求． 20．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）校园一隅的轮廓如图所示，其中，表示围墙．学校园丁希望在图示的区域内挑选一点P来种植树木，要求点P到三个墙角A，B，C的距离相等． (1)请在图中确定满足条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接BP，若，试说明平分． 学科网（北京）股份有限公司 $$