专题04 二次函数简答题六大综合题专练（期末复习专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题04 二次函数解答题六大综合题专练 题型1 二次函数代数类考点综合压轴题（常考点）（重点） 题型2 二次函数与实际结合类综合题（重点）（难点） 题型3 二次函数新定义类压轴题（难点） 题型4 二次函数与三角形结合类压轴题（常考点）（难点） 题型5 二次函数与四边形结合类压轴题（重点） 题型6 二次函数的其他类型压轴题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数代数考点综合压轴题（共9小题） 1．（2024秋•临海市期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，﹣2），且对称轴为直线x＝1． （1）求这个二次函数的解析式． （2）图象上的点（x，x）称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． （3）若P（x，y）是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求y的最大值与最小值的差． 【分析】（1）根据待定系数法即可求出答案； （2）根据为函数的不动点的定义列出方程，求解即可； （3）根据不动点的坐标以及二次函数y＝x2﹣2x﹣10的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，﹣2），且对称轴为直线x＝1， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣10； （2）当y＝x时，则x2﹣2x﹣10＝x， 整理得x2﹣3x﹣10＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝5， ∴这个函数不动点的坐标是（﹣2，﹣2）和（5，5）； （3）∵y＝x2﹣2x﹣10＝（x﹣1）2﹣11， ∴抛物线开口向上，顶点为（1，﹣11）， ∵这个函数不动点的坐标是A（﹣2，﹣2），B（5，5）， ∴若点P（x，y）是函数图象上的一个动点，当点P在点A，B之间运动时，y的最大值为5，最小值为﹣11， ∴y的最大值与最小值的差为16． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程的解法，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． 2．（2024秋•慈溪市期末）已知二次函数，c为常数）的图象经过点A（3，2），对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式． （2）求二次函数的最大值． （3）当0≤x≤t时，二次函数的最大值与最小值的差为，求t的取值范围． 【分析】（1）利用点A（3，2）和对称轴求出函数表达式； （2）利用公式求出函数最大值； （3）利用图象分析即可． 【解答】解：（1）∵对称轴是直线， ∴， ∵的图象经过点A（3，2）， ∴c＝2， ∴； （2）∵， ∴其最大值为； （3）∵的对称轴是直线， ∴当时，二次函数取得最大值， 当 x＝0 时，二次函数值为2， 而， ∴当时，恰好符合， 根据二次函数的对称性可得，当时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 t＝0 时对应的函数值，亦符合， 故． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，待定系数法求解析式，二次函数的最值等，掌握二次函数综合知识是解题的关键． 3．（2024秋•镇海区期末）已知二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2（a为常数）． （1）若a＝1，求该二次函数图象的对称轴； （2）若a＞0，该二次函数在﹣1≤x≤2时有最小值2，求a的值； （3）将二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：y1＝2（x﹣h）2．若2≤x≤m时，y1≤x恒成立，求m的最大值． 【分析】（1）先求得解析式，再根据二次函数的性质即可解答； （2）先求得对称轴为x＝a，然后分0＜a≤2和a＞2两种情况，分别运用二次函数的性质求解即可； （3）如图，令y2＝x，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为x0和x1，x0＜x1，观察图象，随着抛物线C的向右不断平移x0和x1的值不断增大，然后结合图象即可解答． 【解答】解：（1）∵a＝1， ∴y＝2x2﹣4x+5（a为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是直线x＝1； （2）∵y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2＝2（x﹣a）2﹣a2+2a+2， ∴二次函数的对称轴是直线x＝a， 当0＜a≤2时，x＝a函数有最小值．即﹣a2+2a+2＝2，解得：a＝0（舍去）或a＝2； 当a＞2时，x＝2函数有最小值．即8﹣8a+a2+2a+2＝2解得：a＝2（舍去）或a＝4， 综上，a＝2或a＝4； （3）如图，令y2＝x设其图象与原抛物线C交点的横坐标为x0和x1，x0＜x1， 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移x0和x1的值不断增大， 当2≤x≤m时，y1≤x恒成立，即x0＝2时，m的最大值为x1， ∴2（2﹣h）2＝2得h＝1（舍去）或3， ∴2（x﹣3）2＝x得x＝2或， ∴m的最大值为． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 4．（2024秋•余杭区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y2的值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案； ②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，最后分两种情况，利用t﹣2≤x1≤t+1，x2＝1﹣t，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）； （2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的对称轴为x＝t， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵t﹣2≤x1≤t+1， ∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t， ∵y1的最小值是﹣2， ∴t＝2， ∴x2＝1﹣t＝﹣1，抛物线表达式为y＝x2﹣4x+2， ∴y2＝12﹣4×（﹣1）+2＝7； ②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上， ∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t， ∵对于x1，x2，都有y1＜y2， ∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0， ∴或， Ⅰ、当时， ∵x2﹣x1＞0， ∴x2＞x1， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴1﹣t≥t+1， ∴t≤0， ∵x2+x2t＞0， ∴x2+x1＞2t， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴﹣1＜x2+x1＜2， ∴2t≤﹣1， ∴t， 即t； Ⅱ、当时， 由x2﹣x1＜0得：x2＜x1， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴1﹣t≤t﹣2， ∴t， 由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴﹣1＜x2+x1＜2， ∴2t≥2， ∴t≥1， 即t； 即满足条件的t的取值范围为t或t． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 5．（2024秋•余姚市期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）． （1）若二次函数的图象经过点（2，6），求二次函数的表达式； （2）若a＜0，当x时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围； （3）若二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，求a的值． 【分析】（1）把点（2，6）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a中得a＝﹣2，即可得二次函数表达式； （2）先求出对称轴为直线x＝1，又a＜0，则当x＞1时，y随着x的增大而减小，即1，解得m≥2； （3）当a＞0时，最小值在顶点处取；当a＜0时，最小值在x＝4处取，分类讨论即可得解． 【解答】解：（1）把点（2，6）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a中得﹣3a＝6，故a＝﹣2； ∴二次函数的表达式为y＝﹣2x2+4x+6． （2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，且a＜0， 则当x＞1时，y随着x的增大而减小， 又∵x时，y随着x的增大而减小， ∴1，解得m≥2． （3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1， 当a＞0时，开口向上，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5， ∴当x＝1时，ymin＝a﹣2a﹣3a＝﹣5，解得a； 当a＜0时，开口向下，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5， ∴当x＝4时，ymin＝16a﹣8a﹣3a＝﹣5，解得a＝﹣1， 故a的值为﹣1或． 【点评】本题考查了二次函数的增减性、二次函数的区间最值，熟练掌握以上内容是解本题关键． 6．（2024秋•拱墅区期末）在直角坐标系中，设函数y1＝（x﹣m）（x﹣n）y2＝x2+mx+n，其中m≠n． （1）若函数y1的图象过点（0，2），函数y2的图象过点（1，4），求m2+n2的值． （2）若0＜m＜n＜4，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由． （3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求m，n的值． 【分析】（1）将点分别代入函数，求出m+n＝3，mn＝2，再利用完全平方公式得出m2+n2的值； （2）求出Δ，再根据0＜m＜n＜4进行判断即可； （3）先求出函数y1与x轴的交点为（m，0）和（n，0），再利用韦达定理列出方程，求出m，n的值． 【解答】解：（1）将（0，2）代入y1＝（x﹣m）（x﹣n），将（1，4）代入y2＝x2+mx+n， 得：， ∴m+n＝3，mn＝2， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝32﹣2×2＝5； （2）∵Δ＝m2﹣4n，0＜m＜n＜4， ∴Δ＜0， ∴函数y2与x轴无交点； （3）∵y1＝（x﹣m）（x﹣n）， ∴函数y1与x轴的交点为（m，0）和（n，0）， ∴m+n＝﹣m，mn＝n， ∴m＝1，n＝﹣2或m＝0，n＝0（舍去）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与x轴的交点等，掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 7．（2024秋•义乌市校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，且a＞0）． （1）若抛物线经过A（1，5），B（﹣2，﹣1），求二次函数解析式． （2）在（1）的条件下，抛物线上有一点P，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点P的坐标． （3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令w＝b2﹣2b+4a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得：，即可求解； （2）设点P（m，m2+3m+1），则平移后点的坐标为：（m+3，m2+3m+1），将该点的坐标代入函数表达式得：m2+3m+1＝（m+3）2+3（m+3）+1，即可求解； （3）当t≤1时，则函数w在x＝t+1时取得最小值，即2（t﹣2）2+1＝t，则t＝1或1.5（舍去）；当1＜t＜2或t≥2时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝x2+3x+1； （2）设点P（m，m2+3m+1），则平移后点的坐标为：（m+3，m2+3m+1）， 将该点的坐标代入函数表达式得：m2+3m+1＝（m+3）2+3（m+3）+1， 解得：m＝﹣3， 则点P的坐标为：（﹣3，1）； （3）存在，理由：由题意得：y＝3x， 联立上式和抛物线的表达式得：ax2+bx+1＝3x， 则Δ＝（b﹣3）2＝4a， 则w＝b2﹣2b+4a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1， 当b＝t+1时，w＝2（t﹣1）2+1，当b＝2时，w＝1，当b＝t时，w＝2（t﹣2）2+1， 当t≤1时，则函数w在x＝t+1时取得最小值，即2（t﹣2）2+1＝t，则t＝1或1.5（舍去）； 当1＜t＜2时，则函数在顶点时取得最小值，即1＝t（舍去）； 当t≥2时，则函数w在x＝t时取得最小值，即2（t﹣2）2+1＝t，则t＝3或1.5（舍去）； 综上，t＝1或3． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、新定义，分类求解是解题的关键． 8．（2024秋•西湖区期末）已知二次函数，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． （1）求b的值． （2）已知点A（x1，m）在二次函数的图象上，点B（x2，n）在二次函数的图象上． ①若x2＝2x1+1，求n﹣m的最大值． ②若x2﹣x1＝t，t＜0且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，求t的值． 【分析】（1）分别求出两个函数的对称轴，建立方程求解即可； （2）①先表示出m＝m4x1+c，n2x2+c，再利用x2＝2x1+1代入n表达式中，然后表示出n﹣m＝﹣34x1+1＝﹣3（x1）2，利用二次函数最值求解即可； ②同①表示出n﹣m＝﹣2tx1﹣2x1﹣t2+2t＝3t，建立关于t的方程求解即可． 【解答】解：（1）∵函数（x）2c，（x﹣1）2+c+1， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为1， ∵二次函数，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴b＝4； （2）①∵点A（x1，m）在二次函数的图象上，点B（x2，n）在二次函数的图象上， ∴m4x1+c，n2x2+c， ∴n﹣m2（x2﹣2x1）， ∵x2＝2x1+1， ∴n﹣m＝﹣34x1+1＝﹣3（x1）2， ∴x1时，n﹣m有最大值； ②∵x2﹣x1＝t， ∴x2＝x1+t， n2x2+c ＝﹣（x1+t）2+2（x1+t）+c 2tx1+2xt2+2t+c， ∵m4x1+c， ∴n﹣m2tx1+2xt2+2t+c4x1﹣c ＝﹣2tx1﹣2x1﹣t2+2t＝3t， 整理得，t2+（2x1+1）t+2x1＝0， 即（t+2x1）（t+1）＝0， ∴t1＝﹣2x1，t2＝﹣1， ∵x1≥0时，始终有n﹣m＝3t， ∴n﹣m的值不会随x1的变化而变化， ∴t＝﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数的对称轴、二次函数的顶点坐标、二次函数图象上点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．（2024秋•东阳市期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P（m，y1），Q（m+3，y2）在该抛物线上，已知当点P在点C处时，点Q恰与点B重合． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当点P在第二象限内时，求y2的取值范围． （3）若点也在该抛物线上，且恒有y2＜y1＜3≤y3，求m的取值范围． 【分析】（1）由题易得OB＝3，进而可知B（3，0），再代入求解即可； （2）由P在第二象限可知﹣1＜m＜0，进而得到2＜m+3＜3，再根据增减性求解即可； （3）由y3≥3易得，再分类讨论，根据点P和点Q在对称轴同侧和异侧问题，利用增减性和对称性建立不等式求解即可． 【解答】解：（1）由题可知OB＝3， 即B（3，0）， 将B（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3得，a＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式y＝﹣x2+2x+3； （2）∵点P在第二象限， ∴﹣1＜m＜0， ∴2＜m+3＜3， ∴点Q在对称轴直线 x＝1 的右侧，y随x的增大而减小， 当x＝2时，y＝3，当x＝3时，y＝0， ∴0＜y2＜3； （3）令y＝﹣x2+2x+3＝3， 解得x＝0或x＝2， ∵y3≥3， ∴， 解得， ∵y2＜y1＜3所以符合条件的两种情况如图所示： ①当点P、Q位于对称轴两侧时，如图1， ∴， 解得， ∴； ②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2， ∴， 解得； 综上，或． 【点评】本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数得增减性、二次函数最值等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型二 二次函数与实际结合类综合题（共3小题） 1．（2024秋•鄞州区期末）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形ABCD，AB＝AD，CB＝CD，风筝的骨架由3条竹棒AC、BD、EF组成，其中E，F分别是CB和CD的中点．现有一根总长为90cm的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面ABCD的材料，作了如下探究： （1）设筝面ABCD的面积为s（cm2），骨架BD的长度为x（cm），求s关于x的函数关系式； （2）在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； （3）利用图象分析，当骨架AC长度大于BD长度且筝面的面积超过432cm2时，骨架BD的长度范围． 【分析】（1）根据题意可知AC是BD的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可； （3）根据筝面的面积为432cm2，即s＝432，求出x的值，结合骨架AC长度必须骨架AC长度大于BD长度且筝面的面积超过432cm2确定x的值可得． 【解答】解：（1）∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， ∵E，F分别是CB和CD的中点， ∴， 设筝面ABCD的面积为s（cm2），骨架BD的长度为x（cm）， ∴； （2）s45x（x﹣30）2+675（0＜x＜60）， ∴当x＝30时，s取最大值675； 当y＝0时，得：（x﹣30）2+675＝0， 解得：x1＝0，x2＝60， ∴函数的图象，如图即为所求； （3）当s＝432时， ， 解得x＝12或48， 由AC＞BD得，， 解得x＜36， ∴当12＜BD＜36时，箏面的面积不超过432cm2． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的几何应用，垂直平分线的性质，画二次函数图象，求二次函数的值，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是解答本题的关键． 2．（2024秋•临海市期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度/cm 80 90 100 110 120 反弹高度/cm 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式． 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为h0（单位：m）处落下到达地面的运动过程中，其高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）的函数关系是，其中g为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为h0（单位：m）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量h0，g的式子表示）． 任务3：篮球从100cm处下落，g的值取10m/s2．当篮球反弹高度小于2cm时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数n的式子表示）． 【分析】任务1：由表格数据知，对应的函数表达式为一次函数； 任务2：令0，则t，反弹时，y＝0.5x，则此时高度为h0，同理可得：t，即可求解； 任务3：yx，100×（）62，故反弹的次数为6次，参考任务2，即可求解． 【解答】解：任务1：设下落的高度为xcm，反弹的高度为ycm， 设函数的表达式为：y＝kx+b， 将（80，40）、（90，45）代入上式得： ，解得：， 故函数的表达式为：y＝0.5x； 任务2：令0，则t， 反弹时，y＝0.5x，则此时高度为h0， 同理可得：t， 则总时间为：t； 任务3：100cm＝1m， ∵yx，100×（）62， 故反弹的次数为6次， 由（2）知，开始的时间t， 第一次反弹t， 则第n次反弹t（）n， 第（n+1）次反弹t（）n+1， 则从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间（）n（）n+1（）n． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次和二次函数的性质，理解题意，正确设定函数表达式是解题的关键． 3．（2024秋•江北区期末）如图1，过点A作AB⊥直线l于点B，过点A作AC∥y轴交直线l于点C．线段AC的长度称为点A到直线l的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点A，C的坐标为A（x，yA），C（x，yC），则点A到直线l的竖直距离即为AC的长度，则AC＝ yA﹣yC ．（用含yA，yC的代数式表示） ②当直线l与x轴不平行时，点A到直线l的垂直距离AB与点A到直线l的竖直距离AC存在一定的数量关系，若此时直线l：y，则AB＝　 　 AC． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段OC），其倾斜角为30°，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线y＝﹣x2x，其最远处落在草坪的C处．若在山上种一棵树MN（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架PN，请求出支架PN的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角30°不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若OC＝12m，为了保证灌溉山上种植的这棵树MN（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高MN的最大值是多少？ 【分析】【探索】①由题意即可求解；②设直线l和x轴的夹角为β，由直线l的表达式知，tanβtanA，则cosβ，即可求解； 【应用】由N＝yN﹣yM＝﹣a2aa＝﹣a2+2a，即可求解； 【拓展】过Q作QN⊥OC交圆弧于N，交OC于T，过N作x轴垂线交OC于M，此时NT最大，即MN最大，即可求解． 【解答】解：【探索】①由题意得：AC＝yA﹣yC； ②设直线l和x轴的夹角为β， 由直线l的表达式知：tanβtanA， 则cosA， 即ABAC， 故答案为：①yA﹣yC；②； 【应用】∵草坪倾斜角为30°， ∴OC的标上为：yx， 设N横坐标为a， 则MN＝yN﹣yM＝﹣a2aa＝﹣a2+2a， 当a时，MN最大，MN＝3； ∵PNMN， ∴此时PN最大，PN； 【拓展】∵圆弧与y轴相切， ∴圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作QN⊥OC交圆弧于N，交OC于T，过N作x轴垂线交OC于M， 此时NT最大，即MN最大，QN＝OQ＝OT ＝4． 则NT＝QN﹣QT＝2， 则MN＝NT4． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，理解题意，数形结合是解题的关键． 题型三 二次函数新定义类压轴题（共2小题） 1．（2024秋•温岭市期末）定义：对于点P（m，p）与抛物线y＝ax2+bx+c上一点Q（m，q），若|p﹣q|≤1，则称点P（m，p）为抛物线y＝ax2+bx+c的一个纵邻点．例如：对于点（2，3.5）和抛物线y＝x2上的点（2，4）满足|3.5﹣4|≤1，则点（2，3.5）是抛物线y＝x2的一个纵邻点． （1）试判断（1，3）是不是抛物线y＝2x2﹣1的纵邻点，并说明理由； （2）若E（e，6），F（f，6）都是抛物线y＝2x2﹣1的纵邻点，求e﹣f的最大值； （3）若点A坐标为（n，h），点B坐标为（n+1，h），线段AB上的所有点都是抛物线y＝（x﹣2）2+1的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值． 【分析】（1）根据题意，结合纵邻点的定义，求出抛物线y＝2x2﹣1在x＝1时的函数值，然后计算与点（1，3）纵坐标差的绝对值，判断即可求解； （2）根据纵邻点的定义，将抛物线向下平移一个单位，得到函数y＝2x2﹣2，继而求出 y＝6 时对应的x得值，即为对应的e和f的值，代入即可求得e﹣f的最大值； （3）根据纵邻点的定义，将抛物线y＝（x﹣2）2+1向下平移一个单位，得到函数y＝（x﹣2）2当点A（n，h）与点B（n+1，h）关于直线x＝2对称时，h取得最小值，即可求得对应n的值；将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移一个单位，当点A（n，h）与点B（n+1，h）位于抛物线y＝（x﹣2）2+的两侧，且对应函数值相等时，h取得最大值，继而求得对应n的值． 【解答】解：（1）由题意，把x＝1代入y＝2x2﹣1得y＝1， ∵|3﹣1|＞1， ∴（1，3）不是抛物线y＝2x2﹣1的纵邻点； （2）∵E（e，6），F（f，6）都是抛物线y＝2x2﹣1的纵邻点， ∴|6﹣（2e2﹣1）|≤1，|6﹣（2f2﹣1）|≤1， 解得：﹣2≤e或e≤2，﹣2≤e或f≤2， ∴当e＝2，f＝﹣2时，e﹣f最大，最大值为4； （3）如图，把代入， ∴h的最小值为，此时； 如图，把x＝n代入y＝（x﹣2）2，把x＝n+1代入y＝（x﹣2）2+2， 当两个y值相等时，h最大， 即（n﹣2）2＝（n+1﹣2）2+2，解得， 此时为h的最大值， 时，由对称性可知，n的另外一个值为， 综上所述，h的最小值为，相应n为； h的最大值为，相应n为或． 【点评】本题主要考查新定义纵邻点概念的理解，结合二次函数抛物线的性质来理解题意是解题的关键． 2．（2024秋•长兴县期末）定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内有最大值m和最小值n，则m﹣n称为极差值，记作D[x1，x2]＝m﹣n．如函数y＝2x，在﹣1≤x≤2范围内，该函数的最大值是4，最小值为﹣2，即D[﹣1，2]＝4﹣（﹣2）＝6．请根据以上信息，完成下列问题： （1）已知二次函数y＝x2+bx+5的图象经过点（2，﹣3）． ①求该函数的表达式； ②求该函数的D[﹣1，3]的值． （2）已知函数y1＝kx（k＞0），函数y2＝（a﹣2）x2﹣2ax+a2﹣4的图象经过点（0，0），且两个函数的相等，求k的值． 【分析】（1）①将（2，﹣3）代入函数表达式得：﹣3＝4+2b+5，即可求解； ②根据函数的性质，当x＝﹣1时，ymax＝x2﹣6x+5＝12，当x＝3时，ymin＝x2﹣6x+5＝﹣4，即可求解； （2）当a＝﹣2时，当0时，D（0，），当1时，D（0，）＝1；当1时，D（0，）＝1；即可求解．当a＝2时，同理可解． 【解答】解：（1）①将（2，﹣3）代入函数表达式得：﹣3＝4+2b+5，则b＝﹣6， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+5； ②根据函数的性质，当x＝﹣1时，ymax＝x2﹣6x+5＝12， 当x＝3时，ymin＝x2﹣6x+5＝﹣4， 则D[﹣1，3]＝12+4＝16； （2）y2＝（a﹣2）x2﹣2ax+a2﹣4的图象经过点（0，0）， 则a2﹣4＝0，则a＝±2， 当a＝﹣2时， 则抛物线的表达式为：y＝﹣4x2+4x，其对称轴为直线x， 当x＝0时，y1＝kx＝0，x时，y1＝kx，则D（0，）； 当x＝0时，y＝﹣4x2+4x＝0，当x时，y＝﹣4x2+4x， 当0时，即k，抛物线在x时，取得最大值为y＝﹣4x2+4x＝1，则D（0，）， ∴，解得k＝1（舍）或k＝3， 当1时，即k，抛物线最大值为1，在x＝0时，ymin＝0， 则D（0，）＝1； 当1时，即0＜k，当x时，函数的最小值为﹣4x2+4x，最大值为1， ∴则D（0，）＝1， ∴1，解得k＝6+3（舍）或k＝6﹣3（舍）； 当a＝2时， 则y2＝﹣4x， 同理可得：， 则k＝4， 综上，k＝4或k＝3． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、函数的最值，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． 题型四 二次函数与三角形结合类压轴题（共4小题） 1．（2024秋•西湖区期末）如图，已知抛物线ybx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x求出对称轴方程； （2）在抛物线解析式中，令x＝0，可求出点C坐标；令y＝0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0）， ∴（﹣2）2+b×（﹣2）+4＝0， 解得：b， ∴抛物线解析式为 yx2x+4， ∴yx2x+4（x﹣3）2， ∴对称轴方程为：x＝3． （2）在yx2x+4中，令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4）； 令y＝0，即x2x+4＝0，整理得x2﹣6x﹣16＝0， 解得：x＝8或x＝﹣2， ∴B（8，0）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：yx+4． （3）存在， 理由：∵抛物线的对称轴方程为：x＝3， 可设点Q（3，t），∵A（﹣2，0），C（0，4）， ∴AC＝2，AQ，CQ． ①当AQ＝CQ时， 有， 25+t2＝t2﹣8t+16+9， 解得t＝0， ∴Q1（3，0）； ②当AC＝AQ时， 有2， ∴t2＝﹣5，此方程无实数根， ∴此时△ACQ不能构成等腰三角形； ③当AC＝CQ时， 有2， 整理得：t2﹣8t+5＝0， 解得：t＝4±， ∴点Q坐标为：Q2（3，4），Q3（3，4）． 综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4），Q3（3，4）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（3）问，符合条件的等腰三角形ACQ可能有多种情形，需要分类讨论． 2．（2024秋•温州期末）如图，抛物线y＝ax2+2x+3与x轴的一个交点是A（3，0），与y轴交于B点，点P在抛物线上． （1）求a的值； （2）过点P作x轴的垂线交直线AB于点E，设点P的横坐标为m（0＜m＜3），PE＝l，求l关于m的函数表达式； （3）当△PAB是直角三角形时，求点P的坐标． 【分析】（1）将点A代入函数关系式，进而求得结果； （2）求出直线AB的解析式，表示出P和E点坐标，进而表示出PE； （3）分为三种情形：当∠ABP＝90°时，根据特殊性可得出是抛物线的顶点；当∠BAP＝90°时，作PM⊥x轴于M，由PM＝AM列出方程，从而求得结果；当∠APB＝90°时，作PE⊥y轴于点E，作AD⊥PE于D，可得出△ADP∽△PEB，（t+1）（t﹣2）＝﹣1，进一步得出结果． 【解答】解：（1）把x＝3，y＝0代入y＝ax2+2x+3得， 9a+6+3＝0， ∴a＝﹣1； （2）由﹣x2+2x+3＝0得， x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（3，0）， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， ∴E（m，﹣m+3）， ∵P（m，﹣m2+2m+3）， ∴PE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m； ∴l＝﹣m2+3m； （3）设点P（t，﹣t2+2t+3）， 如图1，作PQ⊥y轴于Q， ∴∠PQB＝90°， 当∠ABP＝90°时， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∴∠PBQ＝∠BPQ＝45°， ∴BQ＝PQ， ∴﹣t2+2t＝t， ∴t1＝0（舍去），t2＝1， 当t＝1时，﹣1+2×1+3＝4， ∴P（1，4）， 如图2，作PM⊥x轴于M， 当∠ABP＝90°时， 同理可得， PM＝AM， ∴t2﹣2t﹣3＝3﹣t， ∴t3＝3（舍去），t4＝﹣2， ∴当t＝﹣2时，﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5， ∴P（﹣2，﹣5）， 如图3，当∠APB＝90°时， 点P在第一象限时， 作PE⊥y轴于点E，作AD⊥PE于D， ∴∠D＝∠PEB＝90°， ∴∠PAD+∠APD＝90°， ∵∠APB＝90°， ∴∠EPB+∠APD＝90°， ∴∠EPB＝∠PAD， ∴△ADP∽△PEB， ∴， ∴， t1，t2（舍）， 当t时，﹣（）2+23， ∴P3（，）； 点P在第二象限时， 如图4，作PE⊥y轴于点E，作AD⊥PE于D， ∴∠D＝∠PEB＝90°， 同理得：， ∴ 解得：t1（舍），t2， 当t时，y， ∴P（，）， 综上所述：P（1，4）或（﹣2，﹣5）或（，）或（，）． 【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力． 3．（2024春•海曙区校级期末）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点纵坐标为﹣2．点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）． （1）求抛物线的解析式． （2）当﹣1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围． （3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1． ①求m的取值范围． ②以PC为边作等腰直角三角形PCQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）由y＝ax2﹣2ax﹣1＝y＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，得抛物线的顶点坐标为（1，﹣a﹣1），则﹣a﹣1＝﹣2，求得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）由P（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣1上，得n＝m2﹣2m﹣1，当m＝﹣1时，n＝2；m＝2时，n＝﹣1，而抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），可知当﹣1≤m≤2时，n的最小值和最大值分别为﹣2和2，所以n的取值范围是﹣2≤n≤2； （3）①当点P（m，n）到x轴的距离为1时，n＝1或n＝﹣1，由m2﹣2m﹣1＝1，求得m1＝1，m2＝1；由m2﹣2m﹣1＝﹣1，求得m1＝0，m2＝2，则点E（1，1）、F（1，1）、G（2，﹣1）、C（0，﹣1）到x轴的距离均为1，所以m的取值范围是2≤m＜1； ②由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1，再分三种情况讨论，一是作点C（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点P，则P（2，﹣1），设直线x＝1交x轴于点Q，则△PCQ是等腰直角三角形，且点Q在此抛物线的对称轴上，此时P（2，﹣1），二是点P为抛物线与x轴的交点，作CQ⊥CP交直线x＝1于点Q，连结PQ，作QR⊥y轴于点R，则△PCQ是等腰直角三角形，点P的坐标为（1，0）；三是等腰直角三角形PCQ，点Q在直线x＝1上，且∠CPQ＝90°，PQ＝PC，作PH⊥x轴，作CH⊥PH于点H，QL⊥PH于点L，可证明△PQL≌△CPH，QL＝PH，m﹣1＝m2﹣2m，求得P（，）． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝y＝a（x﹣1）2﹣a﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a﹣1）， ∵抛物线顶点纵坐标为﹣2， ∴﹣a﹣1＝﹣2， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1． （2）n的取值范围是﹣2≤n≤2， 理由：∵P（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x﹣1上， ∴n＝m2﹣2m﹣1， 当m＝﹣1时，n＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣1＝2， 当m＝2时，n＝22﹣2×2﹣1＝﹣1， 由（1）得抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴当点P与抛物线的顶点重合时，则n＝﹣2， ∴当﹣1≤m≤2时，n的最小值和最大值分别为﹣2和2， ∴n的取值范围是﹣2≤n≤2． （3）①当点P（m，n）到x轴的距离为1时，n＝1或n＝﹣1， 当n＝1时，则m2﹣2m﹣1＝1， 解得m1＝1，m2＝1； 当n＝﹣1时，则m2﹣2m﹣1＝﹣1， 解得m1＝0，m2＝2， 如图1，点E（1，1）、F（1，1）、G（2，﹣1）、C（0，﹣1）到x轴的距离均为1， ∵抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1， ∴m的取值范围是2≤m＜1． ②点P的坐标为（2，﹣1）或（1，0）或（，）． 理由：由（1）得，抛物线的对称轴为直线x＝1， 如图2，作点C（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点P，则P（2，﹣1），设直线x＝1交x轴于点Q，连结CQ、PQ， ∵∠COQ＝90°，Q（1，0）， ∴OC＝OQ＝1， ∴PQ＝CQ， ∵PQ＝2， ∴PQ2+CQ2＝PQ2＝4， ∴△PCQ是等腰直角三角形，且点Q在此抛物线的对称轴上，此时P（2，﹣1）； 如图3，点P为抛物线与x轴的交点，作CQ⊥CP交直线x＝1于点Q，连结PQ，作QR⊥y轴于点R， ∵∠POC＝∠CRQ＝∠PCQ＝90°， ∴∠OCP＝∠CRQ＝90°﹣∠RCQ， ∵OC＝RQ＝1， ∴△POC≌△CRQ（ASA）， ∴△PCQ是等腰直角三角形， 当n＝0时，则m2﹣2m﹣1＝0， 解得m1＝1，m2＝1（不符合题意，舍去）， ∴点P的坐标为（1，0）； 如图4，等腰直角三角形PCQ，点Q在直线x＝1上，且∠CPQ＝90°， ∴PQ＝PC， 作PH⊥x轴，作CH⊥PH于点H，QL⊥PH于点L， ∵∠L＝∠H＝∠CPQ＝90°， ∴∠PQL＝∠CPH＝90°﹣∠QPL， ∴△PQL≌△CPH（AAS）， ∴QL＝PH， ∵P（m，m2﹣2m﹣1），H（m，﹣1）， ∴PH＝m2﹣2m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m， ∴QL＝m﹣1， ∴m﹣1＝m2﹣2m， 解得m1，m2（不符合题意，舍去）， ∴P（，）， 综上所述，点P的坐标为（2，﹣1）或（1，0）或（，）． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、同角的余角相等、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 4．（2024春•鄞州区校级期末）如图1，已知抛物线C：y，点F（0，1），过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，过点F且与l垂直的直线交抛物线C于D，E两点，其中B、D在y轴右侧，M，N分别为AB，DE的中点． （1）证明：直线MN过定点． （2）如图2，设G为直线AE与直线BD的交点，连结GM、GN， ①证明：S△GMN；②求△GMN面积的最小值． 【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），求出M，N得坐标，求出直线MN解析式为，即可解答； （2）①取AD中点为H，连接HM，DM，GH，AN，记GM交AD于点K，GN交AD于点J，由MH∥BD，得S△GDH＝S△DGM，则S△KGH＝S△KDM，同理可得S△GJH＝S△JAN，则，同理可得，即可证明； ②由得AB＝4（k2+1），同理可得，求出S，当且仅当k＝1或k＝﹣1时，等号成立，即可解答． 【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），D（x4，y4），且M，N分别为AB，DE的中点， 则，， ∵F（0，1）， 设直线AB的解析式为y＝kx+1， 根据题意得， 整理得x2﹣4kx﹣4＝0， ∴x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4， ∴， ∴M（2k，2k2+1）； ∵F（0，1），AB⊥DE， ∴， 设直线DE的解析式为， 根据题意得， 整理得x2+x﹣4＝0， ∴，x3•x4＝﹣4， ∴， ∴， 设直线MN的解析式为y＝px+q， 根据题意得， 解得， ∴直线MN解析式为， 当x＝0，y＝3， 故直线MN过定点（0，3）． （2）①解：取AD中点为H，连接HM，DM，GH，AN，记GM交AD于点K，GN交AD于点J，如图， ∵点M为AB中点， ∴MH∥BD， ∴S△GDH＝S△DGM， ∴S△KGH＝S△KDM， 同理可得S△GOH＝S△AAN， ∴S△GMN＝S四边形ANMD， ∵DE⊥AB， ∴， 同理可得， ∵M，N分别为AB，DE的中点， ∴， ∴； ②证明：， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab， 当且仅当a＝b时等号成立， ∴， 当且仅当k＝1或k＝﹣1时，等号成立， ∴△GMN面积的最小值为8． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，韦达定理，三角形中位线定理，两点之间距离公式等，化简计算量较大，正确添加辅助线，细心化简是解题的关键． 题型五 二次函数与特殊四边形结合类压轴题（共2小题） 1．（2024秋•杭州期末）等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与x轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”． （1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0），（1，0），则此抛物线的顶点是 　 　 ； （2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，顶点M（1，2），与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上找一点P，且，请求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使得以A，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由新定义知，AB＝4，AB的中垂线为x＝﹣1，则yMAB＝2，即可求解； （2）求出抛物线的表达式为：yx2+x，由，则直线PB的表达式为：y（x﹣3），即可求解； （3）当AB为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当AM或AQ为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）设抛物线与x轴的两个交点坐标为A（﹣3，0），B（1，0），顶点为M， 则AB＝4，AB的中垂线为x＝﹣1，则yMAB＝2，即点M（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）； （2）由新定义知，AB的中垂线为直线x＝1，AB＝2yM＝4，则点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 将点M的坐标代入上式得：2＝a（1﹣2﹣3），则a， 则抛物线的表达式为：yx2+x， ∵，则直线PB的表达式为：y（x﹣3）， 联立PB和抛物线的表达式得：x2+x（x﹣3）， 解得：x＝3（舍去）或2，即点P（2，）； （3）存在，理由： 设点Q（s，t）， 当AB为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：，即点Q（1，﹣2）； 当AM或AQ为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点Q（﹣3，2）或（5，2）， 综上，Q（1，﹣2）或（﹣3，2）或（5，2）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、平行四边形的性质、解直角三角形等，分类求解是解题的关键． 2．（2024春•海曙区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值． （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）设出点P的坐标，作辅助线，表示出三角形PCQ和三角形PBQ的面积，即可求解． （3）设出点P的坐标，求出P′的坐标，利用菱形的性质即可求解． 【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． 答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q， 设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 则Q（x，﹣x+3）， ∴， 当x时，△CPB的面积最大， 此时，点P的坐标为（），△CPB的面积的最大值为． （3）存在． 如图，设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于点E， 若四边形POP′C是菱形，则OP＝PC， 连接PP′，则PE⊥OC，OE＝CE， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴P（）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作x轴的平行线或y轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值． 题型六 二次函数的其他类型压轴题（共2小题） 1．（2024秋•嵊州市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点为C．P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． （1）求抛物线的函数关系式． （2）当PE＝EF时，求点E的坐标． （3）连结PC，作点E关于PC的对称点E′，若E′落在y轴上，求点E的坐标． 【分析】（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx+3，即可求解； （2）设P（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），则PE＝﹣x2+3x＝EF＝﹣x+3，即可求解； （3）证明四边形EPE′C为菱形，则PE＝﹣x2+3x＝CEx，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx+3，则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y＝﹣x+3； 设P（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3）， ∴PE＝﹣x2+3x＝EF＝﹣x+3，则x＝1或3（舍去）， 即点E（1，2）； （3）∵E点和E′点关于直线PC对称， ∴∠E′CP＝∠ECP，E′C＝CE，E′P＝EP， 又∵PD⊥x轴， ∴PE∥E′C， ∴∠EPC＝∠E′CP， ∴∠EPC＝∠ECP， ∴EP＝EC， ∴EC＝EP＝PE′＝E′C， ∴四边形EPE′C为菱形， 由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y＝﹣x+3； 设P（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3）， ∴PE＝﹣x2+3x＝CEx， 则x＝3， 则点E（3，）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（2024秋•瑞安市校级期末）综合与实践． 【实践操作1】如图1，在矩形纸片ABCD内绘制一条抛物线（部分图象），抛物线与BC交于点E，F，顶点G在AD上，取AB的中点P，连结PG，FG． 【观测发现】CD与抛物线的对称轴GH平行，度量得∠PGF＝90°，EF＝2BE＝4cm． 【实践操作2】如图2，连结BD交FG于点Q，记点Q到AD，BC的距离分别为a，b，此时．将抛物线向右平移，当时停止平移． 【探究结论】 （1）求AB的长． （2）建立合适的直角坐标系，求平移前抛物线的表达式． （3）根据（2）中建立的坐标系，求平移后抛物线的表达式． 【分析】（1）设AP＝BP＝m＞0，根据矩形的性质，得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据二次函数图象抛物线的对称性，结合CD与抛物线的对称轴GH平行，EF＝2BE＝4cm，得出∠AGH＝∠D＝90°，推出HF＝2cm，BH＝4cm，根据矩形的判定，证明四边形ABHG是矩形，得出GH＝AB＝2m，AG＝BH＝4cm，证明出△AGP∽△HGF，得出，得出求解，根据AB＝2m得出答案即可； （2）以BC所在直线为x轴，射线BC方向为正方向，以HG所在直线为y轴，射线HG方向为正方向，建立直角坐标系，根据点G是抛物线的顶点，由（1）得出GH＝AB＝4cm，HF＝2cm，得出顶点G坐标为（0，4），点F坐标为（2，0），设抛物线解析式为y＝nx2+4，把（2，0）代入y＝nx2+4求解，得出平移前抛物线的表达式即可； （3）根据四边形ABCD是矩形，得出DG∥BF，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，推出△DGQ∽△BFQ，得出．平移前，由（1）得HF＝2cm，AG＝4cm，得出BF＝6cm，则，进一步得出AG＝AG+DG计算；设向右平移了xcm，则DG＝（5﹣x）cm，BF＝（6+x）cm，则，得出 求解，最后得出平移后抛物线的表达式即可． 【解答】解：（1）在矩形纸片ABCD内，取AB的中点P， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵CD与抛物线的对称轴GH平行，EF＝2BE＝4cm， ∴∠AGH＝∠D＝90°，∠GHF＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°， HF＝EH＝BE2（cm），BH＝BE+EH＝2+2＝4（cm）， ∴∠AGP+∠PGH＝90°，∠A＝∠GHF，四边形ABHG是矩形， 设AP＝BP＝m＞0， ∴GH＝AB＝AP+BP＝m+m＝2mcm，AG＝BH＝4cm， ∵∠PGF＝90°， ∴∠HGF+∠PGH＝90°， ∴∠AGP＝∠HGF， ∴△AGP∽△HGF， ∴， ， 解得：m＝2或﹣2（不合题意，舍去）， ∴AB＝2m＝2×2＝4（cm）； （2）如图，以BC所在直线为x轴，射线BC方向为正方向，以HG所在直线为y轴，射线HG方向为正方向，建立直角坐标系， ∵点G是抛物线的顶点，由（1）得：GH＝AB＝4cm，HF＝2cm， ∴顶点G坐标为（0，4），点F坐标为（2，0）， 设抛物线解析式为y＝nx2+4，把（2，0）代入得： 4n+4＝0， 解得：n＝﹣1， ∴平移前抛物线的表达式为y＝﹣x2+4； （3）∵四边形ABCD是矩形， ∴DG∥BF， ∴△DGQ∽△BFQ， ∴． 平移前，由（1）得HF＝EH＝BE＝2cm，AG＝4cm， ∴BF＝2+2+2＝6（cm）， ∵， ∴平移前，DGBF6＝5（cm）， ∴AG＝AG+DG＝4+5＝9（cm）； 设向右平移了xcm， ∴平移后，DG＝（5﹣x）cm，BF＝（6+x）cm， ∵， ， 解得：x＝2， ∴抛物线向右平移了2cm， ∴平移后抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+4，即y＝﹣x2+4x． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点推理、数形结合是解题的关键． $专题04 二次函数解答题六大综合题专练 题型1 二次函数代数类考点综合压轴题（常考点）（重点） 题型2 二次函数与实际结合类综合题（重点）（难点） 题型3 二次函数新定义类压轴题（难点） 题型4 二次函数与三角形结合类压轴题（常考点）（难点） 题型5 二次函数与四边形结合类压轴题（重点） 题型6 二次函数的其他类型压轴题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数代数考点综合压轴题（共9小题） 1．（2024秋•临海市期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，﹣2），且对称轴为直线x＝1． （1）求这个二次函数的解析式． （2）图象上的点（x，x）称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标． （3）若P（x，y）是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求y的最大值与最小值的差． 2．（2024秋•慈溪市期末）已知二次函数，c为常数）的图象经过点A（3，2），对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式． （2）求二次函数的最大值． （3）当0≤x≤t时，二次函数的最大值与最小值的差为，求t的取值范围． 3．（2024秋•镇海区期末）已知二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2（a为常数）． （1）若a＝1，求该二次函数图象的对称轴； （2）若a＞0，该二次函数在﹣1≤x≤2时有最小值2，求a的值； （3）将二次函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：y1＝2（x﹣h）2．若2≤x≤m时，y1≤x恒成立，求m的最大值． 4．（2024秋•余杭区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y2的值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 5．（2024秋•余姚市期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）． （1）若二次函数的图象经过点（2，6），求二次函数的表达式； （2）若a＜0，当x时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围； （3）若二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，求a的值． 6．（2024秋•拱墅区期末）在直角坐标系中，设函数y1＝（x﹣m）（x﹣n）y2＝x2+mx+n，其中m≠n． （1）若函数y1的图象过点（0，2），函数y2的图象过点（1，4），求m2+n2的值． （2）若0＜m＜n＜4，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由． （3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求m，n的值． 7．（2024秋•义乌市校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，且a＞0）． （1）若抛物线经过A（1，5），B（﹣2，﹣1），求二次函数解析式． （2）在（1）的条件下，抛物线上有一点P，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点P的坐标． （3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令w＝b2﹣2b+4a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 8．（2024秋•西湖区期末）已知二次函数，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． （1）求b的值． （2）已知点A（x1，m）在二次函数的图象上，点B（x2，n）在二次函数的图象上． ①若x2＝2x1+1，求n﹣m的最大值． ②若x2﹣x1＝t，t＜0且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，求t的值． 9．（2024秋•东阳市期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P（m，y1），Q（m+3，y2）在该抛物线上，已知当点P在点C处时，点Q恰与点B重合． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当点P在第二象限内时，求y2的取值范围． （3）若点也在该抛物线上，且恒有y2＜y1＜3≤y3，求m的取值范围． 题型二 二次函数与实际结合类综合题（共3小题） 1．（2024秋•鄞州区期末）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形ABCD，AB＝AD，CB＝CD，风筝的骨架由3条竹棒AC、BD、EF组成，其中E，F分别是CB和CD的中点．现有一根总长为90cm的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面ABCD的材料，作了如下探究： （1）设筝面ABCD的面积为s（cm2），骨架BD的长度为x（cm），求s关于x的函数关系式； （2）在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； （3）利用图象分析，当骨架AC长度大于BD长度且筝面的面积超过432cm2时，骨架BD的长度范围． 2．（2024秋•临海市期末）综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度/cm 80 90 100 110 120 反弹高度/cm 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式． 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为h0（单位：m）处落下到达地面的运动过程中，其高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）的函数关系是，其中g为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为h0（单位：m）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量h0，g的式子表示）． 任务3：篮球从100cm处下落，g的值取10m/s2．当篮球反弹高度小于2cm时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第n次反弹最高点运动到第n+1次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数n的式子表示）． 3．（2024秋•江北区期末）如图1，过点A作AB⊥直线l于点B，过点A作AC∥y轴交直线l于点C．线段AC的长度称为点A到直线l的竖直距离． 【探索】 ①如图1，设点A，C的坐标为A（x，yA），C（x，yC），则点A到直线l的竖直距离即为AC的长度，则AC＝ yA﹣yC ．（用含yA，yC的代数式表示） ②当直线l与x轴不平行时，点A到直线l的垂直距离AB与点A到直线l的竖直距离AC存在一定的数量关系，若此时直线l：y，则AB＝　 　 AC． 【应用】 如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段OC），其倾斜角为30°，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线y＝﹣x2x，其最远处落在草坪的C处．若在山上种一棵树MN（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架PN，请求出支架PN的最大值． 【拓展】 如图3，原有斜坡倾斜角30°不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若OC＝12m，为了保证灌溉山上种植的这棵树MN（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高MN的最大值是多少？ 题型三 二次函数新定义类压轴题（共2小题） 1．（2024秋•温岭市期末）定义：对于点P（m，p）与抛物线y＝ax2+bx+c上一点Q（m，q），若|p﹣q|≤1，则称点P（m，p）为抛物线y＝ax2+bx+c的一个纵邻点．例如：对于点（2，3.5）和抛物线y＝x2上的点（2，4）满足|3.5﹣4|≤1，则点（2，3.5）是抛物线y＝x2的一个纵邻点． （1）试判断（1，3）是不是抛物线y＝2x2﹣1的纵邻点，并说明理由； （2）若E（e，6），F（f，6）都是抛物线y＝2x2﹣1的纵邻点，求e﹣f的最大值； （3）若点A坐标为（n，h），点B坐标为（n+1，h），线段AB上的所有点都是抛物线y＝（x﹣2）2+1的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值． 2．（2024秋•长兴县期末）定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内有最大值m和最小值n，则m﹣n称为极差值，记作D[x1，x2]＝m﹣n．如函数y＝2x，在﹣1≤x≤2范围内，该函数的最大值是4，最小值为﹣2，即D[﹣1，2]＝4﹣（﹣2）＝6．请根据以上信息，完成下列问题： （1）已知二次函数y＝x2+bx+5的图象经过点（2，﹣3）． ①求该函数的表达式； ②求该函数的D[﹣1，3]的值． （2）已知函数y1＝kx（k＞0），函数y2＝（a﹣2）x2﹣2ax+a2﹣4的图象经过点（0，0），且两个函数的相等，求k的值． 题型四 二次函数与三角形结合类压轴题（共4小题） 1．（2024秋•西湖区期末）如图，已知抛物线ybx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024秋•温州期末）如图，抛物线y＝ax2+2x+3与x轴的一个交点是A（3，0），与y轴交于B点，点P在抛物线上． （1）求a的值； （2）过点P作x轴的垂线交直线AB于点E，设点P的横坐标为m（0＜m＜3），PE＝l，求l关于m的函数表达式； （3）当△PAB是直角三角形时，求点P的坐标． 3．（2024春•海曙区校级期末）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴交于点C．已知抛物线顶点纵坐标为﹣2．点P在此抛物线上，其坐标为（m，n）． （1）求抛物线的解析式． （2）当﹣1≤m≤2时，结合图象，直接写出n的取值范围． （3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1． ①求m的取值范围． ②以PC为边作等腰直角三角形PCQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点P的坐标． 4．（2024春•鄞州区校级期末）如图1，已知抛物线C：y，点F（0，1），过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，过点F且与l垂直的直线交抛物线C于D，E两点，其中B、D在y轴右侧，M，N分别为AB，DE的中点． （1）证明：直线MN过定点． （2）如图2，设G为直线AE与直线BD的交点，连结GM、GN， ①证明：S△GMN；②求△GMN面积的最小值． 题型五 二次函数与特殊四边形结合类压轴题（共2小题） 1．（2024秋•杭州期末）等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与x轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”． （1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0），（1，0），则此抛物线的顶点是 　 　 ； （2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，顶点M（1，2），与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上找一点P，且，请求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使得以A，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024春•海曙区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值． （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 二次函数的其他类型压轴题（共2小题） 1．（2024秋•嵊州市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点为C．P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． （1）求抛物线的函数关系式． （2）当PE＝EF时，求点E的坐标． （3）连结PC，作点E关于PC的对称点E′，若E′落在y轴上，求点E的坐标． 2．（2024秋•瑞安市校级期末）综合与实践． 【实践操作1】如图1，在矩形纸片ABCD内绘制一条抛物线（部分图象），抛物线与BC交于点E，F，顶点G在AD上，取AB的中点P，连结PG，FG． 【观测发现】CD与抛物线的对称轴GH平行，度量得∠PGF＝90°，EF＝2BE＝4cm． 【实践操作2】如图2，连结BD交FG于点Q，记点Q到AD，BC的距离分别为a，b，此时．将抛物线向右平移，当时停止平移． 【探究结论】 （1）求AB的长． （2）建立合适的直角坐标系，求平移前抛物线的表达式． （3）根据（2）中建立的坐标系，求平移后抛物线的表达式． $