专题01 长方体和正方体（必备知识+十四大题型+分层训练）（期末复习讲义）六年级数学上学期苏教版

该小学数学期末复习讲义以表格梳理核心考点，分知识点系统呈现长方体和正方体的特征、公式、切拼规律等内容，构建清晰知识脉络，突出表面积体积计算、涂色小正方体规律等重难点，帮助学生直观把握知识内在联系。 讲义亮点在于分14类题型设计例题与变式，如“立体图形的切拼”“不规则物体体积测量”等，培养空间观念和推理意识。分层练习覆盖基础、重难、拓展，适配不同学生，教师可据此实施精准教学，助力学生提升数学思维与应用能力。

专题01 长方体和正方体（期末复习讲义） 【原卷版】 核心考点 复习目标 考情规律 长方体、正方体的面、棱、顶点的特征，以及两者的关系。 清晰辨别长、正方体特点，掌握两者异同与关系，能准确描述特征。 多以填空、选择形式考查基础概念，难度较低。 长、正方体棱长和、表面积、体积的计算公式及运用。 牢记相关公式，能根据题目灵活运用计算长、正方体棱长和等。 常见于填空、选择、解答题，注重公式运用和计算能力。 长、正方体棱长变化时表面积、体积的变化规律，以及切拼后表面积的变化。 理解变化规律，能解决图形切拼、棱长变化后的相关计算。 多在填空、选择题中出现，有一定思维难度。 大正方体切成小正方体后，三面、两面、一面涂色及无涂色小正方体的个数规律。 掌握涂色规律，能根据棱长平均分情况计算各类小正方体个数。 常出现在填空、选择题，对空间思维要求较高。 知识点01：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点02：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。 （2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 知识点03：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点04：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点05：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是1000。 立方分米立方米，它们进率是1000。 立方分米立方厘米，它们进率是1000。 题型一 长方体表面积的计算与应用 【例1】（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图是一个长方体的展开图，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式】（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）往水里放入一些鹅卵石，水面上升了3厘米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 题型二 正方体表面积的计算与应用 【例2】（24-25六年级上·江苏常州·期末）用铁丝焊接成如图这个长方体框架（焊接处忽略不计），至少需要( )厘米铁丝；如果用这些铁丝焊接成一个正方体，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式】（23-24六年级上·山西临汾·期末）用三个表面积都是36平方厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 题型三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例3】（24-25六年级上·山西临汾·期末）在一个长方体木块上挖掉一个棱长1dm的小正方体（如图），则剩下部分的表面积是( )dm2。 【变式】（24-25六年级上·山西临汾·期末）将一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体，按图中阴影面切一刀。下面（    ）的切法增加的表面积最大。 A． B． C． 题型四 组合体的表面积（长方体、正方体) 【例4】（22-23六年级上·江苏南通·期末）把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积是（    ）。 A．81cm2 B．90cm2 C．99cm2 D．108cm2 【变式】下图是用棱长1厘米的小正方体拼成的，下图中物体表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 题型五 长方体的体积 【例5】（24-25六年级上·福建宁德·期末）在课堂上老师教大家怎样测量一条金鱼的体积，这条金鱼原来在一个长6dm、宽4dm、高5dm的长方体鱼缸中，测得水深18cm，老师把鱼捞出后，水面下降了2cm。你能根据这些信息求出这条金鱼的体积吗？（鱼缸厚度忽略不计） 【变式】（24-25六年级上·江苏镇江·期末）一个花坛（如图），底面是边长2米的正方形，高0.8米。 （1）这个花坛的占地面积是多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ 题型六 正方体的体积 【例6】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）如下图，在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．54 B．72 C．84 D．90 【变式】（24-25六年级上·江苏镇江·期末）一个长8分米、宽8分米、高5分米的长方体收纳盒，最多能放入（    ）块棱长为2分米的正方体积木块。 A．30 B．32 C．45 D．40 题型七 体积的等积变形（长方体、正方体) 【例7】（23-24六年级上·湖南邵阳·期末）把一块棱长是6分米的正方体钢锭熔铸成一个长为1.2米，宽为6分米的长方体钢柱，这根钢柱的高是多少分米？ 【变式】（22-23六年级上·湖南邵阳·期末）把一个棱长6分米的正方体容器里满容器的水倒入一个长8分米，宽5分米，高25分米的容器里，水深多少分米？ 题型八 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【例8】（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）一个长方体（如图），如果高增加3dm，就变成了棱长是9dm的正方体。表面积增加了( )dm2，体积增加了( )dm3。 【变式】（23-24六年级上·安徽合肥·期中）明明在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个1立方厘米的小正方体（如图），这个玻璃容器的容积是( )立方厘米，还要( )个这样的小正方体才能刚好摆满这个盒子。 题型九 组合体的体积（长方体、正方体) 【例9】（22-23五年级下·河南新乡·期中）计算下列图形的体积。（单位：cm） 【变式】（23-24六年级下·山西大同·期末）晓晓用同样大的正方体摆了一个物体，如下图所示。这个物体从( )面看到的图形是。如果每个正方体的棱长是1厘米，那么这个物体的体积是( )立方厘米。 题型十 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例10】（24-25六年级上·山西临汾·期末）某品牌的牛奶采用一种无菌纸质的长方体密封包装，这种包装可以百分之百再回收利用。李静从外面量，盒子长5.5cm，宽4.5cm，高10cm。盒子的体积是( )。盒面注明“净含量250mL”，商家的这项说明( )（填“真实”或“不真实”）。 【变式】（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）一个无盖的长方体铁皮油箱，长2.4米，宽0.6米，高0.5米。 （1）做这个油箱至少要用铁皮多少平方米？ （2）如果每1.2升油重1千克，这个油箱最多能装油多少千克？（铁皮厚度忽略不计） 题型十一 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【例11】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）一个无盖长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽20厘米，高30厘米。 （1）制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）现要清洗这个鱼缸，从鱼缸中取出沙石、水草、鱼，发现水面下降了3.5厘米，这些沙石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 【变式】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）小红周末在家做了一个实验，实验步骤如下 第一步：准备了一个长方体的玻璃缸，从里面量出玻璃缸的长10厘米，宽8厘米，高15厘米。 第二步：倒入高是8厘米的水。 第三步：把一块石头完全浸没水中，出现两个面是正方形。 请你根据以上信息计算：（1）石头的体积是多少立方厘米？ （2）这时候水与容器的接触面是多少平方厘米？ 题型十二 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【例12】（23-24六年级上·河南新乡·期末） 0.09立方分米＝( )毫升    32平方分米＝( )平方厘米 4立方米60立方分米＝( )立方米 【变式】（20-21六年级上·江苏淮安·期末） 700立方米＝( )立方分米             ( )立方米＝6升 4.082立方分米＝( )毫升        900mL＝( )L 题型十三 体积与容积单位间的进率及换算 【例13】（24-25六年级上·江苏扬州·期末）看下图填空。1个小球的体积是( )，1个大球的体积是( )。 【变式】（24-25六年级上·山西大同·期中）冬冬要测量一块不规则石头的体积。他先在下面的长方体容器中注入800毫升水，再将石头放入容器里，石头完全浸没水中，此时测得容器中水面高度为5.8厘米。这块石头的体积是（    ）立方里米。 A．128 B．228 C．928 题型十四 表面涂色的正方体 【例14】（24-25六年级上·江苏扬州·期末）如图，几何体是由棱长是1厘米的正方体搭成的。它的表面积是( )平方厘米；至少再添上( )个这样的小正方体才能补成一个大的正方体。若把原几何体的外表（包括底面）全部涂上色，再把它们分开，有( )个小正方体的三面是涂色的。 【变式】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）李师傅将一个棱长为18厘米的正方体木块表面涂满了红色，并将它切成棱长为3厘米的小正方体木块，切完之后发现，有些木块上有颜色，有些则没有。此时三面涂有红色的正方体小木块有( )块，一面涂有红色的正方体小木块有( )块。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·江苏苏州·期末）如下图，是一件长方体商品包装盒上的说明，这件商品可能是（    ）。 外形尺寸长×宽×高（mm） 506×620×1280 A．橡皮 B．书包 C．冰箱 D．茶杯 2．（24-25六年级上·江苏常州·期末）某产品外包装上标注了“包装尺寸565×618×1875mm”的字样，这个产品最有可能是（    ）。 A．手机 B．微波炉 C．液晶电视 D．冰箱 3．（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）一个棱长是5厘米的正方体，它的体积是（    ）立方厘米；一个正方体的底面积是20平方米，它的表面积是（    ）平方米。 A．125；120 B．150；125 C．216；120 D．125；100 4． （24-25六年级上·山西临汾·期末） 25分＝( )时    450＝( )L    1.15＝( ) 5． （24-25六年级上·海南儋州·期末） 0.05千克＝( )克    30分＝( )小时   ＝( )mL＝( )L 6．（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）现有12个小正方体，至少再添15个小正方体才能拼成一个大正方体。( )（判断对错） 7．（24-25六年级上·江苏·课后作业）用一个杯子往两个空瓶子里倒水，第一个瓶子最多能装8杯水，第二个瓶子最多能装5杯水。第一个瓶子的容积大些。( )（判断对错） 8．（23-24五年级下·广东江门·期中）求下列长方体和正方体的表面积及体积。 9．（22-23六年级上·江苏镇江·期末）光明小学准备修建一个长6米，宽3米，深50厘米的沙坑。 （1）如果要在沙坑的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）如果要在沙坑里填满黄沙，准备黄沙9吨，够不够？（每立方米黄沙重2.4吨） 10．（22-23六年级上·江苏连云港·期末）一个密封长方体玻璃缸，存水的空间长6分米、宽5分米、高4分米，现在缸里的水深3分米。如果竖起来（如图），缸里水深多少分米？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·福建宁德·期末）下面三幅图中，能围成长方体或者正方体的有哪些？（    ） A．只有①② B．只有②③ C．只有①③ D．①②③ 2．（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图是一个无盖的长方体，计算它的表面积错误的是（    ）。 A．12×8×2＋8×5×2＋12×5 B．（12＋5）×2×8＋12×5 C．（12×5＋12×8＋8×5）×2 D．（12×5＋12×8＋8×5）×2－12×5 3．（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图中的物体是由若干个同样大的小正方体摆成的，至少再添加（    ）个完全相同的小正方体，才可以拼成一个大正方体。 A．11 B．18 C．19 D．27 4．（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图中小正方体棱长都是1厘米，按下面的规律排列。 (1)图②的表面积是( )平方厘米，图③的表面积是( )平方厘米。 (2)由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是( )平方厘米。 5．（24-25六年级上·江苏苏州·期末）数学实验课上，同学们正在测量铁球体积，步骤如下： （1）取一个长20厘米，宽15厘米的长方体容器，注入部分水（如图①）； （2）放入甲球，甲球完全浸没在水中，水面上升了4厘米（如图②）； （3）再放入乙球，这时有部分水溢出（如图③）； （4）取出乙球，这时水面距离容器口6厘米（如图④）。 甲球的体积是( )立方厘米，乙球的体积是( )立方厘米。 6．（24-25六年级上·江苏·期末）至少要8个小正方体才能堆成一个较大的正方体。( )（判断对错） 7．（24-25五年级下·江苏·假期作业）计算体积和表面积。（单位：cm） 8．（24-25六年级上·江苏苏州·期末）小小装修师装修客厅。根据图中数据回答下列问题。 （1）上面是小宁家长方体客厅的设计图，客厅的门窗和电视背景墙一共有16平方米，如果要粉刷客厅的四面墙壁和天花板，粉刷的面积有多少平方米？ （2）这间客厅所占的空间是多少立方米？ 9．（24-25六年级上·山西临汾·期末）下图是一个长6分米、宽5分米、高4分米的长方体无盖玻璃鱼缸。 （1）制作这样一个鱼缸，至少需要玻璃多少平方分米？ （2）要使鱼缸内水面高3分米，需要注入水多少升？ （3）放入20条鱼后，水面上升了0.4分米，平均每条鱼的体积是多少立方分米？ 10．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）文化广场中心有一个“百花争艳”花坛，从外面量，长3.4米，宽1.2米，高0.5米。 （1）给这个花坛的四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）如果花坛四壁厚0.2米，那么将花坛内填满土，需要泥土多少立方米？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图是（    ）。 A．B． C． D． 2．（23-24六年级上·山西太原·期末）如图，把这个长方体切成两个小长方体，下面说法不正确的是（    ）。 A．体积不变，表面积增加40平方厘米 B．体积不变，表面积增加48平方厘米 C．体积不变，表面积增加50平方厘米 D．体积不变，表面积增加60平方厘米 3．（23-24六年级上·江苏扬州·期末）图中，图2是图1的展开图，“？”代表的是（    ）号面。 A．6 B．4 C．3 D．2 4．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）下图是用棱长为1厘米的正方体摆成的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 5．（23-24六年级上·江苏扬州·期末）有一个上、下两个面是正方形的长方体饼干盒，量出它的两条棱长分别是6厘米和20厘米，这个饼干盒的表面积最小是( )平方厘米，体积最大是( )立方厘米。 6．（23-24六年级上·江苏·期末）下图是一个长方体的表面展开图,求这个长方体的表面积和体积。 7．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）为了引水灌溉，张圩村修建了一个长80米的水槽，水槽的横截面是一个边长8分米的正方形。 （1）如果要在水槽内壁的底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）引水灌溉时，如果水槽内的水深6分米，水流速度是25米/分，这个水槽1小时可以引水多少立方米？ 8．（24-25六年级上·江苏南京·期末）（1）小明用棱长1厘米的小正方体摆成一个立体图形（如图），请画出这个立体图形的前面、上面、右面。 （2）这个立体图形的体积是（    ）立方厘米；表面积是（    ）平方厘米。 （3）至少移动其中（    ）个小正方体可以将这个立体图形变成一个体积不变的长方体。 9．（24-25六年级上·河南平顶山·期末）有一个花坛，高0.5米，底面是边长2.4米的正方形，四周用砖砌成砖墙，砖墙厚度0.4米，中间填满泥土。 （1）这个花坛所占的空间有多大？ （2）花坛里大约有泥土多少立方米？ （3）在砖墙的外面和上面贴上瓷片，贴瓷片的面积是多少平方米？ 10．（23-24六年级上·安徽蚌埠·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长50厘米，宽40厘米，高30厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深大约多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） （3）再往水里放入鹅卵石、水草和鱼，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 长方体和正方体（期末复习讲义） 【解析版】 核心考点 复习目标 考情规律 长方体、正方体的面、棱、顶点的特征，以及两者的关系。 清晰辨别长、正方体特点，掌握两者异同与关系，能准确描述特征。 多以填空、选择形式考查基础概念，难度较低。 长、正方体棱长和、表面积、体积的计算公式及运用。 牢记相关公式，能根据题目灵活运用计算长、正方体棱长和等。 常见于填空、选择、解答题，注重公式运用和计算能力。 长、正方体棱长变化时表面积、体积的变化规律，以及切拼后表面积的变化。 理解变化规律，能解决图形切拼、棱长变化后的相关计算。 多在填空、选择题中出现，有一定思维难度。 大正方体切成小正方体后，三面、两面、一面涂色及无涂色小正方体的个数规律。 掌握涂色规律，能根据棱长平均分情况计算各类小正方体个数。 常出现在填空、选择题，对空间思维要求较高。 知识点01：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点02：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。 （2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 知识点03：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点04：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点05：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是1000。 立方分米立方米，它们进率是1000。 立方分米立方厘米，它们进率是1000。 题型一 长方体表面积的计算与应用 【例1】（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图是一个长方体的展开图，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 216 144 【思路引导】由图可知，长方体的长是12厘米，宽是6厘米，1条高加1条宽的和是8厘米，即高是8－6＝2（厘米），根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高”代入数据计算，即可求出长方体的表面积和体积。 【规范解答】8－6＝2（厘米） （12×6＋12×2＋6×2）×2 ＝（72＋24＋12）×2 ＝108×2 ＝216（平方厘米） 12×6×2＝144（立方厘米） 即表面积是216平方厘米，体积是144立方厘米。 【变式】（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高4分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）往水里放入一些鹅卵石，水面上升了3厘米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】（1）92平方分米； （2）2分米； （3）6立方分米 【思路引导】（1）求需要玻璃的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为长方体玻璃鱼缸无盖，所以只需计算长方体5个面的面积； （2）先根据“1升＝1立方分米”把容积单位转化为体积单位，把鱼缸内的水看作一个长方体，再根据“高＝长方体的体积÷长÷宽”求出鱼缸内水的深度； （3）鹅卵石的体积等于放入鹅卵石后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝鱼缸的底面积×上升部分水的高度，由此求出鹅卵石的总体积，计算过程注意统一单位，据此解答。 【规范解答】（1）5×4＋（5×4＋4×4）×2 ＝5×4＋（20＋16）×2 ＝5×4＋36×2 ＝20＋72 ＝92（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃92平方分米。 （2）40升＝40立方分米 40÷5÷4 ＝8÷4 ＝2（分米） 答：水深2分米。 （3）3厘米＝0.3分米 5×4×0.3 ＝20×0.3 ＝6（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是6立方分米。 题型二 正方体表面积的计算与应用 【例2】（24-25六年级上·江苏常州·期末）用铁丝焊接成如图这个长方体框架（焊接处忽略不计），至少需要( )厘米铁丝；如果用这些铁丝焊接成一个正方体，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 120 600 1000 【思路引导】铁丝长度相当于长方体棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝长度，即正方体棱长总和。再根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可。 【规范解答】（15＋10＋5）×4 ＝30×4 ＝120（厘米） 120÷12＝10（厘米） 10×10×6＝600（平方厘米） 10×10×10＝1000（立方厘米） 用铁丝焊接成如图这个长方体框架（焊接处忽略不计），至少需要120厘米铁丝；如果用这些铁丝焊接成一个正方体，这个正方体的表面积是600平方厘米，体积是1000立方厘米。 【变式】（23-24六年级上·山西临汾·期末）用三个表面积都是36平方厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】84 【思路引导】一个正方体有6个正方形的面，3个正方体就有6×3＝18个正方形的面，3个正方体拼成一个长方体，有两个拼接处，就减少了2×2＝4个正方形的面，这个长方体的表面积就是18－4＝14个正方形的面积。从“表面积都是36平方厘米的正方体”可知，用36÷6，就可求出正方体一个面的面积，再求14个面的面积即可。 【规范解答】根据分析，拼图解答如下： 36÷6×（6×3－2×2） ＝6×（18－4） ＝6×14 ＝84（平方厘米） 这个长方体的表面积是84平方厘米。 题型三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例3】（24-25六年级上·山西临汾·期末）在一个长方体木块上挖掉一个棱长1dm的小正方体（如图），则剩下部分的表面积是( )dm2。 【答案】62 【思路引导】分析题意可知：在一个长方体的一个顶点上挖掉一个棱长为1dm的正方体，减少了3个正方形面的面积，同时又增加了3个正方形面的面积。那么它的表面积没有发生变化；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可得解。据此解答即可。 【规范解答】（5×2＋5×3＋2×3）×2 ＝（10＋15＋6）×2 ＝31×2 ＝62（dm2） 所以剩下部分的表面积是62dm2。 【变式】（24-25六年级上·山西临汾·期末）将一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体，按图中阴影面切一刀。下面（    ）的切法增加的表面积最大。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】切一刀增加两个面，切面越大，增加的表面积越大。 A．平行于上下两个面切一刀，增加的表面积＝长×宽×2； B．从左往右斜着切一刀，增加的每个面都大于长×宽； C．平行于前后两个面切一刀，增加的表面积＝长×高×2。 【规范解答】 看图可知，长×宽＞长×高，根据分析，斜着切一刀，增加的每个面都大于长×宽，因此的切法增加的表面积最大。 故答案为：B 题型四 组合体的表面积（长方体、正方体) 【例4】（22-23六年级上·江苏南通·期末）把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积是（    ）。 A．81cm2 B．90cm2 C．99cm2 D．108cm2 【答案】B 【思路引导】如下图：把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，表面积减少了小正方体的2个面。先用54÷6求出小正方体1个面的面积；再用2个小正方体的表面积减去小正方体2个面的面积，即可求出大长方体的表面积。 【规范解答】54÷6＝9（cm2） 54×2－9×2 ＝108－18 ＝90（cm2） 所以，这个大长方体的表面积是90cm2。 故答案为：B 【变式】下图是用棱长1厘米的小正方体拼成的，下图中物体表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 40 13 【思路引导】边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，从前面看有7个小正方形，从上面看有7个小正方形，从右面看有6个小正方形，前后面看到的小正方形个数一样，左右面看到的小正方形个数一样，上下面看到的小正方形个数一样，因此表面积＝（从前面看到小正方体个数＋从上面看到小正方体个数＋从右面看到小正方体个数）×2； 棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，底层7个小正方体，中间1层5个小正方体，最上层1个小正方体，组合体的体积＝小正方体的总个数×小正方体的体积；据此解答。 【规范解答】（7＋7＋6）×2 ＝20×2 ＝40（平方厘米） 7＋5＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 13×1＝13（立方厘米） 即题图是用棱长1厘米的小正方体拼成的，下图中物体表面积是40平方厘米，体积是13立方厘米。 题型五 长方体的体积 【例5】（24-25六年级上·福建宁德·期末）在课堂上老师教大家怎样测量一条金鱼的体积，这条金鱼原来在一个长6dm、宽4dm、高5dm的长方体鱼缸中，测得水深18cm，老师把鱼捞出后，水面下降了2cm。你能根据这些信息求出这条金鱼的体积吗？（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】 4.8立方分米 【思路引导】根据题意，把鱼捞出，水面下降了2厘米，水面下降部分的体积等于这条鱼的体积；水面下降部分是一个长为6分米、宽为4分米、高为5分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这条鱼的体积。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【规范解答】厘米分米 体积： （立方分米） 答：这条金鱼的体积为4.8立方分米。 【变式】（24-25六年级上·江苏镇江·期末）一个花坛（如图），底面是边长2米的正方形，高0.8米。 （1）这个花坛的占地面积是多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ 【答案】（1）4平方米 （2）3.2立方米 【思路引导】（1）底面是边长2米的正方形，根据“正方形面积＝边长×边长”即可求出这个花坛的占地面积； （2）花坛高0.8米，泥土的体积等于花坛的容积，花坛是长方体形状，根据“长方体体积（容积）＝底面积×高”即可求出泥土的体积。 【规范解答】（1）2×2＝4（平方米） 答：这个花坛的占地面积是4平方米。 （2）4×0.8＝3.2（立方米） 答：大约需要泥土3.2立方米。 题型六 正方体的体积 【例6】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）如下图，在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．54 B．72 C．84 D．90 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，长方体的长可以放6个小正方体，宽可以放5个小正方体，高可以放3个小正方体，所以用6×5×3即可计算出一共可以放多少个小正方体，一个小正方体体积是1立方厘米，然后用1×小正方体的个数即可解题。 【规范解答】6×5×3 ＝30×3 ＝90（个） 1×90＝90（立方厘米） 这个玻璃容器的容积是90立方厘米。 故答案为：D 【变式】（24-25六年级上·江苏镇江·期末）一个长8分米、宽8分米、高5分米的长方体收纳盒，最多能放入（    ）块棱长为2分米的正方体积木块。 A．30 B．32 C．45 D．40 【答案】B 【思路引导】需要分别计算长、宽、高的摆放数量，长方体长8分米，小正方体棱长2分米，8÷2＝4，即长能摆4块；长方体宽8分米，8÷2＝4，即宽能摆4块；长方体高5分米，5÷2＝2……1，商为2表示高能摆2层，余数1分米的空间无法容纳完整小正方体，故高只能摆2块。根据“总数量＝长数量×宽数量×高数量”，计算总数量。据此解答。 【规范解答】长：8÷2＝4（块） 宽：8÷2＝4（块） 高：5÷2＝2（块）……1（分米），余数部分无法容纳完整的小正方体，故只能放2块。 总数量：4×4×2 ＝16×2 ＝32（块） 所以最多能放入32块棱长为2分米的正方体积木块。 故答案为：B 题型七 体积的等积变形（长方体、正方体) 【例7】（23-24六年级上·湖南邵阳·期末）把一块棱长是6分米的正方体钢锭熔铸成一个长为1.2米，宽为6分米的长方体钢柱，这根钢柱的高是多少分米？ 【答案】3分米 【思路引导】根据1米＝10分米，高级单位转化为低级单位乘进率，将1.2米化成12分米；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体钢锭的体积，熔铸成长方体后体积不变，根据长方体的体积＝长×宽×高，则高＝体积÷长÷宽，代入求解即可。 【规范解答】1.2米＝12分米 6×6×6÷12÷6 ＝36×6÷12÷6 ＝216÷12÷6 ＝18÷6 ＝3（分米） 答：这根钢柱的高是3分米。 【变式】（22-23六年级上·湖南邵阳·期末）把一个棱长6分米的正方体容器里满容器的水倒入一个长8分米，宽5分米，高25分米的容器里，水深多少分米？ 【答案】5.4分米 【思路引导】水的体积看作是正方体的体积，把水倒入容器后，水的体积相当于长为8分米，宽为5分米，高未知的长方体体积。由水的体积不变，即长方体体积＝正方体体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高。据此求出未知的高。 【规范解答】6×6×6÷（8×5） ＝36×6÷40 ＝216÷40 ＝5.4（分米） 答：水深5.4分米。 题型八 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【例8】（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）一个长方体（如图），如果高增加3dm，就变成了棱长是9dm的正方体。表面积增加了( )dm2，体积增加了( )dm3。 【答案】 108 243 【思路引导】由题意可知，高增加3dm后变成正方体，说明原来长方体的底面是边长为9dm的正方形，如果高增加3dm，那么表面积增加了上面长方体四个侧面的面积，且长方体四个侧面的形状相同，面积相等，每个面都是长为9dm，宽为3dm的长方形，根据“长方形的面积＝长×宽”求出一个面的面积，再乘4求出增加的表面积；上面长方体的长为9dm，宽为9dm，高为3dm，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出增加的体积，据此解答。 【规范解答】9×3×4 ＝27×4 ＝108（dm2） 9×9×3 ＝81×3 ＝243（dm3） 所以，表面积增加了108dm2，体积增加了243dm3。 【变式】（23-24六年级上·安徽合肥·期中）明明在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个1立方厘米的小正方体（如图），这个玻璃容器的容积是( )立方厘米，还要( )个这样的小正方体才能刚好摆满这个盒子。 【答案】 60 50 【思路引导】1立方厘米的小正方体的棱长就是1厘米，由图可知， 这个长方体玻璃容器的长是5厘米，宽4厘米，高3厘米，根据长方体的体积公式，代入数据即可求出长方体的容积。长方体的容积有几立方厘米，就是摆满这个盒子的小正方体的总个数，用总个数减已经摆放的个数即可得解。 【规范解答】 （立方厘米） （个） 这个玻璃容器的容积是60立方厘米，还要50个这样的小正方体才能刚好摆满这个盒子。 题型九 组合体的体积（长方体、正方体) 【例9】（22-23五年级下·河南新乡·期中）计算下列图形的体积。（单位：cm） 【答案】（1）109cm3 （2）700cm3 【思路引导】（1）由图可知，图形是正方体中挖空了一个长方体，图形的体积＝正方体的体积－长方体的体积；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高； （2）图形是由长为12cm，宽为7cm，高为10cm的长方体中，挖空了一个长为7cm，宽为（12－8）cm，高为5cm的小长方体，根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，分别计算出这两个长方体的体积，再相减即可；据此解答。 【规范解答】（1）5×5×5－4×2×2 ＝25×5－8×2 ＝125－16 ＝109（cm3） （2）12×7×10－（12－8）×7×5 ＝84×10－4×7×5 ＝840－28×5 ＝840－140 ＝700（cm3） 【变式】（23-24六年级下·山西大同·期末）晓晓用同样大的正方体摆了一个物体，如下图所示。这个物体从( )面看到的图形是。如果每个正方体的棱长是1厘米，那么这个物体的体积是( )立方厘米。 【答案】 上 6 【思路引导】根据观察物体的方法，这个物体从上面看到的图形是2层，上层一行4个小正方形，下层1个小正方形，与上层左起第二个小正方形对齐。结合题意，如果每个正方体的棱长是1厘米，那么每个正方体的体积是1立方厘米，这个物体一共有6个小正方体，据此求出几何体的体积即可。 【规范解答】6×（1×1×1） ＝6×1 ＝6（立方厘米） 这个物体从上面看到的图形是。如果每个正方体的棱长是1厘米，那么这个物体的体积是6立方厘米。 题型十 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例10】（24-25六年级上·山西临汾·期末）某品牌的牛奶采用一种无菌纸质的长方体密封包装，这种包装可以百分之百再回收利用。李静从外面量，盒子长5.5cm，宽4.5cm，高10cm。盒子的体积是( )。盒面注明“净含量250mL”，商家的这项说明( )（填“真实”或“不真实”）。 【答案】 247.5 不真实 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，求出盒子的体积；1＝1mL，将标注的净含量与盒子的体积比较，标注的净含量＞盒子的体积，商家的这项说明不真实；标注的净含量＜盒子的体积，商家的这项说明真实。 【规范解答】5.5×4.5×10＝247.5（） 247.5＝247.5mL 250＞247.5 盒子的体积是247.5。盒面注明“净含量250mL”，商家的这项说明不真实。 【变式】（24-25六年级上·贵州贵阳·期末）一个无盖的长方体铁皮油箱，长2.4米，宽0.6米，高0.5米。 （1）做这个油箱至少要用铁皮多少平方米？ （2）如果每1.2升油重1千克，这个油箱最多能装油多少千克？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】（1）4.44平方米（2）600千克 【思路引导】（1）无盖长方体铁皮面积是5个面的面积和，即长×宽＋（长×高＋宽×高）×2。 （2）先算油桶容积（长×宽×高），换算成升后，用容积÷1.2得到装油质量。 【规范解答】（1）2.4×0.6＋（2.4×0.5＋0.6×0.5）×2 ＝1.44＋（1.2＋0.3）×2 ＝1.44＋1.5×2 ＝1.44＋3 ＝4.44（平方米） 答：做这个油箱至少要用铁皮4.44平方米。 （2）2.4×0.6×0.5 ＝1.44×0.5 ＝0.72（立方米） 0.72×1000＝720（升） 720÷1.2＝600（千克） 答：这个油箱最多能装油600千克。 题型十一 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【例11】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）一个无盖长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽20厘米，高30厘米。 （1）制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）现要清洗这个鱼缸，从鱼缸中取出沙石、水草、鱼，发现水面下降了3.5厘米，这些沙石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 【答案】（1）5200平方厘米 （2）3500立方厘米 【思路引导】（1）由于是无盖，根据无盖长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解；。 （2）不规则物体体积的计算方法：容器的底面积×水面下降的高度＝物体的体积，把数代入公式即可求解。 【规范解答】（1）20×50＋（50×30＋30×20）×2 ＝20×50＋（1500＋600）×2 ＝20×50＋2100×2 ＝1000＋4200 ＝5200（平方厘米） 答：制作这个鱼缸至少需要玻璃5200平方厘米。 （2）50×20×3.5 ＝1000×3.5 ＝3500（立方厘米） 答：这些沙石、水草和鱼的体积一共是3500立方厘米。 【变式】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）小红周末在家做了一个实验，实验步骤如下 第一步：准备了一个长方体的玻璃缸，从里面量出玻璃缸的长10厘米，宽8厘米，高15厘米。 第二步：倒入高是8厘米的水。 第三步：把一块石头完全浸没水中，出现两个面是正方形。 请你根据以上信息计算：（1）石头的体积是多少立方厘米？ （2）这时候水与容器的接触面是多少平方厘米？ 【答案】（1）160立方厘米 （2）440平方厘米 【思路引导】（1）玻璃缸的长10厘米，宽8厘米，高15厘米。倒入高是8厘米的水，把一块石头完全浸没水中，出现两个面是正方形。 则水面升高为10厘米，则正面和后面均为10×10的正方形； 根据长方体的体积＝长×宽×水面高即可计算放入石头前的体积与放入石头后的体积，二者作差即为石头的体积。 （2）水与容器的接触面是四个侧面和底面，根据（长×水面高＋宽×水面高）×2＋长×宽即可求出这时候水与容器的接触面的面积。 【规范解答】（1）10×10×8－10×8×8 ＝10×8×（10－8） ＝80×2 ＝160（立方厘米） 答：石头的体积是160立方厘米。 （2）（10×10＋8×10）×2＋10×8 ＝（100＋80）×2＋80 ＝180×2＋80 ＝360＋80 ＝440（平方厘米） 答：这时候水与容器的接触面是440平方厘米。 题型十二 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【例12】（23-24六年级上·河南新乡·期末） 0.09立方分米＝( )毫升    32平方分米＝( )平方厘米 4立方米60立方分米＝( )立方米 【答案】 90 3200 4.06 【思路引导】1立方分米＝1000毫升，1平方分米＝100平方厘米，1立方米＝1000平方分米，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【规范解答】0.09立方分米＝90毫升 32平方分米＝3200平方厘米 60立方分米＝0.06立方米 4立方米60立方分米＝4.06立方米 【变式】（20-21六年级上·江苏淮安·期末） 700立方米＝( )立方分米             ( )立方米＝6升 4.082立方分米＝( )毫升                900mL＝( )L 【答案】 700000 0.006 4082 0.9 【思路引导】1立方米＝1000立方分米，大单位换小单位乘进率，即700×1000； 1立方米＝1000升，小单位换大单位除以进率，即6÷1000； 1立方分米＝1000毫升，大单位换小单位乘进率，即4.082×1000； 1L＝1000mL，小单位换大单位除以进率，即900÷1000。 【规范解答】700立方米＝700000立方分米 0.006立方米＝6升 4.082立方分米＝4082毫升 900mL＝0.9L 【考点剖析】本题主要考查容积和体积单位之间的进率，熟练掌握它们的进率并灵活运用。 题型十三 体积与容积单位间的进率及换算 【例13】（24-25六年级上·江苏扬州·期末）看下图填空。1个小球的体积是( )，1个大球的体积是( )。 【答案】 12 30 【思路引导】根据1mL＝1cm3，将mL换算为cm3，78mL＝78cm3，42mL＝42cm3； 观察图2溢出42cm3，即1大球与1小球的体积和为42cm3，图3溢出78cm3，即1大球与4小球的体积和为78cm3，两者的体积差为78－42＝36cm3，对应4－1＝3个小球的体积，因此1个小球的体积为36÷3＝12cm3。 最后用42cm3（1大球与1小球的体积和）减去小球的体积12cm3即可求出大球的体积。 【规范解答】78mL＝78cm3 42mL＝42cm3 78－42＝36（cm3） 36÷（4－1） ＝36÷3 ＝12（cm3） 42－12＝30（cm3） 所以1个小球的体积是12cm3，1个大球的体积是30cm3。 【变式】（24-25六年级上·山西大同·期中）冬冬要测量一块不规则石头的体积。他先在下面的长方体容器中注入800毫升水，再将石头放入容器里，石头完全浸没水中，此时测得容器中水面高度为5.8厘米。这块石头的体积是（    ）立方里米。 A．128 B．228 C．928 【答案】A 【思路引导】已知把石头完全浸没在一个长20厘米、宽8厘米的长方体容器中，此时水面高度为5.8厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出此时石头与水的体积之和，再减去原有水的体积，即是这块石头的体积。注意单位的换算：1毫升＝1立方厘米。 【规范解答】800毫升＝800立方厘米 20×8×5.8 ＝160×5.8 ＝928（立方厘米） 928－800＝128（立方厘米） 这块石头的体积是128立方里米。 故答案为：A 题型十四 表面涂色的正方体 【例14】（24-25六年级上·江苏扬州·期末）如图，几何体是由棱长是1厘米的正方体搭成的。它的表面积是( )平方厘米；至少再添上( )个这样的小正方体才能补成一个大的正方体。若把原几何体的外表（包括底面）全部涂上色，再把它们分开，有( )个小正方体的三面是涂色的。 【答案】 44 11 6 【思路引导】这个几何体是由棱长是1厘米的正方体搭成的，即小正方体的每个面的面积为1×1＝1（平方厘米）。这个物体上面的面积是1×8＝8（平方厘米），右面的面积是1×6＝6（平方厘米），前面的面积是1×8＝8（平方厘米），求出这三个面的面积之和后再乘2，即可求出表面积；数一数，这个几何体一共由2＋6＋8＝16（个）小正方体搭成，将原物体补成的大正方体的棱长至少是3厘米，一共由3×3×3＝27（个）棱长为1厘米的小正方体，则至少添27－16＝11（个）这样的小正方体； 最上面一层有2个小正方体，没有3面涂色的；中间一层有6个小正方体，3面涂色的有3个；下面一层有8个小正方体，3面涂色的也有3个，共3＋3＝6（个）。 【规范解答】1×1＝1（平方厘米） 1×8＝8（平方厘米） 1×6＝6（平方厘米） 1×8＝8（平方厘米） （8＋6＋8）×2 ＝（14＋8）×2 ＝22×2 ＝44（平方厘米） 它的表面积是44平方厘米； 2＋6＋8 ＝8＋8 ＝16（个） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 27－16＝11（个） 至少再添上11个这样的小正方体才能补成一个大的正方体。 3＋3＝6（个） 若把原几何体的外表（包括底面）全部涂上色，再把它们分开，有6个小正方体的三面是涂色的。 如题图，几何体是由棱长是1厘米的正方体搭成的。它的表面积是44平方厘米；至少再添上11个这样的小正方体才能补成一个大的正方体。若把原几何体的外表（包括底面）全部涂上色，再把它们分开，有6个小正方体的三面是涂色的。 【变式】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）李师傅将一个棱长为18厘米的正方体木块表面涂满了红色，并将它切成棱长为3厘米的小正方体木块，切完之后发现，有些木块上有颜色，有些则没有。此时三面涂有红色的正方体小木块有( )块，一面涂有红色的正方体小木块有( )块。 【答案】 8 96 【思路引导】将表面涂满红色的大正方体切成棱长为3厘米的小正方体后，因为每个顶点连接3个面，所以8个顶点所在的小正方体是3面涂有红色的小正方体； 每条棱连接两个面，所以棱所在的小正方体（除去8个顶点的小正方体）是两面涂红色的小正方体；大正方体的每一个面被切成了36块小正方体，扣除棱所在的小正方体的块数就是一面涂有红色的小正方体数（顶点处的小正方体是两条棱共有的，计算时注意避免重复）；再将一面涂有红色的小正方体数乘6即可。 【规范解答】三面涂有红色的正方体小木块在8个顶点处，共8块； 18÷3＝6（个） （6×6－4×6＋4）×6 ＝（36－24＋4）×6 ＝（12＋4）×6 ＝16×6 ＝96（块） 李师傅将一个棱长为18厘米的正方体木块表面涂满了红色，并将它切成棱长为3厘米的小正方体木块，切完之后发现，有些木块上有颜色，有些则没有。此时三面涂有红色的正方体小木块有8块，一面涂有红色的正方体小木块有96块。 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·江苏苏州·期末）如下图，是一件长方体商品包装盒上的说明，这件商品可能是（    ）。 外形尺寸长×宽×高（mm） 506×620×1280 A．橡皮 B．书包 C．冰箱 D．茶杯 【答案】C 【思路引导】先将毫米换算成厘米，即506mm×620mm×1280mm＝50.6cm×62cm×128cm，再判断各选项尺寸是否符合。 【规范解答】506mm×620mm×1280mm＝50.6cm×62cm×128cm A．橡皮是较小的学习用品，常见尺寸通常在几厘米左右，例如长5cm、宽3cm、高1cm等，远小于题目中的商品尺寸，所以该选项不符合； B．书包是用于装学习用品的物品，常见尺寸一般为长40~60cm、宽30~40cm、高20cm左右，题目中商品的高度为128cm，远高于书包的常见高度，所以该选项不符合； C．冰箱是较大的家用电器，常见尺寸中高度一般在100~200cm、宽度和深度在50~80cm左右，题目中商品尺寸符合冰箱的常见尺寸范围，所以该选项符合； D．茶杯是用于盛装饮品的容器，常见高度一般在10~20cm、直径5~10cm左右，远小于题目中的商品尺寸，所以该选项不符合。 故答案为：C 2．（24-25六年级上·江苏常州·期末）某产品外包装上标注了“包装尺寸565×618×1875mm”的字样，这个产品最有可能是（    ）。 A．手机 B．微波炉 C．液晶电视 D．冰箱 【答案】D 【思路引导】已知包装尺寸565×618×1875mm，根据1m＝1000mm，可以换算出物体的高是1.875m，可以以自己的身高作为参照物，下面的物品中只有冰箱的高度接近2m。 【规范解答】A．手机的高度没有2m，排除； B．微波炉的高度也没有2m，排除； C．液晶电视的高度不会高于自己的身高，排除； D．冰箱的高度通常比正常人的身高高一点，符合。 故答案为：D 3．（24-25六年级上·江苏宿迁·期末）一个棱长是5厘米的正方体，它的体积是（    ）立方厘米；一个正方体的底面积是20平方米，它的表面积是（    ）平方米。 A．125；120 B．150；125 C．216；120 D．125；100 【答案】A 【思路引导】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把题目中的数据代入公式计算；正方体或长方体六个面的总面积叫作它的表面积，正方体的表面积＝一个面的面积×6，据此解答。 【规范解答】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 20×6＝120（平方米） 所以，一个棱长是5厘米的正方体，它的体积是125立方厘米；一个正方体的底面积是20平方米，它的表面积是120平方米。 故答案为：A 4． （24-25六年级上·山西临汾·期末） 25分＝( )时    450＝( )L    1.15＝( ) 【答案】 0.45/ 1150 【思路引导】1时＝60分，把25分转换成时作单位，用25除以60，结果转换成最简分数。 1L＝1000ml＝1000cm³，把450 cm³转换成L作单位。只要用450除以1000，也就是把小数点向左移动三位。也可以用分数表示。 1dm³＝1000cm³，把1.15dm³转换成cm³作单位，只要用1.15乘1000，也就是1.15的小数点向右移动三位。 【规范解答】25÷60＝＝＝，所以25分＝时。 450÷1000＝0.45（），所以450cm³＝0.45 L 1.15×1000＝1150，所以1.15dm³＝1150cm³。 5． （24-25六年级上·海南儋州·期末） 0.05千克＝( )克    30分＝( )小时   ＝( )mL＝( )L 【答案】 50 0.5 3500 3.5 【思路引导】（1）1千克＝1000克，大单位换小单位乘进率； （2）1小时＝60分，小单位换大单位除以进率； （3）1dm3＝1000mL，1dm3＝1L，大单位换小单位乘进率。 【规范解答】（1）0.05×1000＝50（克） 所以0.05千克＝50克。 （2）30÷60＝0.5（小时） 所以30分＝0.5小时。 （3）3.5×1000＝3500（mL） 3.5×1＝3.5（L） 所以3.5dm3＝3500mL＝3.5L。 6．（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）现有12个小正方体，至少再添15个小正方体才能拼成一个大正方体。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】要拼成一个大正方体，所需小正方体的数量必须是某个整数的立方。现有12个小正方体，下一个更大的立方数是3×3×3＝27，因此需要再添加27−12＝15个小正方体。 【规范解答】大正方体的每条棱由相同数量的小正方体组成，总数为每条棱上的小正方体数的立方。已知边长为n的大正方体需要n³个小正方体。现有12个小正方体，比2×2×2＝8大，但比3³＝27小，所以至少需要拼成棱长上有3个小正方体的大正方体。所以小正方体数量为3×3×3＝27个，现有12个，需添加27−12＝15个。 故答案为：√ 7．（24-25六年级上·江苏·课后作业）用一个杯子往两个空瓶子里倒水，第一个瓶子最多能装8杯水，第二个瓶子最多能装5杯水。第一个瓶子的容积大些。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个杯子最多能装水的体积，就是杯子的容积，所以第一个瓶子的容积相当于8个杯子的容积，第二瓶子的容积相当于5个杯子的容积，据此比较可知，第一个瓶子的容积比较大。 【规范解答】8＞5 根据分析可知，第一个瓶子的容积大于第二瓶子的容积。原题干说法正确。 故答案为：√ 8．（23-24五年级下·广东江门·期中）求下列长方体和正方体的表面积及体积。 【答案】600cm2，900cm3；96dm2，64dm3 【思路引导】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高。 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。据此解答。 【规范解答】（15×10＋15×6＋10×6）×2 ＝（150＋90＋60）×2 ＝300×2 ＝600（cm2） 15×10×6＝900（cm3） 长方体的表面积是600cm2，体积是900cm3。 4×4×6＝96（dm2） 4×4×4＝64（dm3） 正方体的表面积是96dm2，体积是64dm3。 9．（22-23六年级上·江苏镇江·期末）光明小学准备修建一个长6米，宽3米，深50厘米的沙坑。 （1）如果要在沙坑的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）如果要在沙坑里填满黄沙，准备黄沙9吨，够不够？（每立方米黄沙重2.4吨） 【答案】（1）27平方米；（2）不够 【思路引导】（1）求出沙坑四周的面积和底面的面积之和，即为需要抹水泥的面积； （2）该沙坑看成是一个长为6米，宽为3米，高为50厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出该沙坑的体积，用体积乘2.4吨，所得结果为将沙坑填满需要的黄沙重量，再与9吨比较，即可得出结论。 【规范解答】（1）50厘米＝0.5米 6×3＋6×0.5×2＋3×0.5×2 ＝18＋6＋3 ＝27（平方米） 答：抹水泥的面积是27平方米。 （2）6×3×0.5×2.4＝21.6（吨） 21.6＞9，不够。 答：如果要在沙坑里填满黄沙，准备黄沙9吨不够。 【考点剖析】解答本题的关键是将沙坑看成一个长方体，利用长方体的表面积及体积的计算公式，注意题目中单位的换算。 10．（22-23六年级上·江苏连云港·期末）一个密封长方体玻璃缸，存水的空间长6分米、宽5分米、高4分米，现在缸里的水深3分米。如果竖起来（如图），缸里水深多少分米？ 【答案】4.5分米 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高，根据水缸里的水深3分米代入公式求出水的体积；无论玻璃缸横放还是竖放，玻璃缸中水的体积不变，据此用玻璃缸中水的体积除以竖放时玻璃缸的底面积即可。 【规范解答】6×5×3＝90（立方分米） 90÷（5×4） ＝90÷20 ＝4.5（分米） 答：缸里水深4.5分米。 【考点剖析】掌握长方体的体积公式是解答本题的关键。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·福建宁德·期末）下面三幅图中，能围成长方体或者正方体的有哪些？（    ） A．只有①② B．只有②③ C．只有①③ D．①②③ 【答案】A 【思路引导】正方体有6个面，6个面都是正方形；长方体有6个面，6个面都是长方形，相对的面形状相同，特殊情况下有两个相对的面是正方形，其他四个面都是形状相同的长方形。正方体/长方体的展开图类型：“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；“2—2—2”型：两两相连各错一；“3—3”型：三个两排一对齐，据此解答。 【规范解答】 分析可知，属于正方体“2—3—1”型的展开图，能围成正方体；属于正方体“1—4—1”型的展开图，能围成正方体；有两个相对的面是正方形，而其他四个面的形状不相同，则该图不是长方体的展开图，不能围成长方体，所以能围成长方体或者正方体的只有①②。 故答案为：A 2．（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图是一个无盖的长方体，计算它的表面积错误的是（    ）。 A．12×8×2＋8×5×2＋12×5 B．（12＋5）×2×8＋12×5 C．（12×5＋12×8＋8×5）×2 D．（12×5＋12×8＋8×5）×2－12×5 【答案】C 【思路引导】由图可知，无盖长方体的长为12厘米，宽为5厘米，高为8厘米，根据无盖长方体表面积公式：面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，所以需要少算一个长×宽的面积，据此分析各选项。 【规范解答】无盖长方体表面积：12×5＋（12×8＋5×8）×2 A．12×5＋（12×8＋5×8）×2可以变式为12×8×2＋8×5×2＋12×5，计算正确。 B．是先计算底面周长乘高得出侧面积，再加上底面积，计算正确。 C．多计算了一个长×宽的面积，计算错误。 D．是先计算完整长方体的表面积再减一个长×宽的面积，计算正确。 错误的计算是“（12×5＋12×8＋8×5）×2”。 故答案为：C 3．（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图中的物体是由若干个同样大的小正方体摆成的，至少再添加（    ）个完全相同的小正方体，才可以拼成一个大正方体。 A．11 B．18 C．19 D．27 【答案】B 【思路引导】 观察可知，如果要拼成一个大正方体，大正方体棱长是3个小正方体棱长的长度，即需要3×3×3＝27个小正方体；数一数可知，中有9个小正方体，所以用27减9即可得出还需要添加几个小正方体。 【规范解答】大正方体棱长是3个小正方体棱长的长度。 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 27－9＝18（个） 至少再添加18个完全相同的小正方体，才可以拼成一个大正方体。 故答案为：B 4．（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图中小正方体棱长都是1厘米，按下面的规律排列。 (1)图②的表面积是( )平方厘米，图③的表面积是( )平方厘米。 (2)由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 10 14 (2)4n＋2 【思路引导】（1）图②长方体由2个小正方体排成一排，此时长方体的长为2厘米，宽为1厘米，高为1厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可得其表面积为（2×1＋2×1＋1×1）×2，计算得10平方厘米；图③长方体由3个小正方体排成一排，此时长方体的长为3厘米、宽为1厘米、高为1厘米。其表面积为（3×1＋3×1＋1×1）×2，计算得14平方厘米； （2）由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体，长为n厘米，宽为1厘米，高为1厘米。其表面积为（n×1＋n×1＋1×1）×2，化简即可。 【规范解答】（1）（2×1＋2×1＋1×1）×2 ＝（2＋2＋1）×2 ＝（4＋1）×2 ＝5×2 ＝10（平方厘米） （3×1＋3×1＋1×1）×2 ＝（3＋3＋1）×2 ＝（6＋1）×2 ＝7×2 ＝14（平方厘米） 图②的表面积是10平方厘米，图③的表面积是14平方厘米。 （2）（n×1＋n×1＋1×1）×2 ＝（n＋n＋1）×2 ＝（2n＋1）×2 ＝2n×2＋1×2 ＝（4n＋2）平方厘米 由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是（4n＋2）平方厘米。 5．（24-25六年级上·江苏苏州·期末）数学实验课上，同学们正在测量铁球体积，步骤如下： （1）取一个长20厘米，宽15厘米的长方体容器，注入部分水（如图①）； （2）放入甲球，甲球完全浸没在水中，水面上升了4厘米（如图②）； （3）再放入乙球，这时有部分水溢出（如图③）； （4）取出乙球，这时水面距离容器口6厘米（如图④）。 甲球的体积是( )立方厘米，乙球的体积是( )立方厘米。 【答案】 1200 1800 【思路引导】放入甲球，甲球完全浸没在水中，水面上升4厘米，也就是甲球的体积相当于一个长20厘米，宽15厘米，高4厘米的长方体体积；根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可； 乙球从水里拿出来后，乙球的体积与水面下降部分的体积相同，水面下降的体积可看作长20厘米，宽15厘米，高6厘米的长方体体积；根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可。 【规范解答】20×15×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 所以甲球的体积是1200立方厘米。 20×15×6 ＝300×6 ＝1800（立方厘米） 所以乙球的体积是1800立方厘米。 甲球的体积是1200立方厘米，乙球的体积是1800立方厘米。 6．（24-25六年级上·江苏·期末）至少要8个小正方体才能堆成一个较大的正方体。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】将若干个小正方体，摆成一个大正方体，那么这个正方体的每个棱长上至少有2个小正方体，由此即可计算得出小正方体的总个数，据此判断即可。 【规范解答】根据正方体的特征，大正方体每条棱上的小正方体个数相等，那么这个大正方体的每个棱长上至少有2个小正方体，也就是说至少需要个小正方体才能拼成一个大正方体，本题说法正确。 故答案为：√ 7．（24-25五年级下·江苏·假期作业）计算体积和表面积。（单位：cm） 【答案】60；110 【思路引导】图形的体积等于棱长是4cm的正方体的体积减去长、宽都为1cm、高为4cm的长方体的体积；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 图形的表面积等于棱长是4cm的正方体的表面积减去边长为1cm的两个正方形的面积，再加上4个长为4cm、宽为1cm的长方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽计算即可。 【规范解答】4×4×4－1×1×4 ＝16×4－1×4 ＝64－4 ＝60（） 4×4×6－1×1×2＋1×4×4 ＝16×6－1×2＋4×4 ＝96－2＋16 ＝94＋16 ＝110（） 体积是：60，表面积是110。 8．（24-25六年级上·江苏苏州·期末）小小装修师装修客厅。根据图中数据回答下列问题。 （1）上面是小宁家长方体客厅的设计图，客厅的门窗和电视背景墙一共有16平方米，如果要粉刷客厅的四面墙壁和天花板，粉刷的面积有多少平方米？ （2）这间客厅所占的空间是多少立方米？ 【答案】（1）64平方米； （2）67.2立方米 【思路引导】（1）这个客厅长6米、宽4米。计算粉刷面积时，先算天花板面积（6×4），再算四面墙壁面积（2.8×（4＋4＋6＋6）），然后减去门窗和电视背景墙的16平方米，即可求出粉刷的面积； （2）客厅所占空间是长方体体积，图中长4米、宽6米、高2.8米，长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。 【规范解答】（1）天花板面积：6×4＝24（平方米） 四面墙壁面积：2.8×（4＋4＋6＋6） ＝2.8×20 ＝56（平方米） 门窗和电视背景墙面积16平方米 粉刷的面积：24＋5616 ＝24＋40 ＝64（平方米） 答：粉刷的面积有64平方米。 （2）6×4×2.8＝67.2（立方米） 答：这间客厅所占的空间是67.2立方米。 9．（24-25六年级上·山西临汾·期末）下图是一个长6分米、宽5分米、高4分米的长方体无盖玻璃鱼缸。 （1）制作这样一个鱼缸，至少需要玻璃多少平方分米？ （2）要使鱼缸内水面高3分米，需要注入水多少升？ （3）放入20条鱼后，水面上升了0.4分米，平均每条鱼的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）118平方分米 （2）90升 （3）0.6立方分米 【思路引导】（1）根据题意，已知长方体的玻璃鱼缸长6分米、宽5分米、高4分米，制作这样的无盖鱼缸需要多少玻璃，也就是长方体少了一个顶面。长方体的表面积公式＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），无盖鱼缸需要去掉一个顶面积，也就是去掉一个长×宽，所以该鱼缸的表面积＝长×宽＋2×（长×高＋宽×高），代入计算即可。 （2）往鱼缸内注水，且水面高3分米，注水后在鱼缸内形成的仍是长方体，该长方体与鱼缸的长与宽是相同的，高为3分米。求水的体积，也就是求注水后形成的长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，即6×5×3＝90 （立方分米）；再根据1 立方分米＝1升，进行单位换算即可。 （3）放入20条鱼后，水面上升了0.4分米，求平均每条鱼的体积是多少立方分米。20条鱼放入水中后，水面上升部分水的体积就等于鱼的总体积。也就是求出水面上升后形成的长方体的体积，20条鱼的总体积＝鱼缸长×鱼缸宽×水面上升高度，即6×5×0.4＝12 （立方分米）；平均每条鱼的体积＝鱼的总体积÷鱼的数量，代入计算解答即可。 【规范解答】（1）6×5＋（5×4＋6×4）×2 ＝30＋（20＋24）×2 ＝30＋44×2 ＝30＋88 ＝118（平方分米） 答：至少需要玻璃118平方分米。 （2）6×5×3 ＝90（立方分米） 90立方分米＝90升 答：需要注入水90升。 （3）6×5×0.4÷20 ＝30×0.4÷20 ＝12÷20 ＝0.6（立方分米） 答：平均每条鱼的体积是0.6立方分米。 10．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）文化广场中心有一个“百花争艳”花坛，从外面量，长3.4米，宽1.2米，高0.5米。 （1）给这个花坛的四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）如果花坛四壁厚0.2米，那么将花坛内填满土，需要泥土多少立方米？ 【答案】（1）4.6平方米 （2）1.2立方米 【思路引导】（1）花坛是长方体，四周贴瓷砖的面积是前后左右4个面的面积之和，根据“长×高×2＋宽×高×2”即可求出贴瓷砖的面积。 （2）花坛四壁厚0.2米，因此内部的长和宽需要减去两侧的厚度，高与外部一致（0.5米），最后根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求出泥土的体积。 【规范解答】（1）3.4×0.5×2＋1.2×0.5×2 ＝1.7×2＋0.6×2 ＝3.4＋1.2 ＝4.6（平方米） 答：贴瓷砖的面积是4.6平方米。 （2）3.4－0.2×2 ＝3.4－0.4 ＝3（米） 1.2－0.2×2 ＝1.2－0.4 ＝0.8（米） 3×0.8×0.5 ＝2.4×0.5 ＝1.2（立方米） 答：需要泥土1.2立方米。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图是（    ）。 A．B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据正方体的平面展开图的特征以及正方体纸盒上的图案的位置关系，在正方体纸盒中，三角形、正方形和圆形所在的面是相邻的，即展开图中这三个图形所在的面不能相对，据此分析解答。 【规范解答】A．折叠后三角形所在的面和正方形所在的面是相对的，原正方体中这两个面是相邻的，所以此选项错误； B．折叠后三角形所在的面和正方形所在的面是相对的，原正方体中这两个面是相邻的，所以此选项错误； C．折叠后三角形、正方形和圆形所在的面是相邻的，而且三个面的位置关系和原正方体一致，所以此选项正确； D．折叠后正方形的面朝上时，三角形所在的面在圆形所在的面的左侧，原正方体中三角形所在的面在圆形所在的面的右侧，所以此选项错误。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查正方体展开图的空间想象能力，解题的关键是根据正方体的特征，分析三个特殊面的相对位置关系是否与原正方体纸盒相符。 2．（23-24六年级上·山西太原·期末）如图，把这个长方体切成两个小长方体，下面说法不正确的是（    ）。 A．体积不变，表面积增加40平方厘米 B．体积不变，表面积增加48平方厘米 C．体积不变，表面积增加50平方厘米 D．体积不变，表面积增加60平方厘米 【答案】C 【思路引导】由于切割的方向不同，表面积增加的多少也不相同，分情况讨论。 【规范解答】 按第①种方法切，增加的表面积是（平方厘米）； 按第②种方法切，增加的表面积是（平方厘米）； 按第③种方法切，增加的表面积是（平方厘米）； A、B、D正确，C错误，故答案选C。 【考点剖析】长方体每切一次，增加两个面，每拼接一次，减少两个面。 3．（23-24六年级上·江苏扬州·期末）图中，图2是图1的展开图，“？”代表的是（    ）号面。 A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【思路引导】根据正方体展开图可知，与数字5和1相邻的面的数字是2和4；又2在5和1的上面，4在5和1的下面；所以“？”代表的是4号面；据此解答。 【规范解答】由分析可知：“？”代表的是4号面。 故答案为：B 【考点剖析】本题主要考查正方体展开图，可通过实际操作进行解答。 4．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）下图是用棱长为1厘米的正方体摆成的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 34 10 【思路引导】计算该物体的表面积，需要分别数出各个方向看到的正方形的数量，再乘每个面的面积；计算体积时，数出小正方体的总个数，再乘每个小正方体的体积。据此解答。 【规范解答】从前面和后面看，各有7个小正方形，从左面和右面看，各有5个小正方形，从上面和下面看，各有5个小正方形。 六个面共有小正方形： （7＋5＋5）×2 ＝17×2 ＝34（个） 每个小正方形的面积：1×1＝1（平方厘米） 物体的表面积：1×34＝34（平方厘米） 上层小正方体的个数：1；中层小正方体的个数：4；下层小正方体的个数：5； 小正方体的总个数：1＋4＋5＝10（个） 每个小正方体的体积：1×1×1＝1（立方厘米） 物体的总体积：1×10＝10（立方厘米） 所以这个物体的表面积是34平方厘米，体积是10立方厘米。 【考点剖析】本题主要考查立体几何体中物体的表面积和体积的计算，需要掌握正方体的表面积和体积的计算方法，以及如何通过观察来数出正方体的数量。 5．（23-24六年级上·江苏扬州·期末）有一个上、下两个面是正方形的长方体饼干盒，量出它的两条棱长分别是6厘米和20厘米，这个饼干盒的表面积最小是( )平方厘米，体积最大是( )立方厘米。 【答案】 552 2400 【思路引导】要使饼干盒的表面积最小，那么它的长宽高要最小，即为6厘米，20厘米，6厘米，又因为上、下两个面是正方形所以长和宽相等为6厘米，根据长方体的表面积计算公式代入数值即可解答；体积最大，因为长方体体积＝长×宽×高，所以上、下两个面是正方形所以长和宽相等为20厘米，高为6厘米，代入公式即可解答。 【规范解答】（6×6＋20×6＋20×6）×2 ＝276×2 ＝552（平方厘米） 20×20×6＝2400（立方厘米） 【考点剖析】考查了长方体表面积及体积公式的实际应用。 6．（23-24六年级上·江苏·期末）下图是一个长方体的表面展开图,求这个长方体的表面积和体积。 【答案】388平方米    440立方米 【规范解答】(18-10)÷2=4(米)　(30-4×2)÷2=11(米)　 表面积:(4×11+4×10+11×10)×2=388(平方米)　 体积:10×4×11=440(立方米) 7．（24-25六年级上·江苏镇江·期末）为了引水灌溉，张圩村修建了一个长80米的水槽，水槽的横截面是一个边长8分米的正方形。 （1）如果要在水槽内壁的底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）引水灌溉时，如果水槽内的水深6分米，水流速度是25米/分，这个水槽1小时可以引水多少立方米？ 【答案】（1）192平方米 （2）720立方米 【思路引导】（1）通过题目可知，这个水槽的长是80米，宽是8分米，高是8分米，这个水槽的前面和后面不需要水泥的，由于要往水槽里引水，在底面和侧面抹上水泥，则求这个水槽的3个面的面积，即长×高×2＋长×宽，把数代入公式即可求解。 （2）由于6分米＝0.6米，1分钟能引水：0.6×0.8×25，则1小时的引水量，把1分钟引水量乘60即可。 【规范解答】（1）8分米＝0.8米 80×0.8×2＋80×0.8 ＝128＋64 ＝192（平方米） 答：抹水泥的面积是192平方米。 （2）1小时＝60分 0.6×0.8×25×60 ＝0.48×25×60 ＝12×60 ＝720（立方米） 答：这个水槽1小时可以引水720立方米 【考点剖析】本题主要考查长方体的表面积和体积的公式，要注意这个水槽只有3个面是解题的关键。 8．（24-25六年级上·江苏南京·期末）（1）小明用棱长1厘米的小正方体摆成一个立体图形（如图），请画出这个立体图形的前面、上面、右面。 （2）这个立体图形的体积是（    ）立方厘米；表面积是（    ）平方厘米。 （3）至少移动其中（    ）个小正方体可以将这个立体图形变成一个体积不变的长方体。 【答案】（1）见解析 （2）12立方厘米；40平方厘米 （3）3个 【思路引导】第（1）问，从前面、上面、右面分别观察，画出对应的形状即可；第（2）问，可以用从前面、上面、右面得到的形状的面积和乘2，得到这个几何体的表面积，求体积，直接数出小正方体的个数即可；第（3）问，总共12个小正方体，可以构成长、宽、高分别是3厘米、2厘米、2厘米的长方体。 【规范解答】（1）如图所示： 前面 上面 右面 （2）（立方厘米），（平方厘米） 每个小正方体的体积是1立方厘米，每个小正方形的面积是1平方厘米； 体积：该几何体由12个小正方体构成，所以体积是12立方厘米； 表面积： （平方厘米） （3）如图，移动3个小正方体，可以得到长、宽、高分别是3厘米、2厘米、2厘米的长方体； 【考点剖析】求解不规则几何体的表面积，可以通过三视图的方法求解，但要注意是否有凹槽，需要把少算的加上。 9．（24-25六年级上·河南平顶山·期末）有一个花坛，高0.5米，底面是边长2.4米的正方形，四周用砖砌成砖墙，砖墙厚度0.4米，中间填满泥土。 （1）这个花坛所占的空间有多大？ （2）花坛里大约有泥土多少立方米？ （3）在砖墙的外面和上面贴上瓷片，贴瓷片的面积是多少平方米？ 【答案】（1）2.88立方米 （2）1.28立方米 （3）8平方米 【思路引导】（1）花坛是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。 （2）求泥土的体积就是求花坛的容积。要求出从里面测量的长、宽和高，再根据体积公式计算。 （3）贴瓷片的面积包括花坛的4个侧面和砖墙的上面。花坛的4个侧面是面积相等的长方形，根据长方形的面积＝长×宽即可求出1个侧面面积，再乘4求出4个侧面面积；用花坛的占地面积减去里面泥土的占地面积即是砖墙的上面面积，根据正方形的面积＝边长×边长分别求出花坛的占地面积和里面泥土的占地面积，再把它们相减。最后把花坛的4个侧面面积和砖墙的上面面积加起来即可。 【规范解答】（1）2.4×2.4×0.5＝2.88（立方米） 答：这个花坛所占的空间有2.88立方米。 （2）2.4－0.4－0.4＝1.6（米） 1.6×1.6×0.5＝1.28（立方米） 答：花坛里大约有泥土1.28立方米。 （3）2.4×0.5×4＝4.8（平方米） 2.4×2.4－1.6×1.6 ＝5.76－2.56 ＝3.2（平方米） 4.8＋3.2＝8（平方米） 答：贴瓷片的面积是8平方米。 【考点剖析】求花坛的容积时，要用花坛的长和宽分别减去两个砖墙厚度求出内部长方体的长和宽。求贴瓷片的面积时，求出砖墙上面的面积是解题的关键。 10．（23-24六年级上·安徽蚌埠·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长50厘米，宽40厘米，高30厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深大约多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） （3）再往水里放入鹅卵石、水草和鱼，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 【答案】（1）74平方分米 （2）20厘米 （3）5000立方厘米 【思路引导】求至少需要玻璃多少平方分米，求的是长方体的表面积，但是鱼缸没有上表面；注入40升水，水的体积是40升，除以底面积得到水深；上升的这部分水的体积等于鹅卵石、水草和鱼的总体积。 【规范解答】（1） （平方厘米） 7400平方厘米＝74平方分米 答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米。 （2）40升＝40立方分米＝40000立方厘米 （厘米） 答：水深大约20厘米。 （3）（立方厘米） 答：鹅卵石水草和鱼的体积一共是5000立方厘米。 【考点剖析】本题考查的是长方体的表面积、体积，尤其是排水问题，完全淹没的情况下，变化的水的体积等于物体的体积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $